Обратные задачи геофизики

Лектор: профессор Ягола А.Г.

1. Некоторые понятия функционального анализа. Элементы выпуклого программирования. Выпуклые и сильно выпуклые функционалы. Методы минимизации: скорейший спуск, метод сопряженных градиентов, метод Ньютона и др.
2. Корректность и некорректность математической постановки задачи. Примеры корректных и некорректных задач. Понятие регуляризирующего по А.Н.Тихонову алгоритма решения некорректной задачи. Классификация обратных задач. Основные свойства регуляризуемых некорректно поставленных задач.
3. Некорректно поставленные задачи на компактах. Понятие квазирешения. Численные методы решения некорректно поставленных задач на множествах монотонных и выпуклых функций. Оценка погрешности решения линейных некорректных задач на выпуклых компактах.
4. Некорректно поставленные задачи при условии истокообразной представимости искомого решения. Метод расширяющихся компактов. Апостериорная оценка погрешности.
5. Подход А.Н.Тихонова к построению регуляризирующих алгоритмов. Линейный случай. Априорные и апостериорные методы выбора параметра регуляризации. Теоремы о сходимости. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода. Уравнения типа свертки.
6. Нелинейные некорректные задачи. Регуляризирующие алгоритмы их решения. Кусочно-равномерная регуляризация.
7. Итеративная регуляризация и другие подходы.
8. Обратная задача теории потенциала для геомагнитных и гравитационных полей. Прямые задачи для некоторых тел (шар, прямолинейный стержень, бесконечно длинный круглый или эллиптический цилиндр, горизонтальный или наклонный пласт).
9. Обратная кинематическая задача сейсмологии (обращение годографа).
10. Обратная задача сейсмометрии (восстановление истинных смещений грунта по записям сейсмографа).

Литература:

1. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.
2. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.
3. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.
4. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.
5. Логачев А.А., Захаров В.П. Магниторазведка. Л.: Недра, 1973.
6. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. М.: Мир, т. 1, 2, 1983.
7. Новиков Г.Ф. Радиометрическая разведка. Л.: Недра, 1989.

1. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.