Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_spec/251/FA04.pdf Дата изменения: Fri Feb 25 07:44:45 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:05:30 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике.

А. А. Арсеньев.


P


АFАFАрсеньевD PHHWF НИЦ Регулярная и хаотическая динамикаD PHHWF

i


ii


Оглавление

1 Элементарные сведения о интеграле и мере.
IFI

IFP

IFQ PFI

Интеграл ЛебегаF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFI Основные структурыD используемые при построеE нии интеграла по схеме ДаниэляF F F F F F F F F F F IFIFP Множества меры нольF F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFQ Построение интеграла по схеме ДаниэляF F F F F F F IFIFR Предельный переход в интеграле ЛебегаF F F F F F F IFIFS Пространства Lp (X )F F F F F F F F F F F F F F F F F F Мера и измеримые функцииF F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFI Сводка основных определений теории мерыF F F F F IFPFP Построение меры множества в схеме ДанизляF F F IFPFQ Измеримые функцииF F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFR Сходимость по мереF F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFS Функция КантораF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFT Теорема ФубиниF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFU Разложение Лебега и теорема РадонаEНикодимаF F IFPFV СчетноEаддитивные функции множеств и теорема ХанаF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFW Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве Lp (X )F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFIH Функции с ограниченной вариацией и абсолютно непрерывные функцииF F F F F F F F F F F F F F F F F Коментарии и литературные указанияF F F F F F F F F F F F Метрические пространстваF F F F F F F F F F F F F F F PFIFI Расстояние и связанные с ним понятияF F F PFIFP Сходимость в метрическом пространствеF F PFIFQ Принцип сжимающих отображенийF F F F F F Топологические пространстваF F F F F F F F F F F F F PFPFI Определение топологического пространстваF iii F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

F F F F F F F F F F F F F F

1

I

I II IU QP RH RT RT SP TI TQ TU TW UP

F UT F VH F VQ F WV F F F F F F

2 Метрические и топологические пространства.

101

PFP

IHI IHI IHQ IHU IIH IIH


PFQ PFR PFS QFI QFP QFQ

PFPFP Замкнутые множестваF F F F F F F F F F F PFPFQ Непрерывные отображенияF F F F F F F F PFPFR Аксиомы отделимостиF F F F F F F F F F F Компактные пространстваF F F F F F F F F F F F F ФильтрыD ультрафильтры и теорема ТихоноваF Коментарии и литературные указанияF F F F F F

F F F F F F

F F F F F F

F F F F F F

F F F F F F

F F F F F F

F F F F F F

F F F F F F

IIR IIV IPP IPU IRI IRV

3 Банаховы пространства.

Основные определенияF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISI Пространство линейных отображенийF F F F F F F F F F F F F ISU Основные принципыF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITI QFQFI Принцип равномерной ограниченности и теорема БанахаE ШтейнгаузаF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITI QFQFP Теорема об открытом отображении и ее следствияF F ITT QFQFQ Теорема ХанаEБанахаF F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUP QFR Сопряженное пространство и элементы теории двойственE ностиF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUS QFRFI Сопряженное пространствоF F F F F F F F F F F F F F F IUS QFRFP Сопряженный операторF F F F F F F F F F F F F F F F F IVI QFS Банаховы алгебры и операторное исчислениеF F F F F F F F F IVT QFSFI Предварительные сведенияF F F F F F F F F F F F F F F IVT QFSFP Резольвента и спектрF F F F F F F F F F F F F F F F F F F IVW QFSFQ Операторное исчислениеF F F F F F F F F F F F F F F F F IWS QFT Изолированные особые точки резольвентыF F F F F F F F F F PHR QFTFI Общий случайF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHR QFTFP Строение резольвенты в окрестности полюсаF F F F F PHU QFU Возмущение изолированного собственного значенияF F F F F PII QFUFI Зависящие от параметра проекторыF F F F F F F F F F PII QFUFP Аналитическое возмущение изолированного собственE ного значенияF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIT QFV Компактные операторыF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPR QFVFI Определения и основные свойства компактных опеE раторовF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPR QFVFP Теория РиссаEШаудераF F F F F F F F F F F F F F F F F F PPW QFW Резольвента и спектр неограниченных операторовF F F F F F PQV QFIH Полугруппы операторов в банаховом пространствеF F F F F F PRT QFIHFI Теорема ХиллеEФиллипсаEИосидыF F F F F F F F F F F PSI QFIHFP Абстрактная задача КошиF F F F F F F F F F F F F F F F PSW QFIHFQ Некоторые равенстваD связанные с теорией полугруппF PTH QFII Коментарии и литературные указанияF F F F F F F F F F F F F PTR QFIIFI Определение линейнного пространстваF F F F F F F F F PTR iv

151


QFIIFP Определение факторEпространстваF F F F F F F F F F PTS QFIIFQ Определение прямой суммы пространствF F F F F F F PTT

4 Гильбертовы пространства.
RFI

Основные определенияF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PTW RFIFI Скалярное произведение и нормаF F F F F F F F F F F F PTW RFIFP Ортонормированные системыF F F F F F F F F F F F F F PUQ RFP Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространствеF F F F F F F F F F F F F F F F F F F PUW RFQ Понятие гильбертова сопряжения и ограниченные самосоE пряженные операторы в гильбертовом пространствеF F F F F PVU RFR Компактные самосопряженные операторыD операторы ГильбертаE Шмидта и ядерные операторыF F F F F F F F F F F F F F F F F PWP RFRFI Компактные самосопряженные операторыF F F F F F F PWP RFRFP Полярное разложение оператора и характеристичеE ские числаF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PWU RFRFQ Операторы ГильбертаEШмидтаF F F F F F F F F F F F F QHP RFRFR Ядерные операторыF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QHV RFS Спектральное разложение ограниченных самосопряженных операторовF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QIP RFT Спектральное разложение унитарных операторовF F F F F F QPW RFU Гильбертово сопряжение неограниченных операторовF F F F QQS RFV Оснащение гильбертова пространства и билинейные формыF QSI RFVFI Оснащение гильбертова пространстваF F F F F F F F F QSI RFVFP Полуограниченные эрмитовы формы и расширение операторов по ФридрихсуF F F F F F F F F F F F F F F F QSU RFW Преобразование Келли и спектральное разложение неограE ниченных операторовF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QTP RFIH Коментарии и литературные указанияF F F F F F F F F F F F F QUP SFI SFP SFQ SFR SFS TFI Абсолютно непрерывный и сингулярный спектр оператораF Волновые операторы и оператор рассеянияF F F F F F F F F F Признаки существования волновых операторов и принцип инвариантности волновых операторовF F F F F F F F F F F F F Формулы для матрицы рассеяния F F F F F F F F F F F F F F F Комментарии и литератутные указания F F F F F F F F F F F

269

5 Элементы математической теории рассеяния.

373

QUQ QUW

QVQ QWP QWU

6 Распределения.

Пространство пробных функцийF F F F F F F F F F F F F F F F QWW TFIFI Пространство ШварцаF F F F F F F F F F F F F F F F F F RHH v

399


TFIFP TFIFQ TFP

TFQ

TFR

TFS

Сходимость в простанстве S (Rd )F F F F F F F F F F F F Непрерывные операторы в пространстве основных функцийF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TFIFR Пространство пробных функций D(Rd )F F F F F F F F РаспределенияF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TFPFI Медленно растущие распределенияF F F F F F F F F F F TFPFP Сходимость в пространстве распределенийF F F F F F TFPFQ Случай пространства D(Rd ) F F F F F F F F F F F F F F TFPFR Примеры вычисления пределов распределенийF F F F TFPFS Дифференцирование и преобразование Фурье расE пределенийF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TFPFT Действие аффинной группы на распределенияF F F F TFPFU Свертка рспределения и функцииF F F F F F F F F F F TFPFV Прямое произведение распределенийF F F F F F F F F F Фундаментальные решения дифференциальных оператоE ров с постоянными коэффициентамиF F F F F F F F F F F F F F TFQFI Существование фундаментального решения для дифE ференциального оператора с постоянными коэффиE циентамиF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TFQFP Примеры вычисления фундаментальных решенийF F TFQFQ Уравнение Гельмгольца F F F F F F F F F F F F F F F F F Пространства СоболеваF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TFRFI Преобразование ФурьеEПланшереляF F F F F F F F F F TFRFP Определение и основные свойства пространств СоE болеваF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TFRFQ Теоремы вложенияF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F њ TFRFR Пространства H p (D)F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Коментарии и литературные указанияF F F F F F F F F F F F F TFSFI Преобразование ФурьеF F F F F F F F F F F F F F F F F F TFSFP Литературные комментарии F F F F F F F F F F F F F F

RHR RHS RHT RHV RHW RIQ RIT RIT RPI RPU RPV RQH RQQ RQR RRH RRT RRU RRU RRW RSR RSW RTQ RTQ RTR

A Приложение

eFI Преобразование ВейляF F F F eFP Теорема ДжF фон Неймана о представления КПС в форме eFQ Указатель обозначенийF F F F

F F F F F F F F F F F F F F F F F F RTS единственности Вейля F F F F F F F F F F F F F F RUT F F F F F F F F F F F F F F F F F F RVQ

465

vi


Предисловие.

Предлагаемый вниманию читателя учебник функционального анализа написан на основе лекцийD которые автор читал специализирующимся в математической физике студентам физического факультета МосковE ского университетаF Лекции имели своей целью подготовить студентовD которые получали специальность физикаD к работе в области математиE ческой физикиF Современная математическая физика в своей существенE ной части является областью функционального анализаX она использует языкD идеи и методы функционального анализаF Многие понятия и меE тоды функционального анализа формировались процессе решения задач математической физики и обобщают опыт решения этих задачF В задаE чах квантовой механики роль функционального анализа принципиальнаD так как аксиомы квантовой механики формулируются в заимстванных из функционльного анализа терминахF Автор стремился написать простой учебникD который бы помог начиE нающему студентуEфизику разобраться в математикеD связанной с кванE товой теориейD теорией рассеяния и тFдF Как введение в предметD учебник может быть полезен и начинающему математикуF Содержание учебника ясно из оглавления и оно следует сложившеE муся за последние приблизительно сорок лет канону учебников по функE циональному анализуF Изложение построено такD что при первом чтении читатель может ограничиться минимумом сведений и получить общее предсталение о предметеD а потом присупить к углубленному изучения материалаF Книга рассчитана на начинающего исследователяD который готовит себя к работе в области математической физики и смежных дисE циплинахF Требования к начальной математической подготовке читателя минимальныX предполагаетсяD что читатель знаком с основами матемаE тического анализа и линейной алгебры в объеме курса математики для технических вузовF От читателя ожидается разумная реакция на термиE ны множествоD отображениеD функция и тF дF Первая глава посящена изложению теории интеграла Лебега на осноE ве метода ДаниэляF Этот подход позволяет использовать уже известные vii


результаты теории интеграла РиманаF Необходимый минимум сведений о интеграле Лебега изложен в первом параграфеF Вторая глава посвящена изложению основ теории метрических проE странствF Необходимый минимум сведений о метрических пространствах изложен в первом параграфеF В первые две главы учебника включены некоторые вопросы @теория меры и элементы общей топологииAD которые прямо не относятся к функE циональному анализу и на математических факультетах университетов обычно изучаются в курсах теории функций и топологииF Включение этих тем в учебник обусловлено темD что они не рассматриваются в курE сах математики для технических вузовD но знание их подразумевается в учебной литературе по специальным вопросам математической физикиF Излагаемые в первой главе сведения по теории функций действительной переменной необходимы в математической теории рассеянияF По мнению автораD собранные в первых двух главах доплнительные сведения соE ставляют необходимый @но не исчерпывающийA общеобразовательный минимум для работающего в области математической физики специаE листаF Третья глава посвящена изложению основ теории банаховых проE странствF Собранные в первых трех параграфах сведения о банаховых пространствах могут рассматриваться как достаточное для первого знаE комства с предметом введение в теорию банаховых пространствF В дальE нешем подробно излагается операторное исчисление для аналитических функцийD теория РиссаEШаудераD аналитическая теория ФредгольмаD теория полугруппD теория возмущенийF Подробно исследовано поведение резольвенты оператора в окрестности изолированной особой точкиF Четвертая глава посвящена теории гильбертовых пространствF ПерE вые три параграфа посвящены изложению основ теории гильбертовых пространствF Далее подробно излагается борелевское операторное исчисE лениеD разбирается понятие самосопряженности неограниченного опеE ратораD приводятся критерии самосопряженностиD доказывается спекE тральная теоремаF В пятой главе приведены началаьные сведения из математической теории рассеянияF Шестая глава посвящена элементарной теории обобщенных функций и пространств СоболеваF За исключением теоремы о существовании фунE даментального решенияD эта глава не требует знания какихEлибо сведеE ний из функционального анализаD ее можно читать независимо от предыE дущего материала и она вполне доступна студенту технического вузаF В приложении даны начальные сведения о преобразовании Вейля и дано элементарное доказательство теоремы ДжF фон Неймана о единE viii


ственности шредингеровского представления gg в форме ВейляF Автор стремился сделать отдельные главы учебника максимально независимымиF Все утверждения приведены с подробными доказательE ствамиF Это должно облегчить использование учебника в качестве поE собия для самообразования и справочника для начинающего исследоE вателя по отдельным вопросам функционального анализаF В основной текст с полными доказательствами включены некоторые темыD которые в учебниках по функциональному анализу для математиков часто выноE сятся в задачи для самостоятельной работыF Изложение иллюстрироваE но достаточным числом решенных в тексте учебника задач и примеровD которые поясняют излагаемый материалD но не могут рассматриваться как пособие для развития навыков в решении задач по функциональноE му анализуF Автор считаетD что начинающему студентуEфизику навыки в решении задач по функциональному анализу лучше приобретать под руководством преподавателяD так как преподаватель может указать на ошибку в рассуждениях и показать известные в математическом фолькE лоре приемы решения задачF Попытки самостоятельно преодолеть все трудности в решении задач часто приводят к неоправдано большим заE тратам времениF Список литературы для дополнительного чтения рассчитан на чиE тателя студенческой библиотекиF Аннотированные ссылки на новейшие учебники и пособия по функциональному анализу читатель может найти в wthemtil eview и в ИнтернетеF Ранее @PHHW гFA учебник вышел в НаучноEИздательском Центре РегуE лярная и хаотическая динамикаF В приводимом ниже тексте исправлены замеченные опечаткиD расширен список литературы и сделаны некотоE рые дополнения в доказательстваF АрсеньевF IPFHRFPHIHF

{a_arsenev@mail.ru }

ix


x


Глава 1 Элементарные сведения о интеграле и мере.

1.1
1.1.1

Интеграл Лебега.
Основные структуры, используемые при построении интеграла по схеме Даниэля.

Хорошо известноD что кусочноEнепрерывная на отрезке [a , b] R1 функE ция интегрируема по РимануF Одноко уже в простейших случаях предел кусочноEнеперывных функций может быть не интегрируемым по РимануF Рассмотрим примерF Пусть x1 , x2 . . . Eвсе рациональные точки отрезка [0 , 1]D 1 , если x = xi , I(xi |x) = 0 , если x = xi . Положим

f n ( x) =
1in

I(xi |x).

Функция fn (x) равна нулю во всех точках отрезка [0 , 1]D за исключением точек xi , 1 i nD в которых она равна единицеF ЯсноD что fn+1 (x) fn (x) и

f (x) := lim fn (x) =
n

1 , если x рациональное число, 0 , если x иррациональное число.

@IFIA

Каждая из функций fn (x) кусочно непрерывна на отрезке [0 , 1] и поэтоE му интегрируема по Риману на отрезке [0 , 1]D а е? интеграл равен нулюF е Предел функций fn (x) существует в каждой точке отрезка [0 , 1]F Этот I


предел называется функцией ДирихлеF Функция Дирихле не интегриE руема по РимануD так как для любого разбиения отрезка [0 , 1] верхняя интегральная сумма функции Дирихле равна единицеD а нижняя интеE гральная сумма равна нулюF Мы видимD что уже простейшие операции предельного перехода приводят к функциямD которые не интегрируемы по РимануF Наша цель состоит в томD чтобы расширить понятие интеграла РимаE на такD чтобы интегрируемыми оказались все функцииD которые в некоE тором естественном смысле можно считать пределами интегрируемых по Риману функций и на этот класс функций распространить понятие инE теграла такD чтобы оно сохраняло основные свойства интеграла РиманаF Мы используем конструкциюD которая называется построением инE теграла по схеме ДаниэляF Общая схема наших рассуждений состоит в томD чтобы интеграл от предела функций рассматривать как предел инE тегралов от этих функцийF В рассмотренном примере каждая из функE ций fn (x) интегрируема по Риману и ее интеграл равен нулюD Поэтому и предельной функции E функции Дирихле Eестественно приписать значеE ние интегралаD равное нулюF Нам нужно разработать общие правила для такой процедурыF ЗаметимD что в определение интеграла Римана входят три понятияX областьD на которой определены интегрируемые функцииD интегрируемые функции и интегралF Множество интегрируемых по РиE ману функций является линейным пространством относительно операE ций поточечного сложения и умножения на действительные числа и обE ладает следующим свойствомX если функция f (x) интегрируема по РиE мануD то и функция |f (x)| интегрируема по РимануF Интеграл Римана можно рассматривать как линейный функционал @напомнимD что функE ционалом обычно называется отображениеD область определения котороE го есть множество функцийD а область значений Eобласть действительных или комплексных чиселA D заданный на множестве интегрируемых функE цийD причем этот функционал неотрицателен в следующем смыслеX если интегрируемая функция принимает только неотрицательные значенияD то и е? интеграл неотрицателенF Эти свойства интегрируемых по Риману е функций и интеграла Римана кладутся в основу предлагаемого в схеме Даниэля обобщения понятия интегралаF В дальнешем мы будем предполагатьD что X Eпроизвольное множеE ствоD L0 (X ) некоторое множество функций на X со значениями в области действительных чиселX

L0 (X )

f: X
P

x f (x) R1 ,


I0 Eзаданный на L0 (X ) функционалX I0 : L0 (X )
функцийF

f I0 (f ) R1 .

Пространство L0 (X ) мы будем называть пространством элементарных Функционал I0 мы будем называть элементарным интеграломF При построении интеграла по схеме Даниэля на область задания инE тегрируемых функций @множество X A не налагается какихEлибо ограE ниченийF Мы будем предполагатьD что пространство L0 (X ) удовлетворяет слеE дующим требованиямF
ций:

Условие 1.1.1. Условие 1.1.2.

Пространство

L0 (X )

состоит из ограниченных функ-

(f L0 (X )) : sup{|f (x)| | x X } < .
Пространство функций

L0 (X )

есть линейное простран-

ство относительно операций поточечного сложения функций и умножения функций на действительные числа.

Это означаетD что для любых двух функций

f (x) L0 (X ) , g (x) L0 (X )
и любых действительных чисел , R1 функция

h(x) = f (x) + g (x)
принадлежит пространству L0 (X )F

Условие 1.1.3.
Так как

Если функция

f (x) L0 (X ),

то

|f (x)| L0 (X ).

1 max(f (x) , g (x)) = (f (x) + g (x) + |f (x) - g (x)|), 2 min(f (x) , g (x)) = - max(-f (x) , -g (x)),
то при выполнении условия IFIFP условие IFIFQ эквивалентно условию

Условие 1.1.4.

Если

f (x) , g (x) L0 (X )

то

max(f (x) , g (x)) L0 (X ) , min(f (x) , g (x)) L0 (X ).
Q


Мы будем предполагатьD что элементарный интеграл I0 удовлетворяE ет следующим требованиямF

Условие 1.1.5. Условие 1.1.6.

Элементарный интеграл

I0

есть линейный функцио-

нал, заданный на

L0 (X )

:

I0 : L0 (X ) R1 , I0 (f + g ) = I0 (f ) + I0 (g ).
Элементарный интеграл I0 неотрицателен:

(x : f (x) 0) (I0 (f ) 0).

Условие 1.1.7.
смысле: если то

Элементарный интеграл

I0

непрерывен в следуюшем

(x X ) : f

n+1

(x) fn (x)

и

(x X ) : lim fn (x) = 0,
n

n

lim I0 (fn ) = 0.

@IFPA

Так как

-|f (x)| f (x) |f (x)|,
то из неотрицательности элементарного интеграла следует неравенство

|I0 (f )| I0 (|f |).

@IFQA

Если функция f (x) 1 принадлежит пространству элементарных функE цийD то отсюда следует неравенство

|I0 (f )| I0 (1) sup{|f (x)| | x X }.

@IFRA

Для построения интегрла по схеме Даниэля нужны только свойства IFIFI EIFIFU пространства элементарных функций и элементарного интегалаF Но в важных и интересных для приложений лучаях @которые рассмотE реныD напримерD в примерах IFIFI D IFIFP D IFIFUA пространство элементарE ных функций L0 (X ) удовлетворяет следующим дополнительным условиE ямX

Условие 1.1.8.

Функция

f (x) 1

принадлежит пространству

L0 (X ).

В этом случае элементарный интеграл обычно нормируют условием

I0 (1) = 1.
R

@IFSA


Условие 1.1.9.

Если

f (x) L0 (X ),

то

(p 1) : |f (x)|p L0 (X ).
Если эти условия выполненыD то построенный по схеме Даниэля инE теграл обладает дополнительными свойствамиD которые часто используE ются в приложенияхF В дальнейшем мы предполагаем, что условия @IFIFVA и @IFIFWA выполнены.

Хотя при построении интеграла по схеме Даниэля на область задания интегрируемых функций формально не налагается какихEлибо ограничеE нийD но в действительности дело обстоит не совсем такF Если множество элементарных функций бесконечноD то для суждения о томD принадлеE жит или нет данная функция пространству элементарных функций и выполнено ли условие @IFIFUAD нам нужно какEто описать свойства элеE ментарных функцийD а сделать этоD ничего не зная об области задания элементарных функцийD невозможноF Поэтому в практических примеE нениях на область задания элементарных функций налагаютя дополниE тельные требованияF Часто рассматривается следующая ситуацияF

Условие 1.1.10. 1
странство

Прстанство

X

-это компактное топологическое про-

странство , пространство элементарных функций

C (X )

всех непрерывных функций на

L0 (X ) компакте X

- это про, а элемен-

тарный интеграл

I0

это линейный неотрицательный функционал на

C (X ).
ЗаметимD что такой функционал в силу неравенства @IFRA является непрерывным в метрике пространства C (X )F Выполнение условия @IFIFUA тогда следует из теоремы Дини и услоE вия IFIFVEIFIFU также выполненыF Условие компактности топологическоE го пространства X в некоторых случаях может быть заменено условием компактности носителя каждой функции f L0 (X )F Рассмотрим примерыF
пространство всех

Утверждение 1.1.1.

X = [a , b] R1 , L0 (X ) = C ([a , b]) непрерывных функций на отрезке [a , b], а элеменПусть
b

тарный интеграл задан как интеграл Римана:

I0 : C ([a , b])

f I0 (f ) =
a

f (x)dx.

@IFTA

1 В этой главе под терминами компакт, компактное топологическое пространство и
компактное множество можно понимать определенное равенством (1.7) подпространство евклидова пространства.

S


В этом случае выполнены условия 1.1.1-1.1.4 для пространства и условия 1.1.5-1.1.7 для элементарного интеграла.

L0 (X )

Проверим выполнение условия IFIFU Из признака равномерной сходиE мсти Дини следуетD что если последовательность непрерывных функций fn (x) монотонно сходится к нулю в каждой точке отрезка [a , b]D то она сходится к нулю равномерно на отрезке [a , b]D поэтому
b n b

lim

fn (x) dx =
a

a n

lim fn (x) dx = 0.

Утверждение 1.1.2.
Пусть мана: параллелипипеде

Обобщением предыдущего примера служит следующий примерF
Пусть пространство

X

есть параллелипипед

K

:

K := {x|x = (x1 , . . . , xd ) Rd , ai xi bi , ai < bi }.

@IFUA

L0 (X ) := C (K ) -пространство всех непрерывных функций на K , а элементарный интеграл задан как интеграл РиI0 : C (K ) f I0 (f ) =
K

f (x)dx , dx = dx1 dx2 . . . dxd . L0 (X )
и условия

В этом случае условия 1.1.1-1.1.4 для пространства 1.1.5-1.1.7 для элементарного интеграла выполнены.

Эти примеры являются основными для дальнешего изложенияX в дальнешем (если не оговорено другое) можно предполагать, что пространство

X

, пространство элементарных функций

интеграл I0 заданы так, как в 1.1.1 или 1.1.2

первом чтении можно не рассматриватьF Читателю предлагается проверитьD что в следующих случаях выполE нены условия IFIFI EIFIFUF Пример IFIFI. Пусть X = [a , b] R1 , L0 (X ) Eпространство всех кусочноE линейных функций @кусочноEлинейная функция Eэто такая непрерывная функцияD график которой есть ломанная линияA на отрезке [a , b]D а элеE ментарный интеграл задается формулой @IFTAF Пример IFIFP. Пусть

L0 (X ) и элементарный F Все другие примеры при

X = K := {x|x = (x1 , . . . , xd ) Rd , ai xi bi , ai < bi }, L0 (X ) := C (K ) Eпространство всех непрерывных функций на параллелиE пипеде K , g C (K ) , g (x) 0 , x K, а элементарный интеграл задан как интеграл РиманаX I0 : C (K ) f I0 (f ) =
K

f (x)g (x)dx , dx = dx1 dx2 . . . dxd .
T


Будет ли в этом примере выполнено условие неотрицательности элеE ментарного интегралаD если функция g (x) в некотроых точках будет приE нимать отрицательные значенияc IFIFQ. Пусть X = [a , b] R1 , L0 (X ) = C ([a , b]) Eпространство всех непрерывных функций на отрезке [a , b] , {xj } [a , b]D а элементарE ный интеграл задается формулой
Пример

I0 (f ) =
j

a(j )f (xj ) ,

@IFVA

где {a(j )} Eтакая последовательность D что

j : a(j ) > 0 и
j

a(j ) < .

@IFWA

Проверка условий IFIFSEIFIFU предоставляется читателюF IFIFR. Пусть X = Z+ Eмножество неотрицательных целых чиE селD L0 (X ) = l Eпространство ограниченных числовых последовательE ностейX ({b(j )} l ) (sup{|b(j )| | j Z+ } < ),
Пример

{a(j )}Eчисловая последовательностьD которая удовлетворяет условиям @IFWAD а элементарный интеграл задан формулой I0 ({b(j )}) =
j

a(j )b(j ).

@IFIHA

ПроверимD что выполнено условие IFIFUF Пусть {bn (j )} такая последоE вательность элементов пространства l D которая удовлетворяет условиюX

j : bn (j ) 0 , n , b
Справедливо равенство

n+1

(j ) bn (j ).

I0 ({bn }) =
j N

a(j )bn (j ) +
j >N

a(j )bn (j ).

@IFIIA

Вторую сумму в @IFIIA оценим такX

|
j >N

a(j )bn (j )| sup{|b1 (j )| | j Z+ }
j >N

a(j ).

Теперь ясноD что вторая сумма в @IFIIA может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора N D а первая сумма может быть сделана малой за счет выбора nF U


IFIFS. Пусть X = Z+ Eмножество неотрицательных целых чиE селD L0 (X ) = l2 Eпространство числовых последовательностейD которые удовлетворяют условиюX
Пример

({b(j )} l2 ) ((
j

|b(j )|2 ) < ).

@IFIPA

Пусть последовательность {a(j )}удовлетворяет условиюX {a(j )} l2 , a(j ) > 0F Зададим элементарный интеграл формулой @IFIHAF Проверим выполнение условий IFIFSEIFIFUF Для этого сначала замеE тимD что пространство l2 есть линейное пространство относительно опеE раций сложения и умножения на действительны числаD если эти операE ции определены по правилу

{b(j )} + {g (j )} = {b(j ) + g (j )},
так как

|b(j ) + g (j )|2 2(|b(j )|2 + |g (j )|2 ).
Проверим выполнение условия IFIFUF Пусть {bn (j )} такая последовательE ность элементов пространсва l2 D которая удовлетворяет условиюX

j : bn (j ) 0 , n , b
Справедливо равенство

n+1

(j ) bn (j ).

I0 ({bn }) =
j N

a(j )bn (j ) +
j >N

a(j )bn (j )

@IFIQA

Воспользуемся неравенством

|
j >N

a(j )bn (j )| (
j >N

|a(j )|2 )

1/2

(
j >N

|bn (j )|2 )1/2 .

В силу этого неравенства за счет выбора параметра N второе слагаемое в @IFIQA можно сделать сколь угодно малым сразу для всех nD а первую сумму в @IFIQA можно сделать малой за счет выбора nF
Пример

IFIFT. Пусть

X = (a , b] , a = 0 < 1 < 2 < . . . < N = b Eфиксированные точки и (j N - 1) : Aj = (j , j +1 ] , .
V

@IFIRA


Пусть L0 (X ) Eлинейное пространство функций вида

L0 (X )

f ( x) =
0j N -1

(j )I(Aj |x) , (j ) R1 .

@IFISA

Определим на L0 (X ) элементарный интеграл формулой
b

I0 : L0 (X )

f (x) I0 (f ) =
a +1

f (x)dx =
@IFITA

j (j
0j N -1

- j )

Проверка условий IFIFI EIFIFU в даннам случае предоставляется читаE телюF
Пример

IFIFU. Пусть X = (a , b] и L0 (X ) Eлинейное пространство всех функций вида @IFISA при всех возможных выборах точек j и всех N = 1 , 2 . . . F Определим элементарный интеграл формулой @IFITAF Условия IFIFI EIFIFU в этом случае будут выполненыF Нетривиальна только проверка условия IFIFUF В дальнейшем резульE таты нижеследующих рассуждений нами не используютсяF Пусть последовательность {fn (x)} L( X ) удовлетворяет условиямX

x : f

n+1

fn (x) , fn (x) 0 , n .

Каждая из функций fn (x) имеет только конечное число точек разрыва на отезке [a , b]D поэтому множество всех точек разрыва всех функций fn (x) не более чем счетноF Пусть это будет множество {xj } , j = 1 . . .F Положим

B=
i

Vi , Vi = (xi - 4-i , xi + 4

-i

).

@IFIUA

Множество C(B ) замкнутоD функциональная последовательность {fn (x)} монотонно стемится к нулю в каждой точке этого множества и кажE дая функция fn (x) непрерывна на C(B )D поэтому в силу теоремы Дини функциональная последовательность {fn (x)} стремится к нулю равноE мерно на C(B )F Пусть n( ) выбрано такD что

(x C(B ) , n > n( )) : fn (x) < .
W


При n > n( ) представим функцию @IFISA как сумму двух функций

fn (x) = fn (x) + fn (x), где fn (x) =
j

j I(Aj |x), j I(Aj |x).
j

@IFIVA @IFIWA

fn (x) =

В @IFIVA суммирование ведется по тем jD для которых Aj C(B ) = D а в @IFIWA суммирование ведется по тем jD для которых Aj B F Так как в @IFIVA j есть одно из значений функции fn (x) на множестве C(B )D то j : j < и
b

fn (x) dx (b - a)
a

Так как все точки j по определению принадлежат множеству B D то для всех тех j D по которым ведется суммирование в @IFIWAD выполнено включение [j , j +1 ] B F В силу леммы ГейнеEБореля каждый отреE зок [j , j +1 ] покрывается конечным числом интервалов Vi вида @IFIUAF Входящие в @IFIWA множества Aj не пересекаются и их объединение поE крывается конечной системой открытых интервалов Vi D суммарная длина которых меньше F Пусть

M = sup{f1 (x) | x X }
Тогда
b b

fn (x) dx M
a a j

I(Aj |x) dx (sup f1 (x)) ћ ,
x

и при n > n( ) X
b

fn (x) dx (M + b - a) ћ .
a

ИтакD мы доказали выполнение условия IFIFU в рассматриваемом наE ми примереF Читателю рекомендуется обобщить этот пример на случай пространE ства Rd F Другим обобщением этого примера является IH


IFIFV. Пусть F (x) Eмонотонно неубывающая непрерывная справа функция на отрезке [a , b] R1 и пусть L0 ([a , b]) Eлинейное пространство всех функций вида @IFISAF На пространстве L0 ([a , b]) определим элеменE тарный интеграл формулой
Пример

I0 (f ) =
0j N -1

(j )(F (

j +1

) - F (j )).

@IFPHA

Проверка условия IFIFU получается дословным повторением предыE дущих рассужденийF В примерах IFIFTEIFIFV каждая функция из пространства элементарE ных функций принимала только конечное число значенийF ПриемD состоE ящий в рассмотрении подобного класса функцийD часто используется в теории интегралаF
1.1.2 Множества меры ноль.

Рассмотим примерF Пусть X = [0 , 1] , L0 (X ) = C ([0 , 1]), а элементарный интеграл задается формулой

I0 (f ) = f (1/2)

@IFPIA

ЯсноD что в расматриваемом примере поведение интегрируемых функций на интервалах [0 , 1/2) и (1/2 , ] никак не влияет на интегралF Чтобы в общем случае выделить несущественные для интеграла подмножества области задания интегрируемых функцийD вводится понятие множества меры нольF

Определение 1.1.1.

Подмножество Z простанства X есть множество меры нольD если для каждого > 0 существует такая неубывающая поE следовательность

{fn (x)} L0 (X ) , f
неотрицательныхX

n+1

( x) f n ( x)

(n , x) : fn (x) 0
элементарных функцийD что

(x Z ) : sup{fn (x) | 1 n < } 1 и n : I0 (fn ) .
Пустое подмножество считается множеством меры ноль по определеE ниюF II


Если множество Z X есть множество меры нольD то мы будем писать mes(Z ) = 0. Таким образомD mes(Z ) = 0 в том и только том случаеD еслиX

( > 0) , {fn (x)} L0 (X ) : 0 fn (x) f (x Z ) : sup{fn (x) | 1 n < } 1, n : I0 (fn ) < .

n+1

(x) . . . ,
@IFPPA

Непосредственно из определения сразу же следует важное для дальE нейшего
то

Утверждение 1.1.3.
Z

Если

ZX

есть множество меры ноль и

Z Z

есть множество меры ноль.

