МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Версия для печати

Занятие 3. Игры

1.

На квадратный стол два игрока по очереди кладут пятирублевые монеты, чтобы они не налезали друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (положить монету). Кто выигрывает при правильной игре?

2.

Даша и Маша по очереди ломают шоколадку 6×8 (начинает Даша, за каждый ход ломается любой кусок вдоль углубления). Проигрывает тот, кто сделал последний разлом. Кто выиграет?

3.

Малыш разрешил разрезать квадратный, торт Карлсону (и выбрать свой кусок) при условии, что разрез будет прямолинейным и пройдет через указанную Малышом точку. Какую часть торта смогут получить Малыш и Карлсон?

4.

У каждого из игроков есть спички. За один ход разрешается положить на стол одну или две спички. Выигрывает положивший а) девятую, б) десятую спичку. Кто выигрывает при правильной игре?

5.

В левом нижнем углу шахматной доски находится а) ладья, б) король. Два игрока по очереди ходят этой фигурой, причем ходить разрешается только вверх, вправо и (для короля) по диагонали вверх-вправо. Тот, кто поставит фигуру в правый верхний угол, выигрывает. У кого из игроков есть выигрышная стратегия, и как он должен играть?

6.

Двойными шахматами называются шахматы, в которых каждый игрок делает по два хода подряд. Докажите, что белые смогут обеспечить себе по крайней мере ничью.

7.

Гроссмейстер (старший мастер) Остап Бендер провел сеанс одновременной игры с гроссмейстерами Каспаровым и Крамником. С одним из соперников он играл белыми фигурами, с другим — черными. Бендер играл в шахматы в третий раз в жизни, и предыдущий опыт одновременной игры (имевший место в Васюках) был весьма плачевным. Несмотря на это, ему удалось взять в этом сеансе одно очко. Как он смог этого добиться? (В шахматной партии за победу дается 1 очко, за ничью — пол-очка, за поражение — 0 очков.)

Вариант посложнее (ауд. 12-07)

1.

В куче 20 камней. Два игрока по очереди берут из кучи от 1 до 3 камней. Кто из этих двух игроков может обеспечить себе победу?

2.

Алиса и Базилио играют в следующую игру. Из мешка, в котором ровно 1331 монета, они по очереди берут монеты по такому правилу: Алиса начинает и первым ходом берет одну монету, а при каждом следующем ходе игрок берет либо столько же монет, сколько было взято последним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

3.

На некотором поле шахматной доски стоит а) ладья; б) ферзь; в) конь; г) король. Каспаров и Карпов играют в следующую игру. Они по очереди, начиная с Каспарова, передвигают фигуру по шахматным правилам, причем ходить влево или вниз запрещается. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Где должна вначале стоять фигура, чтобы Каспаров мог обеспечить себе победу (укажите все благоприятные для Каспарова поля)?

4.

На шахматной доске 3×3 клетки стоят на крайних горизонталях по 3 белые и черные пешки. Пешки не имеют права на первый ход через клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; сумевший провести пешку на дальний край доски выигрывает. У какого игрока есть выигрышная стратегия и какая?

5.

Игра «Ним». Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни по правилу: за один ход можно взять любое положительное число камней ровно из одной кучи. Проигрывает игрок, который не может сделать ход.

а)

Пусть кучек три, в первой 7 камней, во второй — 8, в третьей — 9. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

б)

Пусть кучек всего n и в них k₁, ..., k_n камней. Найти условие на k₁, ..., k_n, при котором первый игрок проигрывает при правильной игре второго.

6.

Докажите, что в крестиках-ноликах на бесконечной доске (чтобы выиграть, надо поставить пять крестиков или ноликов в ряд) у второго игрока нет выигрышной стратегии.

7.

Король и министр играют в игру — король ставит в любые две клетки бесконечного листа по крестику, а министр — один нолик. Сможет ли король поставить 10 крестиков в ряд?

8.

Лиса гоняется по плоскости за двумя зайцами. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке. Вначале лиса сидит в вершине C квадрата ABCD, а зайцы — в вершинах B и D. В вершине A находится заячья нора: заяц, попавший в нее раньше лисы, спасен. При этом лиса бегает по всей плоскости, а зайцы — только по лучам AB и AD. Максимальная скорость каждого зайца равна 1, а лисы — v.

а)

Найдите все v, при которых лиса сможет поймать хотя бы одного зайца.

б)

Найдите какое-нибудь v₀, при котором лиса сможет поймать обоих зайцев.

в)

Найдите все v, при которых лиса сможет поймать обоих зайцев.

9*

Даша и Маша по очереди ломают шоколадку 6×8 (начинает Даша, за каждый ход ломается любой кусок вдоль углубления). Проигрывает тот, кто сделал последний разлом. Кто выиграет?