МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Версия для печати

Занятие 10 (26.11.2011). Логика

1.

Петя сказал: «Если кот шипит, то рядом собака, а если собаки рядом нет, то кот не шипит». Не сказал ли Петя чего-то лишнего?

Ответ Решение

Ответ. Сказал.

Решение. Если бы собаки рядом не было, а кот бы зашипел, то собака должна была бы быть рядом, а это не так. Поэтому вторая часть утверждения никакого смысла в себе не несет.

2.

Вася написал на доске натуральное число. После этого Катя и Маша сказали:
— У этого числа четная сумма цифр.
— У этого числа число нечетных цифр нечетно.
Сколько среди этих утверждений верны?

Ответ Решение

Ответ. Одно.

Решение. Заметим, что второе утверждение означает, что у Васиного числа нечетная сумма цифр. Поскольку сумма цифр может быть либо четной, либо нечетной, то верно только одно из утверждений.

3.

Среди 5 школьников A,B,C,D,E двое всегда лгут, а трое всегда говорят правду. Каждый из них сдавал зачет, причем все они знают, кто сдал зачет, а кто — нет. Они сделали следующие утверждения.
A: «B не сдал зачет».
B: «C не сдал зачет».
C: «A не сдал зачет».
D: «E не сдал зачет».
E: «D не сдал зачет».
Сколько из них зачет сдали?

Ответ Решение

Ответ. Двое.

Решение. Поскольку все пять утверждений были сделаны про 5 разных школьников и три из них верны, то три школьника не сдали зачет. Два других утверждения ложны, поэтому соответствующие школьники зачет сдали.

4.

В школе прошел забег с участием 5 спортсменов, и все заняли разные места. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, естественно, назвал одно число от 1 до 5. Сумма их ответов оказалась равна 22. Какое наименьшее число врунишек было?

Ответ Решение

Ответ. 2.

Решение. Заметим, что сумма ответов тех, кто ответил честно, не больше 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Т.к. 22 − 15 = 7 > 5, то хотя бы двое соврали. Пример ответов: 5,5,3,4,5 (последние трое ответили честно).

5.

На острове живут племя рыцарей и племя лжецов. Однажды каждый житель острова заявил: 'В моем племени у меня больше друзей, чем в другом'. Может ли рыцарей быть меньше, чем лжецов?

Ответ Решение

Ответ. Да, может.

Решение. Пусть есть четверо рыцарей, которые попарно дружат. А также четыре пары лжецов, где лжецы каждой пары дружат со своим рыцарем, а друг с другом не дружат. Также никакие два лжеца не дружат.

6.

Четырехзначное чиcло таково, что все его цифры различны, а также известно, что числа 5860, 1674, 9432, 3017 содержат ровно по две цифры, принадлежащие этому числу, однако ни одна из них не стоит в том же месте, что и в этом числе. Найдите его.

Ответ Решение

Ответ. 4306.

Решение. Пусть искомое число abcd. Для каждой цифры a,b,c,d посчитаем, сколько раз она встречается в данных четырех числах. Очевидно, что сумма этих вхождений должна равняться 8. Поскольку никакая цифра не встречается в 3 числах, то каждая цифра встречается ровно дважды.

Т.е. в искомом числе могут быть только цифры 0,1,3,4,6,7. Но в первом числе из этих цифр есть только 6 и 0. Значит, эти цифры в числе точно есть. Аналогично из третьего числа, получаем цифры 4 и 3. Составим табличку, в которой плюсики стоят в тех разрядах, в которых они могут быть написаны.

0	+	−	+	−
3	−	+	−	+
4	+	−	+	−
6	+	−	−	+

Очевидно, что т.к. в разряде сотен есть только один « + », то в разряде сотен числа стоит тройка. Действуя так далее и воспользовавшись тем, что четырехзначное число с нуля не начинается, получим число 4306, которое, очевидно, подходит.

7.

2011 школьников и студентов встали по кругу. Каждый из них по очереди произнес фразу: «Оба мои соседа — школьники». Если про студента солгали, он обижается и становится школьником. Если про школьника сказали правду, он расстраивается и становится студентом. Когда школьников было больше — в начале, или в конце?

Ответ Решение

Ответ. Поровну.

Решение. Рассмотрим некоторого человека. Заметим, что поменять статус он может только, когда произносят фразы его соседи. Предположим, что он был школьником. Тогда после первого соседа он станет студентом, а после второго — школьником. Если же он был студентом, то после первого соседа он станет школьником, а затем — снова студентом. Значит, сколько школьников было, столько и осталось.

8.

В поселке некоторые дома соединены проводами. Соседями называются двое, дома которых связаны проводом. Всегда ли удастся поселить в каждый дом по одному человеку: лжецу или рыцарю — так, чтобы каждый на вопрос: «Есть ли среди ваших соседей лжецы?» ответил положительно? (Каждый знает про каждого из своих соседей, лжец он или рыцарь).

Ответ Решение

Ответ. Да, всегда.

Решение. Рассмотрим наибольшее подмножество A домов, никакие два из которых не являются соседними. Поселим в каждый дом множества A лжеца, а во все остальные — по рыцарю. Тогда заметим, что у каждого рыцаря есть сосед-лжец, иначе бы дом этого рыцаря можно было бы добавить в множество A. По построению ни у какого лжеца нет соседей-лжецов.