Замечание

IFIFI. Позже мы введем понятие меры множества и у нас поE явятся множестваD мера которых равна нулюD а множества меры ноль в смысле определения IFIFI как раз и окажутся множествамиD мера коE торых равна нулюF НоD вообще говоряD при иных определениях понятия меры множества меры ноль в смысле определения IFIFI и множестваD мера которых равна нулюD Eэто разные классы множествF Эти классы множеств могут совпадать при одних определениях понятия меры мноE жества и не совпадать при других определениях понятия меры множеE стваF Более подробно мы остановимся на этом при обсуждении понятия меры множестваF Приведем примерыF IFIFW. В рассмотренном в начале этого параграфа примере мноE жество [0 , 1/2) (0 , 1/2] есть множество меры нольF
Пример Пример

IFIFIH. В примерах и IFIFI IFIFP одноточечные множества x0 [a , b] и x0 K есть множества меры нольF В качестве последовательности fn (x) можно взять последовательность

fn (x) max{0 , 1 - |x - x0 |/ } при
Пример Пример

1.

IFIFII. В примере IFIFQ каждая точка x0 {xj } есть множество меры ноль и никакая точка xj не есть множество меры нольF IFIFIP. В примерах IFIFREIFIFS единственные множества меры ноль Eэто пустые множестваF IP


Лемма 1.1.1.

Как видно из рассмотренных нами примеровD свойство множества быть множеством меры ноль зависит и от пространства элементарных функций L0 (X )D и от заданного на пространстве L0 (X ) элементарного интеграла I0 F
Счетное объединение множеств меры ноль есть мно-

жество меры ноль.

ДоказательствоFПусть Zk X , k = 1 , . . . Eмножества меры ноль и Z = Zk . По определению множества меры ноль для каждого k сущеE k ствует такая последовательность

{f
и

n,k

(x)} L0 (X ) , n = 1 . . .

что

(n , k ) : 0 f

n,k

(x) f

n+1,k

(x)

(x Zk ) : sup{f
Пусть

n,k

(x) | n Z} 1 , I0 (f

n,k

) < 2-k .

gn (x) := max{f

n,k

( x) | 1 k n } .

Функциональная последовательность gn удовлетворяет условиямX

{gn } L0 (X ) , 0 gn (x) g sup{gn (x) | 1 n < } 1,
поэтому

n+1

(x) , (x Zk ) :

(x Z ) : sup{gn (x) | 1 n < } 1
и

I0 (gn ) I0
1kn

f

n,k



Так как произвольноD то множество Z удовлетворяет условиям опредеE ления IFIFI Лемма доказанаF Введем понятие свойства, справедливого почти всюду. Рассмотрим некоторое зависящее от точки x X свойство P (x). Мы будем говоритьD что свойство P (x) справедE ливо почти всюдуD если множество точек x X, где свойство P (x) не справедливоD есть множество меры нольF IQ

Определение 1.1.2.


Это определение можно переформулировать такF Пусть P (x) Eфункция на множестве X D которая принимает два значенияX

f alse}) = 0.

Определение 1.1.3.

P: X

x P (x) {truth , f alse}

@xAatruth почти всюдуD если mes({x | P (x) =

Для выражения 4почти всюду 4мы будем использовать сокращение пFвF Таким образомD

(пFвF P (x) = truth) (mes(C({x | P (x) = truth})) = 0)
Особо отметим свойство сходимости почти всюду последовательности fn (x)F если Последовательность fn (x) сходится почти всюдуD
n

Определение 1.1.4.

mes(C({x | lim fn (x)}) = 0.
ОтметимD что так как свойство множества быть множеством меры ноль зависит от выбранного пространства элементарных функций L0 (X ) и от заданного на пространстве L0 (X ) элементарного интеграла I0 D то свойство почти всюду зависит от выбранного пространства элементарE ных функций L0 (X ) и от заданного на пространстве L0 (X ) элементарноE го интеграла I0 F В дальнейшем у нас возникнут ситуацииD когда нужно пояснитьD в каком именно смысле употреблен термин почти всюдуF ТоE гда мы будем писать пFвF mod(ч)F Смысл этого обозначения и его связь с интегралом будут пояснены позже на стрF THF Приведем примерF На отрзке [0 , 1] определим функцию

f ( x) =

0 , x [0 , 1/2) 1 , x [1/2 , 1].

@IFPQA

Эта функция нерперывна во всех точках отрезка [0 , 1] D за исключеE нием точки x = 1/2. Если мы определим элементарный интеграл такD как в утверждении IFIFID то силу приведенного выше примера IFIFIH точE ка x = 1/2 имеет меру нольF СледовательноD в этом случае функция @IFPQA непрерывна почти всюдуF Однако если мы определим элементарE ный интеграл формулой @IFPIAD то точка 1/2 уже не будет множеством меры нольD и при определении элементарного интеграла формулой @IFPIA функция @IFPQA не будет непрерывна почти всюдуF Используем понятие множества меры ноль для уточнения условий сходимости к нулю интеграла от последовательности функцийF IR


L0 (X )

Лемма 1.1.2.

Если последовательность элементарных функций

{fn }

удовлетворяет условиям:

x: 0 f
то

n+1

(x) fn (x)

и п.в.

n

lim fn (x) = 0,

n

lim I0 (fn ) = 0.

ДоказательствоF Так как последовательность элементарных функций fn (x) монотонно не возрастаетD то числовая последовательность I0 (fn ) монотонно не возрастает и предел limn I0 (fn ) существуетF Нужно доE казатьD что этот предел равен нулюF Пусть

M = sup{f1 (x) | x X } , Z = {x | lim fn (x) = 0}.
n

Так как mes(Z ) = 0D то существует такая последовательность элеменE тарных функций gn , что

(n , x X ) : 0 gn (x) g
и

n+1

(x) ,

(x Z ) : sup{gn (x) | 1 n < } 1.
Положим

hn (x) = fn (x) - M gn (x).
Последовательность hn (x) состоит из элементарных функций и монотонE но не возрастаетD поэтому у не? в каждой точке существует предел @но в е некотрых точках он может быть равен -AF Так как последовательность {hn (x)} монотонно не возрастает и

(n , x) : fn (x) M ,
то

(x Z ) : lim hn (x) lim fn (x) - M 0,
n n

Если x C(Z ) то limn Поэтому



hn (x) -M 0F
n

x : lim hn (x) 0 ,
IS


В дальнешем мы будем использовать обозначение

f + (x) := max{0 , f (x)}.
ЗаметимD что если f (x) Eэлементарная функцияD то f + (x) Eтоже элеменE тарная функцияF Последовательность h+ (x) удовлетворяет условиямX n

h+ (x) L0 (X ) , (x X , n) : h++1 (x) h+ (x) , n n n (x X ) : lim h+ (x) = 0. n
n

СледовательноD

I0 (fn ) - M I0 (gn ) = I0 (hn ) I0 (h+ ) 0 , n n
В силу выбора последовательности gn (x) отсюда следуетD что

0 lim I0 (fn ) lim sup M I0 (gn ) M .
n

Так как произвольноD то лемма доказанаF Из доказанной леммы вытекает

Следствие 1.1.1.

Если

f (x) L0 (X )

и п.в.

f ( x) = 0 ,

то I0

(f ) = 0 .

Для доказательства этого следствия достаточно рассмотреть послеE довательность fn (x) |f (x)|D применить к этой последовательности доE казанную лемму и неравенство |I0 (f )| I0 (|f |). В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначенияF Если последовательность {an } удовлетворяет условиям

n : a
то мы будем писать

n+1

an и lim an = a,
n

a

n

a.

Если последовательность {an } удовлетворяет условиям

n : a
то мы будем писать

n+1

an и lim an = a,
n

an
IT

a.


Лемма 1.1.3.

Если для каждого

n

множество

Zn := {x | f
есть множество меры ноль и п.в. то
n

n+1

(x) > fn (x)}

n

lim fn (x) = 0 ,

lim I0 (fn ) = 0.

f

ВоEпервых заметимD что если для каждого n множество Zn := {x | Zn есть n+1 (x) > fn (x)} есть множество меры нольD то множество

множество меры нольD а при x
n

Zn справедливо утверждение (x) fn (x).

n

n : f

n+1

Аналогичные рассуждения в дальнейшем позволят нам не делать разE личия между утверждениемD что некоторое свойствоD справедливо почти всюду сразу для всех n Z и утверждениемD что это свойствоD справедE ливо почти всюду для каждого n ZF Пусть

Z0 = {x | fn (x) 0 , n } и Z =
0n

Zn .

По условиюD mes(Z ) = 0. Пусть gn (x) := min{fk (x) | 1 k n}. Если x Z, то gn (x) = fn (x) и пFвF gn (x) 0 , n . Так как пFвF

gn (x) = fn (x) , то I0 (fn ) = I0 (gn ).

Так как последовательность gn (x) удовлетворяет условиям леммы IFIFPD то I0 (fn ) = I0 (gn ) 0 , n .
1.1.3 Построение интеграла по схеме Даниэля.

Мы приступаем к построению расширеня пространства элементарных функций и распространению элементарного интеграла на это расширенE ное пространствоF Расширять пространство элементарных функций мы будем в два этапаX сначала мы добавим некоторые поточечные пределы элементарных функцийD а потом мы добавим функцииD которые предE ставимы как разность тех функцийD которые мы добавили на первом этапеF IU


удовлетворяет двум условиям:

Лемма 1.1.4.

Пусть последовательность элементарных функций

{fn }

n : п.в. fn+1 (x) fn (x) , sup{I0 (fn ) | 1 n < } = C < .
Тогда п.в.

@IFPRA @IFPSA @IFPTA

f (x) : f (x) = lim fn (x) < .
n

ДоказательствоF ВоEпервых заметимD что условие @IFPRA эквивалентно условиюX n : mes{x | fn (x) > fn+1 (x)} = 0. @IFPUA ВоEвторых заметимD что утверждение леммы эквивалентно утверждеE ниюX mes{x | lim fn (x) = } = 0. @IFPVA
n

Рассмотрим последовательность

gn (x) := max{(fk (x) - f1 (x))+ | k n}.
ЯсноD что

Z := {x | lim fn (x) = } = {x | lim gn (x) = }
n n

@IFPWA

Последовательность неотрицательных элементарных функций gn (x) удоE влетворяет условиямX

(x , n) : gn+1 (x) gn (x) , пFвF gn (x) = fn (x) - f1 (x),
поэтому

I0 (gn ) = I0 (fn ) - I0 (f1 )
и

n : I0 (gn ) 2C.
СледовательноD монотонно неубывающая последовательность неотрицаE тельных элементарных функций gn (x)/2C удовлетворяет условиям @IFPPA для множества @IFPWAD так как

n : I0 ( gn (x)/2C ) < , и (x Z ) : sup{ gn (x)/2C | 1 n < } = .
Лемма доказанаF IV


Определение 1.1.5.
пFвF fn (x)

Заданая на множестве X функция f (x) принадлеE жит пространству L+ (X )D если существует такая монотонно неубываюE щая последовательность элементарных функций {fn (x)}D что

f (x) , n и sup{|I0 (fn )| | 1 n < } < .
1. Если

@IFQHA

Лемма 1.1.5.
ду: 3. Если 4. Если

f (x) L+ (X )

и п.в.

2. Каждая функция из пространства

g (x) = f (x), то g (x) L+ (X ). L+ (X ) ограничена почти всю-

(f L+ (X )) = (п.в. |f (x)| < ). 0 , 0 и f (x) , g (x) L+ (X ) f (x) , g (x) L+ (X ) то
то

f (x) + g (x) L+ (X ).

min(f (x) , g (x)) L+ (X ) , max(f (x) , g (x)) L+ (X ).
ДоказательствоF Первое утверждение следует непосредственно из опреE деленияF Второе утверждение следует из леммы IFIFQF Третье утверждеE ние очевидноF Для доказательства четвертого утверждения достаточно воспользоваться непрерывностю функций max , min и очевидным нераE венством

min(fn (x) , gn (x)) max(fn (x) , gn (x)) max(fn (x) - f1 (x) + |f1 (x)| , gn (x) - g1 (x) + |g1 (x)|) fn (x) + 2|f1 (x)| + gn (x) + 2|g1 (x)|.
ЯсноD что всегда L0 (X ) L+ (X )F В примере IFIFQ пространство L+ (X ) совпадает с пространством L0 (X )F Рассмотрим другие прмерыF

Утверждение 1.1.4.
[a , b]
и отрезка

Если пространство

X

есть отрезок

странство элементарных функций есть множество

[a , b], C ([a , b]) всех

пронепре-

рывных функций на отрезке

[a , b]

, а элементарный интеграл есть ин-

теграл Римана, то характеристические функции любого интервала ции полуинтервалов странству

( , )

[ , ] [a , b] (а также характеристические функ( , ] [a , b] , [ , ) [a , b]) принадлежат проL+ (X ).

Так как в рассматриваемой ситуации одноточечное множество @а такE же любое множествоD состоящее из конечного чиса точекA есть множество меры нольD то достаточно доказатьD что характеристическая функция I(( , ) | x) любого интервала ( , ) [a , b] принадлежит пространE ству L+ (X )F Но

x : I(( , ) | x) = lim min(1 , n(x - )+ , n( - x)+ ).
n

@IFQIA

IW


Стоящая в правой части равенства @IFQIA последовательность есть та последовательностьD которая требуется в определении IFIFSF Аналогично доказывается

Утверждение 1.1.5.

Если пространство

X

есть параллелипипед

K := {x | x = (x1 . . . xd ) Rd , aj xj bj , aj < bj },
пространство элементарных функций есть множество рывных функций на параллелипипеде параллепипеда

C (K )

всех непре-

K

, а элементарный интеграл есть

интеграл Римана, то характеристические функции любого открытого

K

,

:= {x | x = (x1 . . . xd ) Rd , aj j < xj < j bj } L+ (X ).

а также замкнутого параллелипипеда или параллелипипеда с некоторыми присоединенными гранями принадлежат пространству

Ниже мы будем предполагатьD что пространство элементарных функE ций Eэто множество непрерывных функций на соответствующей области заданияD а элементарный интеграл Eэто интеграл РиманаF IFIFIQ. Пусть функция f (x) непрерывна во всех точках паралE лелипипеда K за исключением точки x0 K D неотрицательнаD удовлеE творяет условию lim f (x) = + , x x0 и интегрируема по Риману в несобственном смыслеF Тогда f L+ (K )F
Пример

Для доказательства этого утвержденя достаточно рассмотреть послеE довательность fn (x) = min(n , f (x)), для которой выполнены условия пFвF lim fn (x) = f (x) ,
n

fn (x) dx

f (x) dx < .

@IFQPA

В правой части неравенства @IFQPA стоит несобственный интеграл РимаE наF Из этого примера следуетD что функция f (x) = / x принадлежит 1 пространству L+ ([0 , 1])F Но функция f (x) = -1/ x не принадлежит пространству L+ ([0 , 1])D так как не существует такой непрерывной функE ции (x)D которая почти всюду на [0 , 1] удовлетворяет неравенству fn (x) fn -1/ xF Таким образомD пространство L+ (X ) не есть линейное пространствоF Распространим на пространство L+ (X ) понятие интегралаF PH


Определение 1.1.6.

Пусть f L+ (X ) и функциональная последоваE тельность элементарных функций {fn } L0 (X ) удовлетворяет условию пFвF fn (x) Тогда мы по определению положим

f (x).

@IFQQA

I+ (f ) = lim I0 (fn ).
n

def

@IFQRA

Лемма 1.1.6.
п.в fn Тогда

В силу условия @IFQHA предел в @IFQRA всегда существует и конеченF ДоE кажемD что этот предел не зависит от выбора последовательности {fn }D а определяется только функцией f L+ (X )F
Пусть последовательности элементарных функций

{fn } , {n }

удовлетворяют условиям:

(x)

f (x) ,

п.в

n (x)

(x) , n

и п.в.

f (x) (x).
@IFQSA

n

lim I0 (fn ) lim I0 (n ).
n

ДоказательствоF Пределы интегралов в @IFQSA всегда существуют @как пределы монотонных числовых последовательностейAD но так как в этой лемме мы не предполагаем равномерной ограниченности интегралов в @IFQSAD эти пределы могут быть равны +F Фиксируем m < и рассмотрим последовательность

hn (x) = fm (x) - min(fm (x) , n (x)).
Эта последовательность удовлетворяет условиямX пFвF hn (x) Поэтому

(fm (x) - min(fm (x) , (x)) = 0 , n .

m : I0 (hn ) = I0 (fm ) - I0 (min(fm , n )) 0 , n .
СледовательноD

m : I0 (fm ) = lim I0 (min(fm , n )) lim I0 (n ),
n n

и
m

lim I0 (fm ) lim I0 (n ).
n

Лемма доказанаF PI


Из доказанной леммы следуетD что предел в @IFQRA зависит только от функции f L+ (X ) и поэтому определение IFIFT корректноF На пространстве L0 (X ) интеграл I+ совпадает с элементарным интеE гралом I0 F В условиях примера IFIFIQ интеграл I+ совпадает с несобственным интегралом РиманаF По построениюD определенная равенством @IFIA функция Дирихле f (x) принадлежит пространству L+ ([0 , 1]) и I+ (f ) = 0F НапомнимD что фунE ция Дирихле не интегрируема по РимануD и из этого примера следутD что пространство L+ (X ) шире пространства L0 (X )F

Лемма 1.1.7.
1. Если

Справедливы следующие утверждения. и

0, 0

f (x) , g (x) L+ (X )
и п.в.

то I+

(f + g ) = I+ (f ) +

I+ (g ).
2. Если 3. Если

f (x) L+ (X ) п.в. f (x) = 0,

то

f (x) 0, то I+ (f ) 0. f (x) L+ (X ) и I+ (f ) = 0.

Первое утверждение леммы очевидноD а для доказательства второго утверждения заметимD что если пFвF f (x) 0 и пFвF fn (x) f (x)D то пFвF + fn (x) f (x)F Третье утверждение леммы следует из первого утверждеE ния леммы IFIFS и только что доказанного утверждения P нашей леммыF Третье утверждение нашей леммы можно сформулировать и в слеE дующей формеF

Утверждение 1.1.6.
ства нулю:

Если

Z

-это множество меры ноль в смысле

определения 1.1.1, то характеристическая функция

I(Z | x)

множе-

Z

принадлежит пространству

L+ (X )

и интеграл от нее равен

(mes(Z ) = 0) (I(Z | x) L+ (X ) , I+ (I(Z | ћ) = 0).
Так как область определения функционала I+ Eпространство L+ (X ) Eне есть линейное пространствоD то функционал I+ не есть линейный функционалF

Лемма 1.1.8.
n :
то п.в. fn+1

Если последовательность и

{fn (x)} L+ (X )

такова, что

(x) fn (x)

sup{I+ (fn ) | 1 n < } < ,

@IFQTA

(f L+ (X )) :

п.в. fn

(x)

f (x)
PP

и I+

(fn ) I+ (f ) , n .

@IFQUA


ДоказательствоF Так как последовательность {fn (x)} почти всюду моE нотонно не убываетD то почти всюду существует @конечный или бесконечE ныйA предел f (x) := lim fn (x). @IFQVA
n

Для каждого n существует такая последовательность элементарных функE ций {gn,k (x)} , k = 1, . . .D что пFвF gn,k (x)

fn (x) , k и I0 (gn,k ) I+ (fn ) < C,

@IFQWA

и константа в @IFQWA не зависит от nF Положим

hk (x) := max{gn,k (x) | n k }.

@IFRHA

В силу неравенств @IFQWA последовательность элементарных функций @IFRHA почти всюду монотонно не убывает и ограничена сверху оперделенной равенством @IFQVAфункцией f (x)X пFвF hk+1 (x) = max gn,k+1 (x) max gn,k (x) max gn,k (x) =
1nk+1 1nk+1 1nk

hk (x) и пFвF hk (x) max fn (x) = fk (x) f (x),
1nk

@IFRIA @IFRPA

поэтому

k : I0 (hk ) I+ (fk ) < C.

Так как последовательность элементарных функций {hk (x)} монотонно не убывает и интегралы I0 (hk ) ограничены не зависящей от k константойD то по лемме IFIFR почти всюду существует предел

h(x) := lim hk (x),
k

@IFRQA

и по определению пространства L+ (X ) заданная равенством @IFRQA функE ция h(x) принадлежит пространству L+ (X )D а по определению интеграла в пространстве L+ (X ) справедливо равенство

I+ (h) = lim I0 (hk ).
k

@IFRRA

Из @IFRHA следуетD что пFвF h(x) = lim hk (x) f (x).
k

@IFRSA

СледовательноD

(n k ) : пFвF gn,k (x) hk (x) h(x) f (x).
PQ

@IFRTA


В неравенстве @IFRTA перейдем к пределу k F ПолучимX пFвFfn (x) = lim gn,k (x) h(x) f (x).
k

@IFRUA

В неравенстве @IFRUA перейдем к пределу n F ПолучимX пFвF f (x) h(x) f (x). СледовательноD почти всюду справедливо равенство

f (x) = h(x),
поэтому предел в @IFQVA конечен почти всюдуD определенная равенством @IFQVA функция f (x) принадлежит пространству L+ (X ) и I+ (f ) = I+ (h). Из неравенства @IFRPA следуетD что

I+ (f ) = I+ (h) = lim I0 (hk ) lim I+ (fk ),
k k

а из неравенства @IFRUA следуетD что
n

lim I+ (fn ) I+ (h) = I+ (f ),

поэтому
n

lim I+ (fn ) = I+ (f ).

Лемма доказанаF Введем основное для дальнешего понятие пространства интегрируемых функцийF

Определение 1.1.7.

Функция f : X R1 принадлежит пространству интегрируемых функций L(X )D если эта функция почти всюду предстаE вима как разность двух функций из L+ (X )X пFвF f (x) = (x) - g (x) , , g L+ (X ). @IFRVA

Таким образомD

(L(X )

f ) (( L+ (X ) , g L+ (X )) , пFвF f (x) = (x) - g (x)).

Принадлежащие пространству L(X ) функции мы будем называть интегрируемыми функциямиF PR


Если справедливо представление @IFRVAD то

h L0 (X ) : пFвF f (x) = ((x) + h(x)) - (g (x) + h(x)), ( + h) , (g + h) L+ (X ), @IFRWA
поэтому представление @IFRVA не единственноF В дальнешем нам будет важноD что этой неоднозначностью можно распорядиться специальным образомF

Лемма 1.1.9.
п.в.

Если функция

f (x)

принадлежит пространству

L(X ),

то для любого

>0

существует ее представление в виде разности

таких двух функций из

L+ (X ),

что

f (x) = (x) - g (x) , g (x) 0 , I+ (g (x)) < .

@IFSHA

ДоказательствоFПусть справедливо равенство @IFRVAF Так как g L+ (X )D то существует такая последовательность {gn } L0 (X )D что почти всюду gn (x) g (x) , n и I0 (gn ) I+ (g ) , n F Запишим равество пFвF f (x) = (x) - g (x) = (x) - gn (x) - (g (x) - gn (x)). @IFSIA

При достаточно большом n это представление является искомымF ЯсноD что L+ (X ) L(X ). Из определения следуетD что если f L(X ) , то (-f ) L(X ), поэтому из леммы IFIFS следует

Лемма 1.1.10.
и функция

Пространство

L(X )

-линейное пространство относи-

тельно операций поточечного сложения и умножения на действительные числа и если функция

f (x)

принадлежит пространству

L(X ),

то

|f (x)|

принадлежит пространству

L(X ).

ДействительноD из @IFRVA следуетD что если f (x) L(X )D то справедE ливо представление @IFRVAD поэтому

|f (x)| = max((x) , g (x)) - min((x) , g (x)) , , g L+ (X ),
но в силу леммы IFIFS

max((x) , g (x)) L+ (X ) , min((x) , g (x)) L+ (X ),
поэтому |f (x)| L+ (X )F Введем основное для дальнейшего понятие интеграла Даниэля на пространстве L(X )F PS


Если функция f (x) принадлежит пространству L(X ) и для нее справедливо равенство @IFRVAD то ее интегралом ДаниE эля I (f ) называется число

Определение 1.1.8.

I (f ) := I+ () - I+ (g ).

@IFSPA

ДокажемD что правая часть @IFSPA не зависит от представления @IFRVAD а определяется только функцией f (x)F Пусть пFвF f (x) = (x) - g (x) = 1 (x) - g1 (x). Тогда пFвF (x) + g1 (x) = 1 (x) + g (x). Так как

((x) + g1 (x)) L+ (X ) , (1 (x) + g (x)) L+ (X ),
то в силу леммы IFIFT отсюда следует равенство

I+ () + I+ (g1 ) = I+ (1 ) + I+ (g ),
поэтому

I+ () - I+ (g ) = I+ (1 ) + I+ (g1 ).
Таким образомD интеграл Даниэля определяется заданием трех объектовX основного пространства X D пространства элементарных функций L0 (X ) и элементарного интеграла I0 F Приведем примерыF Пусть основное пространство X есть полуотркрытый интервалX X = [0 , 1). Определим множества

A1 = [0 , 0.25) , A2 = [0.25 , 0.5) , A3 = [0.5 , 0.75) , A4 = [0.75 , 1).
Определим пространство элементарных функций как множество функE ций вида f ( x) = aj I(Aj | x) , aj R1 . @IFSQA
1j 4

Если на этом пространстве элементарных функций мы определим элеE ментарный интеграл как функционалD который каждой функции ставит в соответствие число 0D то пространство L(X ) будет состоять из всех функцийD заданных на [0 , 1) и интеграл Даниэля будет каждой функE ции ставить в соответствие число 0F PT


Если на пространстве функций вида @IFSQA мы определим элементарE ный интеграл как интеграл РиманаX
1

I0 (f ) =
0

1 f (x) dx = (a1 + a2 + a3 + a4 ), 4

то множеством меры ноль будет только пустое множество и пространE ство L(X ) будет совпадать с пространством L0 (X )D а никакие другие функцииD кроме функций из L0 (X )D не будут интегрируемыF Если мы определим пространство элементарных функций как множеE ство всех конечных линейных комбинаций характеристических функций всех непересекающихся полуинтервалов множества [0 , 1) а элементарE ный интеграл определим как интеграл РиманаD то пространство L(X ) будет совпадать с пространством интегрируемых по Лебегу функций @мы подробно обсудим этот случай позже в разделеD посвященном понятию мерыAF После тогоD как мы введем понятие меры и обсудим связь между интегралом Даниэля и классическим понятием интеграла ЛебегаD наряду с обозначением @IFSPA мы будем использовать следующие общепринятые обозначения для интеграла

I (f )
X

f dч
X

f (x) dч(x)
X

f (x) ч(dx).

@IFSRA

Очевидна

Лемма 1.1.11.

Интеграл Даниэля

I (f )

есть линейный неотрицатель-

ный функционал на пространстве интегрируемых функций

L(X ):

I : L(X ) R1 ; ( R1 , R1 , f L(X ) , g L(X )) : I (f + g ) = I (f ) + I (g ) (f (x) 0) (I (f ) 0).
Линейность очевиднаD а для доказательства неотE рицательности интеграла заметимD что если почти всюду f (x) 0D то в равенстве @IFRVA X (x) g (x),
Доказательство.

и в силу неотрицательности интеграла I+ справедливо неравенство I+ () I+ (g ). ЯсноD что на пространстве элементарных функций интеграл Даниэля совпадает с элементарным интеграломF Больше тогоD справедлива PU


Лемма 1.1.12.
что

Если функция

f (x)

принадлежит пространству

то существует такая последовательность элементарных п.в. fn

L(X ), функций {fn (x)}
@IFSSA

,

(x) f (x) , I (|f - fn |) 0 , n .
Пусть

Доказательство.

пFвF f (x) = (x) - g (x) , , g L+ (X ) . Тогда существуют такие последовательности элементарных функций {n } , {gn }D что пFвF n (x) (x) , gn (x) g (x), Положим

fn = n - gn .
Тогда пFвF : |f - fn | |( - n ) - (g - gn )| ( - n ) + (g - gn ) 0 , n , и по определению интеграла в пространстве L+ (X )

I (|f - fn |) I ( - n ) + I (g - gn ) = I+ ( - n ) + I+ (g - gn ) 0 , n .
Конструкция обычно используемого в современном анализе понятия инE теграла принадлежит Лебегу @и именно для интеграла Лебега обычно используются обозначения @IFSRAAF В введенных нами терминах классиE ческую конструкцию интеграла Лебега в общих чертах можно описать такF Рассматривается ситуацияD описанная в IFIFI @или в IFIFPA и сначала интеграл распространяется на такие функцииD которые принимают знаE чения H и ID а потом с помощью линейных комбинаций этих функций интеграл распространяется на те функцииD которые можно приблизить такими линейными комбинациямиF Конструкция Лебега дает более поE дробную информацию о пространстве интегрируемых функцийD но она требует и больших трудов на превоначальном этапе исследованияF ИнтеE грал Лебега будет обсужден нами после введения понятия меры множеE стваF В большинстве случаев интеграл Лебега и интеграл Даниэля совE падают при соответствующем соглосовании при выборе элементарного интеграла и мерыD поэтому в дальнейшемD следуя традицииD в тех слуE чаяхD когда интеграл Даниэля и интеграл Лебега совпадаютD полученное нами расширение интеграла мы будем называть интегралом ЛебегаF Справедливо PV


Утверждение 1.1.7.
R
d

Пусть пространство

X

есть параллелипипед

K

:

K := {x|x = (x1 , . . . , xd ) Rd , ai xi bi , ai < bi },

(и отезок

[a , b] в случае d = 1). Пусть пространство элементарных функций L0 (K ) есть пространство всех непрерывных функций, заданных на K : L0 (K ) = C (K ), а элементарный интеграл I0 на L0 (K ) есть
интеграл Римана:

I0 (f ) =
K

f (x) dx. I
совпадает с классиче-

Тогда построенный по схеме Даниэля интеграл ским интегралом Лебега. Это означает, что: 1. Функция

f (x)

принадлежит пространству

том случае, если она интегрируема по Лебегу на 2. Интегал Даниэля функции

L(K ) K.

в том и только

f

равен ее интегралу Лебега:

(f L(K )) :
K

f (x) dx := I (f ).

@IFSTA

В левой части Даниэля.

@IFSTA стоит интеграл Лебега, в правой части -интеграл

3. Множество ления

Z K есть множество меры ноль в смысле опреде@IFIFIA в том и только том случае, если мера Лебега множества

Z

равна нулю.

Так как мы не вводили интеграл ЛебегаD то мы сейчас не будем докаE зывать это утверждениеD но обсудим его позже после введения понятия меры множестваF Сейчас это утверждение можно принять за определеE ние интеграла Лебега в Rd F Равенство @IFSTA мы будем рассматривать как определение стоящего в левой части этого равенства символаF Утверждение IFIFU дает нам основание дать

Определение 1.1.9.
d

Мы будем говоритьD что определенная в параллеE липипеде K R функция f (x) интегрируема по Лебегу в параллелипиE педе K D если она принадлежит пространству L(K ) интегрируемых по ДаE ниэлю функцийD причем при построении пространства L(K ) в качестве элементарных функций взято пространство непрерывных в параллелиE пипеде функций и в качестве элементарного интеграла взят интеграл РиманаF ЗаметимD что часто под интегралом Лебега понимают интегралD поE строеннный по предложенной Лебегом схемеD но с произвольной меройF Такой интеграл также называется интегралом ЛебегаEСтильтесаF В дальнейшем мы будем придерживаться следующих определенийF PW


Пусть D Eограниченная область в Rd и K EпараллелипипедD который содержит область D : K DF Мы будем говоритьD что заданная в области D функция f (x) интегрируема по области DD если IF Функция I(D | x) интегрируема в параллелипипеде K F PF Функция f (x)I(D | x) интегрируема в параллелипипеде K F При этих условиях мы полагаем по определению

Определение 1.1.10.

f (x) dx =
D K

f (x)I(D | x) dx.

@IFSUA

Читателю предлагается проверитьD что правая часть @IFSUA не зависит от выбора объемлющего параллелипипеда K F В дальнейшем интеграл в смысле определений IFIFIHEIFIFIP мы буE дем называть просто интегралом или интегралом Лебега D если уточение необходимоF В общем случае при построении интеграла Даниэля не предполагаE ется выполнение условия IFIFVF Однако если это условие не выполнено и если функция f (x) 1 не принадлежит пространству L(X )D то работать с таким интегралом довольно трудноD и здесь часто помогает конструкE цияD аналогичная конструкции несобственного интеграла Римана в мноE гомерном случаеF Это обобщение понятия интеграла в смысле определеE ния IFIFV можно назвать несобственным интеграломF В общем случае мы определим это понятие такF

Условие 1.1.11.

Пусть

K (m) , m = 1 . . .

-последовательность мно-

жеств, которая удовлетворяет условиям:

K (m) = D , K (m) K (m + 1).
m

@IFSVA

Предположим, что для каждого и интеграл Im на пространстве

m построено пространство L(K (m)) L(K (m)), причем выполнены условия:
@IFSWA @IFTHA @IFTIA @IFTPA

1.m : если f (x) L(K (m)) то f (x)I(K (m) | x) L(K (m + 1)) 2. m : I(D K (m) | x) L(K (m)). 3. (m , f L(K (m))) : Im (f ) = Im+1 (f I(K (m) | ћ)). 4. m : (f (x) 1) L(K (m)).

При выполнении этих условий мы определяем несобственный интеE грал от заданной в области D функции такF QH


Определение 1.1.11.

Мы говоримD что заданная в области D функция f (x) интегрируема в области D в несобственном смыслеD если конечен предел lim Im (|f |I(D K (m) | ћ)) < , и в это случае мы по определению полагаем
m

f (x) (dx) := lim Im (f I(D
D m

K (m) | ћ)).

@IFTQA

В случае неограниченной области D в евклидовом пространстве Rd и классического интеграла Лебега это определение конкретизируется такF Пусть K (m) , m = 1 . . . Eпоследовательность параллелипипедовD коE торая удовлетворяет условиюX

K (m) = Rd , K (m) K (m + 1).

@IFTRA

Мы будем говоритьD что заданная в неограниченE ной области D Rd функция f (x) интегрируема по области DD если IF При любом m функция I(D K (m) | x) интегрируема в параллеE липипеде K (m)F PF Функция f (x)I(D K (m) | x) интегрируема в параллелипипеде K (m)F QF Конечен пределX
m

Определение 1.1.12.

m

lim

|f (x)|I(D
K (m)

K (m) | x) dx < .

@IFTSA

В этом случае мы по определению полагаем

f (x) dx := lim
D

m

f (x)I(D
K (m)

K (m) | x) dx.

