МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Версия для печати

Занятие 0. Письменная работа (02.10.2004)

1.

Сундук, полный золота, весит 32 пуда, а сундук, заполненный золотом наполовину, весит 17 пудов. Сколько весит пустой сундук?

Ответ Решение

Ответ. 2 пуда

Решение. Сундук и все золото весят 32 пуда, а сундук и половина золота — 17 пудов. Поэтому другая половина золота весит 32 − 17=15 пудов. Тогда масса всего золота равна 15·2=30 пудов. А, значит, сундук весит 32 − 30=2 пуда.

2.

На поджаривание котлеты с одной стороны уходит 2 минуты. На сковородке помещается 2 котлеты. Можно ли поджарить три котлеты с обеих сторон за 6 минут?

Ответ Решение

Ответ. Да, можно.

Решение. Первые две минуты жарим две котлеты с одной стороны. После этого одну котлету переворачиваем и жарим с другой стороны, а другую убираем со сковороды и вместо нее кладем третью котлету. Прошло четыре минуты. У нас есть одна полностью пожаренная котлета и две котлеты, пожаренные с одной стороны. Пожаренную котлету снимаем и следующие две минуты жарим оставшиеся две котлеты с одной стороны.

3.

В равенстве ** + ***=**** все цифры заменены звездочками. Восстановите равенство, если известно, что каждое из трех чисел не меняется при перестановке его цифр в обратном порядке.

Ответ Решение

Ответ. 22 + 979=1001

Решение. Двузначное число в сумме с трехзначным не могут составить больше, чем 99 + 999=1998. Поэтому первая цифра в четырехзначном числе (а, значит, и последняя) равна единице. Значит, равенство имеет вид ** + ***=1**1.
Если в трехзначном числе первая цифра — восемь или меньше, то сумма получится меньше тысячи, поскольку 99 + 898=997. Значит, в трехзначном числе первая цифра — девять, и равенство имеет вид ** + 9*9=1**1.
Очевидно, что последняя цифра двузначного числа равна двум. Получаем 22 + 9*9=1**1.
В четырехзначном числе оставшиеся цифры должны быть нулями, так как даже 22 + 999=1021, то есть, последнее число — 1001. Отсюда легко находим недостающую цифру.

4.

Крокодилу Гене на День рождения подарили девять конфет и шоколадный торт. Чебурашка предложил ему сыграть в такую игру: они по очереди съедают одну или две конфеты. Начинает крокодил Гена. Тому, кто съедает последнюю конфету, достается шоколадный торт. Как должен играть Чебурашка, чтобы гарантированно получить торт?

Решение

Решение. Чебурашка получит торт, если будет играть следующим образом:
Если Гена берет одну конфету, то Чебурашка следующим ходом должен брать две конфеты, а если Гена берет две конфеты, то Чебурашка своим следующим ходом берет одну.
После первой пары ходов (то есть после того, как Гена и Чебурашка сделают по одному ходу) останется 6 конфет. После второй пары ходов останется 3 конфеты. Тогда после этого Гена может съесть только одну или две конфеты, и Чебурашка следующим ходом съест все оставшиеся.