МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Версия для печати

Занятие 17 (март 1994). Делимость

Задача 1. Докажите, что сумма любых двенадцати последовательных целых чисел не делится на 4.

Задача 2. Незнайка умеет откладывать углы в 19^o . Как ему отложить угол в 1^o?

Задача 3.
а) Докажите, что если к произвольному числу с нечетным количеством цифр приписать его еще раз, то полученное число разделится на 11.
б) Докажите, что если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то полученное число также разделится на 11.

Задача 4. У числа 1994! вычислили сумму цифр. У получившегося числа вновь вычислили сумму цифр. И так далее. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.

Задача 5. Можно ли записать в клетки таблицы m*n некоторые числа так, чтобы сумма чисел в любом столбце была положительной, а сумма чисел в любой строке - отрицательной?

Задача 6.
а) Хулиган Вася рвет школьную стенгазету: сначала на четыре части, потом одну из получившихся частей - еще на четыре части, и т.д. Может ли в результате получиться 1994 куска?
б) Та же задача, что и в п. а), но Васе помогает Петя, который рвет куски газеты на семь частей

Задача 7. Существует ли набор из 100 различных чисел, произведение любых пяти из которых делится на сумму этих ста чисел?

Указания для преподавателей

Сначала рекомендуется обсудить выделенные утверждения на страницах 38, 39 "The Red Book (рыженькой книжечки)". (желательно, чтобы дети сами их придумали из примеров; в признаке делимости на 11 стоит их "обмануть" - они наверняка скажут, что суммы должны быть равны)

Задача 0. Сформулировать и доказать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11.