@IFTTA

В дальнейшем интеграл в смысле определений IFIFIIEIFIFIP мы такE же будем называть интегралом или интегралом ЛебегаD если уточение необходимо и не будем специально фиксировать внимание на томD что интеграл понимается как несобственныйF Из леммы IFIFIP следуетD что интеграл в смысле определения IFIFW есть предел интегралов Римана от непрерывных функцийD поэтому на интеграл в смысле определения IFIFW с помощью операции предельного перехода легко переносятся обычные правила действия с интегралами @ замена переменныхD интегрирование по частямD аддитивность относиE тельно области интегрирования и тFдFA Однако сама операция предельE ного перехода в интеграле Лебега отличается от операции предельного перехода в интеграле Римана и будет изучена нами нижеF QI


1.1.4

Предельный переход в интеграле Лебега.

Нас будет интересовать следующая задачаF Пусть последовательность интегрируемых функций {fn } при n в какомEто смысле сходится к предельной функции f F При каких условиях предельная функция f интегрируема и ее интеграл есть предел интегралов от функций fn c ОсE новными результатами этой части являются две теоремыX теорема Лебега о предельном переходе в интеграле и теорема РиссаEФишера о полноте пространства L(X )F Мы начнем с доказательства теоремы Беппо ЛевиF

Теорема 1.1.1.
ет условиям:

Пусть последовательность п.в.

{n } L(X )

удовлетворя-

n (x) 0 , I (
1kn

k ) < C ,

@IFTUA

где

C

не зависит от

n

. Тогда:

1. Ряд

(x) =
n

n (x) (x)
принадлежит пространству

сходится почти всюду и его сумма

L(X ).
2. Справедливо равенство

I () =
n

I (n ).

@IFTVA

ДоказательствоF В силу леммы IFIFW каждую функцию n (x) можно представить в виде

n (x) = fn (x) - gn (x) ,
где

@IFTWA

fn , gn L+ (X ) , gn (x) 0 , I (gn ) < 2-n .
Из неотрицательности функций n (x) следует неравенство

@IFUHA

fn (x) = n (x) + gn (x) 0,
поэтому

I+ (
1kn

fk ) = I+ (
1kn

k ) + I+ (
1kn

gk ) C + 1.

QP


Мы видимD что последовательности частных сумм

Sn (f ) =
1kn

fn , S n (g ) =
1kn

gk

удовлетворяют условиям леммы IFIFVX это монотонно неубывающие поE следовательности функций из пространства L+ (X ) с ограниченными в совокупности интеграламиF СледовательноD в силу леммы IFIFV почти всюду при n эти суммы имеют пределыD эти пределы принадлежат пространству L+ (X )X пFвF S (f )(x) : lim Sn (f )(x) = S (f )(x) , S (f ) L+ (X ),
n

пFвF S (g )(x) : lim Sn (g )(x) = S (g )(x) , S (g ) L+ (X ),
n

и справедливы равенстваX

I+ (S (f )) = lim I+ (Sn (f )) , I+ (S (g )) = lim I+ (Sn (g )).
n n

Поэтому почти всюду существует предел

(x) := lim (Sn (f )(x) - Sn (g )(x))
n

и справедливо равенство

I () = lim (I+ (Sn (f )) - I+ (Sn (g ))) = lim
n

n

I (k ).
1kn

Теорема доказанаF

Следствие 1.1.2.
гралы: где

Если принадлежащая пространству

L(X )

последо-

вательность функций

{fn (x)}

имеет равномерно ограниченные инте-

fn L(X ) , |I (fn )| < C, C
не зависит от

n

, и почти всюду

либо fn то определенная в

(x)

f (x) ,

либо fn

(x)

f (x),

@IFUIA

@IFUIA функция f (x) принадлежит пространству

L(X ): f L+ (X )
и

I (f ) = lim I (fn ).
n

QQ


Для доказательства этого утверждения достоточно рассмотреть либо последовательность n = fn-1 - fn , f0 = 0 , либо последовательность

n = fn - f
и применить доказанную теоремуF

n-1

, f0 = 0 ,

Следствие 1.1.3.
f (x)
функция

Если принадлежащая пространству

L(X )

функция

почти всюду неотрицательна и интеграл от нее равен нулю, то

f (x)

почти всюду равна нулю.

Для доказательства данного утверждения достаточно применить теоE рему БеппоEЛеви к ряду nf (x).
n

В частностиD справедливо

Следствие 1.1.4.

Если характеристическая функция

I(A | x) =
множества

1, xA 0, xA

AX

интегрируема:

I(A | x) L(X )
и интеграл от нее равен нулю:

I (I(A | ћ)) = 0,
то множество 1.1.1.

A

есть множество меры ноль в смысле определения

Следующая теорема называется теоремой Лебега о предельном переE ходе в интеграле и часто применяется в приложенияхF

Теорема 1.1.2.
L(X )

Если последовательность интегрируемых функций

n

почти всюду имеет предел: п.в.

(x) : (x) = lim n (x) ,
n

@IFUPA

QR


и существует такая интегрируемая функция

0 (x) L(X ),

что

n :

п.в.

|n (x)| 0 (x),

@IFUQA

то определенная равенством

@IFUPA функция интегрируема:

L(X ),
и справедливо равенство

@IFURA

I () = lim I (n ) .
n

@IFUSA

Таким образом, если выполнены условия утверждать, что обе части равенства
n

@IFUPA-@IFUQA, то мы можем

lim I (n ) = I ( lim n ),
n

сущесвуют и равны. Доказательство.

Определим функции
n,k

f

n,k

(x) := max{n+j (x) | 0 j k } , g

(x) := min{

n+j

( x) | 0 j k } .

Справедливы оценки

|gn,k (x)| 0 (x) , |f
ОчевидноD что

n,k

(x)| 0 (x).

@IFUTA

f

n,k+1

( x) f

n,k

( x) , g

n,k+1

(x) gn,k (x).

В силу следствия IFIFP и оценки @IFUQA справедливы утверждения

(fn (x) L(X )) : lim f
k

n,k

(x) = fn (x), (x) = gn (x).

@IFUUA @IFUVA

(gn (x) L(X )) : lim g
k

n,k

В силу @IFUPA определенные равенствами @IFUUA E@IFUVA функции удовлеE творяют условиямX

fn (x) (x) , gn (x) (x) , n ; n : |gn (x)| 0 (x) , |fn (x)| 0 (x).
Снова примения следствие IFIFPD мы можем утверждатьD что

L(X ) и I () = lim I (fn ) = lim I (gn ).
n n

QS


Но очевидноD что

I (gn ) I (n ) I (fn ).
Теорема доказанаF Рассмотрим примерF Пусть
1

an =
0

fn (x) dx , где fn (x) = (cos(1/x))2n , x > 0 , fn (x) = 0 , x = 0.

ЯсноD что
n

lim fn (x) = 0 , x =

1 1 , m = 1 . . . , fn ( ) = 1. m m

Так как |fn (x)| 1, а множество точек {xm | xm = 1 , m = 1, . . .} есть m множество меры нольD то мы можем утверждать что an 0 , n F Иногда полезно следующее уточнение теоремы IFIFPF

Следствие 1.1.5.

Если выполнены условия теоремы 1.1.2, то

I (|n - |) 0 , n .

@IFUWA

Для доказательства этого утверждения достаточно заметитьD что пFвF |n (x) - (x)| 0 , n , n : |n (x) - (x)| 20 (x), и применить доказанную теоремуF Доказання теорема показывает существенное отличие интеграла ЛеE бега от интеграла РиманаX интеграл Лебега при очень общих предпоE ложениях 4выдерживает4поточечный предельный переход под знаком интегралаF Фиксируем внимание читателя на следующем обстоятельствеX теореE ма Лебега IFIFP доказана нами для интегралаD понимаемого в смысле определения IFIFVF Если же интеграл понимается как несобственный в смысле определения IFIFIID то необходимо еще рассмотреть возможность перестановки операций предельного перехода в IFTQ Следующие три леммы являются вариациями на тему теоремы ЛебеE га и часто исползуются в приложенияхF

Лемма 1.1.13.

Если последовательность интегрируемых функций

{n (x)}

почти всюду сходится к функции п.в.

(x):

n

lim n (x) = (x),
QT


и модуль функции

(x)
п.в.

ограничен сверху интегрируемой функцией:

|(x)| 0 (x) , 0 (x) L(X ), (x) L(X )

то функция

(x)

интегрируема:

и справедливо неравенство

|I ()| I (0 ).
ДоказательствоF Определим функцию

n (x) = max(min(n (x) , 0 (x)) , -0 (x)).
ЯсноD что пFвF : |n (x)| 0 (x) , lim n (x) = (x).
n

Поэтому в силу теоремы Лебега

(x) L(X ) и lim I (n ) = I ().
n

Но

|I (n )| I (0 ),
поэтому

|I ()| I (0 ).
Утверждение доказаноF

@IFVHA

Лемма 1.1.14.
где

Если последовательность интегрируемых функций

{n (x)}

удовлетворяет условиям: п.в.

n (x) 0 , lim n (x) = (x) , I (n ) C,
n

@IFVIA
функция

C не зависит от n, то определенная в равенстве @IFVIA (x) интегрируема и выполнено неравенство: I () C.
ДоказательствоF Рассмотрим последовательность

n (x) = inf {k (x) | k n < }.
Эта последовательность удовлетворяет условиямX пFвF : n (x)

(x) , I (n ) C.

Поэтому в силу следствия из теоремы Беппо Леви

(x) L(X ) , I () C.
Лемма доказанаF QU


Лемма 1.1.15.

Если последовательность интегрируемых функций

{n (x)}

удовлетворяет условиям: п.в.
n

lim n (x) = (x) , n : I (|n |) C,

@IFVPA

то определенная в равенстве полнено неравенство:

@IFVPA функция (x) интегрируема и вы-

|I ()| C.
Доказательство.

ОчевидноD что пFвF lim |n (x)| = |(x)|.
n

Поэтому в силу леммы IFIFIR |(x)| L(X )F Теперь достаточно воспольE зоваться леммой IFIFIQF Теперь мы готовы к доказательству одного из основных для нас факE тов теории интеграла ЛебегаX теоремы РиссаEФишера о полноте проE странства L(X )F

Теорема 1.1.3.
то

Если последовательность интегрируемых функций fn удовлетворяет условию:
n

( x)

lim sup{I (|fn - f L(X )

n+m

|) | 0 m < } = 0, f (x),

@IFVQA
что

1. В пространстве

существует такая функция

n

lim I (|fn - f |) = 0. {f
n(j )

@IFVRA

2. Существует такая подпоследовательность ности

(x)}

последователь-

{fn (x)}

, что п.в. fn(j )

(x) f (x) , j .

ДоказательствоF НапомнимD что про последовательностьD которая удоE влетворяет условию @IFVQAD говорятD что она удовлетворяет условию Коши в метрике L(X ) или фудаментальна в метрике L(X )F Из условия @IFVQA следуетD что существует такая подпоследовательE ность fn(j ) (x) последовательности fn (x)D которая удовлетворяет условиюX

(m > n(j )) : I (|f

n(j )

- fm |) < 2-j .

Для такой подпоследовательности сходится ряд

I (|f
1j <

n(j +1)

-f

n(j )

|) < ,

QV


Функции

x |f

n(j +1)

( x) - f

n(j )

(x)|

интегрируемыD поэтому из сходимости этого ряда в силу теоремы Беппо Леви следуетD что пFвF
1j <

|f

n(j +1)

(x) - f

n(j )

(x)| < ,

и поэтому пFвF Но

(f
1j <

n(j +1)

(x) - f

n(j )

(x)) < ,

(f
1j m

n(j +1)

(x) - f

n(j )

( x) = f

n(m+1)

( x) - f

n(1)

(x),

поэтому Так как

пFв f (x) : lim f
m

n(m)

(x) = f (x).

@IFVSA

m : I (|f

n(m)

|) I (|f

n(m)

-f

n(1)

|) + I (|f

n(1)

|) < 1 + I (|f

n(1)

|),

то к последовательности {fn(m) } мы можем применить лемму IFIFIS и на основе этой леммы мы можем утверждатьD что определенная равенством @IFVSA функция f (x) принадлежит пространству L(X )F Применяя лемму IFIFIS к последовательности

m (x) = f
мы получимD что

n(m)

(x) - fk (x) , k > N ( ),

I (|f - fk |) , k > N ( ).
Теорема доказанаF Если последовательность {fn (x)} удовлетворяет равенству @IFVRA то говорятD что она сходится к функции f (x) в пространстве L(X )F Из теоE ремы РиссаEФишера следуетD что в этом случае из последовательности {fn (x)} можно выделить подпоследовательностьD которая будет сходится к функции f (x) почти всюдуF Однако сама последовательность {fn (x)} при этом может не сходится ни в одной точкеF Приведем соответствуюE щий классический примерF QW


Пример

IFIFIR. На отрезке [0 , 1] определим функции

f

n,k

(x) =

1, x 0, x

k n k n

, ,

k+1 n k+1 n

, 0 k < n, .

Упорядочим индексы функциий fn,k X Будем считатьD что {n, k } > {n , k }D если n > n D а при n = n если k > k F ЯсноD что
1

f
0

n,k

(x) dx = 1/n 0 , n ,
n,k

но предела при {n, k } у функций f точке x [0 , 1]F
1.1.5 Пространства

(x) не существует ни в одной

Lp (X ).

В этой части мы будем считатьD что пространство элементарных функE ций L0 (X )D по которому мы строим интегралD удовлетворяет условиям IFIFV и IFIFWF В силу принятого нами условия IFIFW для любой основной функции L0 (X ) выполнено включение

p > 1 : ||p L0 (X ) L(X ).
НоD вообще говоряD может случиться такD что f (x) L(X )D но |f (x)|p L(X ) при p > 1F Примером может служить функция f (x) = x-1/p , 0 < x 1F Так как эта функция неотрицательна и интегрируема по Риману в несобственном смысле на отрезке [0 , 1]D то она интегрируема по ЛеE бегуD однако очевидноD что функция |f (x)|p не интегрируема по Лебегу на отрезке [0 , 1]F Мы посвятим эту часть изучению функцийD которые обладают тем свойствомD что они сами и некоторая степень их модуля интегрируемыF
неравенство

Лемма 1.1.16.
2. При любых

1. При любом

p>1

для

a0, b0

справедливо

(a + b)p 2p-1 (ap + bp ). p > 1 , q > 1,
таких, что

@IFVTA

11 + = 1, pq
для

@IFVUA

a0, b0

справедливо неравенство

ab

ap b q +. p q
RH

@IFVVA


ДоказательствоF Для доказательства неравенства @IFVTA рассмотрим функцию (t) = 2p-1 (1 + tp ) - (1 + t)p . Эта функция удовлетворяет условиямX

(0) > 0 , t :
СледовательноD

d (t) > 0. dt

(a 0 , b > 0) : (a/b) > 0,
что эквивалентно @IFVTAF Для доказательства неравенства @IFVVA рассмотрим функцию

(t) =
Справедливы утвержденияX

ap tq + - at. p q

(0) > 0 , () = ,
и существует единственная точка t = a1/(q-1) D в которой производная функции равна нулюD причем сама функция в этой точке тоже равна нулюF СледовательноD t > 0 : (t) 0, что эквивалентно @IFVVAF Лемма доказанаF Показатели степени p > 1 , q > 1D которые удовлетворяют условию @IFVUAD называются сопряженными показателями степениF Сопряженные показатели степени удовлетворяют условиюX

p + q = pq .
Если выполнены условия IFIFV и IFIFWD то мы гоE воримD что функция f (x) принадлежит пространству Lp (X )D если сама функция f (x) принадлежит пространству L(X ) и функция |f (x)|p также принадлежит пространству L(X ).

Определение 1.1.13. Лемма 1.1.17.
ли функции линейная

Пространство

Lp (X )

есть линейное пространство: ес-

f (x) , g (x) принадлежат пространству Lp (X ), то и их комбинация f (x) + g (x) принадлежит пространству Lp (X ).

ДоказательствоF Достаточно доказатьD что функция (x) = f (x)+g (x) принадлежит пространству Lp (X )F Ранее мы уже доказалиD что проE странство L(X ) есть линейное пространствоD поэтому |f (x) + g (x)| L(X )F Осталось доказатьD что |f (x) + g (x)|p L(X )F Согласно лемме RI


IFIFIP существуют такие последовательности элементарных функций fn (x) , gn (x)D что пFвF fn (x) f (x) , gn (x) g (x) , n . @IFVWA Из IFIFW и @IFVWA следуетD что

|fn (x) + gn (x)|p L(X ) и пFвF |fn (x) + gn (x)|p |f (x) + g (x)|p .
Но в силу неравенства @IFVVAX

|f (x) + g (x)|p 2p-1 (|f (x)|p + |g (x)|p ) L(X ),
поэтому в силу леммы IFIFIQ

|f (x) + g (x)|p L(X ).
Лемма доказанаF Положим по определению

(f Lp (X )) : f | Lp (X ) = I (|f |p )1/p

@IFWHA

Определенный равенством @IFWHA функционал f f | Lp (X ) называE ется Lp Eнормой функции f F

Теорема 1.1.4.

Если

f (x) Lp (X ) , g (x) Lq (X ),

то

f (x)g (x) L(X )
@IFWIA

и справедливо неравенство Гельдера

I (|f g |) f | Lp (X ) ћ g | Lq (X ) .

ДоказательствоF Пусть последовательности элементарных функций fn (x) , gn (x) удовлетворяют условию @IFVWAF Тогда пFвF |fn (x)gn (x)| |f (x)g (x)|

|f (x)|p |g (x)q + p q

L(X ).

@IFWPA

В силу леммы IFIFIQ отсюда следуетD что |f (x)g (x)| L(X )F В неравенE стве @IFWPA сделаем замену f (x) f (x)/ f | Lp (X ) , g (x) g (x)/ g | Lq (X ) и потом проинтегрируемF После умножения на f | Lp (X ) g | Lq (X ) получим @IFWIAF Теорема доказанаF

Теорема 1.1.5.

Если

f Lp (X ) , g Lp (X ),

то справедливо неравен-

ство Минковского:

f + g | Lp (X ) f | Lp (X ) + g | Lp (X ) .
RP

@IFWQA


ливы неравенстваX

Доказательство.

Если p , q Eсопряженные показателиD то справедE

I (|f + g |p ) I (|f + g |p-1 |f |) + I (|f + g |p-1 |g |) I (|f + g |(p
-1)q 1/q

)

I (|f |p )1/p + I (|f + g |(p

-1)q 1/q

)

I (|g |p )

1/p

.

Разделив обе части полученного неравенства на I (|f + g |(p-1)q )1/q и учиE тываяD что (p - 1)q = p , 1 - 1/q = 1/p, мы получим @IFWQAF Теорема доказанаF

Теорема 1.1.6.
n

Если последовательность функций

{fn (x)} Lp (X )
@IFWRA
, что

удовлетворяет условию:

lim sup{ |fn - f

n+m

| | Lp (X ) | 0 m < } = 0,

то 1. В пространстве

Lp (X )
n

существует такая функция

f (x)

lim |fn - f | | Lp (X ) = 0. f
n(j )

@IFWSA

2. Существует такая подпоследовательность ности

( x)

последователь-

fn (x),

что п.в. fn(j )

(x) f (x) , j .

Если последовательность функций {fn (x)} Lp (X ) удовлетворяет условию @IFWRAD то говорятD что она фундаментальна в пространстве Lp (X )D а описываемое в утверждении I свойство пространства Lp (X ) называется полнотой пространства Lp (X )F ДоказательствоF Применяя неравенство Гельдера к @IFWRA и учитывая условие IFIFVD мы получаемX

I (|fn - fm |) I (1)1/q I (|fn - fm |p )

1/p

0 , n m .

@IFWTA

Таким образомD при выполнении условия IFIFV фундаментальная в Lp (X ) последовательность фундаментальна в L(X )F СледовательноD из послеE довательности {fn (x)} можно извлечь такую подпоследовательность {fn(j ) (x)}D что пFвF fn(j ) (x) f (x) L(X ) , j . @IFWUA Учитывая @IFWRAD мы получаем пFвF |f
n(j )

(x)|p |f (x)|p , I (|f
RQ

n(j )

|p ) C.


Применяя лемму IFIFIS к последовательности j (x) = fn(j ) (x), мы полуE чаемD что определенная равенством @IFWUA функция f (x) удовлетворяет условиямX f (x) L(X ) , |f (x)|p L(X ). Применяя лемму IFIFIS к последовательности j (x) = |f мы получаемD что
n(j )

(x) - fm (x)|p ,

I (|f - fm |p ) = I ( lim |f
j

n(j )

- fm |p ) , m > N ( ).

Теорема доказанаF Если функция f (x) 1 не принадлежит пространству L(D)D то Lp E норма функции f и пространство Lp (D) обычно определяются такD что в правой части @IFWHA стоит несобственный интеграл в смысле определения IFIFIIF Остановимся на этом подробнееF Пусть выполнены условия IFIFIIF Тогда мы определяем пространство Lp (D) такF

Определение 1.1.14.
и конечен предел

Мы говоримD что заданная в области D функция f (x) принадлежит пространству Lp (D) D если

m : f (x)I(D

K (m) | x) Lp (K (m))

m

lim Im ((|f |I(D

K (m) | ћ))p ) < ,

и в это случае мы по определению полагаем

f | Lp (X )

p

:= lim Im ((|f |I(D
m

K (m) | ћ))p ).

@IFWVA

Для определенной равенством @IFWVA Lp Eнормы справедливы неравенE ства Гельдера и МинковскогоX для доказательства этого утверждения достаточно выписать соответствующие неравенства в каждом прстранE стве Lp (K (m)) и потом перейти к пределу m . Пространство Lp (D) с определенной равенством @IFWVA Lp Eнормой полноF Доказательство проE водится небольшим изменением доказательства теоремы IFIFTX замечаE емD что из тогоD что последовательность {fn } фундаментальна в смысле нормы @IFWVAD следуетD что она фундаментальна по норме каждого проE странства Lp (D K (m))D и поэтому с помощью диагонального процесса последовательность {fn(j ) } можно выбрать такD что она будет сходиться в каждом пространстве L(D K (m))F Дальнейшие рассуждения остаются без измененияF Остановимся на операции предельного перехода в простанстве Lp (D) для того случаяD когда норма определяется равенством @IFWVAF RR


ность

Лемма 1.1.18.

Пусть
p

1p<

и функциональная последователь-

{fn (x)} L (D)

удовлетворяет условиям:

1.f : m fn - f | Lp (D 2. lim sup{I (I(D
m

K (m)) 0,

@IFWWA @IFIHHA

(K (m + s) \ K (m)))|fn |p | n , s} = 0.

Тогда определенная в равенстве странству

@IFWWA функция f (x) принадлежит проp

Lp (D)

и

fn - f

0 , n .

@IFIHIA

Для доказательства достаточно проверитьD что из условий @IFWWA и @IFIHHA следуетD что последовательность {fn } фундаментальна в норме пространства Lp (D)F Для пространства Lp (Rd ) можно дать следующее уточнение леммы IFIFIV

Лемма 1.1.19.

K (m) -куб в пространстве Rd : K (m) = {x | x = (x1 , . . . , xd ) , |xi | m.}. Пусть функциональная последовательность {fn (x)} Lp (Rd ) при некотором p , 1 p < , удовлетворяет
Пусть следующим условиям.

1. m : п.в. fn (x) f (x), , n , x K (m), 2. (m , n) : п.в. |fn (x)| m (x) Lp (K (m)), m (x) 3. lim sup{
m |x|>m

@IFIHPA не зависит от n. @IFIHQA

|fn (x)|p dx | 1 n < } = 0.

Тогда определенная равенством странству

@IFIHPA функция f (x) принадлежит про-

Lp (Rd )

и

n

lim

|fn (x) - f (x)|p dx = 0.

Чтобы пояснить роль условия @IFIHHA рассмотрим последовательность

fn (x) = exp(-(x - n)2 )
в пространстве L1 (R1 ). ЯсноD что
a

a , b :
b

exp(-(x - n)2 ) dx 0 , n ,


но

exp(-(x - n)2 ) dx
-



RS


Условия @IFIHHAE@IFIHQA аналогичны условию равномерной сходимости несобственного интеграла Римана и является упрощенным вариантом условия равномерной интегрируемости @смF RD SAF При исследовании воE проса о предельном переходе в интеграле условия типа равномерной инE тегрируемости обычно налагаютя в том случаеD если интеграл понимаE ется как несобственный или как интеграл по EконечнойD но не конечной мереF ЗаметимD что в определении IFIFIR не предполагаетсяD что f (x) L(D)F Рассмотрим примерF Пусть

f (x) = (x(x + 1)2 (x - 1)-2 ln2 x)-

1/

, > 1.

Легко проверитьD что f (x) L ([0 , ))D но f (x) Lp ([0 , )) , p = .
1.2
1.2.1

Мера и измеримые функции.
Сводка основных определений теории меры.

Понятие меры часто встречается в анализе и математической физикеF Приведем краткую сводку соответствующих определенийF Подробно с этими понятиями в классической трактовке можно ознакомиться по приE веденному в конце главы списку литературыF В следующем пункте мы разберемD как эти понятия вводятся в принятой нами схеме ДаниэляF
алгеброй множеств

Определение 1.2.1.

Система A подмножетсв множества X называется D если выполнены условияX

1. A , X A. 2. (A A , B A) : A BA, A B A , A \ B A.

Алгебра множеств называется -алгеброй D если она замкнута относиE тельно счетных объединений и пересечений множествX

(Ai A) :

Ai A ,
i

Ai A.

Поскольку Eалгебра есть алгебра множествD то было бы достаточE но потребовать замнутости только относительно счетных объединений множествX в силу формул де Моргана отсюда уже следовало быD что E алгебра замкнута относительно образования счетных пересечений мноE жеств и их дополненийF RT


Определение 1.2.2.

Рассмотрим отрезок [0 , 1]F Наименьшая EалгебраD которая содержит все открытые интервалы (a , b) [0 , 1]D называется борелевской алгебE рой множеств отрезка [0 , 1]F Если X Eтопологическое пространствоD то борелевской алгеброй мноE жества X называется наименьшая EалгебраD которая содержит все отE крытые подмножества множества X F Алгебру борелевских множеств топологического пространства X мы будем обозначать символом B (X )F Заданная на Eалгебре A функция множеств

ч : A [0 , 1]
называется мерой D если она удовлетворяет условиям нормировкиX

ч() = 0 , ч(X ) = 1
и EаддитивнаX

@IFIHRA

(Ai A , A

i

A j = , i = j ) : ч(
i

Ai ) =
i

ч(Ai ).

@IFIHSA

Иногда условие Eаддитивности не включается в определение мерыF Из @IFIHSA следуетD что Eаддитивная мера ч удовлетворяет условиюX если An такая система подмножеств множества X D что

An A , A
то

n+1

An ,
n

A n = ,

@IFIHTA

ч(An ) 0 , n .

@IFIHUA

Для доказательства этого утверждения достаточно заметитьD что

C(An ) =
1mn

C(An ) \ C(A

n-1

), A0 = ,

поэтому

1 = ч(X ) = lim ч(C(An )) =
n

1 - lim ч(An ).
n

Eаддитивные меры также называют счетноEаддитивными мерамиF Часто рассматривают мерыD которые не удовлетворяют условию нормиE ровкиD а мерыD которые этому условию удовлетворяютD называют вероE ятностными мерамиF В этом параграфе мы будем рассматривать мерыD которые удовлетворяют условию нормировкиD тFеF вероятностные мерыF
RU


Можно доказатьD что существует единственная мера ч0 D область заE дания которой есть борелевская алгебра подмножеств отрезка [0 , 1] и которая удовлетворяет условию

(a , b) [0 , 1] : ч0 ((a , b)) = b - a.

@IFIHVA

Эту меру мы будем называть стандатрной мерой Бореля или просто борелевской мерой на отрезке [0 , 1]F Если X Eтопологическое пространствоD то в общем случае борелевской мерой на пространстве X называется любая мераD область определения которой есть наименьшая EалгебраD содержащая все открытые подмноE жества множества X F Если на Eалгебре A задана некоторая мера чD то отвечающей этой мере внешней мерой называется функция множеств ч D которая для всех подмножеств множества X определена равенством

A X : ч (A) = inf {ч(B ) | B A , A B }.

@IFIHWA

Определение 1.2.3.

Множество A X называется измеримым по ЛебегуD если выполнено равенство

ч (A) + ч (X \ A) = 1.

@IFIIHA

и в этом случае мерой Лебега множества A называется число ч (A). Множество всех измеримых по Лебегу множеств образует EалгебруD которая зависит как от исходной Eалгебры AD так и от меры чF ОбознаE чим эту Eалгебру символом E xtч (A). Она называется лебеговским расE ширением Eалгебры AF Функция множеств ч (A) на Eалгебре E xtч (A) определяет меруD которую называют лебеговским продолжением меры ч @или мерой ЛебегаA и обозначают тем же символом чF
ной мерой

Заданная на Eалгебре A мера ч называется полD если из того фактаD что Z A , A A , ч(A) = 0 следуетD что Z A , ч(Z ) = 0. Мера Лебега полнаD а лебеговское расширение Eалгебры с заданной на ней счетноEадитивной мерой можно получить @смF доказательство в W F глF ID предложение IFRFTAF D если дополнить область определения меры всеми подмножествами множеств меры ноль и на этих подмножествах доопределить меру нулемF RV

Определение 1.2.4.


Другой способ построения лебеговского расширения Eалгебры A соE стоит в следующемF Рассмотрим симметричную разность двух множеств

A B := (A
Легко видетьD что

B ) \ (A

B ).

I(A B | x) = |I(A | x) - I(B | x)|,
поэтому функция

d(A , B ) := ч (A B )

@IFIIIA

определяет расстояние на подмножествах множества X @илиD в другой интерпретацииD на множестве всех характеристических функций подмноE жеств множества X AF Замыкание Eалгебры AD рассмативаемой как подE множество полного метрического пространства с расстоянием @IFIIIAD и будет лебеговским расширением Eалгебры AF В рамках схемы Даниэля лебеговское расширение Eалгебры A можно получить такF Определим на пространстве X множество элементарных функций L0 (X ) как множество функций вида

f (x) =
1j N

j I(Aj | x) , j R1 ,

где

Aj A ,
j

Aj = X , Aj

Ai = , j = i.

На этом пространстве элементарных функций определим элементарный интеграл формулой I0 (f ) := j ч(Aj )
j

и далее будем действовать по схеме ДаниэляF Тогда элементами пополнеE ния Eалгебры A будут те подмножестваD характеристические функции которых принадлежат пространству L(X )F Часто по умолчанию считаютD что если на Eалгебре задана мера чD то эта Eалгебра множеств уже пополнена по мере чD тFеF считаютD что A = E xtч (A)F Ниже мы не будем делать это предположениеF Следует заметитьD что если в область определения меры входит больше нулевых подмножествD то входит и больше их дополненийD поэтому изменяется содержание понятия почти всюдуF Пусть на множестве X задана Eалгебра AD на множестве Y задана Eалгебра B и f: X Y RW


Eотображение X в Y F Легко проверитьD что при любом отображении f полный прообраз f -1 (B ) Eалгебры B есть некоторая Eалгебра в X F Отображение f : X Y измеримо относительно Eалгебры A X и Eалгебры B Y D если

Определение 1.2.5.

f

-1

(B ) A.

Понятие измеримости отображения никак не связано с понятием меры и опирается только на понятие EалгебрыD однако если на Eалгебре задана мераD то часто говорят об измеримости отображения относительE но мерыD подразумевая EалгебруD на которой задана мераF Если Y = R1 D то обычно по умолчанию считаютD что в качестве E алгебры B в R1 взята не пополненная @это важно3A Eалгебра борелевских множествD тFеF наименьшая EалгебраD относительно которой измеримы все открытые множестваF В этом случае определение IFPFS эквивалентно следующемуF Заданная на множестве X функция f : X x f (x) R1 называется измеримой относительно Eалгебры A подмноE жеств множества X D если при любом a R1 множество {x | f (x) < a} принадлежит Eалгебре A.

Определение 1.2.6.

Определение 1.2.7.

Подмножество A X называется измеримымD есE ли его характеристическая функция измерима в смысле определения IFPFTF

Пусть в пространстве R1 задана Eалгебра борелевских множеств @тFеF наименьшая EалгебраD которая содержит все открытые множестваAD в пространстве X задана произвольная Eалгебра и

f : X R1
Eизмеримое в смысле определения IFPFT отображениеF ДокажемD что оно измеримо в смысле определения IFPFSF Если функция f (x) измерима в смысле определения IFPFTD то множество

A = {x | f (x) a} =

{x | f (x) < a + 1/j }
j >1

@IFIIPA

измеримоD так как счетное пересечение принадлежащих Eалгебре мноE жеств снова принадлежит этой EалгебреF Если функция f (x) таковаD что при любом a R1 множество

A = {x | f (x) a}
SH

@IFIIQA


измеримоD то при любом a R1 множество

B = {x | f (x) < a} =

{x | f (x) a - 1/j }
j >1

@IFIIRA

измеримоD так как счетное объединение принадлежащих Eалгебре мноE жеств снова принадлежит этой EалгебреF Далее заметимD что если функция f (x) измеримаD то множества

{x | f (x) a} = X \ {x | f (x) < a}, {x | f (x) > a} = X \ {x | f (x) a}
измеримы как дополнения к измеримым множествамF Таким образомD мы доказали следующе

Утверждение 1.2.1.
из множеств

Функция

f (x)

измерима в смысле определения

1.2.6 в том и только том случае, если при всех

a R1

какое либо

{x | f (x) < a} , {x | f (x) a}, {x | f (x) > a} , {x | f (x) a}
измеримо, и измеримости при всех следует измеримость остальных.

a R1

одного из этих множеств

Аналогично доказывается

Утверждение 1.2.2.
множество жит

Функция

f (x)

измерима в смысле определения

1.2.6 в том и только том случае, если каково бы ни было борелевское

B R1 , полный прообаз f -1 (B ) множества B принадле -алгебре A, т.е. определения 1.2.6 и 1.2.5 эквивалентнны.

