МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Версия для печати

Листок 11. Задом наперед

1.

На озере расцвела белая лилия. Каждый день число ее цветков удваивалось, а на 20-й день все озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?

Ответ

Ответ. На 19-й.

2.

За булочками в столовой выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все еще не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояли в очереди первоначально?

Ответ

Ответ. 22 человека.

3.

Предложил черт лодырю: «Всякий раз, как перейдешь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 40 рублей.» Трижды перешел лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря первоначально?

Ответ Решение

Ответ. 35 рублей.

Решение. После третьего прохода по мосту и расчета с чертом денег у лодыря не осталось, черту он отдал 40 рублей, значит ровно 40 рублей у него было после прохода по мосту. А значит перед третьим проходом, то есть до удвоения, у него было 20 рублей. Эти 20 рублей лодырь получил после второй выплаты черту 40 рублей, поэтому до этой выплаты было (20 + 40) = 60 рублей, а эти 60 рублей появились после второго прохода по мосту, значит до второго прохода у лодыря было ⁶⁰/₂ = 30 рублей. До первого расчета с чертом — 30 + 40 = 70 рублей, а до перевого удвоения — ⁷⁰/₂ = 35 рублей.

4.

Над цепочкой озер летели гуси. На каждом садилась половина подлетевших к этому озеру гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей?

Ответ

Ответ. 127 гусей.

5.

За круглым столом сидят A, B, C, D. У каждого из них есть по несколько яблок. Сначала A дал каждому из остальных по столько яблок, сколько тот уже имел (тем самым удвоив число яблок у всех, кроме себя). После этого B сделал то же самое, и так далее до D. После этого у всех оказалось по 32 яблока. Сколько у кого было яблок в начале?

Решение

Решение. Задачу проще всего решить, проделав операции с яблоками в обратную сторону. Сначала у каждого по 32 яблока, затем D забирает у каждого половину его яблок. Эта операция действительно обратна к той, что описана в условии задачи, так как в результате операции из условия у всех, кроме D, количество яблок удваивается, а в результате этой операции оно в два раза уменьшается. Потом то же самое делает C, затем B и, наконец, A:

	A	B	C	D
0.	32	32	32	32
1.	16	16	16	80
2.	8	8	72	40
3.	4	68	36	20
4.	66	34	18	10

Значит в начале количество яблок было таким:

A	B	C	D
66	34	18	10

6.

a)

Взяли число, прибавили к нему 50, умножили на 3, вычли 100 да разделили пополам. Получилось 55. Какое число было?

Ответ Решение

Ответ. 20

Решение. Будем проводить действия в обратном порядке. Возьмем результат (55). Умножим на 2 (110), прибавим 100 (210), разделим на 3 (70) и вычтем 50. Получилось 20.

b)

Взяли число, прибавили к нему 50, умножили на 3, вычли 100, разделили пополам, вычли первоначальное число, а потом вычли половину первоначального числа. Сколько получилось?

Ответ Решение

Ответ. 25

Решение. Пусть произвольное число, с которого начались вычисления — x. К нему прибавили 50, получили (x + 50), затем умножили на 3, получили 3(x + 50). Потом из этого числа вычли 100. Получилось 3(x + 50) − 100 = 3x + 150 − 100 = 3x + 50 Далее, разделили пополам:

3x + 50

2

После чего вычли первоначальное число (x)

3x + 50	− x
2

И, наконец, вычли половину первоначального числа, то есть ^x/₂:

3x + 50

− x −

x

=

3x + 50

−

3x

=

3x + 50 − 3x

=

50

= 25

2

2

2

2

2

2

7.

Расставьте различные натуральные числа в таблицу размером 2×3 (2 строки, 3 столбца) так, чтобы произведения в столбцах были равны, и суммы в строках тоже были равны (но суммы могут отличаться от произведений).

Ответ Решение

Ответ. У этой задачи очень много решений. Вот некоторые из них:

2	15	20
30	4	3

4	10	12
15	6	5

11	22	33
36	18	12

Решение. Решать эту задачу подбором довольное сложно, так как придется перебирать сразу 6 чисел. С другой стороны существует не очень сложное решение, в котором подбор почти не используется. В этом решении главное — не бояться.

Итак, смело вводим шесть неизвестных (по одной на каждую ячейку). Таблица имеет вид

a	b	c
x	y	z

Заметим следующее: если каждую ячейку таблицы умножить на произвольное число, то опять получится допустимое решение. Например, умножим ее на 2:

2a	2b	2c
2x	2y	2z

Используя, что (2a)·(2x) = 4ax, получаем, что если ax = by = cz, то и (2a)·(2x) = (2b)·(2y) = (2c)·(2z).

То же самое и для суммы (2a + 2b + 2c) = 2(a + b + c), (2x + 2y + 2z) = 2(x + y + z). Если были равны исходные суммы, то будут равны и удвоенные. То же самое можно сказать и о делении всех ячеек на одно число.

Теперь начнем процесс уменьшения количества неизвестных. Сначала, разделим все ячейки на a:

1	b/a	c/a
x/a	y/a	z/a

Произведем замену неизвестных b'=^b/_a, c'=^c/_a, … z'=^z/_a, Получаем такую таблицу:

1	b'	c'
x'	y'	z'

Возвращаться к переменным без штрихов мы не собираемся, поэтому далее эти штрихи писать не будем. Как видим, не решив ни одного уравнения, мы уже избавились от одного неизвестного. Теперь мы видим, что произведение в каждом столбце равно x. Это позволяет избавиться и от неизвестных y и z, вписав в ячейки явное их выражение через x:

1	b	c
x	x/b	x/c

Сейчас подготовительные шаги завершены, и нам надо все-таки немножко воспользоваться перебором. Впрочем, перебор будет в одну попытку: смело (опять нужна отвага!) полагаем b = 2, c = 3. Это самый очевидный выбор двух произвольных неравных чисел, при условии, что единицу использовать нельзя (иначе мы бы получили повтор с верхней левой ячейкой). Талица превращается в

1	2	3
x	x/2	x/3

Условие на произведения автоматически выполнено, надо дожать только сумму:

1 + 2 + 3 = x + ^x/₂ + ^x/₃ 6 = x(1 + ¹/₂ + ¹/₃) 6 = ¹¹/₆x x = ³⁶/₁₁ Подставим найденное значение x в таблицу:

1	2	3
36/11	18/11	12/11

Эта таблица еще не удовлетворяет требованиям задачи, так как там требовалось заполнить таблицу натуральными числами. Однако, мы помним, что таблицу можно умножать на произвольные числа. Домножим же ее на 11:

11	22	33
36	18	12

Это и есть один из вариатов решения.

8.

Для поправки здоровья богатырю надо отпить из молочной реки ровно 43 литра. У богатыря есть два ведра вместимостью 24 и 11 литров соответственно и достаточно большая бочка. Сможет ли он поправить свое здоровье?

Решение

Решение. Самая простая для богатыря последовательность действий такая: сначала наливаем в бочку 5 больших ведер молока (5 × 24 = 120), потом вычерпываем из бочки 7 маленьких ведер. Там останется 120 − 7×11 = 120 − 77 = 43 литра. Однако, сразу угадать такую последовательность довольно трудно. Поэтому поступим так: сначала наберем в бочку 24 + 11 = 35 литров. Затем, добавим в нее 4 раза по 2 литра. 2 литра можно добавить следующим образом: наливаем 24 литра и 2 раза вычерпываем 11. 24 − 2×11 = 2.