МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Избранные задачи домашней олимпиады А.В. Спивака
для 6-8 классов.
2002-2003 учебный год.
Часть V

41.	Может ли каждое из некоторых четырех различных натуральных чисел делиться на разность любых двух из трех остальных? Ответ   Решение Ответ. Нет. Решение. Если a < b < c < d - данные числа, то числа b и c по условию должны делиться на d - a. Но тогда и разность c - b должна делиться на d - a, хотя 0 < c - b < d - a.
42.	При каком наибольшем n можно расставить на шахматной доске n ферзей, n королей и n слонов так, что ни одна из фигур не бьет другую? Ответ   Указание   Решение Ответ. 4. Указание. 5 ферзей, 5 слонов и 5 королей расставить невозможно. Ведь если на доске стоят даже не 5 ферзей, а 5 ладей, которые не бьют друг друга, то свободны от ладей лишь 3 горизонтали и 3 вертикали, на пересечении которых стоят лишь 3 · 3 = 9 клеток, а королей и слонов 5 + 5 = 10 > 9. Решение. Пример нужной расстановки получим, поставив королей на поля a1, a8, h1 и h8, ферзей - на b3, d7, e2 и g6, слонов - на a5, c5, f4 и h4.
43.	Клетки тетрадного листа покрашены в 5 цветов так, что всякие две соседние по стороне клетки - разного цвета. Назовем пару цветов соседствующей, если некоторые две соседние по стороне клетки покрашены именно в эти цвета. Найдите наименьшее возможное количество соседствующих пар цветов. Ответ   Начало решения   Конец решения Ответ. 5. Начало решения. Легко покрасить лист в 5 цветов: например, можно одну диагональ покрасить в первый цвет, соседние в ней диагонали - во второй цвет, соседние с ними - в третий, соседние с ними - в четвертый, соседние с ними - в пятый, соседние с ними - в четвертый, соседние с ними - в третий, и так далее. Конец решения. Доказать, что меньше 4 соседствующих пар не бывает, тоже очень легко: связный граф на 5 вершинах не может иметь менее 4 ребер.
44.	Некоторые числа представимы в виде суммы abc + ab + a, а некоторые - нет. (Например, число 1101 представимо, поскольку 1101 = 993 + 99 + 9.) Сколько существует трехзначных чисел, представимых в виде суммы abc + ab + a? Ответ   Решение Ответ. 801. Решение. Поскольку всего трехзначных чисел 900 штук, а в интересующем нас виде никакое число не представимо более чем одним способом, то достаточно заметить, что неравенству abc + ab + c < 999 удовлетворяют в точности те числа abc, которые начинаются с цифры 9, кроме числа 900.
45.	Перед боем с врагами народа у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него в 9 раз больше патронов, чем у Петьки. Докажите, что изначально количество патронов у Василия Ивановича делилось на 71. Решение Решение. Пусть до боя с врагами народа у Василия Ивановича было x патронов, а израсходовал он 8y патронов. Тогда перед боем у Петьки было тоже x патронов, а израсходовал он y патронов. Тогда x - y = 9(x - 8y), откуда 71y = 8x, так что 8x делится на 71. Поскольку число 71 простое, из делимости числа 8x на 71 следует делимость на 71 и самого числа x.
46.	Найдите наименьшие возможные значения сторон изображенного на рисунке прямоугольника, который разбит на квадраты с целыми сторонами. Ответ   Указание Ответ. 422×593. Указание. Стороны всех квадратов выразите через стороны трех самых маленьких из них. Приравняв друг другу выражения для противоположных сторон прямоугольника, решите полученную систему уравнений в натуральных числах.
47.	Соревнуются 8 команд. Каждые две команды встречаются один раз; за выигрыш команды получают 2 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш - 0. Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четверку?
48.	а) В ряд выписали 101 целое чисел и вычислили все 100 сумм пар последовательных чисел. Может ли половина вычисленных сумм равняться числу 100, а половина - числу -100? б) В ряд выписали 100 целых чисел и вычислили все 100 сумм троек последовательных чисел. Может ли половина вычисленных сумм равняться числу 100, а половина - числу -100?
49.	Пусть n - натуральное число. Найдите наибольший общий делитель чисел n2 + 10n + 21 и n2 + 9n + 18. Ответ   Решение Ответ. n + 3. Решение. Воспользуемся формулами n2 + 10n + 21 = (n + 3) · (n + 7) и n2 + 9n + 18 = (n + 3) · (n + 6). Для любого натурального n число (n + 6) взаимно просто с числом (n + 7), поскольку на наибольший общий делитель делится разность этих двух чисел, а эта разность равна 1.
50.	Разрежьте изображенную на рисунке фигуру на 4 конгруэнтные части несколькими разными способами. (Резать можно только по сторонам клеточек.) I способ  II способ  III способ  IV способ I способ. II способ. III способ. IV способ.