МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Версия для печати

Принцип Дирихле. 11 декабря 2010 года

Иоганн Петер Густав Лежен-Дирихле (1805 — 1859) — немецкий математик, внесший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел.

1.

В Москве живет уже больше чем 10,1 млн. жителей. У каждого на голове не более 100 тысяч волос. Докажите, что имеется хотя бы 100 жителей Москвы с одинаковым количеством волос на голове.

2.

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 шариков разных цветов.

3.

Найдите значение дроби

G · R · U · Z · I · A

T · B · I · L · I · S · I

, где разные буквы — это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.

4.

Пятнадцать друзей, встретившись, начали здороваться за руку. Докажите, что в любой момент какие-то двое из них сделали поровну рукопожатий.

5.

На каждой клетке доски 9×9 сидит один дрессированный лягушонок. По команде 'Ква!' каждый лягушонок перепрыгивает на одну из соседних клеток, (клетки считаются соседними, если они имеют общую сторону). Докажите, что после команды 'Ква!' какие-то два лягушонка окажутся на одной клетке.

6.

Какое наибольшее число клеток доски 10×10 можно покрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не соприкасались (даже в одной точке).

7.

В окружность длины 1 вписаны квадрат и правильный треугольник (вершины которых не совпадают). Доказать, что длина одной из семи образовавшихся хорд не превосходит ¹/₂₄.

8.

Докажите, что среди любых 12 натуральных чисел можно найти два a) разность которых делится на 11; b) сумма или разность которых делится на 20.

9.

В ряд выписаны 100 натуральных чисел. Докажите, что из них можно выбрать несколько (возможно, всего одно), сумма которых делится на 100.

10.

Имеется 6 точек общего положения (то есть никакие три не лежат на одной прямой), попарно соединенные отрезками. Некоторые из отрезков покрашены в красный цвет, а некоторые — в синий. Докажите, что существует треугольник, у которого все стороны покрашены в один цвет.

11.

Первоклассник Петя знает только цифру 1. Докажите, что он может написать число, делящееся на 2011.

12.

Докажите, что среди любых 10 человек найдется либо четверо попарно знакомых, либо четверо попарно незнакомых.

13.

Несколько дуг окружности покрашена в красный цвет, при этом покрашено не более половины окружности. Докажите, что существует диаметр, концы которого не покрашены.

14.

На земле океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.

15.

На каждой стороне выпуклого четырехугольника, как на диаметре, построен круг. Докажите, что все эти 4 круга полностью покрывают начальный четырехугольник.

16.

В городе Котельниче 10000 телефонов, номера которых задаются четырехзначными числами. В центральном районе установлено более половины всех телефонов и нет телефона с номером 0000. Доказать, что хотя бы один из номеров центральных телефонов равен сумме номеров двух других телефонов.

17.

В квадрате со стороной 1 отметили 51 точку. Докажите, что 3 из них можно покрыть кругом, радиусом ¹/₇.

18.

Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих прямых проходят через одну точку.

19.

В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.

20.

Треугольник разрезан на несколько выпуклых многоугольников. Докажите, что среди них есть либо треугольник, либо два многоугольника с одинаковым количеством сторон.