В задачах теории функций действительной переменной в качестве множества X обычно рассматривается отрезок [0 , 1] с Eалгеброй измеE римых по Лебегу множествF В этом случае понятие измеримости окаE зывается очень широким и примеры неизмеримых функций строятся с трудомF В задачах теории вероятности интересуются измеримостью функE ции g (x) относительно наименьшей EалгебрыD которая содержит все Eалгебры вида f -1 (B )D где f Eотображение из некоторого класса отобE раженийF Эта задача нетривиальнаD так как справедливо утверждениеX функция g (x) измерима относительно Eалгебры f -1 (B )D если существуE ет такая функция D что g (x) = (f (x))F Это очевидно в том случаеD если SI


функция f простаяD тFеF принимает конечное число значенийD а общий случай получается аппроксимацией произвольной функции простымиF Приведем простой примерF Пусть пространство X есть отрезок [-1 , 1]D простанство Y есть отрезок [0 , 1] и Eалгебра Y есть Eалгебра борелевE ских множеств отрезка [0 , 1]F Пусть f (x) = x2 . Тогда функция g (x) = |x| измерима относительно Eалгебры f -1 (Y )D а функция g (x) = max(0 , x) EнетF Если функция f (x) измерима относительно Eалгебры A с заданной на Eалгебре A мерой чD то ее интегралом Лебега по мере ч называется предел

Определение 1.2.8.

f (x) ч(dx) :=
X n

lim

2-n k ч({x | 2-n k f (x) < 2-n (k + 1)}),
-
@IFIISA

если этот предел существует и если ряд в правой части @IFPFVA сходится абсолютно при всех nF Пусть ч0 внешняя мера для определенной равенством @IFIHVA бореE левской мерыF Отвечающую этой внешней мере меру Лебега мы будем называть классической мерой Лебега или просто мерой ЛебегаF На бореE левской алгебре множеств отрезка [0 , 1] мера ЛебегаD конечноD совпадает с мерой Бореля @IFIHVAF
1.2.2 Построение меры множества в схеме Данизля.

При построении интеграла по схеме Даниэля мера множества определяE ется через интегралF ИтакD предположимD что нам задано множество X D пространство элеE ментарных функций L0 (X ) и элементарный интеграл I0 D причем выполE нены условия IFIFIEIFIFUF В этой частиD как и в предыдущейD мы будем считатьD что пространство элементарных функций L0 (X ) дополнительE но удовлетворяет условиям IFIFV и IFIFWD причем выполнено условие норE мировки @IFSAF Пусть I Eинтеграл и L(X ) Eпространство интегрируемых функцийD которые построены по схеме Даниэля на основе пространства элементарных функций L0 (X ) и элементарного интеграла I0 F Мы покажемD что в рассматриваемой ситуации интеграл I порождает некоторую Eалгебру множеств в X и меру на этой EалгебреF SP


Определение 1.2.9.

Множество A X измеримо @относительно интеE грала I A D если его характеристическая функция интегрируемаX

I(A | x) L(X ),
и мерой ч(A) множества A называется интеграл от его характеристичеE ской функции ч(A) := I (I(A | ћ)). @IFIITA ДокажемD что определение IFPFW согласуется с определением мерыD которое дано вышеF

Теорема 1.2.1. Лемма 1.2.1.

Естественная область определения меры в смысле опре-

деления 1.2.9 есть



-алгебра множеств и на этой



-алгебре мера в

смысле определения 1.2.9



-аддитивна.

Доказательство теоремы мы разобъем на несколько леммF
Если множества

A

и

1.2.9 , то множества этого определения.

A

B, A

B измеримы в B , A \ B тоже

смысле определения измеримы в смысле

ДоказательствоF Если множества A и B измеримы в смысле определеE ния IFPFWD то согласно лемме IFIFIP существуют такие последовательности A B fn (x) , fn (x) элементарных функцийD что
A B пFвF : fn (x) I(A | x) , fn (x) I(B | x) , n .

Положим ОчевидноD что

A B n (x) = min(1 , |fn (x)| , |fn (x)|).

пFвF : n (x) I(A

B | x) , n (x) L(X ) , 0 n (x) 1.

По теореме Лебега о предельном переходе мы можем утверждатьD что функция I(A B | x) интегрируемаD тFеF множество A B измеримоF Но

I(A

B | x) = I(A | x) + I(B | x) - I(A

B | x) .

Отсюда следуетD что множество A ства A \ B следует из равенства

B измеримоF Измеримость множеE B | x).

I(A \ B | x) = I(A | x) - I(A

Лемма доказанаF Мы доказалиD что измеримые в смысле определения IFPFW множества образуют алгебру множествF ДокажемD что эта алгебра есть Eалгебра и определенная на ней равенством @IFIITA функция множеств EаддитивнаF SQ


Лемма 1.2.2.

Пусть последовательность измеримых в смысле опреде-

ления 1.2.9 множеств

A

i удовлетворяет условию

Ai
Тогда объединение множеств 1.2.9 и

Aj = , i = j. A= Ai ) =
i i i

@IFIIUA

Ai

измеримо в смысле определения

ч(

ч(Ai ).

@IFIIVA

ДоказательствоFВоEпервых заметимD что из справедливого при всех A X , B X равенства

I(A | x) + I(B | x) = I(A

B | x) + I(A

B | x)

следует конечная аддитивность определенной равенством @IFIITA функE ции множествX

I (I(A | ћ)) + I (I(B | ћ)) = I (I(A

B | ћ)) + I (I(A

B | ћ)).

При выполнении условия @IFIIUA справедливо равенство

I(A | x) =
i

I(Ai | x).

@IFIIWA

ЗаметимD что в силу условия @IFIIUA справедливо неравенство

I(
1in

I(Ai | ћ)) 1.

В силу леммы Беппо Леви отсюда следуетD что правая часть@IFIIWA есть интегрируемая функция и справедливо равенство @IFIIVAF Лемма докаE занаF Из лемм IFPFI и IFPFP вытекает утверждение теоремы IFPFI В теории интеграла известна теорема @теорема Рисса и ее обобщениеX теорема РиссаEМарковаEКакутаниAD которая утверждаетD что при опреE деленных условиях любой линейный непрерывный функционал на проE странстве C (X ) представим как интегралF При определении интеграла по схеме Даниэля непрерывный функционал по определению есть интеE гралD а леммы IFPFI и IFPFP утверждаютD что такой функционал порожE дает меруD поэтому доказанное нами утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Рисса в схеме ДаниеляF В дальнешем нам понадобится следующее утверждениеF SR


Теорема 1.2.2.

Пусть основное пространство

X

есть отрезок дей-

ствительной оси:

X = [a , b] R1 .
Если пространство элементарных функций рывные функции:

L0 ([a , b])

содержит все непре-

C ([a , b]) L0 ([a , b]),
то



-алгебра всех измеримых в смысле определения 1.2.9 множеств со-

держит шую



-алгебру борелевских множеств отрезка

[a , b],

т. е. наимень-



-алгебру, которая содержит все открытые множества отрезка

[a , b].
ДоказательствоF Пусть a < < < bF Нам достаточно доказатьD что характеристические функции множеств [a , ) , ( , ) , ( , b] интегриE руемыF Положим

n,1 (x) = min(1 , n( - x)+ ), n,2 (x) = min(1 , n( - x)+ , n(x - )+ ), n,3 (x) = min(1 , n(x - )+ ).
Тогда

x : n,1 (x) I([a , ) | x) , n , |n,1 (x) 1, x : n,2 (x) I(( , ) | x) , n , |n,2 (x) 1, x : n,3 (x) I(( , b] | x) , n , |n,3 (x) 1
и интегрируемость соответствующих характеристических функций мноE жеств вытекает из теоремы Лебега @смF QRAF Теорема доказанаF

Теорема 1.2.3.

Пусть выполнены условия предыдущей теоремы,

ч(dx)

-порожденная интегралом мера 1.116,

F (t) :=
axb

(I([a , t] | x)ч(dx).

@IFIPHA

Тогда: 1. Функция резке

F (t)

монотонно не убывает и непрерывна справа на от-

[a , b]: t [a , b] : F (t + 0) = F (t). g (t)
непрерывна на отрезке

2. Если функция равенство

[a , b]

@IFIPPA.

, то справедливо

SS


ДоказательствоF Монотонность функции F (t) очевиднаF Докажем ее непрерывность справаF Пусть n +0 , n F Справедливо равенство

[a , t] =
n

[a , t +

n

].

Отсюда следуетD что

(x [a , b]) : I([a , t +

n

] | x)

I([a , t] | x) , n ,

поэтому в силу теоремы Беппо Леви

F (t +

n

)=
axb

(I([a , t +

n

] | x)ч(dx)
axb

(I([a , t] | x)ч(dx) = F (t).

Первое утверждение теоремы доказаноF Функция F (t) называется функцией распределенияD порожденной меE рой ч(dx)F В дальнешем по умолчанию мы будем функцию распределеE ния нормировать условием F (a) = 0 @иначе можно рассматривать отрезок [a , b] , a < aAF Пусть a = x0 < x1 < . . . < xn = b разбиение отрезка [a , b]F Пусть функция g (x) непрерывна на отрезке [a , b]F Положим

(x (xj , x(j +1) ] , 0 j (n - 1)) : gn (x) = g (j ) , j (xj , x n = max{|xj +1 - xj | | 1 j (n - 1)}.

(j +1)

],

Функция gn (x) зависит от разбиения {xj } и выбора точек j D но

(x [a , b]) : gn (x) g (x) , n , n 0,
и

@IFIPIA

|gn (x)| sup{|g (x)| | x [a , b]}.
Далее мы замечаемD что IF функция gn (x) постоянна на полуинтервалах (xj , xj +1 ]D PF характеристическая функция полуинтервала (xj , xj +1 ] есть разE ность характеристических функций отрезков [a , xj +1 ] и [a , xj ]F ST


Поэтому в силу теоремы Лебега

g (x)ч(dx) = lim
axb

n 0 axb

gn (x)ч(dx) =

n 0

lim

g (j )(F (x
0j n-1

(j +1)

) - F (xj )) .

@IFIPPA

Теорема доказанаF СуммаD которая стоит в правой части равенства @IFIPPAD называется интегральной суммой РиманаEСтильтьеса от функции g (x) по функции распределения F (x)D а интегралD который получается как предел таких суммD называется интегралом РиманаEСтильтьеса и обозначается такX
b n 0

lim

g (j )(F (x
0j n-1

(j +1)

) - F (xj ))

=
a

g (x)dx F (x).

@IFIPQA

Мы доказалиD что если основное пространство есть отрезок [a , b]D проE странство элементарных функций содержит все непрерывные функции и в интеграле Даниэля интегрируемая функция непрерывна D то интеграл Даниэля может быть вычислен как предел интегральных сумм РиманаE СтильтьесаF IFPFI. Легко видетьD что утверждение теоремы справедливо для более шерокого класса функцийX функций g (x)D которые можно предE ставить как равномерный предел кусочно постоянных на полуинтерваE лах (xj , xj +1 ] функцийF
Замечание

Пусть F (x) E непрерывная справа неубывающая функция на отрезE ке [a , b] , F (a) = 0F На множестве всех непрерывных функций C ([a , b]) определим элементарный интеграл формулой

(g C ([a , b])) : I0 (g ) = lim

n 0

g (j )(F (x
0j n

(j +1)

) - F (xj )) . @IFIPRA

Пусть I (g ) интеграл ДаниэляD построенный по определяемому формулой @IFIPRA элементарному интегралу I0 (g )F

Определение 1.2.10.
ЛебегаEСтильтьесаF

Интеграл I (g ) мы будем называть интегралом

Мы будем обозначать интеграл ЛебегаEСтильтьеса символом
b

g (x)dx F (x) := I (g ),
a

SU


хотя егоD вообще говоряD нельзя вычислить как предел интегральных суммF Обозначим Eалгебру измеримых в смысле определения IFPFW мноE жеств символм AI F

Лемма 1.2.3.

Если функция

f ( x)

интегрируема:

f (x) L(X ),
то она измерима относительно



-алгебры

AI

.

ДоказательствоFПусть f (x) L(X )F Нам нужно доказатьD что харакE теристическая функция I({x | f (x) < a} | x) интегрируемаF Это следует из теоремы Беппо Леви и равенства

I({x | f (x) < a} | x) = lim min(1 , n(a - f (x))+ ).
n

Измеримая функция может быть не интегрируема в смысле определения IFPFVF ПримерX функция f (x) = x-2 на полуинтервале (0 , 1] с обычной мерой ЛебегаF Однако справедлива

Лемма 1.2.4.

Если функция

f (x)

измерима относительно меры

ч(dx)

и почти всюду по мере определения 1.2.8 по

ч(dx) ограничена, мере ч(dx).

то она интегрируема в смысле

ДоказательствоF Без оганичения общности мы будем считатьD что пFвF |f (x)| 1. В этом случае стоящая в правой части @IFIISA сумма таковаX

Sn =
|m|2
n

m2-n ч({x | m2-n f (x) < (m + 1)2

-n

}).

@IFIPSA

Каждое слагаемое в этой сумме можно записать в виде

m2-n ч({x | m2-n f (x) < (m + 1)2 2m2
-(n+1)

-n

}) =
-(n+1)

ч({x | 2m2

-(n+1)

f (x) < (2m + 1)2
-(n+1)

})
-(n+1)

+ 2m2

-(n+1)

ч({x | (2m + 1)2

f (x) < (2m + 2)2
n+1

})

Вычитая после этого из суммы Sn сумму S

D мы легко получаем оценку

|Sn - Sn+1 | const.2-n ,
SV


из которой следуетD что последовательность Sn фундаментальна и поэтоE му имеет пределF Лемма доказанаF Эту лемму можно уточнитьF Положим

A(m , n) = {x | m2-n f (x) < (m + 1)2
Определим функциональную последовательность

-n

}.

Fn (x) :=
|m|2n

m2-n I(A(m , n) | x).

Справедлива

Лемма 1.2.5.

Если интеграл (определенный по Даниэлю) и мера

ч

заны равенством

@IFIITA, то справедливо равенство
n

свя-

lim

|Fn (x) - f (x)| ч(dx) = 0.

@IFIPTA

ДоказательствоF Очевидна оценка

|Fn (x) - f (x)| ч(dx) = I(A(m , n) | x)|Fn (x) - f (x)| ч(dx) 2-
|m| 2n n+1

,

которая и доказывает наше утверждениеF Вычислим интеграл в смысле Даниэля от функции Fn (x)F ПолучимX

Fn (x) ч(dx) =
|m|2n

m2-n ч({x | m2-n f (x) < (m + 1)2

-n

}),

Отсюда и из предыдущей леммы вытекает
с интегралом Даниэля в смысле определения 1.1.8.

Теорема 1.2.4.

Интегал Лебега в смысле определения 1.2.8 совпадает

Мы доказали это утверждение для ограниченных функцийD для остальE ных можно воспользоваться теоремой ЛебегаF Выясним связь между множествами меры ноль в смысле определения IFIFI и теми измеримыми в смысле определения IFPFW множествамиD для которых определенная равенством @IFIITA мера равна нулюF Мы уже обсуждали этот вопрос в следствии IFIFR и утверждении IFIFTF Остановимся на этом еще разF SW


ле определения 1.1.1 в том и только том случае, если множество измеримо в смысле определения 1.2.9 и мера множества

Лемма 1.2.6.
.

Множество

ZX

есть множество меры ноль в смыс-

Z

Z

равна нулю:

ч(Z ) = 0

ДоказательствоF Если Z есть множество меры ноль в смысле опредеE ления IFIFID то согласно этому определению характеристическая функE ция множества Z почти всюду равна нулюX пFвF I(Z | x) = 0, @IFIPUA

поэтому согласно лемме IFIFU характеристическая функция множества Z интегрируемаX I(Z | x) L+ (X ), и

ч(Z ) = I (I(Z | ћ)) = 0.
Если характеристическая функция множества Z интегрируема и

I (I(Z | ћ)) = 0,
то согласно следствию IFIFR множество Z есть множество меры ноль в смысле определения IFIFIF Лемма доказанаF Очевидно
ством

Следствие 1.2.1.

Если мера множества и интеграл связаны равен-

ч(A) =

I(A | x) ч(dx),

@IFIPVA

то определения 1.1.2 1.1.3 эквивалентны определениям

Определение 1.2.11.

IF Свойство P (x) справедливо почти всюдуD если множество точек x X, где свойство P (x) не справедливоD есть множеE ствоD мера которого в смысле определения @IFIPVAD равна нулюF
Эквивалентная формулировка: пусть

P (x)

-функция на множестве

X

, которая принимает два значения:

P: X
Тогда

x P (x) {truth , f alse}

Определение 1.2.12.
f alse}) = 0.

P (x) = truth почти всюдуD если ч({x | P (x) =

TH


Именно в этом смысле мы можем теперь понимать термин почти всюE ду во всех предыдущих рассужденияхF Когда нужно пояснитьD относительно какой меры мы рассматриваем свойство почти всюдуD мы будем писать пFвF mod(ч)F Из доказанной нами леммы вытекает и утверждение IFIFUF Из леммы IFPFT и утверждения IFIFQ следуетD что мера @IFIITA на E алгебре AI полна в следующем смыслеX если Z A AI и ч(A) = 0D то Z AI и ч(Z ) = 0F Определение @IFIITA не исчерпывает все интересные и важные для приложений случаи задания меры на множестве X X существуют мерыD определение которых естественно задавать иначеF Можно поступить следующим образомF Задать на некоторой Eалгебре подмножеств множества X полную вероятностную меруF Далее опредеE лить интеграл по IFPFVF Этот интеграл принять за элементарный интеE гралD а потом по построенному интегралу задать новую меруF Можно показатьD что мы получим исходную меруF Таким образомD при построеE нии интеграла в конечном счете безразлично с чего начинатьX с задания меры или элементарного интегралаF
1.2.3 Измеримые функции.

Пусть AI есть Eалгебра измеримых в смысле определения IFPFW мноE жествD а мера ч на Eалгебре AI и интеграл связаны соотношением @IFIPVAF Обозначим множество измеримых @смF определение IFPFTA относительно Eалгебры AI функций символом L(X )F Таким образомD

(f L(X )) ((a R1 ) : {x | f (x) < a} AI ).

@IFIPWA

Множество L(X ) зависит от Eалгебры AI F НапримерD если Eалгебра состоит из двух множествX и X D то в пространство L(X ) входят только постоянные на X функцииF В примере IFIFT пространство L(X ) состоит из линейных комбинаций характеристических функций полуинтервалов Aj = [j , j +1 )F Пусть в пространстве R1 задана Eалгебра борелевских множествD в пространстве X задана произвольная Eалгебра и L(X ) Eмножество отобE ражений f : X R1 , Eизмеримых в смысле определения IFPFTF

Лемма 1.2.7.
L(X ),
то

Справедливы следующие утверждения. пространство: если

1. Множество

L(X ) есть линейное f (x) + g (x) L(X ).
TI

f (x) , g (x)


2. Если 3. Если 4. Если

f (x) L(X ), то |f (x)| L(X ). f (x) L(X ) , g (x) L(X ), то f (x)g (x) L(X ). мера ч полна и последовательность измеримых f (x) :
п.в.

функций

{fn (x)}

почти всюду имеет предел:

mod(ч) lim fn (x) = f (x),
n

@IFIQHA

то определенная равенством

@IFIQHA функция f (x) измерима: f (x)

L(X ).
5. Для произвольной последовательности измеримых функций множество

{fn (x)}

A

тех точек

x

, где последовательность

тальна (т.е. имеет предел ), принадлежит

{fn (x)} -алгебре AI .

фундамен-

ДоказательствоF Для доказательства первого утверждения достаточE но заметитьD что для любых измеримых функций f (x) , g (x) множество

{x | f (x) + g (x) < a} = ({x | f (x) m/n}
-
{x | g (x) < a - m/n})

измеримоF Второе утверждение следует из равенства

{x | |f (x)| < a} = {x | f (x) < a}

{x | f (x) > -a}

ЗаметимD что отсюда следует измеримость функции f 2 (x)D если функция f (x) измеримаF Так как

1 f (x)g (x) = ((f (x) + g (x))2 - f 2 (x) - g 2 (x)), 2
то из утверждений I и P следует утверждение QF Перейдем к доказательству четвертого утвержденияF Пусть Z мноE жество тех точек xD где последовательность fn (x) не имеет пределаF На множестве C(Z ) = X \ Z рассмотрим Eалгебру

A = {A | A = A

C(Z ) , A A}

и сужение меры ч на эту EалгебруF Это можно сделатьD поскольку мера полнаF На множестве C(Z ) справедливо равенство

{x | lim fn (x) a} =
n

{x | fn (x) a + 1/q }.
q 1 m>1 n>m

@IFIQIA

TP


Стоящее в правой части равенства @IFIQIA множество измеримо относиE тельно Eалгебры A F Отсюда в силу полноты меры ч следует измериE мость множества {x | limn fn (x) a} относительно Eалгебры AF Для доказательства последнего утверждения нашей леммы достаточE но заметитьD что множество @быть можетD пустоеA тех точек xD где послеE довательность {fn (x)} фундаментальнаD есть множество

A=

{x | |fp (x) - f
k1 n1 pn q >0

p+q

(x)| 1/k }.

1.2.4

Сходимость по мере.

Пусть нам задана Eалгебра множеств A и мера ч на этой EалгебреF

Определение 1.2.13.

Последовательность измеримых относительно E алгебры A функций {fn (x)} фундаментальна по мере чD если для любых a > 0 , > 0 существует такой номер n(a , )D что при n n(a , ) для всех p 1 выполнено неравенство

ч({x | |fn (x) - f

n+p

(x)| > a}) < .

@IFIQPA

Последовательность измеримых относительно E алгебры A функций {fn (x)} сходится по мере ч к измеримой функции f (x)D если для любых a > 0 , > 0 существует такое число n(a , )D что при n n(a , ) выполнено неравенство

Определение 1.2.14.

ч({x | |fn (x) - f (x)| > a}) < .

@IFIQQA

Ниже предполагаетсяD что Eалгебра и мера на ней фиксированыF Из неравенства

|fn (x) - f
следуетD что

n+p

(x)| |fn (x) - f (x)| + |f (x) - f

n+p

(x)|

ч({x | |fn (x) - fn+p (x)| > 2a}) ч({x | |fn (x) - f (x)| > a}) + ч({x | |f (x) - f

n+p

(x)| > a}),

@IFIQRA @IFIQSA

поэтому из сходимости по мере следует фундаментальность по мереF НиE же мы докажемD что из фундаментальности по мере следует сходимость по мереF Однако сначала мы докажемD что из сходимости почти всюду следует сходимость по мереF TQ


Лемма 1.2.8.

Если последовательность измеримых функций

сходится почти всюду к функции сходится к функции

f (x)

, то последовательность

{fn (x)} {fn (x)}

f (x)

по мере.

ДоказательствоFРассмотрим множество

Aa =

{x | |fn (x) - f (x)| > a}.
m nm

@IFIQTA

Если x Aa , то в этой точке x последовательность fn (x) не сходится к f (x)D поэтому ч(Aa ) = 0 и

ч(
СледовательноD

{x | |fn (x) - f (x)| > a}) 0 , m .

nm

ч({x | |fn (x) - f (x)| > a}) ч(
nm

{x | |fn (x) - f (x)| > a}) 0 , m . {fn (x)}
фундаментальна по

Лемма 1.2.9.

Если последовательность

мере, то последовательность

{fn (x)}

содержит подпоследовательность,

которая сходится почти всюду.

ДоказательствоF Из условия IFIQP следуетD что для любого k > 0 суE ществует такой номер n(k )D что мера множества

Ak : (x Ak ) (sup{|f
удовлетворяет неравенству

n(k)

(x) - fm (x)| | m > n(k )} 2-k ).

ч(Ak ) < 2-k .
Пусть @IFIQUA

A=
j 1 kj

Ak .

ОчевидноD что

j : ч(A) ч(
k j

Ak )
k j

ч(Ak ) < 21-j 0 , j ,

поэтому

ч(A) = 0
TR


и

ч(C(A)) = 1.
Но

C(A) =
j 1 kj

C(Ak ). C(Ak ), поэтому
kj

Если x C(A), то существует такое j 1, что x

(k j , p > 0) : |f < sup{|f
n(k)

n(k)

( x) - f

n(k+p)

(x)|

(x) - fm (x)| | m n(k )} < 2-k ,

а это означаетD что последовательность fn(k) (x) фундаментальнаF Лемма доказанаF ЗамечаниеF Легко заметитьD что доказательства двух последних лемм однотипны и основаны на рассмотрении множеств @IFIQUA и @IFIQTAF В вероятностной интерпретации эти множества представляют некоторые событияD которые происходят бесконечное число разF При определенE ных условиях такие события должны быть измеримы относительно E алгебрыD состоящей из двух множествX , X D и поэтому их вероятность может быть равна только нулю или единице @это одна из формулировок закона нуля или единицы в теории вероятностиAF Из двух предыдущих лемм следует

Лемма 1.2.10.

Если последовательность измеримых функций фунда-

ментальна по мере, то она сходится по мере к измеримой функции.

ДоказательствоF Пусть {fn (x)} Eфундаментальная по мере последоваE тельность и {fn(j ) } Eее подпоследовательностьD которая сходится почти всюду к функции f (x)F Согласно лемме IFPFU функция f (x) измеримаF При любом a > 0 справедливо неравенство

ч({x | |f (x) - fm (x)| > 2a}) < ч({x | |f (x) - fn(j ) (x)| > a}) + ч({x | |f

n(j )

(x) - fm (x)| > a}),

Первое слагаемое в правой части этого неравенства может быть сделаE но сколь угодно малым при j D так как из сходимости почти всюду следует сходимость по мереF Второе слагаемое может быть сделано сколь угодно малым при выборе достаточно большого m в силу фундаментальE ности по мере последовательности {fn (x)}F Лемма доказанаF TS


Лемма 1.2.11.

При

a>0

справедливо неравенство

ч({x | |f (x)| > a})

1 a

|f (x)| ч(dx).

@IFIQVA

Неравенство @IFIQVA называется неравенством Чебышева F Для доказательства этого неравенства заметимD что

(|f (x)|/a) ч(dx)

(|f (x)|/a) I({x | |f (x)| > a} | x)ч(dx)

I({x | |f (x)| > a} | x) ч(dx) = ч({x | |f (x)| > a}).
НапомнимD что последовательность {fn (x)} сходится в метрике пространE ства L(X ) к функции f (x)D если

|fn (x) - f (x)| ч(dx) 0 , n .
Из неравенства @IFIQVA следуетD что

1 |fn (x) - f (x)| ч(dx), a поэтому из сходимости в L(X ) следует сходимость по мереF Собирая доказанные леммыD мы получим a > 0 : ч({x | |fn (x) - f (x)| > a})

Теорема 1.2.5.

Справедливы следующие утверждения.

1. Если последовательность измеримых функций

{fn (x)}

сходится

почти всюду, то она сходится по мере. 2. Если последовательность измеримых функций сходится в метрике пространства

L(X )

, то она сходится по мере.

3. Для сходимости по мере последовательности и достаточно, чтобы последовательность но по мере.

{fn (x)}

необходимо

{fn (x)}

была фундаменталь-

4. Фундаментальная по мере последовательность сходящуюся почти всюду подпоследовательность.

{fn (x)}

содержит

В заключении приведем одну полезную формулуF Пусть (t) Eнепрерывно дифференцируемая на инервале [0 , ) неубывающая функцияD f (x) E измеримая функцияF Тогда справедливо равенство

d(t) dt. @IFIQWA dt 0 Для доказательства этого равенства достаточно проинтегрировать по меE ре ч(dx) очевидное равенство (|f (x)|) ч(dx) = ч({x | |f (x)| > t})




(|f (x)|) =
0

I({x | |f (x)| > t} | t)
TT

d(t) dt. dt


1.2.5

Функция Кантора.

Приведем во многих отношениях принципиально важный классический примерX функцию КантораF Эта функция строится на отрезке [0 , 1]F ПоE строение будем вести индуктивноF На нулевом шаге индукции мы опреE делим функцию Кантора gt(t) на интервалах t < 0 , t > 1X gt(t) : gt(t) = 0 , t < 0 ; gt(t) = 1 , t > 1. Далее отметим на отрезке [0 , 1] интервал (1/3 , 2/3) и на этом интервале положим gt(t) = (0 + 1)/2 = 1/2 , 1/3 < t < 2/3. У нас остались два отрезкаX [0 , 1/3] , [2/3 , 1]F На каждом отрезке мы отметим среднюю третьX интервалы (1/9 , 2/9) , (7/9 , 8/9) и на отмеченE ных интервалах положим gt(t) = (0 + 1/2)/2 = 1/4 , 1/9 < t < 2/9, gt(t) = (1/2 + 1)/2 = 3/4 , 7/9 < t < 8/9. ПредположимD что мы сделали n шагов построенияF На шаге n + 1 мы поступаем такF Двигаясь от точки 0 вправо мы на каждом встретившемE ся отрезке будем отмечать лежащий посередине отрезка интервалD длина которого равна одной трети длинны отезкаD и на отмеченном интервале определим функцию gt(t) как полусумму тех значенийD которые она имеE ет на ближайших слева и справа отмеченных ранее интервалахF Так мы будем делать до тех порD пока не дойдем до точки 1F Затем мы вернемся к точке 0 и повторим построениеF Объединение отмеченных в результате такого процесса интервалов называется отрытым множеством Кантора

G = (1/3 , 2/3)
Дополнение множества G

(1/9 , 2/9)

(7/9 , 8/9) . . .

P = [0 , 1] \ G
называется замкнутым множеством Кантора @или еще совершенным мноE жеством КантораAF Так как на каждом шаге построения суммарная длиE на неотмеченных отрезков уменьшается в 2/3 разаD мера Лебега замкнуE того множества Кантора равна нулюD поэтому мера Лебега открытого множества Кантора равна единицеF По построению функция Кантора постоянна на каждой связанной компоненте открытого множества КанE тора G и монотонно не убывает на GX gt(t1 ) gt(t2 ) , t1 t2 , t1 , t2 G, TU


причем все числа вида m2n , 0 < m < 2n , n Z+ принадлежат множеE ству значений функции Кантора gt(t) на множестве GF Доопределим функцию Кантора на всех точках отрезка [0 , 1] равенE ствами gt(0) = 0 , gt(t) = sup gt( ) , G, 0 < t 1.
t

@IFIRHA

ЯсноD что так определенная функция gt(t) монотонно не убывает на отE резке [0 , 1] и gt(1) = 1F ДокажемD что gt(t) непрерывна на отрезке [0 , 1]F В силу монотонности функции gt(t) в каждой точке t0 [0 , 1] должны существовать пределы слева и справаF ПредположимD что gt(t0 + 0) > gt(t0 - 0)F Тогда интервал (gt(t0 - 0) , gt(t0 + 0)) не может содержать значений функции gt(t) в силу монотонности функции gt(t) D а это проE тиворечит томуD что все числа вида m2-n , 0 < m < 2n , n Z+ принадE лежат множеству значений функции gt(t)F Мы доказалиD что функция Кантора gt(t) обладает следующими свойE ствамиX она непрерывна на отрезке [0 , 1] и монотонно не убывает на этом отрезкеD причем gt(0) = 0 , gt(1) = 1F По построению функция Кантора gt(t) постоянна на каждом открытом интервалеD объединение которых составляет открытое множество GF Отсюда следуетD что функция КантоE ра дифференцируема в каждой точке открытого множества G и ее проE изводная тождественно равна нулю на GF Так как дополнение множества G имеет меру нольD мы получаемD что функция Кантора дифференцируE ема почти всюду на отрезке [0 , 1] и ее производная почти всюду равна нулюF Это может противоречить наивным предположениям о томD что с непрерывной функцией на множестве меры ноль ничего произойти не можетF В данном случае на множестве меры ноль непрерывная функция возрастает от нуля до единицыF В наших построениях мы фактически нигде не использовали то обE стоятельствоD что отмечается именно треть отрезкаF К тем же выводам можно было бы прийтиD если бы на каждом шаге отмечатьD напримерD открытый интервал длины 4/5 или 1/5 отмечаемого отрезкаF КлассичеE ская конструкция удобна темD что она позволяет просто доказатьD что замкнутое множество P имеет мощность континуумаF ДействительноD из построения следуетD что множеству P принадлежат те и только те числа q D которые имеют вид

q=
1n<

3-n a(n) , где a(n) = 0 , 2

Eпроизвольная последовательность из нулей и двоекF Но все такие числа TV


находятся во взаимно однозначном соответствии с числами вида

r=
1n<

2-n-1 a(n) , где a(n) = 0 , 1,

а это и есть все числа из полуинтервала (0 , 1]F Таким образом замкнутое множество Кантора @илиD как его еще назыE ваютD совершенное множество КантораA есть пример множестваD которое имеет меру ноль и мощность континуумаF В некотором смысле противоположный пример можно получитьD если рассмотреть множество

A = [0 , 1] \

(xn - 4-
1n<

n

, xn + 4

-n

),

где {xn } Eпоследовательность всех рациональных точек отрезка [0 , 1]. Множество A замкнуто и имеет меруD больше чем 1 - , но не содержит ни одного открытого интервалаF
1.2.6 Теорема Фубини.

Пусть K1 , K2 Eкомпактные топологические пространстваD K = K1 Ч K2 Eдекартово произведение пространств K1 , K2 F Точки пространства K = K1 Ч K2 мы будем обозначать символами (x , y ) x Ч y , x K1 , y K2 F Пусть C (K ) Eмножество всех непрерывных функций на пространстве K F Возьмем пространство всех непрерывных на компакте K функций C (K ) в качестве пространства элементарных функций и пусть

I0 : C (K ) R1
Eэлементарный интеграл на L0 (K ) = C (K )F НапомнимD что элементарE ный интеграл необходимо удовлетворяет условию

(f C (K )) : |I0 (f )| I0 (1) sup{|f (x , y )| | (x , y ) K }.

