Обратные и некорректно поставленные задачи математической физики

Научная группа под руководством профессора А.Г.Яголы занимается разработкой теории и численных методов исследования обратных и некорректно поставленных задач математической физики. В качестве основного объекта рассматривается операторное уравнение:

где A - линейный оператор, действующий из гильбертова пространства Z в гильбертово пространство U. Требуется найти решение операторного уравнения z, соответствующее заданной неоднородности (или правой части уравнения) u.

Такое уравнение является типичной математической моделью для многих физических, так называемых обратных, задач, если предполагать, что искомые физические характеристики z не могут быть непосредственно измерены, а в результате эксперимента могут быть получены только данные u, связанные с z с помощью оператора A. Французским математиком Ж.Адамаром были сформулированы следующие условия корректности постановки математических задач, которые мы рассмотрим на примере записанного операторного уравнения. Задача решения операторного уравнения называется корректно поставленной (по Адамару), если выполнены следующие три условия:

1. решение существует ;
2. решение единственно;
3. если , , , то .

Условие (2) обеспечивается тогда и только тогда, когда оператор A является взаимно однозначным (инъективным). Условия (1) и (2) означают, что существует обратный оператор , причем его область определения D() (или множество значений оператора A, R(A)) совпадает с U. Условие (3) означает, что обратный оператор является непрерывным, т.е. 'малым' изменениям правой части u соответствуют 'малые' изменения решения z. Более того, Ж. Адамар считал, что только корректные задачи должны рассматриваться при решении практических задач. Однако хорошо известны примеры некорректно поставленных задач, к изучению и численному решению которых приходится прибегать при рассмотрении многочисленных прикладных задач.

Многочисленные обратные (в том числе и некорректные) задачи можно найти в различных областях физики. Так, астрофизик не может активно воздействовать на процессы, происходящие на далеких звездах и галактиках, ему приходится делать заключения о физических характеристиках весьма удаленных объектов по их косвенным проявлениям, доступным измерениям на Земле или вблизи Земли (на космических станциях). Прекрасные примеры некорректных задач можно найти в медицине, прежде всего, нужно отметить вычислительную (или компьютерную) томографию. Хорошо известны приложения некорректных задач в геофизике (на самом деле, легче и дешевле судить о том, что делается под поверхностью Земли, решая обратные задачи, чем заниматься бурением глубоких скважин), радиоастрономии, спектроскопии, ядерной физике, электронной микроскопии и т.д., и т.п. Именно поэтому выдающимся российским математиком академиком А.Н.Тихоновым были разработаны основы теории некорректно поставленных задач, развитой в работах академика М.М.Лаврентьева, члена-корреспондента АН СССР В.К.Иванова, их учеников и последователей. Подробнее об обратных и некорректно поставленных задачах можно прочитать в прилагаемой статье и указанной там литературе. [скачать .pdf]

Страница научного семинара группы: http://matematika.phys.msu.ru/seminar/192