|
Кружок 8 класса
Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов 2009/2010 учебный год
Версия для печати
Занятие 4. Делимость и остатки
Вариант I (аудитории 1303, 1304, 1306 и 1311)
- 1.
-
Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу по цепочке, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?
- 2.
-
- а)
- Число при делении на 8 дает остаток 3. Какой остаток оно дает при делении на 4?
- б)
- Число при делении на 4 дает остаток 3. Какие остатки оно может давать при делении на 8?
- в)
- Число при делении на 15 дает остаток 7. Какой остаток оно дает при делении на 5?
- 3.
-
Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2 и на 5. Верны ли аналогичные признаки для
других однозначных чисел?
- 4.
-
Найдите все общие делители чисел а) 2009 и 2010,
б) 20092007 и 20092013.
- 5.
-
Чтобы доказать, что число 1601 простое, его стали последовательно делить на 2, 3 и т. д.
На каком числе
можно остановиться?
- 6.
-
Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 1 доллару 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 35 центов и бифштекс за 2 доллара 80 центов. Бармен потребовал 20 долларов 50 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен пересчитал и исправил ошибку. Как Джо понял, что его обсчитали?
- 7.
-
На какую цифру оканчивается число а) 9100, б) 22009,
в) 777?
- 8.
-
У числа переставили цифры и вычли из исходного. Докажите, что полученная разность делится на 9.
- 9.
-
Докажите, что число, состоящее из трех единиц и нескольких девяток (в любом порядке), не является точным квадратом (т. е. квадратом целого числа).
- 10.
-
Докажите, что среди любых n + 1 натуральных чисел найдутся два, разность которых
делится на n.
- 11.
-
Докажите, что если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами в обратном
порядке, то результат будет делиться на 11.
Дополнительные задачи
- 12.
-
У числа 82009 вычислили сумму цифр, у полученного числа снова вычислили сумму цифр и т. д.,
пока не получилось однозначное число. Какое?
- 13.
-
Докажите, что из любых n натуральных чисел, не кратных n, можно выбрать
несколько, сумма которых делится на n.
- 14.
-
Докажите, что для любого натурального n существует n подряд идущих составных чисел.
- 15.
-
15! = 130*674368***. Найдите цифры, замененные звездочками.
Вариант II (аудитория 1302)
- 1.
-
Доказать, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел кратно шести.
- 2.
-
Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно
а) 630? б) 5500?
- 3.
-
Дети выходят из леса парами. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика либо в два раза больше орехов, либо в два раза меньше орехов, чем у девочки. Может ли всего у детей быть 100 орехов?
- 4.
-
а) Можно ли в ряду чисел 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 так расставить во всех промежутках между числами знаки '+' и '-', чтобы в результате получился 0? б) Тот же вопрос о ряде 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. в) Тот же вопрос о ряде 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.
- 5.
-
Капитан Кук попал в плен к пиратам. Их главарь требует у него выкуп, причем, будучи суеверным, хочет получить требуемую сумму ровно тринадцатью монетами. Сможет ли Кук откупиться, если: а) сумма выкупа - 100 дублонов, а у него есть монеты в 1, 3, 5 и 25 дублонов? б) сумма выкупа - 1000 дублонов, а у него есть монеты в 10, 30, 70 и 110 дублонов?
- 6.
-
Сумма цифр некоторого натурального числа равна 2010. Может ли это число быть квадратом натурального числа?
- 7.
-
Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 1 доллару 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 35 центов и бифштекс за 2 доллара 80 центов. Бармен сказал, что с него 20 долларов 50 центов. Ковбой Джо застрелил бармена. Докажите, что было за что.
- 8.
-
Можно ли расставить по кругу семь натуральных чисел так, чтобы любые два соседних числа имели общий делитель больший 1, а любые два не соседних числа были взаимно просты.
- 9.
-
Юный бизнесмен Вася положил на счет в банк 3 рубля. Каждый день к счету в этом банке прибавляется количество рублей, равное сумме цифр текущего счета. Когда Вася пришел забирать свой вклад, ему выдали ровно 10000 рублей. Докажите, что его обсчитали.
- 10.
-
Назовем положительную числовую дробь актуальной, если сумма ее числителя и знаменателя равна 2009. Всякую ли дробь можно выразить через актуальные с помощью сложения и вычитания?
- 11.
-
Найдите n подряд идущих составных чисел.
- 12.
-
При каких натуральных n число 10101:01 (n единиц, n − 1 нуль) простое?
|