@IFIRIA

ПредположимD что элементарный интеграл I0 удовлетворяет условиюX

(f (x , y ) = (x) (y )) : I0 (f ) = I0,1 ()I0,2 ( ),

@IFIRPA

где I0,1 , I0,2 Eлинейные функционалы на C (K1 ) , C (K2 ) соответственноF Приведем примерF Пусть K1 = K2 = [0 , 1]. Тогда функционалы
1 1

I0 : f (x , y )
0 0

f (x , y ) dxdy

I0 : f (x , y ) f (x0 , y0 )
TW


удовлетворяют условию @IFIRPAD а функционал
1

I0 : f (x , y )
0

f (x , x) dx

не удовлетворяет условию @IFIRPAF Из того фактаD что элементарный интеграл I0 удовлетворяет условиE ям IFIFSEIFIFU на пространстве C (K ) следуетD что функционалы I0,1 , I0,2 в @IFIRPA удовлетворяют условиям IFIFSEIFIFU на пространствах C (K1 ) , C (K2 ) и поэтому могут рассматриваться как элементарные интегралы на этих пространствахF Элементарные интегралы I0 , I0,1 , I0,2 по схеме Даниэля порождают пространства L(K ) , L(K1 ) , L(K2 ) соответственно и этим интегралам соответствуют меры

ч(dxdy ) , ч(dx, ћ) , ч(ћ, dy ).
Мы будем говоритьD что эти меры порожденны элементарными интеграE лами I0 , I0,1 , I0,2 F

Определение 1.2.15.

Мера ч(dxdy ) на компакте K = K1 Ч K2 называE ется произведением мер ч(dx , ћ) и ч(ћ , dy )X

ч(dxdy ) = ч(dx , ћ) Ч ч(ћ , dy ),
если порождающие их элементарные интегралы связаны соотношением @IFIRPAF Следующее утверждение называется теоремой ФубиниF
и

Теорема 1.2.6.

Пусть выполнены все сделанные выше предположения . Тогда

f (x , y ) L(K )

1. Почти всюду по мере

ч(ћ , dy )
1

функция

K

x f (x , y )

принадлежит пространству 2. Почти всюду по мере

L(K1 ). ч(dx , ћ)
2

функция

K
принадлежит пространству

y f (x , y )

L(K2 ).
UH


3. Функции

K K

1

x y

f (x , y )ч(ћ , dy ), f (x , y )ч(dx , ћ)
соответственно.

2

принадлежат пространствам 4. Справедливо равенство

L(K1 ) , L(K2 )

f (x , y )ч(dxdy ) =

f (x , y ) ч(ћ , dy )

ч(dx , ћ),

@IFIRQA

где в левой части равенства интегрирование ведется по компакту

K

,а

в правой части равенства внутренний интеграл берется по компакту

K

2 , а внешний по компакту

K

1.

ДоказательствоF ЯсноD что теорему достаточно доказать для f (x , y ) L+ (K )F В дальнейшем мы будем рассматривать пространство C (K ) как банахово пространство с нормой

f = sup{|f (x , y )| | (x , y ) K }.
В этом пространстве алгебра функций вида

f (x , y ) =
1j n

j (x)j (y )

@IFIRRA

плотна по норме и ее замыкание совпадает с C (K )F На каждой функE ции вида @IFIRRA формула @IFIRQA верна в силу предположения @IFIRPAF СледовательноD в силу непрерывности функционалов I0 , I0,1 , I0,2 форE мула @IFIRQA верна для любой непрерывной функции f C (K )F Пусть теперь f L+ (K ) и fn C (K ) такая последовательностьD что fn (x , y ) f (x , y ) , n . Тогда

n :

fn (x , y )ч(dxdy ) =

fn (x , y )ч(ћ , dy

ч(dx , ћ).

@IFIRSA

Последовательность

n (x) =

fn (x , y ) ч(ћ , dy )

состоит из непрерывных функцийD она монотонно не убывает и интеграE лы от нее ограничены в совокупностиF СледовательноD в силу теоремы Беппо Леви почти всюду по мере ч(dx , ћ) существует предел

(x) = lim

n

fn (x , y ) ч(ћ , dy ),
UI

@IFIRTA


причем

(x)ч(dx , ћ) = lim

n

fn (x , y ) ч(dxdy ) =

f (x , y ) ч(dxdy ). @IFIRUA

При тех значениях x K1 D при которых существует предел в @IFIRTAD последовательность интегралов

fn (x , y ) ч(ћ , dy ),
ограничена в совокупностиD поэтому при этих значениях x в силу теореE мы Беппо Леви функция

y lim fn (x , y ) = f (x , y ) L+ (K2 ),
n

и справедливо равенство
n

lim

fn (x , y ) ч(ћ , dy ) =

f (x , y ) ч(ћ , dy ).

Теорема доказанаF
1.2.7 Разложение Лебега и теорема Радона-Никодима.

Пусть на Eалгебре A заданы две меры m1 и m2 F Мера m1 называется сингулярной относительно меры m2 D если существует такое множество B AD что

Определение 1.2.16.

m2 (B ) = m1 (C(B )) = 0.
Легко видетьD что условие @IFIRVA эквивалентно условию

@IFIRVA

m2 (B ) = 0 и (A A) : m1 (A) = m1 (A

B ),

@IFIRWA

и если мера m1 сингулярна относительно меры m2 D то мера m2 сингулярE на относительно меры m1 F Рассмотрим примерF Пусть gt(t) , t [0 , 1] Eфункция КантораF Эта функция монотонно не убывает и непрерывнаD и поэтому @смF пример IFIFVA на Eалгебре A борелевских подмножеств отрезка [0 , 1] она порожE дает меру mCt D которая на каждом открытом интервале ( , ) [0 , 1] принимает значение

mCt ( , ) = gt( ) - gt().
UP


На этой же алгебре A борелевских множеств отрезка [0 , 1] рассмотрим меру Лебега ml ( , ) = - . ЯсноD что

(A A) : mCt (A) = mCt (A

P ),

Определение 1.2.17.

и так как мера Лебега множества P равна нулюD то меры mCt и мера Лебега сингулярныF Пусть на некоторой Eалгебре A заданы две меры и чF

Мера называется абсолютно непрерывной отE носительно меры чD если из тогоD что ч(A) = 0 следуетD что (A) = 0. Если (x) Lч (X ) , (x) 0D то формула

(A A) : (A) =

I(A | x) (x) ч(dx)

@IFISHA

задает меруD которая является абсолютно непрерывной относительно меE ры чF Ниже мы увидимD что любая абсолютно непрерывная мера имеет такой видF

Лемма 1.2.12.
ства

Пусть на некоторой



-алгебре

A

подмножств множе-

X

заданы две меры



и

ч

. Тогда пространство

X

есть объединение

трех принадлежащих



-алгебре
0,

A

непересекающихся множеств

X=X
причем

X

0,ч

X

,ч

,
@IFISIA

(X
а на пространстве алгебры

0,

) = ч(X

0,ч

) = 0,

A

функция
,ч

X,ч (x)

определена такая измеримая относительно , что



-

(A X

, A A) : (A) =

I(A | x) (x) ч(dx).

@IFISPA

ДоказательствоF Положим

(m A) : (m) = (m) + ч(m).
Рассмотрим действительное гильбертово пространство L2 (X ) со скалярE ным произведением

< f , g >=

f (x)g (x) (dx).
UQ


В этом гильбертовом пространстве определим линейный функционал

l : L2 (X )

f l (f ) =

f (x) (dx).

Функционал l непрерывенD так как
1/2 1/2 1/2

|l(f )|

1 (dx)

f (x) (dx)

2



f (x) (dx)

2

По теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространствеD в пространстве L2 (X ) существует такая функция f0 (x)D что

(f L2 (X )) : l(f ) =< f0 , f > .
СледовательноD

(f L2 (X )) :

f (x) (dx) =

f (x)f0 (x) (dx) =
@IFISQA

f (x)f0 (x) (dx) +
Так как

f (x)f0 (x) ч(dx).

(f 0) : l(f ) 0,
то из @IFISQA следуетD что пFвF mod( ) : f0 (x) 0. Из @IFISQA следует равенство

(f L2 (X )) :
Пусть

f (x)(1 - f0 (x)) (dx) =

f (x)f0 (x) ч(dx) 0, @IFISRA

A = {x | f0 (x) > 1 + }.
Подставив в @IFISRA

f (x) = I(A | x),
мы получимX

(A ) = ч(A ) = 0,
поэтому пFвF mod( ) : 1 - f0 (x) 0. UR


Определим множества

X0, = {x | f0 (x) = 0}, X0,ч = {x | f0 (x) = 1}, X,ч = {x | 0 < f0 (x) < 1}.
Очевидны равенства

@IFISSA @IFISTA @IFISUA

(A X

0,

) : (A) = 0 ; (A X

0,ч

) : ч(A) = 0.

@IFISVA

Положим в @IFISRA

f (x) = fn (x) = I(A | x) min(n , (1 - f0 (x))-1 ) , A X
ПолучимX

,ч

.

I(A | x)(1 - f0 (x)) min(n , (1 - f0 (x))-1 ) (dx) = I(A | x) min(n , (1 - f0 (x))-1 )f0 (x) ч(dx).
Но @IFISWA

A X,ч пFвF mod( ) : I(A | x)(1 - f0 (x)) min(n , (1 - f0 (x))-1 )
поэтому из @IFISWA следуетD что

I(A | x),

(A X
и

,ч

) : (x) := I(A | x)(1 - f0 (x))-1 f0 (x) Lч (X ) ) : (A) = I(A | x) (x) ч(dx).

(A X

,ч

В силу симметрии между мерами и ч аналогичное утверждение спраE ведливо и для меры чF Лемма доказанаF Пусть на Eалгебре A заданы две меры и чF Воспользуемся обознаE чениями предыдущей леммы и определим меры



ч

:A

ч

(A) = (A

X

0,ч

),
,ч

@IFITHA

ч : A ч (A) =

I(A | x)I(X

| x) (x) ч(dx).

@IFITIA

ЯсноD что мера ч сингулярна отноительно меры чD а мера ч абсоE лютно непрерывна относительно меры ч. Таким образомD из леммы IFPFIP следует US


Теорема 1.2.7.
где мера

Если на



-алгебре

A

заданы две меры



и

ч

, то спра-

ведливо разложение

(A A) : (A) = ч (A) +
сингулярна относительно меры

ч

(A), ч

@IFITPA
, а мера

ч абсолютно непрерывна относительно меры



ч

ч

.

Представление меры в виде @IFITPA называется разложением Лебега @Лебег открыл эту формулуAF Из леммы IFPFIP и разложения Лебега следует теорема РадонаEНикодимаF

Теорема 1.2.8.
ры

Если мера



абсолютно непрерывна относительно ме-

ч,

то существует такая функция

(x) Lч (X )

, что

(A A) : (A) =

I(A | x) (x) ч(dx).

@IFITQA

ДоказательствоF Если мера абсолютно непрерывна относительно меры чD то второе слагаемое в @IFITPA равно нулюD а первое слагаемое дается формулой @IFITIAD что и доказывает теоремуF
1.2.8 Счетно-аддитивные функции множеств и теорема Хана.

Определение 1.2.18.
жества X функция ч

Определенная на Eалгебре A подмножеств мноE

ч : A R1 ч() = 0

называется счетноEаддитивнойD если и если для любого счетного семейства непересекающихся множеств {Aj } выполнено равенство

((j = k ) (A

j

Ak = )) : ч(
1j <

Aj ) =
1l<

ч(Aj ) , .

В отличии от мерыD счетноEаддитивная функция множеств может принимать отрицательные значенияF Иногда рассматривают и такие счетноE аддитивные функции множествD которые могут принимать бесконечные значенияF Мы не будем рассматривать такие функции и будем считатьD что (A A) : |ч(A)| < . Изучение счетноEаддитивных функций множеств сводится к изучению мерD и это утверждение есть содержание следующей теоремы ХанаF UT


Теорема 1.2.9.
множества

Для любой определенной на
+ + Eч X , Eч A, - Eч , E + ч

X

счетно-аддитивной функции

A подмножеств множеств ч существуют

-алгебре

такие подмножества

что
- Eч =

+ X = Eч

@IFITRA @IFITSA @IFITTA

(A A) : ч(A (A A) : ч(A

+ Eч ) 0, - Eч ) 0.

+ + ДоказательствоF Мы будем называть подмножество Eч X , Eч A положительнымD если выполнено условие @IFITSAD и будем называть подE - - множество Eч X , Eч A отрицательнымD если выполнено условие @IFITTAF Семейство всех положительных @отрицательныхA множеств не пустоX пустое множество всегда есть одновременно и положительное мноE жествоD и отрицательное множествоF ЯсноD что любое принадлежащее E алгебре A подмножество положительного @отрицательногоA множества есть множество положительное @отрицательноеAD пересечение положиE тельных @отрицательныхA множеств есть множество положительное @отE рицательноеAD объединение положительных @отрицательныхA множеств есть множество положительное @отрицательноеAF Пусть = inf ч(B ),

где нижняя грань берется по всем отрицательным множествамF Из опреE деления точной нижней грани следуетD что существует такая последоваE тельность отрицательных множеств {Bn }D что

= lim ч(Bn ).
n

Без ограничения общности можно считатьD что Bn Bn+1 , поэтому

= ч(
n

Bn ),

а так как

(
n

Bn ) A,

то

> -.
Положим
- Eч := n

Bn .

@IFITUA

UU


Определенное равенством @IFITUA множество отрицательно и удовлетвоE ряет равенству - = ч(Eч ). Для доказательства теоремы нам достаточно доказатьD что множество
+ Eч := X \ E - ч

@IFITVA

обладает следующим свойствомX
+ (A Eч , A A) : ч(A) 0.

@IFITWA

Мы докажемD что отрицание этого утверждения ведет к противоречиюF + Пусть существует такое множество E0 Eч D что ч(E0 ) < 0. МножеE ство E0 не может быть отрицательнымD так как тогда
- ч(Eч - E0 ) = ч(Eч ) + ч(E0 ) < ,

что противоречит выбору числа . СледовательноD существуют такие множества A E0 , что ч(A) > 0. Пусть
1

= sup{ч(A) | A E0 }. > 0,

Справедливо неравенство
1

и существует такое множество

A1 E0 , что ч(A1 ) >
Положим

1 1. 2

E1 = E0 \ A1 .
Из равенства

ч(E0 ) = ч(E1 ) + ч(A1 )
следуетD что

ч(E1 ) < 0.
Рассуждая как и вышеD мы получимD что множество E1 не может быть отрицательнымD поэтому
2

:= sup{ч(A) | A E1 } > 0,

и существует такое множество

A2 E1 ,
UV


1 2. 2 Продолжая этот процесс по индукцииD мы получим последовательность множеств ч(A2 ) > En = E
n-1

что

\ An , An E

n-1

,A

n

Am = , n = m,

и последовательность чисел
n

= sup{ч(A) | A En-1 }, 0 <

1 2

n

< ч(An ) .

Пусть

A=
n

An .

Так как A A, то ч(A) < D и

1 2
поэтому

n n

<
n

ч(An ) = ч(A) < .

n

lim

n

= 0.

СледовательноD множество E0 \ A отрицательно и удовлетворяет нераE венству ч(E0 \ A) < 0, чегоD как мы видели вышеD быть не можетF Теорема доказанаF Положим + ч+ (A) = +ч(A Eч ).

@IFIUHA

Определенные равенством @IFIUHA функции множеств ч+ неотрицательE ныD счетноEаддитивны и являются мерами на Eагебре AD причем спраE ведливо равенство

(A A) : ч(A) = ч+ (A) - ч- (A).

@IFIUIA

Равенство @IFIUIA называется разложением Хана @подразумеваетсяD коE нечноD что это то разложениеD которое сделал ХанAF + Разложение Хана единственно в следующем смыслеX если Eч другие множестваD удовлетворяющие теореме IFPFWD то

(A A , A E

+

E - ) : ч(A) = 0.

UW


1.2.9

Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве

Lp (X ).

Линейным непрерывным функционалом на пространстве Lp (X ) называE ется такое отображение l : Lp (X ) C1 , которое линейноX

l(f + g ) = l(f ) + l(g ),
и непрерывноX

|l(fn )| 0 , если fn | Lp (X ) 0 , n .
Условие @IFIUPA выполненоD если

@IFIUPA

C < : |l(f )| < C f | Lp (X ) .

@IFIUQA

Можно показатьD что условие @IFIUQA является необходимым и достаточE ным условием непрерывности линейного функционалаF Число l | Lp (X ) := sup{|l(f )| | f | Lp (X ) 1} называется нормой линейного функционалаF Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве p L (X ) 1 < p < описан в теореме IFPFIHF Доказательсву этой теоремы мы предпошлем несколько леммF Мы будем предполагатьD что условие IFIFV выполненоX функция f0 (x) 1 принадлежит пространству L0 (X ) и выполнено условие нормировкиX

I (1) = 1.
Ниже мы будем предполагатьD что p и q Eсопряженные показатели стеE пениX 11 + = 1, pq причем 1 < p < .

Лемма 1.2.13.

Если

Lq (X ),

то формула

l(f ) = I ( f )
задает линейный нерерывный функционал на пространстве чем норма этого функционала есть

@IFIURA

Lp (X ),

при-

l | Lp (X )

= | Lq (X ) .
VH

@IFIUSA


ДоказательствоF Из теоремы IFIFR следуетD что правая часть @IFIUSA корректно определяет линейный функционал на Lp (X ), из неравенства Минковского следует оценка

|l(f )| | Lq (X ) ћ f | Lp (X ) ,
из которой вытекаетD что задаваемый формулой @IFIURA линейный функE ционал непрерывен и его норма удовлетворяет неравенству

l | Lp (X )
Пусть

| Lq (X ) .

@IFIUTA
-q /p

f (x) := sign(( (x)))| (x)|q
Тогда

/p

| Lq (X ) = 1,

.

f Lp (X ) , f
и

p

l(f ) = | Lq (X ) .
СледовательноD

l | Lp (X )
Лемма доказанаF
стве

= | Lq (X ) .

Лемма 1.2.14.
Lp (X ),

Если

l

-линейный непрерывный функционал на простран-

то существует такая функция

(x) Lq (X )

ливо равенство

@IFIUSA.

что справед-

ДоказательствоF Пусть ч EмераD порожденная интегралом I и A есть Eалгебра множествD измеримых относительно AF Формула

(A A) : (A) = l(I(A | ћ))

@IFIUUA

порождает Eаддитивную @в силу непрерывности функционала lA функE + цию множеств на Eалгебре AF Пусть E EмножестваD котроые входят в разложение Хана функции D

+ (A) = +l(I(A
Из @IFIUVA следуетD что

+ E | ћ)).

@IFIUVA

+ (A) l | Lp (X )

I(A

+ E | ћ) | Lp (X ) constч(A)1/p ,

VI


поэтому меры + абсолютно непрерывны относительно меры чD и в силу теоремы РадонаEНикодима существуют такие функции + (x) L(X )D что (A A) : + (A) = + (x)I(A | x)ч(dx). @IFIUWA Положим

(x) = + (x) - - (x).

@IFIVHA

Из @IFIUUA следуетD что для всех принимающих лишь конечное число значений функций f (x) Lp (X ) и определенной равенствами @IFIUWAE @IFIVHA функции (x) справедливо равенство

l(f ) =
Положим

(x)f (x)ч(dx).

@IFIVIA

f (x | a) := f (x)I(| (x)| < a | x)
Из @IFIVIA следуетD что для всех принимающих лишь конечное число значений функций f (x) Lp (X ) справедливо равенство

l(f (ћ | a)) =

(x)f (x)I(| (x)| < a | x)ч(dx).

@IFIVPA

Предельным переходом @смFлемму IFPFS на стрF SWA равенство @IFIVPA расE пространяется на все функции из Lp (X )X

(f Lp (X )) : l(f (ћ | a)) =
причемD очевидноD

(x)f (x)I(| (x)| < a | x)ч(dx).

@IFIVQA

|l(f (ћ | a))| | l | Lp (X )
Подставив в уравнение @IFIVRA функцию

f (ћ | a) | Lp (X ) .

@IFIVRA

f (x) = sign( (x))| (x)|q/p I(| (x)| < a | x),
мы получим неравенствоX

l(f ) =

| (x)|q I(| (x)| < a | x) ч(dx) = (ћ | a) | Lq (X ) f | Lp (X ) = l | Lp (X )

q q /p

l | Lp (X )
откуда следуетD что

( ћ | a) | L q ( X )

,

(ћ | a) | Lq (X ) l | Lp (X ) .
VP

@IFIVSA


Переходя в @IFIVSA к пределу a , мы получимD что входящая в @IFIVQA функция (x) принадлежит пространству Lq (X ). Затем мы можем пеE рейти к пределу a в равенстве @IFIVQAF Лемма доказанаF Собирая доказанные выше леммыD мы получаем следующее утверE ждениеF

Теорема 1.2.10.
странстве

Любой линейный непрерывный функционал на прозадается в виде

Lp (X ) , 1 < p < ,

l(f ) = I ( f ),
где

Lq (X )

и

q

-сопряженный к

p

показатель:

q = p/(p - 1).

Случаи p = 1 и p = EособыеD и мы их рассматривать не будемD отослав Читателя к цитированной в коментариях литературеF
1.2.10 Функции с ограниченной вариацией и абсолютно непрерывные функции.

В этом параграфе мы докажем несколько теорем о функциях дейтвиE тельной переменной на отрезкеF Эти теоремы существенно используются в математической теории рассеянияF Пусть на отрезке [a , b] R1 задана действительная функция f (x) и пусть T = {a = x0 < x1 , . . . < xn = b} Eразбиение отрезка [a , b]F Положим

V (T | f )b = a
0j
|f (x

j +1

- f (xj )|.

@IFIVTA

Полной вариацией @или изменениемA функции f (x) на отрезке [a , b] называется взятая по всем разбиениям точная верхE няя грань сумм вида @IFIVTAX

Определение 1.2.19.

V (f )b = sup V (T | f )b . a a

@IFIVUA

Функция f (x) называется функцией с ограниченной вариацией @или функE цией с ограниченным изменениемAD если

V (f )b < . a
VQ


Приведем примерыF IF Любая монотонная функция есть функция с ограниченным измеE нением и для монотонной функции

V (f )b = |f (a) - f (b)|. a
PF Если функция f (x) на отрезке [a , b] имеет непрерывную ограниE ченную производнуюD то

V (f )b (b - a) sup{|f (x)| | x (a , b)}. a
QF Не любая непрерывная функция имеет ограниченное изменениеF Примером непрерывной функции с неограниченным изменением являE ется функция 0 , x = 0, f (x) = x cos( 2 ) , 0 < x 1. x на отрезке [0 , 1]F Если

T = {x0 = 0 < 1/2n < 1/(2n - 1) < . . . x2n = 1,
то

V (T , f )1 = 0

Теорема 1.2.11.
то функция 2. Если функция

1j n

1 n , n . 2j f
и

1. Если функции

g

имеют ограниченное изменение,

f + g

имеет ограниченное изменение и

V (f + g )b ||V (f )b + | |V (g )b . a a a f
имеет ограниченное изменение и

acb

, то

V (f )b = V (f )c + V (f )b . a a c

@IFIVVA

ДоказательствоF Первое утверждение очевидноF Для доказательства второго утверждения рассмотрим произвольное разбиение T отрезка [a , b] и пусть T EразбиениеD полученное из разбиения T добавлением точки cF Тогда T = T1 T2 , где T1 Eточки разбиения T D которые лежат на отрезке [a , c]D а T2 Eточки разбиения T D которые лежат на отрезке [c , b]F ИмеемX

V (T , f )b V (T , f ) V (T1 , f )c + V (T2 )b a c a V (f )c + V (f )b . a c
VR


Так как это неравенство справедливо для любого разбиенияD то

V (f )b V (f )c + V (f )b . a a c
С другой стороныD для любых разбиений T1 и T2 отрезков [a , c] и [c , b] имеемX V (f )b V (T1 T2 , f )b = V (T1 , f )c + V (T2 , f )b , c a a a СледовательноD Теорема доказанаF

V (f )c V (f )c + V (f )b . a a c
Если функция имеет ограниченное изменение на от-

Теорема 1.2.12.
резке

[a , b]

, то на отрезке

[a , b]

ее можно представить как разность

двух монотонно неубывающих функций.

ДоказательствоF ДокажемD что функция

x V (f )x - f (x) a
не убываетF ИмеемX

V (f ) V (f ) V (f )
Равенство

x+x a x+x x x+x x

- f (x + x) - (V (f )x - f (x)) = a - (f (x + x) - f (x)) - |f (x + x) - f (x)| 0.

f (x) = V (f )x - (V (f )x - f (x)). a a
Функция имеет ограниченное изменение в том и

дает искомое представлениеF Теорема доказанаF
только том случае, если она есть разность двух неубывающих функций.

Следствие 1.2.2.

Функции f (x) на отрезке [a , b] называется абсоE лютно непрерывнойD если для любого > 0 существует такое ( ) > 0D что для любых интервалов (aj , bj ) [a , b] , 1 j nD которые удовлеE творяют условиям

Определение 1.2.20.

(j = i) : (aj , bj )
выполнено неравенство

( ai , b j ) = ,

( b j - aj ) < ( )
1j n

|f (aj ) - f (bj )| < .
1j n

VS


ОчевидноD что любая абсолютно непрерывная функция непрерывнаF

Теорема 1.2.13.
ную вариацию.

Абсолютно непрерывная функция имеет ограничен-

ДоказательствоF Пусть функция f (x) абсолютно непрерывна на отE резке [a , b]F ДокажемD что она имеет ограниченную вариацию на отрезке [a , b]F Найдем такое > 0D что

(
i

( b i - ai ) < ) (
i

|f (ai ) - f (bi )| < 1).

Пусть

T = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
Eпроизвольное разбиениеF Без ограничения общности будем считатьD что

i : x

i+1

- xi < .

Определим последовательность j (k ) по правилуX

j (0) = 0 , j (k + 1) = max{j |
j (k)i
(x

i+1

- xi ) < } .

ИмеемX

|f (x
0j
j +1

) - f (xj )| =

(
0k
|f (x

i+1

) - f (xi )|)

< (N + 1) , N = [(b - a)/ ].
Так как это неравенство справедливо для любого разбиенияD то теорема доказанаF Выше мы привели пример непрерывной функции с неогрниченной вариациейF СледовательноD существуют непрерывныеD но не абсолютно непрерывные функцииF Функция Кантора есть пример функции с ограE ниченным изменениемD но не абсолютно непрерывнойF

Теорема 1.2.14.
[a , b],

Если функция

f (x)

абсолютно непрерывна на отрезке
x a

то функция

x V (f )
абсолютно непрерывна на отрезке

[a , b]
VT

.


ДоказательствоF Пусть дано

> 0F Найдем такое ( ) > 0D что |f (ai ) - f (bi )| < ).
i

(
i

(bi - ai ) < ( )) (

Для каждого отрезка [ai , bi ] найдем такое разбиение

Ti = {ai = x
что

i,0

< xi

,1

< . . . < xi

, n(i)

= bi },

V (f )bii a
0j
|f (x ,x

i , j +1

) - f (x

i,j

)| + 2

-i

.

Так как интервалы (x

i , j +1

i,j

) не пересекаются и

(x
i,j

i , j +1

-x

i,j

) < ( )

то

V (f )bii a
i i,j

|f (x

i , j +1

) - f (x

i,j

)| + 2 .

Так как отрезки [ai , bi ] произвольныD то теорема доказанаF
ность двух неубывающих абсолютно непрерывных функций:

Следствие 1.2.3.

Любая абсолютно непрерывная функция есть раз-

f (x) = V (f )x - (V (f )x - f (x)). a a
Напомним определение интеграла ЛебегаEСильтьесаF Пусть F (x) E неубывающая непрерывная справа ограниченная функция на отрезке [a , b] R1 , F (b) < , F (a) = 0, и пусть f (x) Eнепрерывна на отE резке [a , b]D а T = {a = x0 < x1 , . . . < xn = b} Eразбиение отрезка [a , b]F Составим интегральную сумму

S (T , f ) =
0j
f (j )(F (x

j +1

) - F (xj )) , j (x

j +1

, xj ).

Предел таких сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю называE ется интегралом РиманаEСтильтьесаX
b

diamT 0

lim

S (T , f ) :=
a

f (x)dF (x).

VU


Теперь рассмотрим пространство C ([a , b]) всех непрерывных функций на отрезке [a , b] как пространство элементарных функций в схеме ДаE ниэля и интеграл РиманаEСтильтьеса как элементарный интеграл и поE строим расширение этого интегралаF Полученный интеграл называется интегралом ЛебегаEСтильтьеса и мы будем обозначать его тем же симвоE ломD что и интеграл РиманаEСтильтесаF Если характеристическая функE ция множества A [a , b] интегрируемаD то число

ч(F | A) :=

I(A | x)dF (x)

называется меройD порожденной монотонной функцией F (x)F Если F (x) xD то интеграл называется интегралом ЛебегаD а мера
b

|A| :=
a

I(A | x)dx.

Eмерой ЛебегаFПусть {x(j )} Eмножество точек разрыва функции F (x)X

x(j ) : F (x(j ) + 0) - F (x(j ) - 0) > 0.
Множество {x(j )} не более чем счетноF Определим функцию

Fd (x) :=
x(j )
F (x(j ) + 0) - F (x(j ) - 0).

Пусть

Fc (x) := F (x) - Fd (x).
Функция Fc (x) непрерывна на отрезке [a , b] и монотонно не убываетF СледовательноD она порждает интеграл и меру (Fc | ћ) на борелевских множествах отрезка [a , b]D причем

( , ) [a , b] : (Fc | ( , )) = Fc ( ) - Fc ().
К мере (Fc | ћ) и мере Лебега на отрезке [a , b] можно применить разложение ЛебегаD а к абсолютно непрерывной части меры (Fc | ћ) можно применить теорему РадонаEНикодимаF Так мы получим следуюE щее утверждениеF

Теорема 1.2.15.

Монотонно неубывающую непрерывную справа неот-

рицательную функцию сумму трех функций:

F ( x)

на отрезке

[a , b]

можно представить как

F (x) = Fac (x) + F
VV

sing

(x) + Fd (x),

@IFIVWA


где

Fd (x) :=
x(j )
F (x(j ) + 0) - F (x(j ) - 0).

-функция скачков, а
x

Fac (x) = F (a) +
a

(t) dt , F

sing

(x) = ([a , x]

B ),

@IFIWHA

где

(t)

-неотрицательная интегрируемая по Лебегу функция,



боре-

левская мера на отрезке

[a , b] , B

-множество лебеговой меры ноль.

ЗаметимD что для функции Кантора отлична от нуля только составE ляющая Fsing F Разложение @IFIVWA также называется разложением Лебега F Ниже мы докажемD что мераD порожденная неубывающей функцией F (x) на отрезке [a , b] абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в том и только том случаеD если
x

Fd = F

sing

0 и F (x) = F (a) +
a

f (t)dt , f (t) L([a , b]).

Сначала мы докажемD что интеграл как функция верхнего предела есть абсолютно непрерывная функцияF
любого

Теорема 1.2.16.
>0

Если функция

существует такое

f интегрируема: f L([a , b]), то для ( ) > 0, что для любого множества
@IFIWIA

A,

мера которого меньше

( ),

выполнено неравенство

|f (x)|dx < .
A

ДоказательствоF Согласно лемме IFIFIP @смF стрF PVA для данного > 0 и данной функции f L([a , b]) существует такая непрерывная функция C ([a , b])D что
b

|f (x) - (x)|dx < /2.
a

Пусть

M = sup{|(x)| | x [a , b]}.
Тогда @напомнимD что |A| Eэто мера Лебега множества AA

(|A| < /2M ) :
A

|f (x)|dx <
A

|f (x) - (x)|dx +
A

|(x)|dx <

/2 + M |A| < .
Теорема доказанаF VW


Следствие 1.2.4.

Если

f (t) L([a , b]),

то функция
x

F (x) = F (a) +
a

f (t)dt
.

абсолютно непрерывна на отрезке

[a , b]

Лемма 1.2.15.

Если функция

F

sing

(x) = ([a , x] F
sing

B ) , |B | = 0

абсолютно непрерывна, то

(x) 0.

НапомнимD что символом |B | мы обозначили меру Лебега множества B R1 F ДоказательствоF Пусть fn (x) Eпоследовательность элементарных @непреE рывныхA функцийD которая в силу определения IFIFI @смF стрF IIA соотE ветствует множеству B лебеговой меры нольF Положим

Mn = {x | fn (x) > 1 - }.
ЯсноD что

n : Mn Mn
Пусть

+1

, (1 - )|Mn | .

M =
n

Mn .

Множество M открыто и

B M , (1 - )|M | .
Так как множество M открытоD то

M =
i

(ai , bi ) , bi < ai+1 ,

и

|bi - ai |
i

1-
WH

0,

0.

@IFIWPA


@В сумме могут быть два слагаемых вида [a b0 ) , (ai , b]AF Далее имеемX

F

sing

(x) Fsing (b) = ([a , b]
sing

B) 0

(F
i

( bi ) - F

sing

(ai )) 0 ,

в силу @IFIWPA и абсолютной непрерывности Fsing F Лемма доказанаF Далее заметимD что любую абсолютно непрерывную функцию можE но представить как разность двух монотонно неубывающих абсолютно непрерывных функцийF Для любого множества E [a , b] можно определить внешнюю меруX

|E |out = inf {|A| | E A}.
Если множество E измеримо по ЛебегуD то его внешняя мера равна мере ЛебегаF Отметим очевидное неравенство

|A

B |out |A|out + |B |out .

Определение 1.2.21.

Система отрезков

S0 = {I | I = [a , b ] [a , b]}
покрывает в смысле Витали множество E [a , b]D если выполнены услоE вияX

1. E


I , : E

I = .

2. (x E ,

> 0) , (I (x , ) S0 ) : x I (x , ) , 0 < |I (x , )| < .
Если система отрезков

Теорема 1.2.17.
подсистему

S0

покрывает в смысле Ви-

тали множество

E

, то она содержит такую не более чем счетную

{Ij | 1 j < } S0 ,
которая удвлетворяет условиям: 1. Отрезки Ij не пересекаются:

(j = i) : Ij
2. Выполнено соотношение:
n

Ii = .

lim |E \
1j n

Ij |out = 0.

WI


ДоказательствоF Пусть

a0 = sup{|I | | I S0 }.
По определению точной верхней грани система S0 содержит такой отреE зок I1 D который удовлетворяет условиюX

1 |I1 | > a0 . 2
Положим

S1 = {I | I
Пусть

I1 = }

a1 = sup{|I | | I S1 }.
По определению точной верхней грани система S1 содержит такой отреE зок I2 , I2 I1 = D который удовлетворяет условиюX

1 |I2 | > a1 . 2
Положим

S2 = {I | I

I2 = }

и продолжим этот процесс по индукцииF Так мы получимD что либо на некоторм шаге E Ij , Ij Ii = ,
1j n

либо мы получим счетное множество отрезков {Ij | 1 j < } и счетE ное множество {Sj | 1 j < } подсемейств семейства S0 D которые удовлетворяют условиямX

(j 0) : S (i = j ) : Ij
Пусть

j +1

Sj , Ij +1 Sj +1 , 1 Ii = , |Ij +1 | > sup{|I | | I Sj } 2
j +1

Sj , I

@IFIWQA

xE\
1j n

Ij .

