МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Версия для печати

Листок 10. Сравнения

1.

Решите ребусы

a)

−

*

*

*

*

b)

×

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

3

указать 3 варианта

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

3

Решение

Решение.

a)	−	1	0	0	0		−	1	0	0	0		−	1	0	0	5
			9	9	9				9	9	7				9	9	6
					1						3						9

b) Решений нет, так как произведение трехзначного (меньшего 1000) и двузначного числа (меньшего 100) меньше 1000×100 = 100000, то есть не может быть шестизначным. Тройка тут не причем.

2.

Волк и Заяц устроили забег на стадионе. Встав рядом, они одновременно стартовали в одном направлении. Известно, что скорость Волка в 2 раза больше скорости Зайца. Сколько кругов успеет пробежать Заяц до тех пор, пока его снова не догонит Волк?

Ответ

Ответ. Один

3.

Числитель дроби увеличили на 3, а знаменатель — на 8. Могла ли получиться дробь, равная исходной?

Ответ Комментарий

Ответ. Могла! Например

3	→	3 + 3	=	3 × 2	=	3
8		8 + 8		8 × 2		8

Комментарий. Обозначим первоначальную дробь ^p/_q. После преобразаваний она превратится в ^p+3/_q+8, а наше условие можно записать в виде.

p + 3	=	p	(*)
q + 8		q

Числовые слагаемые нам «мешают», так как сократить на них нельзя. Гороздо проще бы было, если бы вместо 3 и 8 стояли сами p и q:

p + p	=	2p	=	p
q + q		2q		q

Но именно это мы получим, если положим p = 3, q = 8:

3 + 3	=	3 × 2	=	3
8 + 8		8 × 2		8

Можно также рассмотреть (*) как уравнение. По правилу пропорции получаем q(p + 3) = p(q + 8) pq + 3q = pq + 8p 3q = 8p Левая часть последнего выражения делится на 3, значит правая тоже. 8 на 3 не делится, значит делится p. Имеем p = 3k: 3q = 8·3k q = 8k Итак для произвольного числа k можно положить p = 3k, q = 8k. Однако дробь ^p/_q будет сократимой: ^p/_q = ^3k/_8k = ³/₈. Теперь мы доказали, что дробь ³/₈ не только удовлетворяет условию задачи, но и является единственной такой несократимой дробью (хотя в задаче этого и не требовалось).

4.

За какое наименьшее количество ходов можно переместить шахматного коня из левой верхней клетки доски 100×100 в правую нижнюю?

Ответ Решение

Ответ. 66 ходов.

Решение. Самый которкий путь — по диагонали, но конь так ходить не может, поэтому будем шагать как можно к ней ближе и возвращаться как только получится: Два хода коня эквивалентны трем ходам короля по диагонали. Всего по диагонали нам надо пройди 99 шагов (а не 100, от первой до сотой клетки (100 − 1) шаг). Значит количество шагов будет 99·²/₃ = 66.

Теперь надо доказать, что быстрее пройти невозможно. Для этого ход коня представим как движение по вертикали и по горизонтали

За ход конь совершает 3 таких движения. Пройди же ему надо 99 шагов по вертикали и 99 по горизонтали, всего 99 + 99 = 198. Значит количество ходов должно быть не менее ¹⁹⁸/₃ = 66.

5.

Сумма тринадцати различных натуральных чисел равна 92. Найдите эти числа.

Ответ

Ответ. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14.

6.

Решите ребус: ***5 : 11 = **.

Ответ Решение

Ответ. 1045 : 11 = 95.

Решение. Во-первых, перепишем это выражение в виде ** × 11 = ***5 Сразу бросается в глаза то, что произведение двузначного числа на другое довольно маленькое двузначное число — 11 — дает четырехзначное число. Самое маленькое четырехзначное число — 1000. Поэтому будет верным следующее: ** × 11 = ***5 ≥ 1000. ** ≥ 1000 / 11 > 90 А значит ** = 9*. Поскольку произведение оканчивается на 5, то оно делится на 5, а значит один из множителей должен делиться на 5. 11 на 5 не делится, значит 9* (которое больше 90) делится на 5. Единственный вариант — 95. Итак, 95 × 11 = 1045.

Ответ: 1045 : 11 = 95.

7.

И еще один ребус: УЖ³ = ПИТОН (3 — цифра!).

Ответ Решение

Ответ. 27³ = 19683.

Решение. Решать эту задачу придется перебором, но прежде, чем приступить к нему, попробуем, насколько возможно, перебор сократить. Начнем с того, что определим границы, в которых ищем числа: нам нужны двузначные числа, куб которых — пятизначное число. Вычисляем кубические корни из самых маленьких пяти- и шестизначных чисел ³V10000 ≈ 21.5443469, ³V100000 ≈ 46.4158883 Значит числа, кубы которых пятизначны — это числа от 22 до 46. Пока у нас 25 кандидатов на решение. Сократим перебор еще. В ребусе все буквы разные, значит все разные должны быть цифры в решении.

• Двузначные числа, состоящие из одинаковых цифр нам не подходят. Долой 22, 33 и 44. Осталось 22 кандитата.
• Если число оканчивается на 0, то и куб его оканчиватся на 0. Выкидываем 30 и 40. Осталось 20 вариантов.
• Если число оканчивается на 5, то и куб его оканчиватся на 5. Выкидываем 25, 35 и 45. Осталось 17 вариантов.
• Если число оканчивается на 1, то и куб его оканчиватся на 1. Выкидываем 31 и 41. Осталось 15 вариантов.
• Если число оканчивается на 9, то и куб его оканчиватся на 9. Выкидываем 29 и 39. Осталось 13 вариантов.
• Если число оканчивается на 4, то и куб его оканчиватся на 4. Выкидываем 24 и 34. Осталось 11 вариантов.
• Если число оканчивается на 6, то и куб его оканчиватся на 6. Выкидываем 26, 36 и 46. Осталось 8 вариантов.
• Если число оканчивается на 8, то его куб оканчиватся на 2. Значит 28³ = ****2. Повторяется двойка. 28 нам не подходит. Осталось 7 чисел.
• Если число оканчивается на 7, то его куб оканчиватся на 3. Значит 37³ = ****3. Повторяется тройка. 37 нам не подходит. Осталось 6 чисел.

Оставшиеся числа придется проверить.

• 23³ = 12167
• 27³ = 19683
• 32³ = 32768
• 38³ = 54872
• 42³ = 74088
• 43³ = 79507

Подошел только вариант 27³ = 19683.

8.

Шерлок Холмс и доктор Ватсон, работая вместе, могут вырыть канаву за 6 часов. Если бы Холмс рыл 4 часа, а затем Ватсон — 6 часов, то канава была бы вырыта на 80%. За сколько часов Холмс, работая в одиночку, вырыл бы эту канаву?

Ответ Решение

Ответ. За 10 часов.

Решение. Если бы Холмс поработал еще 2 часа, то канава была бы вырыта полностью. За эти два часа Холмс сделал бы оставшиеся 20% работы. Если за два часа он делает 20% работы, то 100% он выполнит за 2 ч × ¹⁰⁰/₂₀ = 10 ч.