Лектор: Малых М.Д.

Отчетность: зачет.

Программа курса:

1. Решения в виде степенного ряда. Локальная теорема Коши. Теорема Пенлеве о единственности решения. Теорема Реллиха о целых частных решениях.
2. Понятие многозначной аналитической функции по Вейерштрассу и его связь с решением задачи Коши. Ветвь аналитической функции, особые точки и их классификация. Патологические примеры: непродолжаемые ряды, парадокс Якоби.
3. Линейные дифференциальные уравнения. Теорема Фукса. Теорема о монодромии и описание многозначности решения. Примеры.
4. Подвижные особые точки нелинейных дифференциальных уравнений. Две теоремы Пенлеве.
5. Задача многих тел. Теоремы Вейерштрасса и Пенлеве об аналитических свойствах решения задачи n тел. Регуляризирующее преобразование по Бурде и решение Зундмана задачи трех тел.
6. Уравнения, разрешимые в 'конечном виде', и различные подходы к их классификации. Особая роль уравнения Риккати и эллиптических функций в теории уравнений 1-го порядка.
7. Общее решение как функция независимой переменной. 'Свойство Пенлеве' и 'тест Пенлеве' на примере уравнения первого порядка. Трудности теории, пример Шази.
8. Общее решение как функция констант. Задача Пенлеве об отыскании всех дифференциальных уравнений, общее решение которых зависит от констант алгебраически.
9. Эллиптические функции, их основные свойства и представления в виде рядов. Задача о колебании маятника.

Рекомендуемая литература:

• Голубев В.В. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. М.-Л., 1950.
• Айнс Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 2006.
• Зигель К. Лекции по небесной механики. М.-Ижевск, 2003.
• Маршал К. Задача трех тел. М.-Ижевск: ИКИ, 2004.

Доступные материалы:

• Основания аналитической теории дифференциальных уравнений. Теория Зундмана задачи трех тел.
  • Зундман К. Мемуар о задаче трех тел// Acta Mathematica. Bd. 36. P. 14-179 (1912).