Если

< dist(x ,
1j n

Ij ),

WP


то по условию

(I (x , )) : x I (x , ) , I (x , )
1j n

Ij = .

Так как отрезки Ij не пересекаютсяD то

|Ij | b - a
1j <

поэтому
j

lim |Ij | = 0.

Но отсюда в силу @IFIWQA следуетD что
n

lim sup{|I | | I Sn } = 0.

СледовательноD

(m > n) : I (x , ) Sm

-1

, I (x , ) Sm .

Это соотношение выполнено только в том случаеD если

I (x , )

Im = , 2|Im | > |I (x , )|.

@IFIWRA

Каждому отрезку Ij = [j , j ] поставим в соответствие отрезок Tj = [3j - 2j , 3j - 2j ] [j , j ]F Вообще говоряD Tj S0 F Из @IFIWRA следуетD что I (x , ) Tm . СледовательноD

E\
1j n

Ij
m>n

Tm ,

поэтому

|E \
1j n

Ij |out
m>n

|Tm | = 5
m>n

|Im | 0 , n .

Теорема доказанаF Так как

|E |out |E \
1j n

Ij |out +
1j n

|Ij |,

то из теоремы IFPFIU вытекает WQ


Следствие 1.2.5.

Если выполнены условия теоремы 1.2.17, то найдут-

ся такие удовлетворяющие условиям теоремы 1.2.17 отрезки Ij , что

( > 0) , n( ) : (1 - )|E |out <
1j n( )

|Ij |.

Пусть
x

f L([a , b]) , F (x) :=
a

f (t)dt,
h0

(x (a , b)) : M (f | x) := lim sup |h-1 (F (x + h) - F (x))|

@IFIWSA

Теорема 1.2.18.
измеримо и

Множество

E (f | ) := {x | M (f | x) > } 2
b

|E (f | )| <
ДоказательствоF Положим

|f (x)dx.
a

@IFIWTA

A(m , n , ) =
0h1/n

{x | |h-1 (F (x + h) - F (x))| > + 1/m}.

Так как функция

x |h-1 (F (x + h) - F (x))|

непрерывнаD множество A(m , n , ) есть объединение открытых мноE жеств и открытоF Поэтому множество

E (f | ) =
m>0 n>0

A(m , n , )

борелевское иD следовательноD измеримоF Если x E (f | ), то существует такая последовательность {hj (x) | 1 j < }D что

x + hj (x) (a , b) , j : |h-1 (x)(F (x + hj (x)) - F (x))| > . j
СледовательноD отрезки

Ij (x) = {[x - |hj (x)| , x + |hj (x)|] | x (a , b) , 1 j < }
WR


покрывают в смысле Витали множество E (f | )F Пусть {Ij (xj ) | 1 j n( )} Eтакие отрезки из этого покрытияD что

(1 - )|E (f | ) <
1j n( )

|Ij (xj )| = 2
1j n( )

|hj (xj )|.

Так как отрезки Ij (xj ) не пересекаютсяD то
b

|f (t)|dt
a 1j n( )

|F (xj + hj (xj )) - F (xj )|
1j n( )

|hj (xj )|.

СледовательноD

b

2
a

|f (t)|dt > (1 - )|E (f | ).

Так как занаF

произвольное малое положителельное числоD то теорема докаE
Если

Теорема 1.2.19.
то функция

f L([a , b]) F (x) :=

и
x

f (t)dt,
a

F

почти всюду дифференцируема и п.в.

:

dF (x) = f (x). dx

ДоказательствоF Будем считатьD что
b

|f (t)|dt = 1.
a

Из леммы IFIFIP следуетD что существует такая последовательность непреE рывных функций {n } C ([a , b])Dчто
b

n :
a

|f (t) - n (t)|dt < n-4 .

Положим

n (x) = f (x) - n (x), An = {x | M (n | x) > n-2 }, Bn = {x | |n (x)| > n-2 }.
WS


Из теоремы IFPFIV следуетD что множество An измеримо и
b

|An | < n 2
a

2

|n (t)|dt < 2n-2 .

Из неравенства Чебышева @смF стрF TTA следуетD что
b

|Bn | < n2
a

|n (t)|dt < n-2 .

Положим

Q :=
Множество Q измеримо и

(An
1k< kn<

Bn ).

k : |Q| |

(A
kn<

n

Bn )| <
kn<

(|An | + |Bn |) <

O(1/k ) 0 , k .
СледовательноD |Q| = 0F Пусть

x E = [a , b] \ Q.
Тогда

k : x
ИмеемX

(An
kn<

Bn ).

@IFIWUA

x+h

((n k ) : x An ) ((n k ) : lim sup |h-
h0

1 x

n (t)dt| n-2 ).

СледовательноD

(n k ,
x+ h

> 0) , 1 (n , ) , (0 < h < 1 (n , )) : n (t)dt| < n-2 .
@IFIWVA

|h-1
x

ЗаметимD что из @IFIWUA следуетD что

(n k ) : x Bn ,
поэтому

(n k ) , : |n (x)| n-2 ,
WT

@IFIWWA


Наконец заметимD что так как функции n (x) непрерывныD то

(n , , x) , 2 (n , , x) , (0 < |h| < 2 (n , , x)) :
x+ h

|h-1
x

n (t)dt - n (x)| .

@IFPHHA

ИмеемX
x+ h

|h-1 (F (x + h) - F (x)) - f (x)| = |h-1
x x+ h x+ h

f (t)dt - f (x)|

|h

-1 x

n (t)dt| + |h

-1 x

n (t)dt - n (x)|+

|n (x) - f (x)| < n-2 + + n-2 ,
если

0 < |h| < min(1 (n , ) , 2 (n , , x)).
Так как n Eпроизвольное достаточно большое числоD а достаточно малое числоD то теорема доказанаF Eпроизвольное

Следствие 1.2.6.
почти всюду.

Абсолютно непрерывная функция дифференцируема

WU


1.3

Коментарии и литературные указания.

Мы предполагаемD что читатель знаком с теорией множеств в объеме курса анализа для технических вузов или нескольких первых глав книг ID PF Для дальнейшего ознакомления с теорией множеств можно рекоE мендовать книгу QF Для большинства рассматриваемых нами приложений достаточно знаE ния следующих темX определение интегралаD теорема Лебега о предельE ном переходе в интеграле D теорема РиссаEФишера о полноте пространE ства Lp D неравенства Гельдера и МинковскогоF Эти темы изложены в параграфеD посвященном интегралу ЛебегаF Изучением этого параграE фа можно ограничиться при первом чтенииF Однако знание теории меE ры необходимо для изучения математических моделей теории рассеянияD теории теплового равновесия классических и квантовых системD теории неравновесных квантовых системD броуновского движения и многих друE гих задач математической физикиD поэтому мы считаемD что знакомство с основами теории меры желательно для специалиста по математической физикеF Анализ метода Даниэля в теории интеграла есть в SD стрF RSWERTIF При обсуждении затронутых нами элементарных вопросов теории интеE грала нет принципиальной разницы между методом ДаниэляD когда снаE чала вводится интегралD а потом мераD и традиционным методомD когда сначала вводится мераD а потом интегралF ЯсноD что задание системы подмножеств множества X эквивалентно заданию характеристических функций этих подмножествD а задание меры на системе подмножеств эквивалентно заданию элементарного интеграла на множестве характеE ристических функцийF Понятие интеграла распространяется на функции со значениями в банаховом пространствеF Пусть Eкомпактное топологическое пространствоD B Eрефлексивное банахово пространствоD

x:

x( ) B

Eнепрерывная функция со значениями в B F Если f B D то функция



f (x( ))

непрерывна на D и определен интеграл

f (x( ))ч(d ).
WV


При фиксированной функции x( ) C () отображение

B

f

f (x( ))ч(d )

есть линейный непрерывный функционал на B D и в силу рефлексивноE сти B существует такой элемент J (x) B D что

(f ) : f (J (x)) =

f (x( ))ч(d ).

@IFPHIA

Если выполнено соотношение @IFPHIAD то определению полагаем

x( )ч(d ) := J (x)

@IFPHPA

и называем функционал J (x) интегралом от функции x( )F ЗаметимD что иногда интеграл можно определить и как предел интеE гральных сумм РиманаF При рассмотрении интеграла по бесконечной области мы не вводим условие Стоуна @смF SAD а опираемся на конструкциюD которая является обобщением понятия кратного несобственного интеграла РиманаF Дальнейшие сведения о теории меры и интеграла можно почерпнуть из следующих работF RESF Эти книги содержат @насколько я могу судитьA на сегодняшний день наиболее полное и доступное изложение теории меры и интегралаF T Эта книга почти полвека была настольной книгой всех матемаE тиков и поEпрежнему является классическим руководством по теории мерыF U В этой книге есть изложение теории интеграла и меры по ДаниэлюF Наше изложение следует этой книгеF V Эта книга содержит краткое и ясное изложение теории меры и интеграла ЛебегаF В книге показаноD как теория меры и интеграла приE меныется в теории функций действительной переменнойF W Это классическое руководство по теории меры и интегралаD котоE рое приспособлено для нужд теории вероятностиF IHЭто просто и понятно написанная книгаD которая также приспоE соблена к нуждам теории вероятностиF Наше изложение теоремы РадонаE Никодима основано на материалах этой книгиF IIВ этой книге содержатся обобщения теории мерыD о которых в нашем изложении мы не смогли даже упомянутьD но которые получиE ли в последнее время широкое применение при анализе стохастических динамических систем @теория фрактальных множеств и тFдFA WW


IHH


Глава 2 Метрические и топологические пространства.

2.1
2.1.1

Метрические пространства.
Расстояние и связанные с ним понятия.

Определение 2.1.1.

Расстоянием @метрикойA на множестве M называE ется определенная на декартовом произведении множеств M Ч M функE ция d : M Ч M R1 , которая удовлетворяет условиямX IF СимметрииX

(x M , y M ) : d(x , y ) = d(y , x).
PF НевырожденностиX

@PFIA

(d(x , y ) = 0) (x = y ).
QF Неравенству треугольникаX

@PFPA

(x M , y M , z M ) : d(x , y ) d(x , z ) + d(z , y ).

@PFQA

Положив в @PFQA x = y D мы получимD что расстояние неотрицательноX

(x M , z M ) : d(x , z ) 0.

@PFRA

Множество вместе с определенным на ним расстоE янием @метрикойA называется метрическим пространствомF IHI

Определение 2.1.2.


Пример

PFIFI. Евклидово пространство Rd есть метрическое пространE ство относительно расстоянийX
1/2

d(x , y ) =
1j d

|xj - yj |2
1j d

,

@PFSA

d(x , y ) = max |xj - yj | , x = (x1 , . . . xd ) , y = (y1 , . . . yd ).

Определение 2.1.3.

В метрическом пространстве множество

b(x , r) = {y | d(x , y ) < r}
называется открытым шаром радиуса r с центром в точке xF Это определение дается по аналогии с @PFSAF
Пример

@PFTA

PFIFP. Множество C ([a , b]) всех непрерывных на отрезке [a , b] функций есть метрическое пространство относительно расстоянийX

d(f , g ) = sup{|f (x) - g (x)| | x M },
b

@PFUA @PFVA

d(f , g ) =
a

|f (x) - g (x)| dx.

Из неравенства треугольника следуетD что

d(x , y ) d(x , x0 ) + d(x0 , y0 ) + d(y0 , y ),
поэтому

d(x , y ) - d(x0 , y0 ) d(x , x0 ) + d(y , y0 ).
Заменив в этом неравенстве

x x0 , y y0 , x0 x , y0 y ,
мы получим неравенство параллелограммаX

|d(x , y ) - d(x0 , y0 )| d(x , x0 ) + d(y , y0 ).

@PFWA

Определение 2.1.4.

Расстоянием dist(A , B ) между множествами A и B метрического пространства называется величина dist(A , B ) := inf {d(x , y ) | x A , y B }. IHP @PFIHA


Так как

(a A) : dist(x , A) d(x , a) d(x , y ) + d(y , a),
то поэтому dist(x , A) d(x , y ) + dist(y , A),

(x M , y M , A M ) : |dist(x , A) - dist(y , A)| d(x , y ).

@PFIIA

Неравенство @PFIIA можно рассматривать как обобщение неравенства треE угольникаF Пусть (M1 , d1 ) и (M2 , d2 ) Eдва метрических пространстваF Взаимно однозначное отображение

J : M1 M2 , J (M1 ) = M2
называется метрическим изоморфизмомD если

(x M1 , y M1 ) : d1 (x , y ) = d2 (J (x) , J (y )).
Пространства M1 и M2 называют метрически изоморфнымиD если сущеE ствует метрический изоморфизмD который отображает M1 на M2 F МетE рически изоморфные пространства обычно отождествляютсяF
2.1.2 Сходимость в метрическом пространстве.

Определение 2.1.5.

Последовательность точек {xn } M метрическоE го пространства (M , d) сходится к точке x0 M D если
n

lim d(xn , x0 ) = 0.

@PFIPA

Если выполнено условие @PFIPAD то последовательность {xn } называE ется сходящейсяD а точка x0 называется пределом последовательности {xn }F В метрическом пространстве каждая сходящаяся последовательность имеет только один пределD так как если

d(xn , x0 ) 0 , d(xn , x0 ) 0 , n ,
то

d(x0 , x0 ) d(xn , x0 ) + d(xn , x0 ) 0 , n ,
поэтому

d(x0 , x0 ) = 0 , и x0 = x0 .
IHQ


Последовательность точек {xn } M метрическоE го пространства (M , d) удовлетворяет условию Коши @по другой термиE нологииX является последовательностью Коши или является фундаменE тальной последовательностьюAD если
n

Определение 2.1.6.

lim sup{d(xn , x

n+m

) | m > 0} = 0.

@PFIQA

Если последовательность точек {xn } M метрического пространE ства (M , d) сходитсяD то она удовлетворяет условию КошиD так как

(n > N ( )) : d(xn , x

n+m

) d(xn , x0 ) + d(x

n+m

, x0 ) < .

Однако не во всяком метрическом пространстве любая последовательE ность Коши сходитсяD тFеF имеет пределF Примеры метрических пространствD в которых последовательность Коши может не иметь пределаX множеE ство рациональных чисел с обычной метрикойD рассмотренное в PFIFP пространство непрерывных на отрезке [a , b] функций C ([a , b]) в метриE ке @PFVAF Метрики d и d на метрическом пространстве M эквивалентныD если

({xn } M ) : ( lim sup{d(xn , x
n n+m

) | m > 0} = 0) ( lim sup{d(xn , x
n

n+m

) | m > 0} = 0).

Эквивалентные метрики часто не различаютF Метрическое пространство называется полнымD есE ли в нем любая последовательность Коши @фундаментальная последоE вательностьA имеет пределF Примеры полных метрических пространствX пространство Rd с обычE ной метрикойD рассмотренное в PFIFP пространство непрерывных на отE резке [a , b] функций C ([a , b]) в метрике @PFUAF Метрическое пространство (M , d) называется поE полнением метрического пространства (M , d)D еслиX IF(M , d) Eполное метрическое пространствоF PF Существует изометрическое вложение J пространства M в проE странство M D тFеF такое отображение

Определение 2.1.7.

Определение 2.1.8.

J: M M
метрического пространства (M , d) в метрическое пространство (M , d)D которое удовлетворяет условию

(x , y M ) : d(x , y ) = d(J (x) , J (y )).
IHR


QF Это изометрическое вложение J удовлетворяет условиюX для любого элемента M существует такая последовательность {xn } M D что

Теорема 2.1.1.
ние.

n

lim d( , J (xn )) = 0.

@PFIRA

1. Любое метрическое пространство имеет пополне-

2. Любые два пополнения данного метрического пространства метрически изоморфны.

ДоказательствоFПусть M0 Eмножество всех последовательностей КоE ши пространства M : {xn } M0 D если последовательность {xn } удовлеE творяет условию @PFIQAF Установим в M0 соотношение эквивалентностиX

( lim d(xn , xn ) = 0) ({xn } {xn }).
n

@PFISA

Симметричность соотношения @PFISA очевиднаF Из неравенства треугольника следуетD что

d(xn , xn ) d(xn , xn ) + d(xn , xn ),
поэтому если

{xn } {xn } , {xn } {xn } , то {xn } {xn },
откуда следует транзитивность соотношения @PFISAF Поэтому @PFISA дейE ствительно устанавливает соотношение эквивалентностиF Пусть M Eмножество всех классов эквивалентности по соотношению @PFISAF Класс эквивалентE ностиD который содержит последовательность {xn }D мы обозначим симвоE лом [xn ]F Этот класс эквивалентности есть точка пространства M F ОпреE делим в множестве M расстояние dD положив по определению

d([xn ] , [yn ]) := lim d(xn , yn ).
n

@PFITA

Предел в @PFITA существует для любых последовательностей Коши {xn } , {yn } в M D так как в силу неравенства @PFWA

|d(xn , yn ) - d(xm , ym )| d(xn , xm ) + d(yn , ym ).
ДокажемD что формула @PFITA корректно определяет расстояние в M D тFеF что правая часть @PFITA зависит только от класса эквивалентности последовательности {xn } и что выполнено условие невырождености расE стояния @PFPAF Если d([xn ] , [yn ]) = 0, IHS


то в силу определений @PFISA и @PFITA это означаетD что

{xn } {yn },
поэтому

[xn ] = [yn ],
Симметрия расстояния @PFITA и неравенство треугольника проверяются тривиальноF Построим отображение

J : M M,
поставив в соответствие точке x M тот класс эквивалентности [x] M D который содержит стационарную последовательность {xn | xn x}. ЯсE ноD что так определенное отображение есть изометрическое вложенениеF ПокажемD что оно удовлетворяет условию @PFIRAF Пусть = [xn ] M F Так как {xn } Eпоследовательность Коши в M D то

( > 0) , n( ) , (n n( )) : sup{d(xn , x
ЯсноD что

n+m

) | m > 0} < .

d( , J (x

n( )

) = lim d(xn , x
n

n( )

)< .

Теперь докажемD что M Eполное пространствоF Пусть {n } Eпоследовательность Коши в метрике dF Пусть xn Eтакой элемент пространства M D который удовлетворяет условию

d(n , J (xn )) < 2-n .
Тогда

@PFIUA

d(xn , x

n+m

) = d(J (xn ) , J (x
+m

n+m

))
n+m

d(n , J (xn )) + d(n 2-n + 2
-(n+m)

, n ) + d(n+m , J (x

))

+ d(n+m , n ).

СледовательноD соотношение @PFIUA сопоставляет каждой последовательE ности Коши {n } в пространстве M последовательность Коши {xn } в пространстве M F Обозначим символом 0 тот класс эквивалентностиD коE торому принадлежит определяемая по @PFIUA последовательность Коши {xn } M F ДокажемD что элемент 0 есть предел последовательности n в пространстве M F IHT


Воспользовавшись неравенством @PFIUA и тем фактомD что последоваE тельность {xn } есть последовательность Коши в M D мы получаем нераE венство

d(n , 0 ) d(n , J (xn )) + d(J (xn ) , 0 ) 2-n + lim d(xn , xm ) < 2-n + ,
m

если только n > N ( )F ИтакD элемент 0 есть предел последовательности {n } и полнота пространства M доказанаF Теперь докажем единственность пополненияF Пусть (M1 , d1 ) Eпроизвольное пополнение пространства (M , d) и J1 Eудовлетворяющее условию @PFIRA вложение пространства M1 в пространство M F Для каждого элемента z M1 в пространстве M существует такая последовательность {xn }D что d1 (z , J1 (xn )) 0 , n . @PFIVA Если последовательность {xn } удовлетворяет условию @PFIVAD то она есть последовательность Коши в M D так как в силу изометричности вложения J1

sup{d(xn , xn+m ) | m > 0} = sup{d1 (J1 (xn ) , J1 (x 0 , n .

n+m

) | m > 0})

Если последовательность {xn } также удовлетворяет условию @PFIVAD то

d(xn , xn ) = d1 (J1 (xn ) , J1 (xn )) 0 , n ,

@PFIWA

поэтому условие @PFIVA устанавливает взаимно однозначное соответствие между пространством M1 и классами эквивалентности по соотношению @PFISA и тем определяет взаимно однозначное отображение пространства M1 на пространство M F Легко видетьD что это отображение изометричноF Теорема доказанаF В дальнейшемD иногда не оговаривая это специальноD мы будем счиE тать все метрические пространства полнымиD так всегда мы можем предE полагатьD что уже перешли к пополнению рассматриваемого пространE стваF
2.1.3 Принцип сжимающих отображений.

Определение 2.1.9.

Отображение

A: M M
IHU

@PFPHA


метрического пространства в себя называется строго сжимающимD если существует такая константа < 1D что

(x M , y M ) : d(A(x) , A(y )) d(x , y ).

@PFPIA

ЗамечаниеF Раньше удовлетворяющие условию @PFPIA отображения назывались сжимающимиF Теперь в некоторых работах сжимающими отображениями называются такие отображенияD которые удовлетворяE ют условию @PFPIA при 1. Точка x0 M называется неподвижной точкой отображения @PFPHAD если x0 = A(x0 ). @PFPPA

Определение 2.1.10.

Теорема 2.1.2.

Строго сжимающее отображение в полном метри-

ческом пространстве имеет неподвижную точку и эта неподвижная точка единственна.

ДоказательствоF Сначала докажем существование неподвижной точE киF Пусть x1 Eпроизвольный элемент пространства M F Построим послеE довательность {xn } по правилу

x

n+1

= A(xn ).

@PFPQA

По индукции легко доказываетсяD что при n 1 справедлива оценка

d(x
из которой следуетD что

n+1

, xn )

n-1

d(A(x1 ) , x1 ),

d(x

n+m n-1

, xn ) d(x

n+m

,x

n+m-1

) + d(x



(1 + . . . +

m-1

n+m-1 , n-1

x

n+m-2

) + ...
@PFPRA

)d(A(x1 ) , x1 )

d(A(x1 ) , x1 ). (1 - )

Из этой оценки следуетD что последовательность {xn } фундаментальна и поэтому имеет пределF Положим по определению

x0 := lim xn .
n

Справедлива оценка

d(A(xn ) , A(x0 )) d(xn , x0 ) 0 , n ,
IHV


поэтому переходя к пределу в @PFPQAD мы получим равенство @PFPPAF Если x0 также удовлетворяет уравнению @PFPPAD то

d(x0 , x0 ) = d(A(x0 ) , A(x0 )) d(x0 , x0 ),
откуда следуетD что

d(x0 , x0 ) = 0.
Теорема доказанаF ЗамечаниеF Алгоритм @PFPQA называется методом последовательных приближений и часто используется на практикеF Переходя к пределу m в @PFPRAD мы получаем оценку

d(xn , x0 ) const.n ,
из которой следуетD что метод последовательных приближений сходится экспоненциальноF Рассмотрим примерF Пусть K (x , y , z ) Eопределенная на множестве [a , b] Ч [a , b] Ч R1 функцияD которая удовлетворяет условиямX

1. K (x , y , z ) C ([a , b] Ч [a , b] Ч R1 ), 2. z K (x , y , z ) C ([a , b] Ч [a , b] Ч R1 ), 2. sup{(|K (x , y , z )| + |z K (x , y , z )| | x , y , z R1 } = const. < .
Пусть z0 (x) C ([a , b]) Eзаданная функцияF Рассмотрим интегральное уравнение относительно неизвестной функции z (x)X
b

z (x) = z0 (x) + ч
a

K (x , y , z (y )) dy .

@PFPSA

Для доказательства существования решения уравнения @PFPSA в пространE стве C ([a , b]) с метрикой @PFUA рассмотрим оператор
b

A(z )(x) = z0 (x) + ч
a

K (x , y , z (y )) dy .

@PFPTA

Этот оператор корректно определенD так как при z (x) C ([a , b]) правая часть @PFPTA принадлежит пространству C ([a , b]). Далее имеем оценку

d(A(z1 ) , A(z2 ))
b

|ч| sup{
a

|K (x , y , z1 (y )) - K (x , y , z2 (y ))| dy | x [a , b]}

const.|ч||b - a|d(z1 , z2 ),
из которой следуетD что при const.|ч||b - a| < 1 оператор @PFPTA являетE ся строго сжимающим и поэтому уравнение @PFPSA имеет единственное решениеD которое может быть получено методом последовательных приE ближенийF IHW


2.2
2.2.1

Топологические пространства.
Определение топологического пространства.

Определение 2.2.1.

Топология на множестве X Eэто такая система T подмножеств множества X D которая удовлетворяет условиямX IF Пустое множество и все пространство принадлежат системе T X

T , X T.
PF Любое объединение множеств из системы T принадлежит системе T X

A T :


A T .

QF Пересечение любого конечного числа множеств из системы T принадE лежит системе T X Aj T : Aj T . @PFPUA
1j N

ЯсноD что в @PFPUA было бы достаточно потребоватьD чтобы пересечеE ние любых двух множеств из системы T принадлежало бы системе T F

Определение 2.2.2.

МножестваD которые принадлежат системе T D наE зываются открытыми множествами в топологии T @или открытыми мноE жествами топологии T AF Множество X вместе с определенной на нем топологией T называется топологическим пространствомF Говорят такжеD что система множеств T определяет топологию на множестве X F ЗаметимD что топологией назыE вается и наукаD которая изучает топологические пространстваF

Определение 2.2.3.

В топологическом пространстве (X , T ) множество B X называется окрестностью множества A X D если существует такое открытое можество O T D что

A O B.
Открытое множество является окрестностью каждой своей точкиF Дискретной топологией на множестве X называется топологияD котоE рая состоит из всех подмножеств множества X F В дискретной топологии открыты все подмножества множества X F Антидискретной топологией называется топологияD которая состоит из двух множествX , X F В антидискретной топологии открыты только два множества , X и других открытых множеств нетF IIH


Определение 2.2.4. Лемма 2.2.1.

Подмножество A M метрического пространства (M , d) открытоD если либо A = D либо для любой точки x0 A множеE ства A существует шар b(x0 , ) с центром в этой точкеD который содерE жится в AF
Пересечение любых двух открытых в смысле определения

@PFPFRA множеств открыто.

ДоказательствоF Пусть A1 , A2 открытые подмножества метрического пространства A B открыто по определениюF Если A тогда (b(x0 , 1 ) A1 , b(x0 , поэтому

в смысле определения @PFPFRA (M , d)F Если A B = D то B = и x0 A1 A2 D то
2

) A2 ),
1

( min( 1 ,
СледовательноD множество A @PFPFRAF

2 1

)) (b(x0 , ) A

A2 ).

A2 удовлетворяет условию определения

Следствие 2.2.1.
странства система

Пусть

O

-система подмножеств метрического про-

Определение 2.2.5.

M , которые T = { , M , O}

открыты в смысле определения задает топологию на

@PFPFRA. Тогда

M

.

Топология T = { , M , O}D где O Eсистема отE крытых в смысле определения @PFPFRA подмножеств метрического проE странства M D называется естественной топологией метрического проE странстваF Рассмотрим примеры других топологических пространствF
Пример

PFPFI. Рассмотрим полуинтервал [0 , 1) и на нем систему подмноE жествD которая состоит из всех полуинтервалов [0 , a) , a 1. Легко проверитьD что эта система подмножеств удовлетворяет аксиоE мам топологииF

Пример PFPFP. Рассмотим отрезок [0 , 1] и рассмотрим на нем систему подмножеств OD которая состоит из всех дополнений к конечным мноE жествамX A OD если A = [0 , 1] \ {xj , 1 j n < } , n = 1 , . . .F Система множеств T = { , [0 , 1] , O} определяет топологию на отрезке [0 , 1]F

Определение 2.2.6.

Система открытых подмножеств B T топологиE ческого пространства (X , T ) называется базой топологии T D если любое открытое подмножество пространства X есть объединение множеств из системы B F III


Пример

PFPFQ. Базой естественной топологии метрического пространства является система шаров B = {b(x , ) | x X , > 0}F

Одна и таже топология может быть задана с помощью разных базF НапримерD естественная топология метрического пространства может быть задана с помощью системы шаров с рациональными радиусамиF

Лемма 2.2.2.
x Bx
что . b2. Если

Если система множеств

B

есть база топологии на то-

пологическом пространстве b1. Для любого

(X , T )

, то

xX
и

существует такое множество

Bx B

, что ,

B1 , B2 B x B3 B1 B2 .

x B1

B2

, то существует такое

B3 B

ДоказательствоF Первое утверждение следует из тогоD что все проE странство X есть объединение множеств из системы B F Второе утверE ждение следует из тогоD что множество B1 B2 открыто и поэтому есть объединение множеств из системы B F
торая удовлетворяет условиям подмножеств пространства множеств системы является базой.

Лемма 2.2.3.

Пусть

B

-система подмножеств пространства

X

, ко-

b1

и

b2

леммы 2.2.2. Пусть

O

-система определя-

X

, которая состоит из всех объединений

B

. Тогда система множеств

{ , X , O}

ет топологию на пространстве

X

, для которой система множеств

B O2

ДоказательствоF Достаточно доказатьD что если O1 , O2 OD то O OF Пусть O1 = V , O2 = V , V , V B и x O1

1

O2 F Тогда существуют такие V , V из системы B D что x V , x V ,

поэтому

x V V



V , V B .

СледовательноD множество O1 O2 есть объединение множеств из систеE мы B и поэтому принадлежит системе множеств OF Пусть B0 Eпроизвольная система подмножеств множества X D которая удовлетворяет условиюX

X=

V , V B0 .
IIP

@PFPVA


Пусть B Eсистема подмножеств множества X D которая состоит из всех пересечений конечного числа множеств из системы B0 X

B B: B =
1j n

Bj , Bj B0 , n = 1, . . .

Легко видетьD что так построенная система множеств B удовлетворяет условиям b1 и b2 и поэтому является базой топологии на множестве X F Система B0 называется предбазой топологии с базой B F Приведем пример задания топологии с помощью базы топологииF
Пример

PFPFR. Пусть X Eокружность радиуса 1 и B Eмножество дуг l с угловыми координатами

l = { | 1 < 2 , 0 1 2 2 } X.

@PFPWA

Множество B образует базу топологииF Пространство X в этой топоE логии есть свернутая в окружность прямая Зоргенфрея @другое название этого топологического пространства Eсвернутое в окружность пространE ство стрелокAF Приведем пример задания топологии с помощью предбазыF PFPFS. Пусть X = R1 D и B0 Eсистема полубесконечных интерваE лов вида (- , a) , (b , ) , a , b R1 F Эта система образует предбазу естественной топологии на R1 .
Пример

Определение 2.2.7.

Множество тех элементов базы топологииD котоE рые содержат данную точку xD называется базой топологии в точке x или локальной базой топологииF ЯсноD что для задания топологии достаточно в каждой точке проE странства задать локальную базу топологииF

Определение 2.2.8.

Система окрестностей точки x называется фундаE ментальной системой окрестностей в точке xD если любой элемент базы топологии в точке x содержит окрестность из этой системыF Опишем задание топологии в произведении пространствF Сначала напомним определение декартова произведения пространствF Пусть I Eпроизвольное множествоF ПредположимD что каждому I поставлено в соответствие множество X F Рассмотрим множество всех функцийD которые каждому I ставят в соответствие элемент множеE ства X X I x X . IIQ


Это множество функций называется декартовым произведением проE странств X и обозначается символом X . Приведем примерF Пусть I Eэто отрезок натурального рядаX
I

I = {1, . . . d} , X R1 .
В этом случае точка пространства
I

X Eэто функцияD которая каждому

числу {1, . . . d} ставит в соответствие точку x R1 F Множество значений этой функции (x1 , x2 . . . xd ) есть точка пространства Rd F Теперь предположимD что каждое множество X есть топологическое пространство с топологией T F В декартовом произведении пространств X рассмотрим систему B подмножеств вида
I

BB :B=
I

O , O T .

@PFQHA

где O = X для всех D за исключением конечного числа индексов I F Эта система подмножеств задает базу топологии в декартовом произвеE дении X D и порожденная этой базой топология называется тихоновской топологией

произведения пространствF Обычно по умолчанию счиE таетсяD что декартово произведение топологических пространств снабE жено тихоновской топологиейF
2.2.2 Замкнутые множества.

I

Множество A X в топологическом пространстве (X , T ) называется замкнутымD если его дополнение открытоX

Определение 2.2.9.

(A замкнуто) (C(A) T ).
Приведем примеры замкнутых множествF Все пространство X и пуE стое множество замкнуты в любом топологическом пространствеF ОтE резок [a , b] есть замкнутое множество в естественной топологии проE странства R1 F В примере PFPFR каждое множество вида @PFPWA есть одноE временно и открытое и замкнутое множествоF Из определения топологии и формул де Моргана следует

Утверждение 2.2.1.

Любое пересечение замкнутых множеств замкну-

то и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

IIR


Определение 2.2.10.

Замыканием Cl(A) множества A называется пеE ресечение всех замкнутых множествD которые содержат множество AX

Cl(A) :=
AB

B , B замкнуто.

@PFQIA

Замыкание множества всегда существует @ все пространство есть заE мкнутое множество и содержит любое множествоD поэтому пересечение всех замкнутых множествDсодержащих данное множествоD всегда опреE деленоA и замыкание множества есть наименьшее замкнутое множествоD которое содержит множество AF ЗамечаниеF ПоEанглийски замкнутое множество Eэто losed setD и заE мыкание множества часто обозначают символом A @как сказали автоE ру студентыD черта сверху символизирует крышкуD которой множество losedAF Однако это обозначение не совсем удобноD если на данном мноE жестве рассматривается несколько топологий и нужно пояснитьD в какой топологии берется замыканиеF

Определение 2.2.11.

В топологическом пространстве точка x0 называE ется точкой прикосновения множества AD если любая открытая окрестE ность точки x0 имеет непустое пересечение с множеством AF Любая точка множества A есть точка его прикосновенияF Точки 0 , 1 есть точки прикосновения для интервала (0 , 1) в естественной топологии прямой R1 F
падает с его замыканием.

Теорема 2.2.1.

