МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2005/2006 учебный год

Листок 13. Индукция в геометрии. Формула Пика

Замечание. Во всех задачах можно без доказательства пользоваться следующим утверждением: у всякого многоугольника есть хотя бы одна внутренняя (т.е. целиком содержащаяся внутри многоугольника) диагональ.

1.: Доказать, что сумма внутренних углов а) выпуклого; б) произвольного n-угольника равна π(n − 2). (π — развернутый угол)
2.: Доказать, что любой многоугольник можно разбить на треугольники, все вершины которых являются вершинами исходного многоугольника.

В следующих задачах (кроме последней) рассматривается геометрия на клетчатой бумаге (решетке). Площадь одной клетки считается равной единице.
Определение. Узлами решетки называются точки пересечения вертикальных и горизонтальных линий.
Определение. Многоугольник на решетке — многоугольник, все вершины которого являются узлами решетки.
Определение. Простейший треугольник (на решетке) — треугольник на решетке, не содержащий ни внутри, ни на границе ни одного узла решетки, кроме своих вершин.

3.: Доказать, что а) любой многоугольник на клетчатой бумаге можно разбить на простейшие треугольники; б) любое такое разбиение состоит ровно из 2N_i + N_e − 2 треугольничков, где N_i — число узлов решетки, лежащих строго внутри многоугольник, а N_e — число узлов, лежащих на границе (включая вершины).
4*.: Доказать, что площадь любого простейшего треугольника равна ½.
Указание

Указание. Не стóит пытаться перебрать все возможные простейшие треугольники. Попробуйте придумать более хитрое рассуждение.
5.: (Формула Пика, 1899) Доказать, что площадь многоугольника на решетке равна N_i + ½ N_e − 1 (где N_i и N_e имеют тот же смысл, что и в задаче 3).

Определение. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все его углы соответственно равны между собой.

6.: Правильный 2ⁿ-угольник вписан в окружность радиуса R. Вычислить длину его стороны.

Вы видите ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter!