|
Делимость
Целое число a делится на целое число b, если существует такое целое число k, что a = kb.
201.
| а) К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
Ответ
Указание | Ответ.
Это можно сделать шестью способами: 3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155. | |
|
Указание. Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 3. Значит, последней цифрой должна быть одна из цифр 0 и 5; осталось в каждом из этих двух случаев подобрать первую цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. | |
|
б) К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72. Указания
Ответ
| Указания. - Число делится на 72 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 8.
- Число делится на 8 тогда и только тогда, когда его три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
- Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
| |
|
|
|
202.
| Некоторое число делится на 4 и на 6. Обязательно ли оно
делится на 24? Ответ
Решение |
|
Решение. Число 12 делится как на 4, так и на 6, но не делится на 24. | | |
|
203.
| Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу. Ответ
Решение | | Решение.
Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 4. Сумма всех десяти цифр делится на 9, поэтому любое число, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу, делится на 9. Самым большим таким числом является число 9876543210. Но оно не делится на 4 (ибо число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4). Нужно добиться делимости на 4, минимально уменьшив при этом число. Очевидно, число 9876543120 делится на 4. Больше него только числа 9876543210 и 9876543201, которые на 4 не делятся. | |
|
|
204.
| На доске написано: 645*7235. Замените звездочку цифрой так, чтобы полученное число делилось на 3. Ответ
| Ответ. Звездочку можно заменить одной из цифр 1, 4, 7. | |
|
|
205.
| Замените звездочки в записи числа 72*3* цифрами так, чтобы число делилось без остатка на 45. Указание
Ответ |
Указание. Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9. | | |
|
|
206.
| В стране Анчурии в обращении имеются купюры следующих достоинств: 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать миллион анчуров так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр?
Ответ
Указание
Решение |
|
Указание. Числа 1, 10, 100, 1000, 1000000 дают остаток 1 при делении на 9. | |
| Решение. Номинал каждой купюры дает остаток 1 при делении на 9. Значит, сумма денег, отсчитанная полумиллионом купюр, дает такой же остаток при делении на 9, что и число 500000, то есть 5. Однако, число 1000000 дает остаток 1 при делении на 9. | |
|
|
207.
| а) Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.
б) Решите ребус АБ - БА = А.
Ответ
Указание
| Ответ. а) 98; б) 98 - 89 = 9.
| |
|
Указание. Составьте уравнение (10a + b) - (10b + a) = a. | |
|
|
208.
| Верно ли, что если записать в обратном порядке цифры любого целого числа, то разность исходного и нового чисел будет делиться на 9? Ответ
Указание | | Указание.
Натуральное число дает при делении на 9 такой же остаток, как и сумма его цифр (докажите это!). Поэтому числа, отличающиеся лишь перестановкой цифр, дают одинаковые остатки при делении на 9 - это означает, что их разность делится на 9. | |
|
|
209.
| Найдите все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется после умножения ни на 2, ни на 3, ни на 4, ..., ни на 8,
ни на 9. Ответ
Решение | | Решение.
Пусть n - искомое число, а s(n) - сумма его цифр. Так как число 9n делится на 9, то и сумма его цифр s(9n) делится на 9, а поскольку по условию
s(9n) = s(n), то и само число n делится на 9. Итак, искомые числа находятся среди следующих: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99. Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли эти числа условию задачи,
то есть умножить каждое из них на 2, 3, 4, ..., 8, 9 и посмотреть, не изменилась ли сумма цифр. | |
|
|
210.
| Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 528? Ответ
Указание
Решение | Ответ. Нет, не существует. | |
|
Указание. Разложите число 528 на простые множители. | |
|
Решение. Поскольку 528 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 11,
то всякое число, делящееся на 528, делится и на 11. Но никакая ненулевая цифра не делится на 11. | |
|
|
211.
| Сколько цифр в числе 11...11, если оно делится без остатка на 999 999 999? Ответ
Указание | Ответ. Количество цифр может быть любым, кратным 81. | |
|
Указание. 999 999 999 = 111 111 111 · 9. Значит, рассматриваемое число должно делится на 111 111 111, а полученное в результате этого деления частное должно делиться на 9. | |
|
| 212.
| В числе переставили цифры и получили число, в 3 раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делится на 27. Указание
Решение | Указание.
