Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_gen/6/Lin_Alg_Ekzam.pdf Дата изменения: Sat Jun 6 05:08:26 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 11:20:35 2016 Кодировка:

. . . . !

, , II, III
1. ( ). (, ), (, ), : 0x = , (-1)x = -x, = . . , . . . 2. , . , . . . 3. , , . . . 4. . . , , . , . Q1 Q2 ( Q1 Q2 ). rank(AB ) rank(A), rank(AB ) rank(B ). 5. , (, ). , . . 6. . . . , , . 7. , . , , , . , . 8. , . A : L1 L2 ( , : ker(A) L1 , R(A) L2 , dim R(A) dim D(A) ; : D(A) A, R(A) A). . . : A-1 , dim R(A) = dim D(A) . 9. , . , dim R(A) = dim D(A) - dim ker(A) (: D(A) A). A, R(A) (R(A) = L , ker(A) = {}). 10. (, ). , , . .


2

11. , . , , . . 12. . , , , . , . 13. . . . , . , . 14. . , . , . (, ), . 15. (, ). ( ) . 16. . 17. . ( , ). 18. () , () . . , . . . . . 19. , , (, ). . . . 20. . . . 21. (, ). (, ). . 22. : ; ; , , ( , ). (R(A) = ker(A ) ; R(A) A). 23. (, ). . , . 24. (). . -


3

. . , . 25. . .


4

, , II, III
1. , RN вN ( N в N R) , (. . , AT = A), . - . 2. , RN вN ( N в N R) , (. . , AT = -A), . - . 3. , RN вN ( N в N R) , , . - . ( tr(A) A .) 4. , RN вN ( N в N R) : (. . , AT = A) (. . , AT = -A). 5. , RN вN ( N в N R) : I , : R, I . 6. , RN : , , · (1, . . . , 1)T , R. 7. , CN . , . - . 8. P2N (R) ( 2N ). P2N (R) F , : F (-1) = 0, F (1) = 0? - . 9. L, dim(L) = N N. C1 e e , C2 e e . e e. 10. , RN2 вN1 ( N2 в N1 R) : (X, Y ) = tr(X T Y ) X , Y RN2 вN1 ( tr(X T Y ) X T Y ). 11. f L, dim(L) 2. A(x, y ) = f (x) · f (y ). A(x, y ) ? , L?


5

12. e1 , . . . , eN . A (ek , Aem ) k , m = 1, N ( 13. e1 , . . . , eN . A
N

H H [A] A H H

. : [A]k = m e). . tr(A) =

(ek , Aek ) ( tr(A)
k =1

A).

14. H , dim(H ) N. : P H , P 2 = P . , P R(P ) ( R(P ) P ). 15. H . A H . , A , : Ax = x x H . 16. H . A, B H . , AB , AB = B A. 17. L. A L. , A A. A? . 18. H e1 , e2 , e3 . : a H ; Ax = [x, a] x H ( [x, a] x, a). , A H . : A e; , , , A. 19. H . A H . , i(A - A ) . 20. 2 в 2. E 1,1 . 21. L K, dim(L) N. A L. K, R(A - I ) = L ( R(A - I ) A - I ). 22. L K, dim(L) N. A L. K, R(A - I ) = L ( R(A - I ) A - I ).


6

, , II, III
1. P2 (R) ( 2) : x1 (t) = -1 + 3t + 2t2 , x2 (t) = 2t + 3t2 , x3 (t) = -1 + 7t + 8t2 t R. , : L(x1 , x2 , x3 ); L(x1 , x2 , x3 ); x1 , x2 , x3 . 2. P2 (R) ( 2) : x1 (t) = 1 + t2 , x2 (t) = 5 + 2t + 3t2 , x3 (t) = 2 + t + t2 , x4 (t) = 4 + t + 3t2 t R. , : L(x1 , x2 , x3 , x4 ); L(x1 , x2 , x3 , x4 ); L(x1 , x2 , x3 , x4 ) P2 (R). 3. R3 ( (x, y ) = x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 ) : x1 = (1, 1, 1)T , x2 = (1, 0, 0)T , x3 = (0, 1, 0)T . , x1 , x2 , x3 . x1 , x2 , x3 ( ). 4. P2 [-1, 1] ( [-1, 1] 2;
1

( x, y ) =
-1

x(t)y (t) dt) : x1 (t) = 1, x2 (t) = t, x3 (t) = t2 t [-1, 1].

