|
Избранные задачи домашней олимпиады А.В. Спивака
для 6-8 классов.
2002-2003 учебный год.
Часть II
|
11.
| За каждую решенную задачу участник заочного конкурса получает столько баллов, сколько других зарегистрированных учаcтников ее не решили. Вовочка набрал меньше всех баллов, но в последний момент уговорил нескольких своих друзей зарегистроваться для участия в турнире. Мог ли в результате этого он набрать больше всех баллов?
| |
12.
| Известно, что ляпусики, у которых есть варкала, не все бармаглоты. Кроме того, у тех ляпусиков, которые умеют хрюкотать и при этом не бармаглоты, варкал нет. Верно ли, что не все ляпусики, у которых есть варкала, умеют хрюкотать?
| |
13.
| Какое наибольшее число ладей может стоять на шахматной доске, если половина из них белые, половина - черные, причем никакая белая ладья не бьет никакую черную? |
Ответ
Указание | |
|
Указание. Можно расставить 16 белых ладей в первые четыре вертикали и нижние четыре горизонтали, а 16 черных - в последние четыре вертикали и верхние четыре горизонтали. | | |
| |
14.
| Решите ребус ТИК + ТАК = АКТ.
|
Ответ Решение
|
Ответ. Три способа: 216 + 246 = 462, 261 + 251 = 512 и 432 + 492 = 924. | |
|
Решение. Число АКТ трехзначное, поэтому Т < 5. Поскольку слагаемые оканчиваются на одну и ту же цифру (а именно, на цифру К), то Т - четная цифра. Значит, Т = 2 или 4.
Разберем сначала случай Т = 2. Очевидно, К = 1 или 6. Если К = 1, то А = 4 (и тогда из рассмотрения разряда десятков находим И = 7, что приводит к переносу из разряда десятков в разряд сотен, которого в рассматриваемом случае нет) или А = 5, И = 6. Мы получили одно из решений ребуса:
261 + 251 = 512.
Далее, если К = 6, то или А = 4, И = 1,
что дает решение
216 + 246 = 462,
или же А = 5, И = 0, что невозможно из-за отсутствия необходимого переноса из разряда десятков в разряд сотен.
Теперь рассмотрим случай Т = 4, то есть К = 2 или 7. В случае К = 2 необходим перенос из разряда десятков в разряд сотен, так что А = 9, И = 3, что дает решение
432 + 492 = 924.
Наконец, если К = 7, то опять-таки необходим перенос, следовательно, А = 9 и должно быть выполнено равенство И = 7, которое противоречит равенству К = 7 (ведь разные буквы обозначают в ребусе разные цифры!). | |
|
|
|
15.
| Существуют ли такие цифры Г и У, что число УГУ делится на 13, а число ГУГ - не делится? | Ответ
Указание | |
Указание. Разность ГУГ - УГУ равна 100Г + 10У + Г - (100У + 10Г + У),
что равно 91Г - 91У. Поскольку 91 = 13 · 7, число 91 (следовательно, и ГУГ - УГУ) делится на 13. | |
|
| |
16.
| Придумайте три таких натуральных числа, что если к каждому из них прибавить его наибольший простой делитель, то получится один и тот же результат. | Ответ
| | Ответ.
Например, 130 = 128 + 2 = 125 + 5 = 117 + 13. | |
|
| |
17.
|  Три русалки нашли в море старинную амфору. Одна сказала, что ее изготовили финикийцы в V веке до н.э., вторая - что ее сделали греки в III веке до н.э., а третья сказала, что амфора не греческая и изготовлена она в IV веке до н.э. Нептун сказал, что каждая из них права наполовину. В каком веке и каким народом, по мнению Нептуна, изготовлена амфора?
| Ответ | |
Ответ. Финикийцы в III веке до н.э. | |
|
| |
18.
| Знайка и Незнайка делят торт прямоугольной формы. Незнайка, надеясь получить побольше торта, предложил следующую процедуру. Сначала Знайка, а потом Незнайка делают по два прямолинейных разреза так, чтобы торт оказался разрезан на 9 кусков. После этого Незнайка выбирает себе либо те 4 куска, которые на рисунке заштрихованы, либо 5 других кусков. Сможет ли Знайка получить половину торта? 
| Ответ | |
Ответ. Знайка может мысленно разделить торт тремя вертикалями на 4 равные части. Если он разрежет торт по левой и правой из этих трех вертикалей, то Знайка получит половину торта. | |
|
| |
19.
| На доске размером 4×4 стоит 'летучая ладья', которая ходит так же, как обычная ладья, но не может ходить на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она обойти всю доску, побывав на каждом поле по одному разу и вернувшись на исходное поле?
| Ответ
Указание | |
|
Решение. На следующем рисунке поля пронумерованы в порядке, в котором летучая ладья может их обойти:
| 5 | 11 | 6 | 12
| | 1 | 15 | 2 | 16
| | 8 | 10 | 7 | 9
| | 4 | 14 | 3 | 13 |
| |
|
| |
20.
| Вовочка пришел сдавать компьютерный тест. На экране появились 6 вопросов, на каждый из которых надо ответить 'да' или 'нет'. После ответа на все вопросы компьютер вычисляет количество правильных ответов и ставит: двойку, если правильных ответов не больше двух; тройку, если три; четверку - если четыре; пятерку - если пять или шесть.
Вовочка не знал ответа ни на один из вопросов. Тем не менее по
предыдущему опыту он знал следующее: первый и последний вопросы требуют противоположных ответов; не бывает, что на три подряд вопроса ответ один и тот же; не бывает, что утвердительные и
отрицательные ответы строго чередуются; последовательность ответов на первые три вопроса не бывает в точности такой, как последовательность ответов на последние три вопроса.
Помогите Вове не получить двойку. | Ответ
Указание |
Ответ. Достаточно ответить 'да, да, да, да, да, да', и в любом случае Вовочка получит тройку. Ту же оценку он получит, если на все вопросы ответит 'нет'. | |
|
Указание. Возможны лишь следующие варианты: 001011,
001101,
010011,
011001,
101100,
100110,
110010,
110100. (Здесь 0 - 'нет', а 1 - 'да'.) | |
|
|
|