Вспомните признаки делимости на 3 и на 9. | |
|
Решение. Пусть A - исходное число, B - число, в три раза меньшее A, полученное из A путем перестановки цифр. Поскольку A = 3B, то A делится на 3. Это значит, что и B делится на 3, так как сумма цифр числа B равна сумме цифр числа A. Таким образом,
B = 3m,
где m - целое, и
A = 3B = 9m.
следовательно, A делится на 9. Значит, B тоже делится на 9 (делимость на 9 определяется, как и делимость на 3, суммой цифр числа), а поэтому
A = 3B = 3 · 9 n = 27n
делится на 27. | | |
|
213.
| К числу прибавили сумму его цифр. К полученному числу прибавили сумму его цифр, и так далее. Когда в седьмой раз к числу прибавили сумму его цифр, получили 1000. С какого числа начали?
|
214.
| Незнайка перемножил все числа от 1 до 100. Посчитал сумму цифр произведения. У полученного числа он снова посчитал сумму цифр, и так далее. В конце концов Незнайка получил однозначное число. Какое? Ответ
Комментарий
Указание | |
Комментарий. На компьютере легко посчитать, что число 100! - произведение первых 100 натуральных чисел - равно
93326215443944152681699238856266700490715968264381621
46859296389521759999322991560894146397615651828625369
7920827223758251185210916864000000000000000000000000,
всего 158 цифр. Зная это, нетрудно вычислить, что сумма цифр числа 100! равна 648, так что сумма цифр суммы цифр равна 18, а сумма цифр суммы цифр суммы цифр числа 100! равна 9. Но нельзя ли решить задачу без таких вычислений? |
|
| Указание. Вспомните признак делимости на 9 и заметьте, что 100! делится на 9.
| |
|
|
215.
| У каждого из чисел от 1 до 1 000 000 000 подсчитали сумму его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитали сумму цифр, и так до тех пор, пока не получили миллиард однозначных чисел. Каких чисел получили больше всего?
Ответ
Указание
Решение
| Ответ. Больше всего получилось единиц.
| |
|
Указание. Сумма цифр натурального числа n дает такой же остаток при делении на 9, как и само число n.
| | | Решение. Сумма цифр натурального числа n дает такой же остаток при делении на 9, как и само число n, поэтому все числа, кратные девяти, превратятся в конце концов в нули или девятки, все числа, дающие остаток 1 при делении на 9 - в единицы, дающие остаток 2 - в двойки, и так далее. Остается лишь заметить, что среди первого миллиона натуральных чисел остаток 1 дают 111 111 112 чисел, а остатки 2, 3, ..., 8, 0 - по 111 111 111 чисел. | |
|
|
216.
| Петя заменил в примере на умножение одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные - разными: АБ · ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он ошибся.
Указание
Решение |
Указание. Число ДДЕЕ делится на 11. | | |
Решение. Так как ДДЕЕ = 11 · Д0E, то правая часть равенства делится на 11. Если равенство верное, то на 11 должна делится и левая его часть, то есть произведение АБ · ВГ. Число 11 - простое, поэтому произведение делится на 11 только в том случае, если один из множителей делится на 11. Очевидно, ни АБ, ни ВГ на 11 не делятся. | |
|
|
217.
| а) Докажите, что числа вида
aa,
abcabc,
abcdeabcde
делятся на 11. (И вообще, докажите, что если к произвольному числу, в котором нечетное количество цифр, приписать его же, то получим число, делящееся на 11.)
Указание I
Указание II |
Указание I. Очевидно, aa = 11 · a.
Далее, abcabc = 100100a + 10010b +1001c,
а число 1001 кратно числу 11. Аналогичным образом, воспользовавшись делимостью числа 100001 на 11, можно разобрать и случай abcdeabcde. В общем случае используйте делимость на 11 любого четнозначного числа вида 1000...0001 (точнее говоря, числа, первая и последняя цифра десятичной записи которого равны единице, а остальные цифры равны нулю, причем количество нулей четно). | | |
Указание II. Воспользуйтесь признаком делимости на 11. | | |
б) Если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то полученное число без остатка разделится на 11: например, числа вида aa,
abba,
abccba кратны 11. Докажите это.
|
|