МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Версия для печати

Занятие 11 (03.12.2011). Принцип крайнего

1.

По кругу выписано несколько натуральных чисел, каждое из которых не превосходит одного из соседних с ним. Докажите, что среди этих чисел точно есть хотя бы два равных.

Решение

Решение. Рассмотрим наибольшее из этих чисел(или одно из них, если таких чисел несколько). Так как оно не меньше и не больше одного из своих соседей, то оно равно ему. Мы нашли пару равных чисел.

2.

По кругу выписано несколько чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому двух соседних с ним. Докажите, что все эти числа равны.

Решение

Решение. Рассмотрим наибольшее из этих чисел(или одно из них, если таких чисел несколько). Из того, что оно не меньше своих соседей и равно их среднему арифметическому, следует, что оно равно своим соседям. Проводя аналогичные рассуждения, получаем, что все числа равны.

3.

8 грибников собрали 37 грибов. Известно, что никакие двое не собрали грибов поровну и каждый нашел хотя бы один гриб. Докажите, что какие-то двое из них собрали больше, чем какие-то пятеро.

Решение

Решение. Пронумеруем грибников так, чтобы первый набрал больше всех грибов, второй больше среди оставшихся и т.д. Ясно, что первый не мог набрать меньше 9 грибов, т.к. тогда бы все вместе набрали максимум 1 + ... + 8 = 36 < 37 грибов. Также второй не мог набрать меньше 7 грибов. Значит, первый и второй вместе набрали хотя бы 7 + 9 = 16 грибов. Учитывая то, что третий набрал хотя бы 6 грибов, то 4-й, 5-й, ...,8-й набрали вместе максимум 37 − 16 − 6 = 15 < 16 грибов

4.

На шахматной доске стоят несколько ладей. Обязательно ли найдется ладья, бьющая не более двух других? (Перепрыгивать через другие фигуры ладья не может.)

Ответ Решение

Ответ. Да, обязательно.

Решение. Рассмотрим самую верхнюю ладью, если таких несколько, то самую левую из них. Тогда выше и левее этой ладьи нет других ладей, значит, она бьет не более двух других.

5.

В стране есть несколько городов. Сумасшедший путешественник едет из города A в самый далекий от него город B. Затем едет в самый далекий от B город C и т.д. Докажите, что если город С не совпадает с городом А, то путешественник никогда не вернется обратно в город A.

Решение

Решение. Предположим, что на втором шаге путешественник не возвратился в А, т.е. город С отличен от города А. Тогда маршрут от А до B короче маршрута из B в С (поскольку С — наиболее удаленный от B город). В дальнейшем каждый следующий маршрут будет не короче предыдущего, так как каждый раз мы в качестве следующего пункта назначения выбираем наиболее удаленный город. Пусть на некотором шаге путешетвенник все же вернулся в город А, выйдя из некоторого города Х. По доказанному, маршрут от Х до А длиннее маршрута от А до B, а это противоречит тому, что B — наиболее удаленный от А город.

6.

В космическом пространстве летают 2011 астероидов, на каждом из которых сидит астроном. Все расстояния между астероидами различны. Каждый астроном наблюдает за ближайшим астероидом. Докажите, что за одним из астероидов никто не наблюдает.

Решение

Решение. Рассмотрим два астероида A и B, расстояние между которыми наименьшее. Астроном на астероиде A смотрит на астероид B, а астроном на астероиде B смотрит на астероид A. Если найдется астроном, который смотрит на астероид A или B, то найдется астероид на которого никто не смотрит. В противном случае исключим из рассмотрения астероиды A и B. Получим систему из 2011 − 2=2009 астероидов, для которых очевидно выполняется условие задачи. Продолжая так далее, придем к случаю трех астероидов. Выбрав, среди них два, расстояние между которыми наименьшее получим, что на оставшийся астероид никто не смотрит.

7.

Гоша задумал четыре неотрицательных числа и посчитал их всевозможные попарные суммы (всего 6 штук). Какие числа он задумал, если эти суммы — 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Ответ Решение

Ответ. 0, 1, 2, 4.

Решение. Пусть Гоша задумал числа a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Все суммы различны, поэтому самая маленькая из посчитанных сумм — c + d, следующая за ней — d + b, также самая большая — a + b, а следующая за ней — a + c.

Значит,

c + d = 1, d + b = 2, a + b = 6, a + c = 5.

Тогда c = 1 − d, b − c = 1, b = c + 1 = 2 − d, a = 5 − c = 4 + d.

Заметим, что a + d = 4 + 2d и b + c = 3 − 2d есть числа 3 и 4 в некотором порядке. Число d неотрицательно, значит, a + d ≥ 4 и b + c ≤ 3, значит, d = 0,тогда c = 1, b = 2, a = 4.