МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Варвара Алексеевна Косоротова
2010/2011 учебный год

Версия для печати

Занятие 22. Математическая абака

Правила

Математическая абака — это командная игра-соревнование по решению задач. Все задачи выдаются для решения всем командам одновременно. Основным зачетным показателем в математической абаке является общее количество набранных очков (включая бонусы). В случае равенства очков у нескольких команд более высокое место занимает команда, имеющая большую сумму бонусов. При равенстве и этого показателя команды считаются разделившими места.

Решение задач

Каждой команде предлагается для решения 5 тем по 6 задач в каждой теме. Задачи каждой темы сдаются по порядку, от 1-й до 6-й (например, у команды не примут ответ на задачу ?4, пока она не сдала ответы на задачи ?1, ?2 и ?3 по этой же теме). На каждую задачу дается одна попытка сдать ответ. Если команда предъявляет правильный ответ на задачу, она получает за это цену задачи, а если ответ неправильный или неполный, команда получает 0 очков.

Цена первой задачи каждой темы — 10 очков, второй — 20, ..., шестой — 60 очков. Таким образом, не считая бонусов, команда может заработать за решение задач до 5·210 = 1050 очков.

Бонусы

Каждая команда дополнительно может заработать бонусы:

Бонус-горизонталь (за правильное решение всех задач одной темы) — 50 очков.

Бонус-вертикаль (за правильное решение задач с одним и тем же номером по всем темам) — цена задачи с этим номером.

Бонусы за первое решение: первая команда, получившая одну из шести возможных бонус-горизонталей или одну из шести бонус-вертикалей, получает соответствующий бонус в двойном размере.

Окончание игры

На решение задач отводится 90 минут. Команда заканчивает игру, если у нее кончились задачи или истекло общее время, отведенное для игры.

Задачи

Алгебра

Алгебра-10

Найдите все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

Алгебра-20

На сколько процентов треть половины больше половины девятой части?

Алгебра-30

«То» да «это», да половина «того» да «этого» — сколько это будет процентов от трех четвертей «того» да «этого»?

Алгебра-40

Одним пакетиком чая можно заварить два или три стакана. Надя и Саша разделили коробку чайных пакетиков поровну. Надя заварила 57 стаканов чая, а Саша — 83 стакана. Сколько пакетиков могло быть в коробке?

Алгебра-50

Какое наибольшее число пятниц может быть в году?

Алгебра-60

Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 с, вторые - через каждые 3 с. Всего было сделано 13 ударов (совпавшие удары воспринимались за один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?

Геометрия

Геометрия-10

Точки A, B, C последовательно расположены на одной прямой и AB : BC = 3 : 4. Найдите отношение AB : AC.

Геометрия-20

Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой AC. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной B относятся как 3 : 10 : 5. Найдите углы треугольника ABC.

Геометрия-30

Треугольник ABC — равнобедренный (AB = BC). Отрезок AM делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями AB и MC. Найдите ∠B.

Геометрия-40

Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

Геометрия-50

Какой угол образуют минутная и часовая стрелка в 3 часа 5 минут?

Геометрия-60

Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника АВD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Найдите длину отрезка АО, если ВО = 10 см.

Комбинаторика

Комбинаторика-10

Сколько существует трехзначных чисел?

Комбинаторика-20

На танцплощадке собрались 6 юношей и 6 девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Комбинаторика-30

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, таких как 54345, 17071)?

Комбинаторика-40

В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Комбинаторика-50

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

Комбинаторика-60

Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике?

Текстовые задачи

Текстовые задачи-10

Три брата вернулись с рыбалки. Мама спросила у каждого, сколько они вместе поймали рыб. Вася сказал: «Больше десяти», Петя: «Больше восемнадцати», Коля: «Больше пятнадцати». Сколько могло быть поймано рыб (укажите все возможности), если известно, что два брата сказали правду, а третий — неправду?

Текстовые задачи-20

Газету 10 раз сложили пополам (поочередно вдоль и поперек), после чего оторвали от нее 4 угла. Если теперь развернуть газету, то сколько в ней будет дырок?

Текстовые задачи-30

В ящике лежат 100 тапок одного размера: по 50 правых и левых, из них 39 белых и 61 черных. Какое наименьшее число тапок надо «вслепую» достать из ящика, чтобы среди них при любой раскраске тапок наверняка оказалась пара (левый и правый) одноцветных?

Текстовые задачи-40

Пятеро крестьян собрали урожай. Первый решил, что собрал больше остальных, и разделил между ними поровну 1/3 своего зерна. После этого второй решил поделиться с остальными, и сделал то же самое, что и первый. В результате весь урожай разделился поровну. Определите, сколько собрал каждый, если общий вес зерна 320 кг.

Текстовые задачи-50

В однокруговом турнире по футболу (каждый с каждым сыграл ровно одну партию) участвовало 8 команд, которые набрали 15, 14, 13, 9, 8, 7, 4 и 3 очка соответственно. За победу присуждалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Сколько матчей в турнире закончилось вничью?

Текстовые задачи-60

Мальчики делили пряники. Первый мальчик взял d пряников и 1/16 остатка, второй взял 2d пряников и 1/16 нового остатка, третий взял 3d пряников и 1/16 нового остатка и т. д. Когда последний мальчик взял свою долю по тому же правилу, оказалось, что все пряники разделены поровну, и лишних пряников не осталось. Сколько было мальчиков?

Числа

Числа-10

Числа 2007 и 1917 разделили с остатком на одно и то же число. В первом случае в остатке получилось 88, а во втором — 99. На какое число делили?

Числа-20

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись которого содержит все цифры от 0 до 5, и которое делится на все эти цифры (нуль не является натуральным числом).

Числа-30

Коля, Илья и Иван регулярно ходили в кинотеатр. Коля бывал в нем каждый 3-й день, Илья — каждый 7-й, Иван — каждый 5-й. 14 мая все ребята пойдут в кино. Когда все трое встретятся в кинотеатре в следующий раз?

Числа-40

Среди чисел 1, 2, ..., k ровно 223 числа, делящихся на 9, и ровно 250 чисел, делящихся на 8. Чему может равняться число k? Перечислите все возможные варианты.

Числа-50

По кругу расставлены 10 красных и 15 синих фишек. Обозначим через p количество пар соседних синих фишек. Какие значения может принимать число p?

Числа-60

Петя задумал четыре числа, попарно сложил их и выписал на доске пять из шести получившихся сумм. Эти суммы оказались равны 13, 15, 16, 20, 22. Чему может быть равна шестая сумма?

Ответы

	Алгебра	Геометрия	Комбинаторика	Текстовые задачи	Числа
10	25	3:7	900	16, 17, 18	101
20	200%	30°, 100°, 50°	720	961	123540
30	200%	36	900	90	27 августа
40	56	9	19 рыжиков и 11 груздей	84 кг, 89 кг, 49 кг, 49 кг, 49 кг	2007
50	53	62,5	325	11	от 5 до 14
60	18	10 см	`n`(`n` - 3)/2	15	19

Вы видите ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter!