Неопределенность, информация и игры

Теории неопределенности. В настоящее время теоретическому описанию процессов получения, обработки, накопления, представления, передачи информации и проблемам принятия решений при наличии неопределенности уделяется исключительное внимание. Различные подходы базируются на тех или иных теориях неопределенности, которая неизбежно возникает в системах получения и преобразования информации.

Процессы преобразования информации и задачи принятия решений наиболее полно изучены в рамках теории вероятностей и математической статистики. Однако, к сожалению, теоретико-вероятностный подход нередко оказывается неадекватен по целому ряду причин. Вот к какому печальному выводу приходит 'отец алгебраической теории систем' Р. Е. Калман: 'Мы должны отрицать, что классические вероятностные структуры классической теории вероятностей, на самом деле, имеют научное отношение к описанию неопределенности'. Однако он тут же продолжает: 'Этот вывод, однако, не отрицает возможности других средств для работы с неопределенностью'.

И действительно, в последнее время серьезное развитие получили альтернативные подходы к описанию неопределенности. Например, в системах искусственного интеллекта наибольшей популярностью пользуются теория нечетких множеств и нечеткая логика.

Преобразователи информации. Под преобразователями информации можно понимать как экспериментальную установку или канал передачи данных, так и среду, через которую возмущение от исследуемого объекта передается к детектору, а также компьютер, осуществляющий обработку результатов, и т. д. В связи с этим возникает потребность как в анализе преобразователей информации, то есть разложении их на более простые системы, так и в синтезе, то есть построении сложных преобразователей информации, удовлетворяющих заданным требованиям, из более простых блоков. Так, например, цепочку: среда, детектор, канал, электронный преобразователь и компьютер, можно рассматривать как единый преобразователь информации. Наконец, особый интерес представляет вопрос о той информации об исследуемом объекте, которая может быть извлечена с помощью данного источника информации.

Для адекватного подхода к этим проблемам необходима теория, предоставляющая достаточно мощную и хорошо организованную математическую структуру (семейство преобразователей информации), удовлетворяющую определенным требованиям. А именно: на таком семействе должны быть определены некоторые операции, например, последовательная и параллельная композиции, иными словами - алгебра преобразователей информации.

Как уже отмечалось, существуют различные подходы к описанию неопределенности. Каждый такой подход порождает соответствующий класс преобразователей информации, например, стохастические, нечеткие, многозначные и др. преобразователи. Однако, несмотря на серьезные различия, классы преобразователей информации могут иметь много общего. Оказывается, если сконцентрировать свое внимание на общих для различных классов свойствах, то мы придем к математической структуре, играющей огромную роль в современной математике (и ее приложениях) и хорошо изученной, а именно: к понятию категории.

В терминах аксиоматически заданной категории преобразователей информации удается выразить фундаментальные понятия и конструкции теории вероятностей и математической статистики, играющие основную роль в задачах принятия решений. Это позволяет развивать методологию теории статистических решений в не стохастическом контексте, а именно, в контексте теории категорий. В частности, был развит байесовский подход к задачам принятия решений и доказан байесовский принцип в произвольной аксиоматически заданной категории преобразователей информации.

Информативность. Один из важнейших вопросов, возникающих при исследовании классов преобразователей информации, состоит в следующем: Что означает, что источник информации A лучше (более информативен) чем B. Грубо, подходы к характеризации информативности можно разбить на две группы.

1. Семантический подход: A информативнее чем B, если данные, полученные от источника A, позволяют получить более качественный результат, чем данные от источника B в любой задаче принятия решений.
2. Информационный подход: A информативнее чем B, если данные, полученные от A, могут быть преобразованы (ухудшены) с помощью дополнительного преобразователя информации к такому виду, какой они имели бы на выходе источника B.

Оказывается, оба эти подхода связаны теснейшим образом. В частности, в классических задачах принятия решений (к которым относятся, в частности, задачи оценивания, задачи оптимального управления и др.) чем выше информативность источника информации, тем более высокого качества принятия решений (например, точности оценивания или управления) можно достичь.

С понятием информативности неразрывно связана проблема сжатия информации без потерь. Она состоит в построении на базе данного преобразователя информации эквивалентного ему по информативности и имеющего максимально простую структуру. Интересно отметить, что такой переход позволяет нередко существенно упростить последующую обработку информации.

Игры с неполной информацией. К совершенно неожиданным и парадоксальным результатам мы приходим, когда начинаем рассматривать роль информации в играх.

Неантагонистическую игру можно рассматривать как задачу управления некоторой системой, где управление осуществляется не одним (как в классической задаче оптимального управления), а несколькими игроками, каждый из которых стремится оптимизировать свой выигрыш.

Оказывается, в теоретико-игровом контексте соотношении между информативностью и семантической информативностью имеет нетривиальный характер. В частности, использование более информативных источников информации в игре может приводить к снижению выигрышей игроков, т. е., к более низкой семантической информативности.

Стоит подчеркнуть, что теория преобразователей информации находится на стыке целого ряда математических дисциплин, таких как теория вероятностей и математическая статистика, теория игр, теория нечетких множеств, алгебраическая теория систем и теория категорий.