Множество всех точек прикосновения множества сов-

ДоказательствоF Обозначим множество точек прикосновения множеE ства A символом [A]F ДокажемD что [A] Eзамкнутое множествоF Пусть x0 C([A])F Тогда существует такая открытая окрестность V (x0 )D что V (x0 ) A = F ДокажемD что эта окрестность удовлетворяет условиюX V (x0 ) [A] = F Пусть y0 V (x0 ) [A]F Так как y0 [A] и V (x0 ) есть отE крытая окрестность точки y0 D окрестность V (x0 ) должна иметь непустое пересечение с множеством AD а это противоречит ее выборуF СледовательE ноD точек пересечения окрестности V (x0 ) и множества [A] не существует и окрестность V (x0 ) принадлежит дополнению множества [A]F Отсюда следуетD что дополнение множества [A] открытоD а само множество [A] замкнутоF Так как Cl(A) Eнаименьшее замкнутое множествоD которое соE держит множество AD мы должны иметь включениеX

Cl(A) [A].
IIS

@PFQPA


ДокажемD что выполнено включение

C(Cl(A)) C([A]).

@PFQQA

Пусть x0 C(Cl(A))F Так как C(Cl(A)) открытоD то существует такая открытая окрестность V (x0 ) точки x0 D что V (x0 ) C(Cl(A))F Эта окрестE ность удовлетворяет условию V (x0 ) Cl(A) = F Поэтому V (x0 ) A = F СледовательноD x0 [A]D что и доказывает @PFQQAF Из @PFQPA и @PFQQA слеE дует утверждение теоремыF

Следствие 2.2.2.
множестве точке

В метрическом пространстве точка

x

0 в том и

только том случае принадлежит замыканию множества

A,

если в

A

существует последовательность, которая сходится к

x

0.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметитьD что в силу только что доказанной теоремы в метрическом пространстве точка x0 в том и только том случае принадлежит замыканию множества AD если любой шар с центром в точке x0 пересекается с множеством AF Из определения PFIFR следуетD что расстояние между точкой и множеE ством равно нулю в том и только том случаеD если существует принадлеE жащая множеству последовательностьD которая сходится к этой точкеF Поэтому из PFPFP вытекает

Следствие 2.2.3.
странства, то

Если

A

-замкнутое подмножество метрического про-

xA

в том и только том случае, если dist

(x , A) = 0

.

ЗаметимD что расстояние между двумя замкнутыми непересекающиE мися множествами может быть равно нулюF Приведем примерF В плосE кости R2 с обычной топологией рассмотрим множества

A = {(x1 , x2 ) | x1 x2 = 0} , B = {(x1 , x2 ) | x1 x2 = 1}.
Множество A Eэто координатные осиD множество B Eэто две гипрболыF Множества A и B замкнуты и не пересекаютсяD но dist(A , B ) = 0. Важное свойство замкнутых множеств в полном метрическом проE странстве описывается в теоремеD которая по историческим причинам носит название теоремы Бэра о категорияхF Термин категория в этом названии не имеет ничего общего со своим современым значениемF

Теорема 2.2.2.

Если полное метрическое пространство

M

есть счет-

ное объединение своих замкнутых подмножеств:

M=
n

An , n : Cl(An ) = An ,
IIT


то одно из этих подмножеств содержит открытый шар:

(An ,

> 0 , b(x0 , ))) : b(x0 , ) An .

ДоказательствоF Если M = A1 D то все доказаноX множество A1 содерE жит все шары пространства M F Если C(A1 ) = D то множество C(A1 ) открыто и содержит по крайней мере одну точку x1 F СледовательноD множество C(A1 ) содержит открытый шарX

b( x 1 ,
ОчевидноD что

1

) C(A1 ).

b( x 1 ,

1

)

A1 = .

Если шар b(x1 , 1 /4) содержится в множестве A2 D то все доказаноF Если b(x1 , 1 /4) A2 D то множество C(A2 ) b(x1 , 1 /4) открыто и содержит по крайней мере одну точку x2 F СледовательноD множество C(A2 ) b(x1 , 1 /4) содержит открытый шарX

b(x2 ,

2

) : b(x2 ,

2

) C(A2 )

b( x 1 ,

1

/4)

Мы можем выбрать радиус этого шара такD что
2

<

1

/4 .

ОчевидноD что

b( x 2 ,

2

)

A1

A2 = .

Так мы либо на nEом шаге построения получим шарD который целиком содержится в множестве An D либо построим бесконечную последовательE ность шаров {b(xn , n )}D которые удовлетворяют условиямX

b(xn , b(xn ,

n

) b(xn , )

n

/4) b(x

n+1

,

n+1

) ...;

n+1

<

1 n, 4
@PFQRA

n

Aj
1j n

=, .

ОчевидноD что

d(xn , xn+m ) 1 11 + n (1 + 4 44

d(xn , xn+1 ) + . . . d(x 1 1 ћ + . . .) < n . 4 3
IIU

n+m-1

,x

n+m

)


Так как n 0 , n , то отсюда следуетD что последовательность {xn } сходитсяD причем ее предел x0 лежит в шаре b(xn , n )X

n : d(xn , x0 )

1 n. 3

В силу соотношения @PFQRA отсюда следуетD что

n : x0
1j n

Aj ,

чего быть не можетD так как x0 M F Теорема доказанаF В заключении заметимD что в топологическом пространстве множеE ство может быть открытымD замкнутымD открытым и замкнутым одноE временно и ни открытымD ни замкнутымF
2.2.3 Непрерывные отображения.

Определение 2.2.12.

Отображение

f: X Y

@PFQSA

@по дгугой терминологииX функция с областью определения X и облаE стью значений Y A топологического пространства X в топологическое пространство Y называется непрерывным в точке x0 X D если прообраз f -1 (V (y0 )) X любой окрестности V (y0 ) Y точки y0 = f (x0 ) есть окрестность точки x0 F

Лемма 2.2.4.

Очевидна

@PFQSA непрерывно в точке x0 X , если для любого множества V (y0 ) B (y0 ), где B (y0 ) TY -локальная база топологии в точке y0 = f (x0 ), существует такая окрестность U (x0 ) B (x0 ) TX из локальной базы топологии в точке x0 , что f (U (x0 )) V (y0 ).
Отображение

Лемма 2.2.5.

Отсюда следует
Отображение

f : M1 M2
метрического пространства непрерывно в точке

(M1 , d1 )

в метрическое пространство

(M2 , d2 )

x

0 , если

( > 0) , ( ( ) > 0) : f (b(x0 , ( ))) b(f (x0 ) , ).
IIV

@PFQTA


Как и в курсе математического анализаD легко доказываетсяD что условие @PFQTA эквивалентно условиюX

{xn } : (xn x0 ) (f (xn ) f (x0 )).

Определение 2.2.13.

Отображение @PFQSA топологического пространE ства X в топологическое пространство Y непрерывноD если оно непреE рывно в каждой точке прстранства X F Примеры непрерывных отображений хорошо известныX любая функE цияD которая непрерывна на отрезке [0 , 1] в смысле того определенияD коE торое давалось в курсе математического анализаD есть непрерывное отобE ражение отрезка [0 , 1]D рассматриваемого как метрическое пространство с метрикой d(x , y ) = |x - y |D в действительную прямую R1 D рассматриE ваемую как метрическое пространство с той же метрикойF ЗаметимD что непрерывно отображение или нетD это свойство завиE сит и от топологии в области определения функцииD и от топологии в области значений функцииF Любое отображение дискретного пространE ства в любое пространство непрерывноF На антидискретном пространE стве непрерывны только постоянные отображенияD а отображение любоE го пространства в антидискретное непрерывноF На определенном в приE мере PFPFR пространстве @свернутом в окружность пространстве стрелокA рассмотрим функцию

f () =

0, 0< 1 , < 2 .

Легко видетьD что эта функция непрерывнаD если ее рассматривать как отображение свернутого в окружность пространства стрелок в действиE тельную прямую с естественной топологиейF

Теорема 2.2.3.
1.

Пусть

f :XY (X , TX )
в топологиче-

-отображение топологического пространства ское пространство

f

непрерывно на

( Y , TY ) X.

. Следующие условия эквивалентны:

2. Образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа:

(A X ) : f (Cl(A)) Cl(f (A)).
3. Прообраз любого замкнутого множества замкнут:

@PFQUA

(B = Cl(B )) (Cl(f
IIW

-1

(B )) = f

-1

(B )).

@PFQVA


4. Прообраз всякого открытого в

Y

множества открыт в
-1

X

:

(B TY ) : f

(B ) TX .

@PFQWA

ДоказательствоF ДокажемD что из первого условия следует второеF Пусть отображение f непрерывно в смысле определения PFPFIQ и x0 Cl(A). Пусть V (y0 ) TY Eпроизвольная открытая окрестность точки y0 = f (x0 ) и U (x0 ) TX Eта окрестность точки x0 D которая в силу опреE деления непрерывности удовлетворяет условию

f (U (x0 )) V (y0 ).
Так как x0 Cl(A), то U (x0 ) A = D поэтому f (U (x0 )) СледовательноD V (y0 ) f (A) = .

f (A) = F

Мы доказалиD что произвольная открытая окрестность точки y0 пересеE кается с множеством f (A)F Отсюда следуетD что y0 Cl(f (A)) и поэтому

f (Cl(A)) Cl(f (A)).
Тепрь докажемD что из второго условия следует третьеF Пусть B замкнуE то в Y и A = f -1 (B ). Тогда

f (Cl(A)) Cl(f (A)) = Cl(B ) = B ,
поэтому
-1

Cl(A) f

(B ) = A

и A замкнутоF ДокажемD что из третьего условия вытекает четвертоеF Если A отE крытоD то C(A) EзамкнутоD поэтому множество

C(f

-1

(A)) = f

-1

(C(A))

замкнутоD а это и означаетD что множество f -1 (A) открытоF Если выполнено четвертое условиеD то в каждой точке x X выполE нены условия леммы PFPFRD поэтому отображение непрерывно в каждой точке x X D тFеF непрерывноF Теорема доказанаF Перечислим некоторые очевидные свойства непрерывных отображеE нийF Если отображение @PFQSA непрерывноD smf = Y и отображение g : Y Z непрерывноD то композиция отображений g f : X Z непрерывнаF IPH


Если {f } Eпроизвольное семейство отображений множества X в тоE пологические пространства Y ()D то система множеств

B = {O | O = f

-1

(A) , A TY

()

}

определяет на множестве X базу топологииD в которой все отображения f непрерывныF Эта топология называется инициальной топологией для семейства отображений {f }F В частностиD определяемая по @PFQHA база топологии в произведении X пространств является инициальной топологией относительно коE
I

нечных систем отображений проектирования

P ( (j )) :
I

X X x ) = x

(j )

,1jn

@PFRHA @PFRIA

P ( (j ))(
I

(j )

.

Если {f } Eсемейство произвольных отображений топологических проE странств X () в множество Y D то система множеств

B = {B | f

-1

(B ) TX

()

}

определяет на множестве Y предбазу топологииD в которой все отображеE ния {f } непрерывныF Эта топология называется финальной топологией в YF Если T1 , T2 Eдве топологии на множестве X D то говорятD что топоE логия T1 сильнее @обозначение XT1 T2 A топологии T2 @или топология T2 слабее топологии T1 AD если T2 T1 D тFеF если каждое множествоD открыE тое в топологии T2 D открыто и в топологии T1 F Если включения строгиеD то говорятD что соответствующая топология строго сильнее @слабееAF Для того чтобы топология T1 была бы сильнее топологии T2 D необхоE димо и достаточноD чтобы было непрерывным тождественое отображение пространства (X , T1 ) в пространство (X , T2 )F Если A X произвольное подмножество топологического пространE ства (X , TX )D то на множестве A можно ввести топологию TA D положив по определению TA = { , A , A O}, где O TX F Топология TA наE зывается индуцированной топологиейF Вообще говоряD открытые и или замкнутые подмножества топологии TA не являются открытыми или замкнутыми подмножествами топологии TX F Приведем примерF Пусть X = R1 с обычной топологией и A = [0 , 1)F В этом случае множество A в топологии TX ни открытоD ни замкнутоD а в топологии TA множество A и открытоD и замкнутоF IPI


Лемма 2.2.6.
странства

Если

A

-открытое подмножество топологического про-

(X , TX ),

то подмножество

BA

открыто в топологии

T

A

в том и только том случае, если множество

B

открыто в топологии

T T

X . Если

A

-замкнутое подмножество топологического пространства

X , то подмножество

BA

замкнуто в топологии

T

A в том и только

том случае, если множество

B

замкнуто в топологии

T

X.

ДоказательствоFЕсли A и B A открыты в топологии TX D то мноE жество B = A B открыто в топологии TA D поэтому любое множествоD открытое в топологии TX D открыто и в топологии TA F Если A открыто и B открыто в топологии TA D то B = A OD где O открыто в тополоE гии TX D поэтому B открыто в топологии TX F Если A и B A замкнуты в топологии TX D то множество CX (B ) открыто в топологии TX D поэтоE му множество CA (B ) = A CX (B ) открыто в тополгии TA D а множеE ство B замкнуто в топологии TA F Если A замкнуто в топологии TX D а B A замкнуто в топологии TA D то A \ B открыто в топологии TA D поэтому A \ B = A OD где O открыто в топологии TX и множество CX (B ) = (A O) (CX (A)) открыто в топологии TX D тF еF B замкнуто в тополгии TX F Лемма доказанаF
2.2.4 Аксиомы отделимости.

Взаимоотношения точки и окрестности в топологическом пространстве регулируются аксиомами отделимостиF Вот список часто используемых аксиом отделимостиF IF Аксиома T0 F По крайней мере одна из любых двух точек пространE ства имеет окрестностьD которая не содержит другую точкуF Пример пространстваD которое удовлетворяет аксиоме T0 @и не удоE влетворяет ниже следующим аксиомамA приведен в примере PFPFI PF Аксиома T1 F Каждая из двух любых точек пространства имеет окрестE ностьD которая не содержит другую точкуF Пример пространстваD которое удовлетворяет аксиоме T1 @и не удоE влетворяет ниже следующим аксиомамA приведен в примере PFPFPF В пространствеD которое удовлетворяет аксиоме T1 D каждая точка есть замкнутое множествоF QF Аксиома T2 F Любые две точки пространства имеют непересекаюE щиеся окрестностиF RF Аксиома T3 F У любого замкнутого множества A и точки x C(A) есть непересекающиеся окрестностиF SF Аксиома T4 F Любые два замкнутых непересекающихся множества имеют непересекающиеся окрестностиF IPP


Аксиоме T2 называется аксиомой отделимости ХаусдорфаD а пространE стваD которые удовлетворяют аксиоме T2 D называются хаусдорфовыми пространаствамиF ЯсноD что метрическое пространство является хауE сдорфовым пространствомF Встречающиеся в анализе пространства чаE ще всего являются хаусдорфовами пространствамиF ПространстваD которые удовлетворяют аксиомам T1 и T3 D называют регулярными пространствамиF ПространстваD которые удовлетворяют аксиомам T1 и T4 D называют нормальными пространствамиF Любое нормальное пространство является регулярным пространствомD любое регулярное пространство является хаусдорфовым пространствомF
чае, если в декартовом произведении пространств

Лемма 2.2.7.

Пространство

X

хаусдорфово в том и только том слу-

X ЧX

диагональ:

diag X Ч X , diag := {x Ч y | x X , y X , x = y }
есть замкнутое множество.

Пусть пространство X хаусдорфовоF ДокажемD что диагональ замкнуE таF Пусть x Ч y diag F Тогда x = y D и существуют такие открытые окрестности V (x) и V (y ) точек x и y D что

V ( x)

V (y ) = .

@PFRPA

Тогда множество V (x) Ч V (y ) есть открытая окрестность точки x Ч y в пространстве X Ч Y D которая в силу @PFRPA не пересекается с диагональюD поэтому множество C(diag ) открытоD а множество diag замкнутоF Если диагональ замкнутаD то точка x Ч y при x = y имеет непересекающуюся с диагональю открытую в топологии произведения X Ч X окрестностьF По определению базы топологии в пространстве X Ч X должны существоE вать такие открытые окрестности V (x) и V (y ) точек x и y D что выполнено соотношение @PFRPAF Лемма доказанаF Следствием этой леммы является

Лемма 2.2.8.
то

Если

f

и

g

-непрерывные отображения пространства

X

в хаусдорфово пространство

Y

и

(x A) : f (x) = g (x),

@PFRQA @PFRRA

(x Cl(A)) : f (x) = g (x).
IPQ


ДоказательствоF Рассмотрим отображение F пространства X в проE странство Y Ч Y X

X

x F (x) = f (x) Ч g (x) Y Ч Y .

Отображение F непрерывноD поэтому прообраз F -1 (diag ) X замкнуE того в топологии Y Ч Y множества diag Y Ч Y замкнут в топологии пространства X F Но A F -1 (diag )D поэтому Cl(A) F -1 (diag )F Лемма доказанаF

Лемма 2.2.9.
ство.

Метрическое пространство есть нормальное простран-

ЗаметимD что в силу неравенства @PFIIA для любого множества A функция x dist(x , A)
Доказательство.

непрерывнаF Пусть множества A и B замкнуты и не пересекаютсяF Тогда функция x dist(x , A) + dist(x , B ) в силу следствия PFPFQA не равна нулю ни в одной точкеD так как нет таких точекD которые принадлежали бы и множеству AD и множеству B F Поэтому функция

f (x) =
непрерывнаF Положим

dist(x , A) dist(x , A) + dist(x , B )

@PFRSA

OB = {x | f (x) > 3/4} , OA = {x | f (x) < 1/4}.
В силу непрерывности функции f (x) множества OA и OB открытыF ОчеE видноD что они не пересекаются и выполнены включения A OA , B OB F Лемма доказанаF Для любых двух непересекающихся замкнутых множеств A и B в метрическом пространстве функция @PFRSA непрерывна и удовлетворяет условиюX f (A) = 0 , f (B ) = 1. Такая функция существует не только в метрическом пространствеD но и в любом нормальном топологическом пространствеF Для доказательства этого факта мы сначала докажем лемE муD которую называют малой леммой УрысонаF

A

Лемма 2.2.10.
OA VA A
, что

Пусть

X A

-нормальное топологическое пространство и

-замкнутое множество в множества

X

. Тогда для любой открытой окрест-

ности

существует такая открытая окрестность

A VA Cl(VA ) OA .
IPR

@PFRTA


ДоказательствоF Пусть D = C(OA )F Множество D замкнуто и A D = F Так как пространство X нормальноD то существуют такие открытые окрестности VA A и VD DD что VA VD = F Поэтому C(VD ) VA F Множество C(VD ) замкнуто и содержит VA F Но Cl(VA ) Eнаименьшее заE мкнутое множествоD которое содержит VA D поэтому Cl(VA ) C(VD )F Так как VD DD то C(VD ) C(D) = OA F СледовательноD выполнены вклюE чения A VA Cl(VA ) C(VD ) OA . Лемма доказанаF Теперь докажем большую лемму УрысонаF

Лемма 2.2.11.
и

Пусть

X

-нормальное топологическое прстранство,

A

B

-замкнутые непересекающиеся множества в пространстве

гда существует такая непрерывная функция

f : X R1

, что

X . Тоf (A) =

0 , f (B ) = 1 , 0 f (x) 1.
ДоказательствоF Положим V (1) = C(B )F Множество V (1) открыто и содержит множество AF Пусть V (0) Eтакая открытая окрестность мноE жества AD что A V (0) Cl(V (0)) V (1). Такая окрестность существует на основе малой леммы УрысонаF ДоE кажемD что для любых n = 0, 1, . . . и двоичноEрациональных p , p = 2-n m , 0 m 2n мы можем найти такие открытые множества V (p) , V (p )D что (p > p) : A V (p) ClV (p) V (p ). @PFRUA Доказательство будем вести по индукцииF При n = 0 существование таE ких окрестностей доказано вышеF (n + 1)Eй шаг индукции проведем такF Для 1 p = (2-n m + 2-n (m + 1)) = 2-(n+1) (2m + 1) , m < 2-n , 2 мыD воспользрвавшись малой леммой Урысона для замкнутого множеE ства Cl(V (2-n m)) и его открытой окрестности V (2-n (m + 1))D найдем такую открытую окрестность V (p )D что

Cl(V (2

-n

m)) V (2

-(n+1)

(2m + 1)) Cl(V (2-(

n+1)

(2m + 1))) V (2

-n

(m + 1)).

Существование удовлетворяющих условию @PFRUA окрестностей доказаноF По построению эти окрестности удовлетворяют условию

(p > p) : A Cl(V (p)) V (p ) V (1) = C(B ).
IPS


Определим функцию

f (x) =

inf{p | x V (p)}, 1 , x B.

Функция f (x) удовлетворяет условиямX

f (x) = 0 , x A ; f (x) = 1 , x B ; 0 f (x) 1 , x X.
ДокажемD что функция f (x) непрерывнаF Пусть

O( ) =
p< /2

V (p).

Множество O( ) открыто и из определения функции f (x) следуетD что f (O( )) [0 , ) Пусть (t - /2 , t + /2) (0 , 1) и O ( ) = V (t + /2) \ Cl(V (t - /2))F Множество O ( ) открыто и из определения функции f (x) следуетD что f (O ( )) (t - /2 , t + /2)F Пусть O ( ) = C(Cl(V (1 - /2)))F Множество O ( ) открыто и из определения функции f (x) следуетD что f (O ( )) (1 - , 1]F Непрерывность функции f (x)D а вместе с этим и большая лемма УрыE сона доказаныF

Следствие 2.2.4.
и

Пусть X -нормальное топологическое пространство Ai , 1 i n < -попарно непересекающиеся замкнутые множества в X , ai -произвольные константы. Тогда существует непрерывная функция f : X R1 , которая удовлетворяет условиям:

f (x) = ai , x Ai ; |f (x)|
1in

|ai | , x X. Aj и B = Ai построим функE

ДоказательствоF Для множеств A =
j =i

цию fi (x)D которая удовлетворяет условиям большой леммы УрысонаF Тогда функция

f ( x) =
i

ai fi (x)

есть искомая функцияF Это следствие уточняет теорема БрауэраEТитцеEУрысона о продолE жении функцииF IPT


Теорема 2.2.4.

X -нормальное пространство, A -замкнутое подмножество в X , и : A R1 -непрерывная в топологии TA ограниченная функция. Тогда существует такая непрерывная функция f : X R1 , что (x A) : f (x) = (x).

Пусть

ДоказательствоF Пусть M0 = sup{| (x)| | x X }F Определим множеE ства A00 = {x | (x) M0 } , A01 = {x | (x) -M0 }. Множества A00 , A01 замкнуты в пространстве (A , TA )D а поскольку A заE мкнуто в X D то эти множества замкнуты и в X F Построим непрерывную на всем пространстве X функцию f0 (x)D которая удовлетворяет условиE ямX

f0 (x) = M0 /3 , x A00 ; f0 (x) = -M0 /3 , x A |f0 (x)| M0 /3 , x X.

01

Существование такой функции следует из большой леммы УрысонаF ПоE ложим 1 (x) = (x) - f0 (x). Функция 1 (x) непрерывна на A и удовлетворяет оценке

sup{|1 (x)| | x X } 2/3M0 .
К функции 1 мы снова применим наше построениеF Так мы получим функциональные последовательности

0 (x) = (x) , n+1 (x) = n (x) - fn (x) , sup |n+1 (x)| 2 sup |n (x)|/3 , x A, fn (x) = n (x) - n+1 (x) , |fn (x)| sup |n (x)|/3 , x X.
Функция

f (x) =
0n<

f n ( x)

есть искомое продолжение функции (x)F
2.3 Компактные пространства.

Определение 2.3.1.

Система P = {A | I } открытых подмножеств топологического пространства называется открытым покрытием множеE ства AD если A A .
I

IPU


Открытое покрытие P = {A | I I } мноE жества A называется подпокрытием покрытия P = {A | I }D если P P D тFеF если каждое множествоD входящее в покрытие P D входит и в покрытие P F

Определение 2.3.2.

Определение 2.3.3.

Топологическое пространство K называется комE пактным топологическим пространством @или компактомAD если любое открытое покрытие {A | I } пространства K содержит состоящее из конечного числа множеств подпокрытиеD тFеF состоящую из конечного числа множеств подсистему {A(j ) | 1 j < N < } {A | I }D которая есть покрытие K F Множество A X в топологическом пространстве (X , T ) называется компактом в X D если оно есть компактное топологиE ческое пространство в индуцированной топологииD тFеF если пространство (A , TA ) компактноF Множество A X в топологическом пространстве (X , T ) называется предкомпактным в X D если замыкание ClX (A) есть компактное в X пространствоF Условие @PFQFQA называется условием БореляEЛебегаF В работах НF Бурбаки и их последователей компактами называются хаусдорфовы проE странстваD которые удовлетворяют условию БореляEЛебегаF ЗаметимD что примерно до середины VHEх годов в математической литературе на русE ком языке компактные пространства назывались бикомпактамиD а комE пактами назывались те пространстваD которые теперь называются сеE квенциально компактымиF Применение формул де Моргана к @PFQFQA дает следующие эквиваE лентные определению PFQFQ условия компактностиF

Определение 2.3.4. Определение 2.3.5.

Условие 2.3.1.

Топологическое пространство

K

компактно в том и

только том случае, если в любой его системе замкнутых множеств с пустым пересечением содержится состоящая из конечного числа множеств подсистема с пустым пересечением.

Условие 2.3.2.
{F
системы ние.

ЯсноD что это условие эквивалентно следующемуF
Пространство

K

компактно в том и только том слу-

чае, если в нем из условия, что любая конечная подсистема
(j )

| 1 j < N < , (j ) I } {F | I }
замкнутых множеств имеет непустое пересече-

{F | I }

ния следует, что и вся система

{F | I }
IPV

имеет непустое пересече-


Обратим внимание на тоD что во всех случаях множество K рассматE ривается как топологичесое пространство и речь идет об открытых или замкнутых множествах в топологии пространства K F

Лемма 2.3.1.

Если

K

-замкнутое подмножество компактного топо-

логического пространства

(X , T ),

то

K

-компакт.

ДоказательствоF Так как множество K замкнуто в X D то в силу леммы PFPFT замкнутые в K множества замкнуты и в X D поэтому утверждение следует из PFQFPF Приведем другое доказательство этого фактаD которое опирается тольE ко на определение компактности с помощью открытых множествF Пусть {A | I } Eоткрытое покрытие множества K F Тогда A = V K D где множества {V | I } открыты в X D и система множеств {C(K ) , A | I } есть открытое покрытие множества X F СледовательноD некоторая конечная система {C(K ) , V(j ) | 1 j < N < } есть открытое покрыE тие множества X D а пересечение множеств этой системы с множеством K есть открытое покрытие множества K F Лемма доказанаF
странства

Лемма 2.3.2.
X

Если

K

-компактное подмножество хаусдорфова про-

, то

K

замкнуто в

X

.

ДоказательствоFЕсли K = X D то K замкнутоF Пусть C(K ) = F ДокаE жемD что C(K ) открытоF Пусть y C(K ) , x K F Так как пространство X хаусдорфовоD то у точек x , y существуют непрерсекающиеся открыE тые окрестности

V (x)

x , U (y )

y , V (x)

U (y ) = .

@PFRVA

Система открытых в K множеств {K V (x) | x K } есть открытое поE крытие множества K D поэтому существует состоящая из конечного числа множеств подсистема этой системы {K V (xj ) | 1 j < N < }D котоE рая есть покрытие множества K F Пусть Uj (y ) Eта открытая окрестность точки y D которая удовлетворяет условию @PFRVA для окрестности V (xj )D и пусть U0 (y ) = Uj (y )F Так как индексов j только конечное числоD
1j
то окрестность U0 (y ) открыта и удовлетворяет условию U0 (y ) C(K )F Лемма доказанаF
компакт.

Теорема 2.3.1.

Непрерывный образ компактного пространства есть

ДоказательствоF Пусть

f: K Y
IPW


Eнепрерывное отображение компактного пространства K в топологичеE ское пространство Y и

f (K )


V , V T

Eоткрытое покрытие образа компакта K при отображении f F Тогда

K


f

-1

(V )
-1

и из открытого покрытия компакта K множествами f брать конечное подпокрытиеX

(V ) можно выE

K
1j
f

-1

(V(j ) ).

СледовательноD

f (K )
1j
V(j ) ,

что и доказывает компактность множества f (K )F Докажем теорему ДиниF
на компакте

Теорема 2.3.2.
K

Пусть

f

n -последовательность непрерывных функций

:

fn : K R 1 .
Предположим, что выполнены условия:

(x K , n) : 0 f lim fn (x) = 0.
n

n+1

(x) fn (x),

@PFRWA @PFSHA

Тогда
n

lim sup{fn (x) | x K } = 0.

@PFSIA

ДоказательствоF Фиксируем произвольно > 0 и рассмотрим множеE ства Fn = {x | fn (x) }. В силу непрерывности функций fn (x) множества Fn замкнутыD а так как в силу @PFRWA последовательность fn (x) монотонно невозрастаетD то

F

n+1

Fn .

@PFSPA

IQH


Из @PFSHA следуетD что

Fn = .
n

Так как множество K компактD то из @PFSPA и условия PFQFI следуетD что существует такое n( )D что Fn( ) = D а это означаетD что

(n > n( )) : sup{fn (x) | x K } < .
Теорема доказанаF Приведем критерии компактности множества в метрическом пространE ствеF Сначала дадим

Определение 2.3.6.

Множество K в метрическом пространстве M сверE хограниченоD если каково бы ни было > 0D найдется такое конечное число шаров {b(xj , ) | 1 j < N < }D что множество K содержится в объединении этих шаровX

K
1j
b(xj , ).

@PFSQA

Раньше свойство @PFSQA называлось вполне ограниченностьюD но теE перь этот термин связывается с другим понятиемF

Теорема 2.3.3.
1.

Если

K

-метрическое пространство, то следующие

свойства эквивалентны.

K

-компактное пространство.

2. Любая последовательность жит сходящуюся к точке 3.

{ xj }

точек в пространстве

K

содер-

x0 K

подпоследовательность.

K

есть полное метрическое пространство и сверхограниченное

множество.

ДоказательствоF ДокажемD что из первого условия следует второеF Пусть K Eкомпактное пространство и {xj } K. Пусть Fn = Cl({xj | j n}). Множества Fn замкнуты и

(j < ) :
nj

F n = .

Поэтому из условия компактости PFQFP следуетD что

x0 : x0
n

Fn .

IQI


СледовательноD любой шар b(x0 , 1/m) имеет непустое пересечение с кажE дым из множеств {xj | j n}X

(m > 0 , n < ) , x

j (m)

:x

j (m)

{xj | j n}

b(x0 , 1/m).

Последовательность {xj (m) } , m = 1, . . . есть искомая подпоследовательE ность последовательности {xj }F ДокажемD что из второго условия следует третьеF ЯсноD что из второE го условия следует полнота пространства K F Докажем сверхограниченE ностьF Пусть для некоторого > 0 нужного набора шаров нетF Возьмем произвольно шар b(x0 , )F Этот шар согласно предположению не содерE жит всего пространства K D поэтому в пространстве K существует точка x1 b(x0 , )F Рассмотрим шар b(x1 , )F Опять согласно предположению существует такая точка x2 K D что

x 2 b( x 0 , )

b(x1 , ).

Так мы построим последовательность точек {xn } K D которая удовлеE творяет условию xn+1 b(xj , ),
0j n

поэтому

(m > 0 , n > 0) : d(xn , x

n+m

)>

и последовательность {xn } не может содержать сходящейся подпоследоE вательностиD что противоречит компактности K F Теперь докажемD что из третьего условия следует первоеF ПредполоE жимD что третье условие выполненоD но пространство не компактноF ТоE гда существует открытое покрытие {V } пространства K D которое не соE держит конечного подпокрытияF В силу сверхограниченности пространE ства K существует конечное число шаров {b(xj , 1) , 1 j < N }D которые покрывают множество K F По крайней мере один из этих шаров не поE крывается никакой конечной системой множеств V F Пусть это будет шар b(x1 , 1)F Теперь рассмотрим покрытие пространства K шарами радиуса 1/4F Среди шаров радиуса 1/4D которые покрывают шар b(x1 , 1)D найE дем шар b(x2 , 1/4)D который не покрывается никакой конечной системой множеств V F Продолжая построениеD мы получим такую последовательE ность шаров {b(xn , 4-n+1 )}D что

d(xn , xn+m ) < d(xn , xn+1 ) + . . . + d(x < 4-n+1 (1 + 1/4 + . . .) < 4-n+2 /3,
IQP

n+m-1

,x

n+m

)


и никакой из шаров b(xn , 4-n+1 ) не покрывается никакой конечной сиE стемой множеств V F Последовательность центров этих шаров фундаE ментальнаD и в силу полноты пространства K она сходится к некоторой точке x0 K F Существует такое открытое множество V(0) {V }D что x0 V(0) Dпоэтому существует такой шар b(x0 , )D что b(x0 , ) V(0) . Так как d(xn , x0 ) < 4-n+2 /3 0 , n D то при достаточно большом n шар b(xn , 4-n+1 ) будет целиком содержаться в шаре b(x0 , )D и поэтоE му будет содержаться в множестве V(0) D что противоречит выбору шара b(xn , 4-n+1 )F Теорема доказанаF

Следствие 2.3.1.
что

Если

K

-компактное множество в метрическом

пространстве, то существует такое счетное множество

{ xj } K

,

K = Cl{xj }.

@PFSRA

ДоказательствоF Для каждого целого числа n построим такие шары b(xj , 1/n)D что множество K будет содержаться в конечном объединении этих шаровD а потом рассмотрим объединение центров всех шаровF Это и будет искомое счетное множествоF Пусть C (X , M ) Eмножество всех непрерывных функций на тополоE гическом пространстве X со значениями в метрическом пространстве (M , dM )X f C (X , M ) , f : X M . Мы будем считатьD что

sup{dM (f (x) , g (x)) | x X } < ,
так как при необходимости мы можем заменить метрику в M на эквиваE лентнуюX dM . dM 1 + dM Множество C (X , M ) есть метрическое пространство относительно метE рики dC (f , , g ) := sup{dM (f (x) , g (x)) | x X }. @PFSSA
ство

C (X , M ) метрики @PFSSA

Лемма 2.3.3.

Если .

