МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Встретились три друга: Белов, Чернов и Рыжов. 'Волосы одного из нас белые, другого - черные, третьего - рыжие, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии',- заметил черноволосый. 'Ты прав',- подтвердил Белов. Какие у кого волосы?

Ответ   Указание I   Указание II

Ответ. Рыжие у Белова, белые у Чернова и черные у Рыжова.

Указание I. В таблице знаками '-' показано, что ни у кого цвет волос не соответствует фамилии. Догадайтесь, для чего в условии сказано, что Белов подтвердил слова черноволосого.   Белые Черные Рыжие Белов -     Чернов   -   Рыжов     -

Указание II. Поскольку Белов подтвердил слова черноволосого, то Белов не черноволосый, а рыжий:   Белые Черные Рыжие Белов - - + Чернов   -   Рыжов     - Следовательно, волосы Чернова не могут быть рыжими. Не являясь ни рыжими, ни черными, волосы Чернова должны быть белыми. Оставшегося - черного - цвета волосы Рыжова:   Белые Черные Рыжие Белов - - + Чернов + - - Рыжов - + -

За сутки до дождя Петин кот всегда чихает. Сегодня кот чихнул. 'Завтра будет дождь',- подумал Петя. Прав ли он?

Ответ   Решение

Ответ. Нет, Петя не прав.

Решение. Кот мог чихнуть и просто так, и по болезни. Дождя может не быть.

Рядом сидят мальчик и девочка.

- Я мальчик,- говорит черноволосый ребенок.
- Я девочка,- говорит рыжий ребенок.

Если хотя бы кто-то из них врет, кто мальчик, а кто девочка?

Ответ

Ответ. Мальчик рыжий, девочка черноволосая.

В тетради написано 100 утверждений:

В этой тетради ровно 1 ложное утверждение.
В этой тетради ровно 2 ложных утверждения.
...
В этой тетради ровно 100 ложных утверждений.

Какое из этих утверждений верно?

Ответ

Ответ. В этой тетради 99 ложных утверждений.

а) В коробке карандаши не все одной длины и не все одного цвета. Докажите, что есть два карандаша, отличающиеся и по цвету, и по длине.

Решение

Решение. Возьмем два карандаша разной длины. Если они разного цвета, то условие выполнено. Если одинакового, возьмем третий карандаш другого цвета. Он отличается по длине хотя бы от одного из первых двух карандашей.

б) В магазин привезли платья трех цветов и трех фасонов. Можно ли выбрать для витрины 3 платья, чтобы были представлены все цвета и фасоны?

Ответ   Указание I   Указание II

Ответ. Нет, это не всегда возможно.

Указание I. Cмотрите и думайте:

Указание II. Если любое платье либо первого цвета, либо первого фасона, то невозможно выбрать три платья разного цвета.

- У Вовы больше тысячи книг,- сказал Ваня.
- Нет, книг у него меньше тысячи,- возразила Аня.
- Одна-то книга у него наверняка есть,- сказала Маня.
Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Вовы?

Предупреждение I   Предупреждение II   Ответ

Предупреждение I. Не забудьте, что Вова может быть новым русским, у которого нет ни одной книги.

Предупреждение II. Нельзя утверждать, что у Вовы 0 книг, поскольку у него может быть в точности 1000 книг.

Ответ. У Вовы 0 или 1000 книг.

Один из попугаев всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий - хитрец - иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос 'Кеша кто?' они ответили:

Гоша: - Лжец.
Кеша: - Я хитрец!
Рома: - Абсолютно честный попугай.

Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

Ответ   Указание   Решение

Ответ. Гоша честный, Кеша лжец, а Рома хитрец.

Указание. Честный попугай не может назвать себя хитрецом. Поскольку честных попугаев среди них всего один, то честный попугай не мог назвать честным никакого другого.

Решение. Поскольку Кеша назвал себя хитрецом, то Кеша не может быть честным попугаем. Аналогично, если бы Рома был честным, то честным был бы и Кеша, но честный попугай только один. Следовательно, Гоша - честный; в силу его слов Кеша - лжец. Роме остается только роль хитреца.

До царя дошла весть, что кто-то из трех богатырей убил Змея Горыныча. Приказал царь им явиться ко двору. Молвили богатыри:

Илья Муромец: - Змея убил Добрыня Никитич.
Добрыня Никитич: - Змея убил Алеша Попович.
Алеша Попович: - Я убил змея.

Известно, что только один богатырь сказал правду, а двое слукавили. Кто убил змея?

Ответ   Решение

Ответ. Змея Горыныча убил Добрыня Никитич.

Решение. Добрыня Никитич и Алеша Попович сказали одно и то же, поэтому правду сказал Илья Муромец.

В конференции участвовало 100 человек - химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: 'Если не считать Вас, то кого больше среди остальных участников - химиков или алхимиков?' Когда опросили 51 участника, и все ответили, что алхимиков больше, опрос прервался. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков среди участников?

Ответ   Решение

Ответ. Химиков и алхимиков поровну.

Решение. Если больше химиков, то любой химик так и скажет, если его спросят; но среди 51 опрошенных обязательно есть химик; противоречие. Если же больше алхимиков, то любой алхимик соврет (если его спросят, разумеется!), то есть скажет, что больше химиков; но среди 51 опрошенных хотя бы один - алхимик.

а) Алеша, Боря, Ваня и Гриша соревновались в беге. На вопрос, кто какое место занял, они ответили:

Алеша: - Я не был ни первым, ни последним.
Боря: - Я не был последним.
Ваня: - Я был первым.
Гриша: - Я был последним.

Известно, что три из этих ответов правильные, а один - неверный. Кто сказал неправду?

Ответ   Указание

Ответ. Соврал Ваня.

Указание. Если предположить, что соврал Алеша, то он был первым или последним, но тогда еще соврал Ваня или Гриша, а это противоречит условию: неправду сказал только один из мальчиков. Аналогично легко рассмотреть и другие случаи.

б) В трех ящиках находятся мука, крупа и сахар. На первом написано 'Крупа', на втором - 'Мука', на третьем - 'Крупа или сахар'. Содержимое ни одного из ящиков не соответствует надписи на нем. Где что находится?

Ответ   Указание   Решение

Ответ. В первом - сахар, во втором - крупа, в третьем - мука.

Указание. В третьем ящике не крупа и не сахар. Следовательно, в нем мука.

Решение. В первом ящике не крупа. Но там и не мука, поскольку мука в третьем ящике. Следовательно, в первом ящике - сахар. Тогда во втором ящике (единственное, что осталось) - крупа.

в) Клоуны Бам, Бим и Бом вышли на арену в красной, синей и зеленой рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были зеленые, а рубашка - нет. Каких цветов были туфли и рубашки у Бома и Бима?

Ответ   Указание   Решение

Ответ. Рубашка Бама синяя, а Бома - зеленая.

Указание. Туфли Бома не могут быть ни красными, ни зелеными (ибо зеленые туфли у Бама).

Решение. Поскольку туфли Бама зеленые, то туфли Бома не могут быть ни красными, ни зелеными. Значит, они синие. Биму остаются красные туфли. Поэтому и рубашка у него красная. Тогда рубашка Бама синяя, а Бома - зеленая.

г) В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Ответ

Ответ. Молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, вода в стакане.

д) На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Валей. Кто какое платье носит?

Ответ

Ответ. Аня в белом платье, Валя в голубом, Галя в зеленом, Надя в розовом.