Введение во фрактальный анализ

Лектор: ст. научный сотрудник ИППИ РАН Соболевский А.Н.

Отчетность: При желании слушателя он может сдать экзамен по прослушанному разделу и получить запись в зачетной книжке.

Продолжительность цикла: 4-5 лекций

Аннотация:

Понятия "фрактальное множество", "фрактальная размерность", "мультифрактальный спектр" прочно вошли в современный аппарат науки о сложных системах, будь то нелинейная динамика, теория турбулентности или теория критических явлений. Цель мини-курса - рассказать об основах и некоторых более тонких вопросах фрактального анализа, не "срезая углов" (что всегда чревато ошибками), но и не теряя из виду красивую геометрическую суть предмета.

Программа курса.

• Лекция 1: Простейшие примеры фрактальных множеств и мер: канторово множество средних третей, кривая Кох, "канторова пыль". Геометрия фрактальных множеств, мера Лебега и дробная размерность. "Боксовая размерность": эквивалентные определения, свойства, примеры. Недостатки "боксовой размерности" как характеристики фрактальной структуры;
• Лекция 2: Конструкция Каратеодори. Мера Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа-Безиковича. Основные свойства и методы вычисления размерности Хаусдорфа-Безиковича. Лемма Фростмана, потенциалы и спектральный подход к вычислению размерности. Плотность фрактального множества, регулярные и иррегулярные точки. Определения размерности, включающие более тонкие асимптотики.
• Лекция 3: Мультифрактальные меры, мультифрактальный спектр и его вычисление. Вогнутые функции и преобразование Лежандра. Спектр размерностей Реньи. Связь с теорией больших уклонений, неравенство Бернштейна.
• Лекции 4, 5: Обзор некоторых применений фрактальных моделей в физике. Теория турбулентности: каскады, теория Колмогорова и отклонения от нее, перемежаемость. Нелинейная динамика: равновесные меры, энтропия и показатели Ляпунова. Броуновское движение и родственные ему случайные процессы.