МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Версия для печати

Занятие 3. Чередование

-

Лягушонок живет на одном берегу болота ,а комары, которых он ест, живут на другом берегу. Однажды лягушонок несколько раз сходил на обед и вернулся домой, после чего заявил, что пересек болото 2009 раз. Могло ли такое быть?

-

Лягушонок прыгает только с зеленой кочки на красную, а с красной на зеленую.

а)

Однажды он пропрыгал с одного берега на другой и насчитал 10 прыжков на красные кочки и 12 прыжков на зеленые. Может ли такое быть?

б)

Лягушонок несколько раз сходил на обед и вернулся обратно. Оказалось, что на красных кочках он побывал на 7 раз больше, чем на на зеленых. Какое наименьшее количество раз лягушонок мог сходить на обед?

-

Хромая ладья умеет ходить только на соседние по стороне клетки. Хромая ладья обошла все клетки доски 5×5, побывав на каждой клетке по одному разу. Нарисуйте хотя бы один из возможных маршрутов ладьи. Отметьте клетки, которые не могут быть началом и концом маршрута.

1.

Может ли хромая ладья обойти все клетки доски 5×5, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться на исходную клетку?

2.

Может ли шахматный конь обойти клетки доски 9×9, побывав на каждой клетке по одному разу, и вернуться обратно?

3.

Аня попала в Зазеркалье, где встретила свое отражение - Яну. Потом Яна попала в свое Зазеркалье, где встретила свое отражение - конечно же, Аню-2! Аня-2 попала в свое Зазеркалье, где была Яна-2. И так происходило достаточно долго, пока зеркало не разбилось. Назовите, как звали 2009-ю девочку?

4.

Катя и ее друзья расселись за круглым столом. Оказалось, что оба соседа каждого из детей - одного пола. Мальчиков среди них было пятеро. А сколько за столом девочек?

5.

Шаман племени диких математиков объявил 'ужасающими' числа, в которых встречаются две подряд четные или две подряд нечетные цифры. Числа же, в которых встречаются все четные цифры, шаман объявил 'величественными'. Найдите наименьшее 'величественное' число, которое не является 'ужасающим'?

6.

Барон Мюнгхаузен, вернувшийся из кругосветного путешествия, рассказывает, что по пути он пересек границы Трапезундии 13 раз. Верите ли Вы ему?

7.

За круглым столом сидят мальчики и девочки. Учительница положила между соседями-мальчиками по ручке, между соседями-девочками - по карандашу, а если рядом сидели мальчик и девочка, то между ними она положила тетрадку.

а)

Докажите, что ей понадобится четное число тетрадок.

б)

А может ли она обойтись нечетным количеством ручек?

в)

Каким минимальным числом карандашей она могла обойтись, если за столом сидят четыре мальчика и восемь девочек?

8.

У Наташи дома живут паучки, любящие разнообразие, которые очень любят ползать по проволочкам. Наташа связала проволочками несколько пуговиц (каждую пуговицу она соединяла проволочками с одной или несколькими другими), и посадила на получившуюся конструкцию нескольких паучков, любящих разнообразие. Проползая по проволочке, паучок красит ее в белый или черный цвет: покрасив проволочку в черный, следующую он красит в белый, следующую опять в черный, и так далее. По уже покрашенным ребрам паучок не ползает. Когда паучок попадает в безвыходное положение, он расстраивается и засыпает. После того как паучки раскрасили все проволочки в белый и черный цвета, оказалось, что черных проволочек на 5 больше, чем белых. Какое наименьшее количество паучков могло быть у Наташи?

9.

Наташа посадила паучка, любящего разнообразие, в вершину серого проволочного куба. Паучок пополз по ребрам куба (проволочкам). Какое наибольшее число ребер куба сможет покрасить паучок?

10.

Наташа посадила в разные вершины куба несколько паучков, любящих разнообразие, и они раскрасили все ребра куба в белый и черный цвет. При каком наименьшем количестве паучков это возможно?

11.

В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжет, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: "Он — хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом ее же произнес следующий по кругу, и так они говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас еще, возможно, говорят. Определите, из каких племен были пирующие, если известно, что за столом сидело а) девять; б) десять жителей Пустоземья. Объясните свое решение.