, x1 , x2 , x3 . x1 , x2 , x3 ( ). 5. H e1 , e2 , e3 , e4 . x1 , x2 , x e: [x1 ] = (1, 0, 0, 1)T , [x2 ] = (1, 1, 0, 0)T , [x] = (1, 0, 0, 0)T . : x L(x1 , x2 ), x L(x1 , x2 ). 6. P1 [-1, 1] ( [-1, 1] 1;
1

( x, y ) =
-1

x(t)y (t) dt) : e1 (t) = 1, e2 (t) = t t [-1, 1]. ,

e1 , e2 P1 [-1, 1] . e. 7. p R : 11 2p 1 -p 2 : X1,p = , X2,p = , X3,p = ; 1 -1 13 22 L X1,p , X2,p , X3,p ; X1,p , X2,p , X3,p . 8. R2 : e1 = (1, 2)T , e2 = (2, 5)T , e1 = (2, 1)T , e2 = (-1, 3)T . , : e1 , e2 R2 ; e1 , e2 R2 . : e e ; e e. 9. H e1 , e2 . : x = 2e1 +e2 , y = e1 +3e2 . : x, y ; x, y . x, y .


7

10. H e1 , e2 , e3 . Q x1 - 2x2 + 3x3 = 0. Q. . 11. P1 [0, 2] ( [0, 2] 1) , :
2

(Ax)(t) =
0

(t - )x( ) d : x P1 [0, 2] , t [0, 2]. A

: e1 (t) = 1, e2 (t) = t t [0, 2]. 12. H e1 , e2 , e3 , e4 . x1 , x2 e: [x1 ] = (1, 0, 0, 1)T , [x2 ] = (1, 1, 0, 0)T . P L(x1 , x2 ) e. 13. p R , 1+p 1+p 0 . , p 1 -p . 14. L e1 , e2 , e3 . : [A](e) A e; (e, e ) 120 e e . A e . [A](e) = 0 1 1, (e, e ) = 201 -1 -1 -1 0 1 1 . 1 1 0 15. L e1 , e2 , e3 . 201 A e: [A] = -1 1 -1. 001 A. : ; ; ( ); . 16. H e1 , e2 , e3 . A e: [A](e) = 3 0 -2 0 1 0 . : e -2 0 3 A; e e ; e e; A e . 17. H . , 13 () . , . X1 = , -4 2 - 5 - 14 X2 = . 3 8 18. L(cos, sin) , : d2 (Ax)(t) = dt2 x(t) : x L(cos, sin), t R. : A cos, sin; A.


8

19. L e1 , e2 . F1 , F2 , F3 e. L? L, L? . F1 (x, y ) = 3x1 y 1 + 2x1 y 2 + 2x2 y 1 + 2x2 y 2 , F 2 ( x, y ) = 2x1 y 1 + x1 y 2 - x2 y 1 + 3x2 y 2 , F 3 ( x, y ) = x1 y 1 + 3x1 y 2 + 3x2 y 1 + 4x2 y 2 . 20. L e1 , e2 . - 2 . R F e: [F ] = - 2 4 R F L? R F L, L? . 21. L e1 , e2 . - 2 R Q e: [Q ] = . - 2 4 R Q . 22. L e1 , e2 , e3 , e4 . Q e: Q(x) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 . Q e. , Q : Q e ; e e ; e e. 23. H e1 , e2 , e3 . Q e: Q(x) = 3(x1 )2 - 4x1 x3 + (x2 )2 + 3(x3 )2 . : Q e; e , Q ; e e ; e e; Q e . 24. L e1 , e2 , e3 . Q1 , Q2 e: Q1 (x) = 2(x1 )2 - 6x1 x2 - 4x1 x3 + 9(x2 )2 + 8x2 x3 + 2(x3 )2 , Q2 (x) = 3(x1 )2 - 2x1 x2 - 2x1 x3 + 5(x2 )2 + 4x2 x3 + (x3 )2 . Q1 , Q2 e. Q1 , Q2 : Q1 , Q2 e ; e e .


9

, II, III
1. 2. 3. 4. . . . .