Новостная лента кафедры математики физического факультета МГУ


2010-12-23 13:18:19Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков (Дифференциальные уравнения. Курс лекций.)
Скачать целиком или полекционно

Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков Дифференциальные уравнения. Курс лекций. [pdf]

Оглавление: [pdf]

Глава 1. Введение

Лекция 1. [pdf]

1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.
2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл.
3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Дополнительные условия.
1. Начальная задача (задача Коши).
2. Краевая задача.
3. Периодическая задача.
4. Задача Штурма-Лиувилля (краевая задача на собственные значения).
4. Геометрическая интерпретация обыкновенного дифференциального уравнения.

Лекция 2. [pdf]

5. Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Глава 2. Уравнения первого порядка

1. Простейшие случаи интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.
1. Уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним.
2. Линейное уравнение первого порядка.
3. Уравнение Бернулли, уравнение Риккати.
4. Уравнения в полных дифференциалах.

Лекция 3. [pdf]

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения.
1. Постановка задачи. Основной результат.
2. Доказательство существования решения задачи Коши.
3. Единственность решения задачи Коши.
4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когда правая часть уравнения непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе.
5. Замечания. Примеры. Упражнения.

Лекция 4. [pdf]

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий.
1. Постановка задачи.
2. Теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра.
4. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств.
1. Постановка задачи.
2. Теорема Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.
3. Теорема Чаплыгина о существовании и единственности решения задачи Коши.
4. Примеры.

Лекция 5. [pdf]

5. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ.
1. Постановка задачи.
2. Доказательство существования решения (метод последовательных приближений).
3. Доказательство единственности решения.
4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когда правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе.
6. Уравнения n -го порядка, разрешенные относительно старшей производной.
7. Замечания, примеры, упражнения.

Глава 3. Линейные уравнения n-го порядка

Лекция 6. [pdf]

1. Общие свойства.
1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
2. Некоторые следствия линейности уравнения
2. Линейное однородное уравнение.
3. Неоднородное линейное уравнение.
1. Общее решение неоднородного уравнения.
2. Функция Коши.
3. Метод вариации постоянных.
4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
1. Общее решение однородного уравнения.
2. Неоднородное уравнение.

Глава 4. Системы линейных уравнений

Лекция 7. [pdf]

1. Общие свойства.
2. Однородная система.
1. Линейная зависимость системы вектор-функций. Определитель Вронского.
2. ФСР однородной системы и ее свойства.
3. Общее решение однородной системы.
 3. Неоднородная система.
1. Метод вариации постоянных, матрица Коши.
2. Метод исключения для системы линейных дифференциальных уравнений.
 4. Некоторые приемы, упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений и систем.
 5. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
1. Однородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
   • структура ФСР в случае простых собственных значений матрицы системы;
   • структура ФСР в случае кратных собственных значений матрицы системы.
2. Неоднородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Глава 5. Краевые задачи

Лекция 8. [pdf]

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
1. Постановка задачи.
2. Формулы Грина. Тождество Лагранжа.
3. Теорема единственности решения неоднородной краевой задачи.
4. Теорема о достаточных условиях единственности решения неоднородной краевой задачи.
5. Функции Грина и ее свойства.

Лекция 9. [pdf]

 2. Нелинейные краевые задачи
1. Постановка задачи.
2. Существования решения в случае ограниченной правой части (метод стрельбы).
3. Теорема Нагумо.
4. Примеры.

Глава 6. Основы теория устойчивости

Лекция 10. [pdf]

 1. Постановка задачи. Основные понятия.
 2. Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость тривиального решения.
 3. Второй метод Ляпунова. Лемма Ляпунова.
 4. Исследование на устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова). Теорема Ляпунова.
5. Применение теорем Чаплыгина в некоторых задачах теории устойчивости.

Лекция 11. [pdf]

 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами.
 7. Консервативная механическая система с одной степенью свободы.
8. Фазовая плоскость для нелинейного автономного уравнения 2-го порядка.
1. Постановка задачи.
2. Система первого приближения.
3. Фазовые траектории.
4. Примеры решения задач.

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Лекция 12. [pdf]

1. Понятие регулярно и сингулярно возмущенных задач.
1. Регулярные возмущения.
2. Сингулярные возмущения. Теорема Тихонова.
 2. Асимптотическое разложение решения по малому параметру.
1. Регулярно возмущенная задача.
2. Сингулярно возмущенная задача.

Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Лекция 13. [pdf]

1. Линейные однородные уравнения.
1. Характеристическая система, характеристики, первые интегралы.
2. Теорема о взаимосвязи первого интеграла характеристической системы и решения линейного однородного уравнения.
3. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения.
4. Задача Коши - постановка и схема решения в двумерном и общем случаях.
2. Квазилинейные уравнения.
1. Теорема о решении квазилинейного уравнения.
2. Задача Коши - постановка и схема решения

Глава 9. Численные методы

Лекция 14. [pdf]

1. Основные понятия.
1. Понятие разностной схемы.
2. Разностная схема Эйлера для начальной задачи.
3. Разностная схема для краевой задачи.
4. Сходимость разностной схемы.
5. Аппроксимация разностной схемы.
6. Порядок аппроксимации разностной схемы Эйлера и разностной схемы для краевой задачи.
7. Устойчивость разностной схемы.
2. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы.
3. Устойчивость схемы Эйлера.
4. Понятие о методе прогонки.