Согласно Государственному образовательному стандарту послевузовского образования и в соответствии с Положением о проведении спецкурсов для аспирантов кафедры математики аспирант обязан прослушать три спецкурса по его выбору (согласованному с научным руководителем) и выдержать по ним устные экзамены.

Спецкурс кафедры математики представляет собой семестровый курс лекций (2 часа в неделю), сопровождаемый самостоятельными и практическими работами. Вместо спецкурса кафедры математики аспирант может прослушать и сдать экзамен по спецкурсу, читаемому для аспирантов физического факультета на другой кафедре. Полный перечень спецкурсов можно получить в отделе аспирантуры.

Некорректно поставленные задачи

Лектор: профессор Ягола А.Г.

В курсе изложены основные понятия и результаты Тихоновской теории линейных и нелинейных некорректных задач. Изучены численные методы регуляризации некорректных задач, основанные на методах минимизации невязки и функционала А.Н.Тихонова.

В качестве приложений рассмотрены некоторые обратные задачи математической физики и линейной алгебры.

Курс предлагается аспирантам кафедры математики, а также других кафедр физического факультета, заинтересованным в изучении численных методов решения обратных и некорректно поставленных задач.

Программа курса:

1. Элементы выпуклого программирования. Выпуклые и сильно выпуклые функционалы. Методы минимизации: скорейший спуск, метод сопряженных градиентов, метод Ньютона и др.
2. Корректность и некорректность математической постановки задачи. Примеры корректных и некорректных задач. Понятие регуляризирующего по А.Н.Тихонову алгоритма решения некорректной задачи. Классификация обратных задач. Основные свойства регуляризуемых некорректно поставленных задач.
3. Некорректно поставленные задачи на компактах. Понятие квазирешения. Численные методы решения некорректно поставленных задач на множествах монотонѓных и выпуклых функций. Оценка погрешности решения линейных некорректных задач на выпуклых компактах. Приложения: обратные задачи астрофизики и электронной микроскопии.
4. Некорректно поставленные задачи при условии истокообразной представимости искомого решения. Метод расширяющихся компактов. Апостериорная оценка погрешности. Приложения: обратные задачи электронной микроскопии.
5. Подход А.Н.Тихонова к построению регуляризирующих алгоритмов. Линейный случай. Априорные и апостериорные методы выбора параметра регуляризации. Теоремы о сходимости. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода. Уравнения типа свертки. Аппроксимация нормальных псевдорешений систем линейных алгебраических уравнений. Численные методы. Приложения: обработка изображений, обратные задачи геофизики и электронной микроскопии.
6. Нелинейные некорректные задачи. Регуляризирующие алгоритмы их решения. Кусочно-равномерная регуляризации. Метод минимальной псевдообратной матрицы. Применение регуляризирующих алгоритмов к решению обратных задач математической физики (обработка данных в колебательной спектроскопии).
7. Итеративная регуляризация и другие подходы.

Литература:

1. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.
2. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.
3. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.
4. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

1. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П.. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
3. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1985.
4. Кочиков И.В., Курамшина Г.М., Пентин Ю.А., Ягола А.Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.