|
Кружок 8 класса
Руководители Екатерина и Евгений Адищевы 2004/2005 учебный год
Версия для печати
Листок 5. Опять делимость и остатки.
- 0.
-
a) Спрячьте калькулятор в сумку b) а теперь докажите, что сумма
84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 делится на 7 и на 87.
- 1.
-
Найдите все пары целых чисел a и b, для которых
a) a² − b² = 9;
b) a² − b² = 12.
- 2.
-
Отметьте на числовой оси все натуральные числа, которые при
делении на 7 дают остаток 2. (Нарисуйте отрезок числовой оси от −20 до +20).
- 3.
-
Какие остатки может давать точный квадрат при делении на 3?
- 4.
-
Существуют ли такие два числа a и b, что a² − 3b² = 8?
Подсказка
- 5.
-
А какие остатки может давать точный квадрат при делении на 4?
- 6.
-
Известно, что a² делится на a − b. Докажите, что b² тоже делится на a − b.
- 7.
-
a² + b² делится на 21. Докажите, что a² + b² делится на 441.
- 8.
-
Докажите, что число (n³ + 2n) делится на 3 при любом n.
- 9.
-
Докажите, что число (53n − 14n + 27n − 14) делится на 13 при
любом n.
- 10.
-
Докажите, что дробь
несократима при любом n.
- 11.
-
Сумма двух цифр a+b делится на 7. Докажите, что число (aba)10
делится на 7.
- 12.
-
Найдите число, дающее при делении на 2 остаток 1, при делении на 3
остаток 2, на 4 — остаток 3, на 5 — остаток 4, на 6 — остаток 5,
на 7 — остаток 6.
- 13.
-
Число a четно, но не делится на 4. Докажите, что у этого числа
четных и нечетных делителей поровну. (Например, у a=10 есть два четных
делителя 2 и 10 и два нечетных — 1 и 5.)
- 14.
-
Какое наибольшее число различных целых чисел можно выбрать,
чтобы разность любых двух из них не делилась на 15.
- 15.
-
Число дает остаток 6 при делении на 12. a) Может ли оно давать остаток
12 при делении на 20? b) Остаток 5 при делении на 13? c) Остаток
18 при делении на 24?
- 16.
-
Докажите, что число и сумма его цифр (в 10-чной системе счисления)
имеют одинаковые остатки при делении на 9.
- 17.
-
Натуральное число увеличили на 1. Могла ли сумма его цифр возрасти на 8?
Уменьшиться на 8? Уменьшиться на 10?
- 18.
-
Докажите, что если a и 5a имеют одинаковую сумму цифр, то a делится на 9.
- 19.
-
Составьте таблицы сложения и умножения a) по модулю 6, b) по модулю 5.
c) Верно ли, что в любой строке и любом столбце такой таблице всегда
встретятся все остатки ровно по одному разу?
- 20.
-
Рассмотрим последовательность остатков от деления чисел
5, 2·5, 3·5 ... на 8. Докажите, что она периодична
и найдите период.
- 21.
-
Последовательность остатков от деления a, 2a, 3a ...
на 12 периодична для любого целого числа a. Докажите. Какие периоды возможны?
- 22.
-
Верно ли утверждение задачи 21 для остатков от деления на 11,
и какие периоды возможны тут?
- 23.
-
Найдите натуральное число n, такое, что 5n ≡ 1 (mod 3).
Найдите все такие числа.
- 24.
-
Пусть p — простое число. Докажите, что для любого некратного ему
натурального числа a найдется натуральное число b, такое, что
ab ≡ 1 (mod p). (Прежде, чем решать, вспомните задачу 22)
- 25.
-
- a)
- Рассмотрите последовательность остатков от деления на 3
степеней двойки: 2, 2²=4, 2³=8 ... Докажите, что она периодична.
- b)
- Докажите то же самое для остатков от деления на 5.
- c)
- Докажите, что последовательность остатков от деления на 13
степеней любого числа a: a, a², a³ ..., периодична.
|