МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Версия для печати

Листок 16

1.

Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме — во второй день. Докажите, что все участники за два дня решили поровну задач.

2.

Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см; в результате его площадь увеличилась на 39 см². Найдите периметр исходного прямоугольника.

3.

Некое целое число часов перевели в секунды и записали результат. Две цифры со временем стерлись: 234?2?0 (они заменены знаком «?»). Восстановите их.

5.

В выпуклом четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и CD равны; кроме того, равны диагонали AC и BD. Докажите, что противоположные стороны AD и BC параллельны.

6.

К каждой грани кубика приклеили по такому же кубику. К каждой грани поверхности получившейся фигуры приклеили еще раз по такому же кубику (при этом некоторые кубики закрыли две грани). а) Сколько граней у полученного тела? б) Из скольких кубиков состоит это тело?

7.

По хорошей лыжне двое лыжников шли со скоростью 12 км/ч, расстояние между ними было 500 м. Начался трудный участок, на котором скорость лыжников упала до 9 км/ч. Как изменилось расстояние между лыжниками, когда они оба вышли на этот участок?

8.

На каждом километре шоссе между селами Елкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Елкино, а на другой — до Палкино. Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Елкино до Палкино?

9.

На столе в ряд лежат четыре монеты. Среди них обязательно есть как настоящие, так и фальшивые (которые легче настоящих). Известно, что любая настоящая монета лежит левее любой фальшивой. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь определить тип каждой монеты, лежащей на столе?

10.

На прямой даны отрезок AB и еще 45 точек, не лежащие на этом отрезке. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

11.

Существуют ли целые числа x, y и z, удовлетворяющие уравнению 28x + 30y + 31z = 365?