МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Версия для печати

Занятие 1. Cумма цифр числа (06.10.2007)

1.

Существует ли такое натуральное число, что сумма его цифр больше суммы цифр его квадрата?

2.

Вспомните доказательство того, что любое натуральное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 3 и на 9.

3.

Возьмем любое 2007-значное число, делящееся на 9. Сумму его цифр обозначим через a, сумму цифр числа a - через b, сумму цифр b - через c. Чему равно c?

4.

Докажите, что число 1234567891011…2001 (подряд выписаны числа от 1 до 2001) не является точным квадратом.

5.

Квадрат суммы цифр двузначного числа A равен сумме цифр числа A². Найдите все такие A.

6.

Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?

7.

Обозначим через S(x) сумму цифр натурального числа x. Решите уравнения:

а)

x + S(x) + S(S(x))=1993;

б)

x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x)))=1993.

8.

Натуральное число N в 99…9 (цифра 9 повторяется k раз) раз больше суммы своих цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.