M

-полное метрическое пространство, то множе-

есть полное метрическое пространство относительно

ДоказательствоF Если {fn } Eфундаментальная в метрике @PFSSA послеE довательностьD то в силу полноты пространства M

f (x) , f (x) := lim fn (x).
n

@PFSTA

IQQ


ДокажемD что определенная равенством @PFSTA функция f (x) непрерывE наF Пусть x0 X и m , n EпроизвольныF Тогда

dM (f (x0 ) , fm (x)) dM (f (x0 ) , fm (x0 )) + dM (fm (x0 ) , fn (x0 )) + dM (fn (x0 ), fn (x)) + dM (fn (x) , fm (x)) 2 sup{dM (fn (x) , fm (x)) | x M }+ dM (f (x0 ) , fm (x0 )) + dM (fn (x) , fn (x0 )). @PFSUA
Выберем n( ) настолько большимD что

(n > n( ) , m > n( )) : sup{dM (fn (x) , fm (x)) | x X } < /3,
и неравенстве @PFSUA перейдем к пределу m F ПолучимX

(n > n( )) : dM (f (x0 ) , f (x))

2 + dM (fn (x0 ) , fn (x)). 3

Фиксируем n > n( ) и для данного фиксированного n используя непреE рывность функции fn (x) найдем такую окрестность V (x0 ) точки x0 D что

(x V (x0 )) : dM (fn (x0 ) , fn (x)) < /3.
Тогда будет выполнено неравенство

(x V (x0 )) : dM (f (x0 ) , f (x)) < ,
которое доказывает непрерывность функции f (x) в точке x0 F Так как точка x0 произвольнаD то лемма доказанаF Отметим одно свойство функций из пространства C (K , M )F

Лемма 2.3.4.

Если

f C (K , M ),

то

( > 0) , ( ) : (dK (x , x ) < ( )) (dM (f (x) , f (x )) < ).

@PFSVA

ДоказательствоF Пусть утверждение леммы неверноF Тогда существуE ет такое 0 > 0D что для любого n > 0 есть точки xn , xn D удовлетворяюE щие условиюX

dK (xn , xn ) < 1/n ,

dM (f (xn ) , f (xn )) >

0

.

Так как множество K EкомпактD то мы можем считатьD что последоваE тельности xn , xn сходятсяX

xn x0 , xn x0 , n .
IQR


ЯсноD что мы должны иметьX

x0 = x 0 .
В силу непрерывности функции f X

dM (f (xn ) , f (xn )) < dM (f (xn ) , f (x0 )) + dM (f (x0 ) , f (xn )) 0,
что противоречит нашему предположениюF Лемма доказанаF Получим критерии компактности множества в пространстве C (K , M )F

Определение 2.3.7.

Множество A = {f | I } C (K , M ) называE ется равностепенно непрерывнымD если

( > 0) , ( ) : (dK (x , x ) < ( )) (sup{dM (f (x) , f (x )) | I } < ). @PFSWA
Теперь докажем теорему АрцелаEАсколиF

Теорема 2.3.4.

Пусть выполнены следующие условия.

1. Множество 2. Множество

K -компактное A = {f | I }

метрическое пространство. равностепенно непрерывно.

3. Существует такое компактное множество

KM

, что

(f A) : f (K ) K .
Тогда множество

@PFTHA

A

предкомпактно в

C (K , M ).

ДоказательствоF Пусть {xj | j = 1, . . .} Eсчетное множествоD котоE рое удовлетворяет условию @PFSRAF ДокажемD что множество A содерE жит последовательностьD которая сходится в каждой точке множества {xj | j = 1, . . .}F Для этого мы используем приемD который называется канторовским диагональным процессомF Фиксируем точку x1 {xj | j = 1, . . .}F В силу условия P нашей теоремы выполнено включение

B1 := {f (x1 ) | I } K M .

@PFTIA

Так как множество K компактноD то множество B1 содержит сходящуюся последовательностьF Пусть это будет последовательность {f1,n (x1 ) | n = 1, . . .} B1 F Рассмотрим множество

B2 := {f

1,n

(x2 ) | n = 1, . . .} K M .
IQS


Это множество также содержит сходящуюся последовательностьF Пусть это будет последовательность значений функций {f2,n | n = 1, . . .} {f1,n | n = 1, . . .} в точке x2 F ОчевидноD что функциональная последоваE тельность {f2,n (x) | n = 1, . . .} сходится по краней мере в двух точкахX x1 и x2 F Далее рассмотрим множество

B3 := {f

2,n

(x3 ) | n = 1, . . .} K M .

и выберем подпоследовательность {f3,n | n = 1, . . .} {f2,n | n = 1, . . .}D которая будет сходиться в точке x3 F Продолжая этот процессD мы полуE чим такие функциональные последовательности

{f

m,n

| n = 1, . . .} {f

m-1,n

| n = 1, . . .} , m = 1, . . . ,

что последовательность {fm,n (x) | n = 1, . . .} сходится по крайней мере в точках x1 , x2 , . . . xm F Последовательность {fn,n | n = 1, . . .} есть искомая последовательностьX она сходится в каждой точке множества {xj | j = 1, . . .}D так как

m : {f

n,n

| n = 1, . . .} {f

m,n

| n = 1, . . .}.

ЗаметимD что в нашем построении мы не использовали компактности множества K F Теперь докажемD что последовательность {fn,n | n = 1, . . .} сходится в метрике пространства C (K , M )F Фиксируем > 0 и найдем соответсвуE ющее по @PFSWA число ( )F Так как множество K Eметрический компактD то существует конечное число шаров {b(yj ( )/2) | 1 j N }D которые покрывают все пространство K F В каждом шаре b(yj ) ( )/2) есть точка из множества @PFSRAF Пусть это будет точка xj b(yj ( )/2)F Пусть x K Eпроизвольная точкаF ПредположимD что эта точка принадлежит шару b(yj ( )/2)F Так как точки x и xj принадлежат одному шару b(yj ( )/2)D то dK (x , xj ) < ( )D и в силу @PFSWA справедливо неравенство

dM (fn,n (x) , fm,m (x)) dM (fn,n (x) , fn,n (xj ))+ dM (fm,m (xj ) , fn,n (xj )) + dM (fm,m (x) , fm,m (xj )) 2 + dM (fm,m (xj ) , fn,n (xj )).
Так как последовательность {f точке xj D то
n,n

@PFTPA

(xj ) | n = 1, . . .} сходится в кождой
m,m

n( ) , (n > n( ) , m > n( )) : sup{dM (f
Тогда из @PFTPA следуетD что

(xj ) , f

n,n

(xj ) | 1 j N }) < , .

(n > n( ) , m > n( )) : sup{dM (f
IQT

n,n

(x) , f

m,m

(x)) | x K } 3 .


ИтакD мы установилиD что множество A содержит фундаментальную в метрике пространства C (K , M ) последовательностьD а отсюда и следуетD что замыкание множества A есть компактF Теорема доказанаF Теперь мы перейдем к теореме СтоунаEВейрштрассаD которая описыE вает структуру пространства C (K , C1 )F Сначала дадим несколько опреE деленийF

Определение 2.3.8.

Множество функций A называется алгеброй функE ций над полем действительных @комплексныхA чиселD если IF Множество функций A есть линейное пространство над полем дейE ствительных @комплексныхA чисел относительно операций поточечного сложения и умножения на числоX

(f A , g A) : f + g A
для любых действительных @комплексныхA чисел , F PF Множество функций A замкнуто относительно операции поточечE ного умноженияX (f A , g A) : f g A.

Определение 2.3.9.

Множество заданных на K функций A разделяет точки множества K D если для любой пары не совпадающих точек x K , y K в множестве A существует такая функция f AD что f (x) = f (y ). В дальнейшем мы не будем уточнятьD над каким полем рассматриваE ется алгебра функцийD если это ясно из контекста или не имеет значенияF Приведем примерыF
Пример PFQFI. Множество всех полиномов на отрезке [0 , 1] есть алгебра функцийF Пример

PFQFP. Множество функций вида

f (x) =

P ( x) , Q(x)

где P (x) Eпроизвольный полиномD а Q(x) Eпроизвольный полиномD не имеE ющий корней на отрезке [0 , 1]D есть алгебра функций на отрезке [0 , 1]F
Пример Пример

PFQFQ. Множество всех конечных линейных комбинаций функций {sin nx , cos nx | n = 0, 1, . . .} есть алгебра функций на отрезке [0 , 2 ]F PFQFR. Множество всех конечных линейных комбинаций функций {exp(inx) | n = 0, 1, . . .} есть алгебра функций на отрезке [0 , 2 ]F IQU


В ниже следующей теореме речь идет об алгебре действительных функций над полем действительных чиселF

Теорема 2.3.5.
множества

Предположим, что выполнены следующие условия.

1. Множество

K

есть компакт.

2. Алгебра непрерывных функций

A C (K , R1 ) A

разделяет точки

K

. содержит функцию, тожде-

3. Алгебра непрерывных функций ственно равную единице:

(f0 (x) 1) (f0 A).
Тогда замыкание алгебры дает с пространством

A в метрике C (K , R1 ):

пространства

C (K , R1 )

совпа-

Cl(A) = C (K , R1 ).
Эта теорема называется теоремой СтоунаEВейрштрассаF Смысл этой теоремы состоит в томD что если заданное на компакте K множество непрерывных функций A удовлетворяет условиям PEQD то любую непреE рывную на компакте K функцию можно сколь угодно точно в равномерE ной метрике приблизить функцией из множества AF ЗаметимD что если множество A удовлетворяет условиям PEQD то и множество Cl(A) также удовлетворяет условиям PEQF Перейдем к доказательству теоремыF Сначала докажемD что если f AD то |f | Cl(A)F Пусть a = sup{|f (x)| | x K } и Pn (t) Eпроизвольная последовательность полиномовD которая равномерно на отрезке [0 , 1] сходится к функции tX sup |Pn (t) - t| | t [0 , 1]} 0 , n . Такая последовательность полиномов существуетF Можно взять соответE ствующие полиномы БернштейнаD можно взять определяемые по индукE ции полиномы

P1 (t) = 1 , P

n+1

(t) = Pn (t) + (t - Pn (t)2 )/2.

ЯсноD что Pn ((f (x)/a)2 ) A и

sup |aPn ((f (x)/a)2 ) - |f (x)|| | x K } 0 , n .
ИтакD мы доказалиD что |f | Cl(A)F Отсюда следуетD что

(fi A) : max{fi | 1 i N } Cl(A) , min{fi | 1 i N } Cl(A). @PFTQA
IQV


Пусть теперь (x) Eпроизвольная функция из пространства C (K , R1 )D z , z Eпроизвольные точки из K F Построим такую функцию f (z , z ; x) AD которая удовлетворяет условиямX

f (z , z ; z ) = (z ) , f (z , z ; z ) = (z ).

@PFTRA

Такая функция обязятельно существуетF ДействительноD пусть f0 (z , z ; x) A существующая по условию функцияD которая разделяет точки z , z X

f0 (z , z ; z ) = f0 (z , z ; z ) при z = z .
Тогда функцию f (z , z ; x) мы можем построить как линейную комбиE нацию f (z , z ; x) = f0 (z , z ; x) + , так как для определения констант , мы получаем разрешимую сиE стему уравнений

(z ) = f0 (z , z ; z ) + (z ) = f0 (z , z ; z ) + .
Теперь фиксируем произвольно > 0 и определим открытые окрестности

V (z , z ) = {x | f (z , z ; x) < (x) + }.
ЯсноD что

z V (z , z ).
При фиксированном z открытые множества {V (z , z ) | z K } обE разуют покрытие компакта K D поэтому существует конечное покрытие компакта K множествами V (z , z )X

K
1j N

V (zj , z ).

Пусть

g (z ; x) := min{f (zj , z ; x) | 1 j N }.
В силу @PFTQA справедливо включение

g (z ; x) Cl(A).
ЯсноD что

(x K ) : g (z ; x) < (x) + ; и g (z ; z ) = (z ).
IQW


Теперь определим открытые окрестности

U (z ) = {x | g (z ; x) > (x) - }.
Так как z U (z )D то окрестности {U (z ) | z K } образуют открыE тое покрытие компактого пространства K D и поэтому существует такой конечный набор точек {zj | 1 j N }D что

K
1j N

U (zj ).

Определим функцию

g (x) := max{g (zj ; x) | 1 j N }.
Так как множество Cl(A) замкнутоD то в силу @PFTQA справедливо вклюE чение g (x) Cl(A). ОчевидноD что

(x K ) : (x) - < g (x) < (x) + ,
Поэтому

dC ( , g ) < .
Теорема доказанаF Из этой теоремы сразу же следует теорема СтоунаEВейрштрасса для алгебры функций над полем комплексных чиселF Ниже символом z мы обозначаем числоD комплексноEсопряженное числу z X

(a + ib) = a - ib
и алгебра понимается как алгебра над полем комплексных чиселF

Теорема 2.3.6.
множества

Предположим, что выполнены следующие условия.

1. Множество

K

есть компакт.

2. Алгебра непрерывных функций

A C (K , C1 ) A

разделяет точки

K

. содержит функцию, тожде-

3. Алгебра непрерывных функций ственно равную единице:

(f0 (x) 1) (f0 A).
IRH


4. Алгебра непрерывных функций

A

удовлетворяет условию:

(f A) (f A).
Тогда замыкание алгебры дает с пространством

@PFTSA

A в метрике C (K , C1 ):

пространства

C (K , C 1 )

совпа-

Cl(A) = C (K , C1 ).
Для доказательства этого утверждения достаточно заметитьD что в силу условия @PFTSA содержащееся в A подмножество функций

A = {g | (g = (f + f )/2i) (g = (f - f )/2) , f A}
есть алгебра функций над полем действительных чиселD которая удовлеE творяет условиям предыдущей теоремыD и в A можно найти функцииD которые сколь угодно точно приближают по отдельности действительE ную и мнимую часть функции из C (K , C1 )D а потом взять линейную комбинацию таких функцийF Если компакт K есть подмножество комплексной плоскости C1 D то в силу условия @PFTSA алгебра A не может состоять из аналитических функцийD и поэтому к задаче аппроксимации аналитических функций аналитическими теорема СтоунаEВейрштрасса напрямую не применимаF
2.4 Фильтры, ультрафильтры и теорема Тихонова.

В метрическом пространстве понятия предела функцииD замыкания мноE жества и компактности могут быть описаны в терминах сходящихся поE следовательностейF В общем случае для этого требуется обобщение поE нятия предела последовательностиX понятие предела по фильтруF При изучении сходимости в топологических пространствах теория фильтров оказывается мощным и удобным инструментом и в некоторых отношеE ниях она прощеD чем теорияD основанная на понятии последовательности или понятии сходимости по МуруEСмитуD однако теория фильтров треE бует некоторых навыков работы с объектамиD которые не строятся явноD но существование которых постулируется на основе аксиомы выбораF ма F IF PF QF

Определение 2.4.1.

Фильтром в множестве X называется такая систеE его подмножествD которая удовлетворяет условиямX Если A F и A B X D то B F F Если A1 F , A2 F D то A1 A2 F F FF IRI


Приведем примерыF
Пример

PFRFI. Пусть множество X состоит из трех элементовX X = {a , b , c}F Тогда следующие системы его подмножеств являются фильтрамиX

F1 = {[a] , [a , b] , [a , c] , [a , b , c]}. F2 = {[a , b] , [a , b , c]}. F3 = {[b] , [a , b] , [b , c] , [a , b , c]}.
Пример

@PFTTA @PFTUA @PFTVA

PFRFP. Пусть X Eтопологическое пространство и Fx Eсистема всех окрестностей точки xF Тогда Fx EфильтрF

Лемма 2.4.1.
есть фильтр.

Если

F , I

-фильтры, то их пересечение

F=
I

F



ДоказательствоF Так как : X F D то пересечение F не пустоF Так как : F D то F F Пусть A F и A B F Тогда : A F D поэтому : B F и поэтому B F F Аналогично доказываетсяD что пересечение двух множеств из F принадлежит F F Если система F0 подмножеств множества X удовлетворяет условиямX IfF Если A F0 , , B F0 D то существует такое C F0 D что C A BF PfF F0 D то система F подмножеств множества X D которая состоит из тех подE множеств множества X D каждое из которых содержит подмножество из F0 D есть фильтрF Удовлетворяющая условиям IfEPf система подмноE жеств F0 называется базой фильтра F D если F есть наименьший фильтрD который содержит F0 F Такой фильтр всегда существуетX это есть пересеE чение всех фильтровD содержащих F0 F Пусть F00 система подмножеств множества X D которая удовлетворяет условиямX F00 , (A F00 , B F00 ) : A B = . @PFTWA Тогда система F0 подмножеств множества X D которая состоит из переE сечений конечного числа множеств из системы F00 D удовлетворяет услоE виям IfEPf и является базой фильтраF Система F00 в этой ситуации называется предбазой фильтра F с базой F0 F Таким образомD для задания фильтра достаточно задать удовлетворяE ющую условиям @PFTWA систему множествD затем построить базу фильтраD а потом и сам фильтрF Рассмотрим топологичекое пространство и пусть Bx Eсостоящая из открытых множеств база топологии в точке xF Легко видетьD что Bx есть база фильтра окрестностей точки xF IRP


Пусть

f: X Y
Eотображение пространства X в Y F

A = f (B ) , B F }

Лемма 2.4.2.

Если

F

0 -база фильтра в пространстве

X

, то

F0 = {A |

-база фильтра в пространстве

Y

.

ДоказательствоF Достаточно заметитьD что

f (A
поэтому если C A

B ) f (A)

f (B ), B ) f (A) f (B )F

B D то f (C ) f (A

Определение 2.4.2.

Фильтр F мажорирует фильтр F @мы будем обоE значать это такX F F AD если F F D тFеF если каждое множествоD которое принадлежит фильтру F D принадлежит и фильтру F F В примере PFRFI фильтр F1 мажорирует фильтр F2 : F1 F2 F Мы будем называть фильтры сравнимымиD если один из них мажоE рирует другойF В примере PFRFI фильтры F1 и F2 сравнимыD а фильтры F1 и F3 EнетF ЗаметимD что в силу принятого нами соглашения A AD поэтому для каждого фильтра справедливо соотношение F F F Если X Eотделимое топологическое пространство D x = y D а Fx и Fy Eфильтры окрестностей точек x и y D то фильтры Fx и Fy не сравнимыD так как суE ществют такие окрестности Ox Fx , Oy Fy D что Ox Oy = D поэтому Ox Fy , Oy Fx F Если F2 F1 и F3 F2 D то F3 F1 D поэтому введеным соотноE шением множество всех фильтров на данном пространстве X частично упорядоченно F

Лемма 2.4.3.

Пусть

{F | I } F
:

-множество фильтров, каждые два

из которых сравнимы. Тогда существует такой фильтр мажорирует все фильтры

F

, который

( I ) : F
ДоказательствоF Положим

F .

@PFUHA

F=
I

F .

@PFUIA

ДокажемD что определенное соотношением @PFUIA семейство множеств F есть фильтрF ЯсноD что F F Пусть A F , B F F Тогда A F1 и B IRQ


F2 F ДопустимD что F2 F1 F Тогда A F2 D следовательноD A B F2 и поэтому A B F F Аналогично доказываетсяD что если A F и A B D то B F F Соотношение @PFUHA очевидноF Лемма доказанаF ЗаметимD что если два фильтра не сравнимыD то их объединение моE жет не быть фильтромF В примере PFRFI объединение фильтров F1 и F3 не есть фильтрD так как [a] [b] = F

Определение 2.4.3.

Фильтр F называется ультрафильтромD если он не содержится ни в каком другом фильтреD тFеF если из F F следуетD что F = F F В примере PFRFI фильтры F1 и F3 есть ультафильтрыF Из аксиомы выбора в форме аксиомы КуратовскогоEЦорна @смF стрF IRWAи леммы PFRFQ следуетD что каждый фильтр содержится в некотором ультрафильтреF
либо

Лемма 2.4.4.
BF
.

Если

F

-ультрафильтр и

A

BF

, то либо

AF

,

ДоказательствоF Пусть A B F и пусть F Eсистема всех подмноE жеств множества X D которые удовлетворяют условиюX

((A

M ) F ) (M F ).

Из определения фильтра следуетD что F EфильтрF Если A F и B F D то F F D так как B F F СледовательноD F = F и либо A F D либо B F F Лемма доказанаF Если F Eультрафильтр в пространстве X D то X F D поэтому из лемE мы PFRFR вытекает

Следствие 2.4.1.
Если F Eультрафильтр в пространстве X и A X D то либо A F D либо C(A) F F

Определение 2.4.4.

Точка x есть предел фильтра N D если фильтр N мажорирует фильтр окрестностей точки xF Из определения следуетD что предел фильтра окрестностей точки x есть точка xF

Лемма 2.4.5.

В отделимом топологическом пространстве фильтр мо-

жет иметь только один предел.

IRR


ДоказательствоFПусть точки x , y являются пределами фильтра N D а Ox , Oy Eтакие окрестности точек x и y D что Ox Oy = F Так как фильтр N мажорирует фильтры окрестностей точек x и y D то Ox N , Oy N D а это невозможноD так как пересечение любых двух принадлежащих фильтру множеств должно быть не пустоF Пусть X и Y Eтопологические пространсиваD

f: X Y

Определение 2.4.5. Теорема 2.4.1.

Eотображение пространства X в пространство Y F Точка y Y есть предел функции f по фильтру окрестностей точки xD если точка y есть предел фильтра с базой

N0 = {A | A = f (V (x)) , V (x) Fx },
где Fx Eфильтр окрестностей точки xF
Функция

@PFUPA

f

непрерывна в точке

случае, если фильтр с базой

x в том и только том @PFUPA сходится к точке y = f (x).

ДоказательствоF Пусть Ny Eфильтр с базой N0 F Этот фильтр сходится к точке y в том и только том случаеD если для любой окрестости U (y ) точки y выполнено включение U (y ) Ny F Согласно определению базы фильтра @PFUPA это включение выполнено тогда и только тогдаD когда существует такая окрестность V (x) точки xD что f (V (x)) U (y )F Это включение выполнено в том и только том случаеD если для окрестноE сти V (x) выполнено включение V (x) f -1 (U (y ))F А это включение выE полнено тогда и только тогдаD если при отображении f прообраз любой окрестности точки y = f (x) есть окрестность точки xF Теорема доказанаF ПоEсуществуD данная теорема утверждаетD что функция непрерывна в данной точке в том и только том случаеD если ее значение в данной точке есть предел ее значений при стремлении аргумента к этой точкеF Мы видимD что понятие фильтра позволило сформулировать понятие непрерывности функции в привычных терминах анализаF Точка x есть точка прикосновения фильтра F D есE ли она есть точка прикосновения для каждого множества A F F
Если точка

Определение 2.4.6.
F

тра

Лемма 2.4.6.

, то ультрафильтр

x есть точка прикосновения F сходится к точке x.

для ультафиль-

ДоказательствоF Пусть V (x) Eокрестность точки xF Так как F EультрафильтрD то либо V (x) F D либо C(V (x)) F F Однако последнее включение не может быть выполненоD так как каждое множество из F пересекается с V (x)F Таким образомD фильтр F мажорирует фильтр окрестностей точки xD тFеF сходится к этой точкеF IRS


Теорема 2.4.2.

Пространство

K

компактно в том и только том слу-

чае, если в нем всякий ультрафильтр сходится.

ДоказательствоFПусть в топологическом пространстве K есть фильтр F D который не имеет пределаF ДокажемD что K не компактF Рассмотрим замыкания произвольной системы множеств A F F Так как Cl(A ) F D то любой конечный набор множеств {Cl(A(j ) ) , 1 j N } имеет непустое пересечениеD поэтому

Cl(A(j ) ) = .
1j N

@PFUQA

Если

Cl(A ) = ,


то точка x0


Cl(A ) есть точка прикосновения для всех множеств A



и поэтому есть предел ультрафильтра F F СледовательноD

Cl(A ) = .


@PFURA

Из @PFUQA и @PFURA следуетD что пространство K не компактF Пусть у любого ультрафильтра в K есть пределF ДокажемD что K E компактF Рассмотрим произвольную систему замкнутых множеств {A | I }D которая удовлетворяет условию @PFURAF В силу этого условия система {A | I } есть базис некоторого ультрафильтра F F Пусть x0 E предел этого ультрафильтраF Так как точка x0 есть точка прикосновения для всех множеств A F D то x0 A и


A = .


СледовательноD K EкомпактF Теорема доказанаF Следующую доказанную АF НF Тихоновым теорему некотрые тополоE ги считают одним из самых важных результатов общей топологииF
пространств компактно в тихоновской топологии.

Теорема 2.4.3.

Декартово произведение компактных топологических

ДоказательствоF Пусть {K | I } Eсемейство компактных тополоE гических пространствD K= K , I


IRT


Eдекартово произведение пространств {K | I }D рассматриваемое как топологическое пространство с тихоновской топологиейF Пусть F E ультрафильтр в K F Нам нужно доказатьD что он сходитсяF Рассмотрим отображения проектированияX

P ( ) : K K ,
которые точке {x() | I } K ставят в соответствие точку x() K . По определению тихоновской топологии в K каждое отображение P () непрерывноF В силу леммы PFRFP семейство множеств

F

0

= {A | A = P ()(B ) , B F }

@PFUSA

есть база некоторого ультрафильтра в пространстве K F Обозначим ульE трафильтр с базой @PFUSA символом F F Так как пространство K комE пактноD ультрафильтр F сходится к некоторой точке x() K . ДокаE жемD что ультрафильтр F сходится к точке {x() | I } K. Для этого нам нужно доказатьD что ультрафильтр F мажорирует фильтр окрестE ностей точки {x() | I }. Для этого нам достаточно доказатьD что для некоторой локальной базы окрестностей точки {x() | I } K кажE дый элемент базы содержится в фильтре F F Пусть {x() | I } A ,

A=
1j N

O((j ))

Ч


K



, = (j ) , 1 j N ,

@PFUTA

где O((j )) x((j )) Eоткрытые в K(j ) множестваF Множество A есть элемент локальной базы тихоновской топологииD который содержит точE ку {x() | I }. Так как ультрафильтр F(j ) сходится к точке x((j )) O((j ))D то каждое открытое множество O((j )) содержит некоторый элемент базы фильтра F(j ) D поэтому

Aj : Aj = P ((j ))(Bj ) , Bj F .
Множество

B=
1j N

Bj

Ч


K



, = (j ) , 1 j N

@PFUUA

принадлежит ультрафильтру F @ибо пересечение в @PFUUA берется по коE нечному числу индексов Eи именно в этом месте существенно используE ется определение тихоновской топологииA и содержится в AX

B A,
поэтому ультрафильтр F мажорирует фильтр окрестностей точки {x() | I } K D тFеF сходится к этой точкеF Теорема доказанаF IRU


2.5

Коментарии и литературные указания.

В этой главе мы существенно использовали понятие эквивалентности и аксиому выбора ХаусдорфаF Напомним соответствующие определения и некоторые сведения из теории множествF Рассмотрим некоторое множество A и некотрое множество упорядоE ченных пар элементов множества AF Если пара a A , b A @a Eпервый элементD b EвторойA принадлежит рассматриваемому множеству парD то мы будем говоритD что между a и b установлено бинарное соотношение R и будем писать aRbF Бинарное соотношение R называется рефлексивнымD если

a : aRa.
Бинарное соотношение R называется транзитивнымD если

(aRb bRc) (aRc).
Бинарное соотношение R называется симметричнымD если

(aRb) (bRa).
Бинарное соотношение R называется антисимметричнымD если

(aRb bRa) (a = b).
НапримерD пусть A Eэто множество всех кругов на плоскостиF Мы скаE жемD что круг a находится в соотношении R с кругом bD если эти круги пересекаютсяF Это бинарное соотношение будет рефлексивным и симметE ричнымD но не будет транзитивным и антисимметричнымF СкажемD что круги a и b находятся в соотношении RD если круг a содержится в круге bF Это соотношение будет рефлексивнымD транзитивным и антисимметE ричнымF РефлексивноеD транзитивное и симметричное бинарное сотношение называется соотношением эквивалентности и обозначается такX a bF РефлексивноеD транзитивное и антисимметричное бинарное сотношеE ние называется частичной упорядоченностью и обозначается такX a b @или a bAF Если справедливо соотношение a bD то говорятD что a содержится в bF В множестве с частичной упорядочностью элемент a называется максимальнамD если из соотношения a b следуетD что a = bF Элемент a A частично упорядоченного множества называется максимальным для подмножества B D если

(b B ) : b a.
IRV


Подмножество B частично упорядоченного множества называется цепьюD если справедливо утверждениеX

(a B , b B ) ((a b) (b a)).
Следующие два утверждения эквивалентны и являются двумя @сущеE ствуют и другиеA эквивалентными формулировками аксиомы выбораF
жества обладает верхней гранью, то любой элемент множества содержится в некотором максимальном элементе.

Утверждение 2.5.1.

Если всякая цепь частично упорядоченного мно-

Эта форма аксиомы выбора называется леммой @теоремойA КуратовскогоE ЦорнаF
-такая система подмножеств множества

Утверждение 2.5.2.

Пусть

I

-произвольное множество индексов и

X



M


, что

( I ) : X = , ( = ) : X
Тогда на множестве

X = .

I

существует функция

x( ) : I
или эквивалентно:

x( ) X ,

(M0 M ) , : M0

X = x( ).

Типичный пример применения аксиомы выбора Eрассуждения по принE ципу транфинитной индукции @смF стрF IUQD конец доказательства теоE ремы ХанаEБанахаAF Аксиома выбора часто используется по умолчанию @напримерD при рассмотрении декартова произведения множествAD и мы тоже не вседа будем фиксировать внимание на ее использованииF Упомянутые в главе P элементарные сведения о метрических проE странствах являются естественным обобщением тех представленийD коE торые можно получить при рассмотрении рисунков на листе бумагиD одE нако не все так простоD и геометрическая интуиция в теории метрических пространств не должна вводить читателя в заблуждениеF Мы позволим себе привести цитату из сочинения НF Бурбаки IPD стрF QRX FFFзамыкание открытого шара может отличаться от замкнутого шара с тем же ценром и радиусомD граница замкнутого шара может отличаться от сферы с тем же центром и радиусомD открытый @или замкнутыйA шар может не быть связнымD а сфера может быть пустым множествомF IRW


Соответствующие примеры читатель может наийти в упражнениях в цитированной выше книгеF Классичеким руководством по элементарной теории метрических и топологических пространств являются книги I D PF Учебник IS являE ется стандартным источником ссылок для аналитиковF Для углубленноE го изучения общей топологии можно рекомендовать книгу IRF Краткое и ясное изложение основных понятий общей топологии есть в книге IQF

ISH


Глава 3 Банаховы пространства.

3.1

Основные определения.

В дальнейшем по умолчанию все линейные пространства мы будем расE сматривать над полем комплексных чисел и будем специально отмечать случайD когда линейное пространство рассматривается над полем дейE ствительных чиселF

Определение 3.1.1.

Заданная на линейном пространстве L функция

ћ

: L R1 +

называется нормойD если эта функция принимает неотрицательные знаE ченияX (x L) : x 0, невырожденаX

( x = 0) (x = 0),
удовлетворяет неравенству треугольникаX

(x L , y L) : x + y x + y ,
и однороднаX

( C1 , x L) : x = || x .

Определение 3.1.2.

Нормированным пространством называется лиE нейное простанствоD рассматриваемое вместе с заданной на нем нормойF Из определения нормы следуетD что функция

d(x , y ) = x - y
ISI

@QFIA


удовлетворяет аксиомам расстояния @метрикиAD и нормированное проE странство по умолчанию обычно рассматривается как метрическое проE странство с метрикой @QFIAF Из неравенства треугольника следуетD что

x - y x-y .
Так как правая часть этого неравенства симметрична по x , y D то отсюда следуетD что | x - y | x-y . @QFPA Из неравенства @QFPA следуетD что в нормированном пространстве функE ция x x непрерывнаD если ее рассматривать как функцию на метрическом проE странстве с метрикой @QFIAF

Определение 3.1.3.
и
2

Заданные на линейном пространстве L нормы 1 эквивалентныX @QFQA 1 2,

если существуют такие положительные константы a и bD что

(x L) : a x

2

x

1

b x 2.

Так как эквивалентные нормы задают одну и ту же топологию метриE ческого пространстваD то эквивалентные нормы иногда не различаютсяF Будем рассматривать банахово пространство B как метрическое проE странство M с метрикой @QFIAF Пусть M EпространствоD построенное при доказательстве теоремы PFIFI на стрF IHSF Перенесем на пространство M структуру линейного пространства B D положив по определению

[xn ] + [yn ] := [xn + yn ]
и введем в пространстве M нормуD положив по определению

[xn ] := lim xn .
n

Существование предела следует из неравенства @QFPAF Так мы превратим пространство M в нормированное пространствоF Повторяя шаг за шагом доказательство теоремы PFIFID мы убедимся в томD что полученное пространство Eэто полное нормированное пространE ствоD которое как метрическое пространство есть пополнение пространE ства B F ISP


Определение 3.1.4.

Банахово пространство Eэто нормированное проE странствоD которое как метрическое пространство полно относительно метрики @QFIAF Так как при необходимости мы можем перейти к пополнению проE странстваD то в дальнейшем все нормированные пространства мы будем считать банаховымиF Если нужно указатьD на каком именно банаховом пространстве B расE сматривается нормаD мы будем обозначать ее символом ћ | B . Прямая сумма банаховых пространств и факторEпространство банахового проE странства по подпространству обычно рассматриваются как банаховы пространстваF

Определение 3.1.5.

Прямой суммой B1 B2 банаховых пространств B1 и B2 называется прямая сумма B1 B2 линейных пространств B1 и B2 D в которой введена норма

x y | B1 B2 = x | B1 + y | B2 .

@QFRA

ЗаметимD что в случае гильбертовых пространств вместо нормы @QFRA удобнее рассматривать другуюD эквивалентную нормуX

x y | B1 B2

2

= x | B1

2

+ y | B2 2 .

ЯсноD что отбражения проектирования

P r1 : x y x , P r2 : x y y
есть линейные непрерывные отображения пространства B1 B2 в проE странство B1 и B2 соответственноF Пусть B /B0 EфакторEпространство линейного пространства B по лиE нейному подпространству B0 F Обозначим символом x B /B0 класс экE вивалентностиD который содержит вектор x B F Положим

(x B /B0 ) : x | B /B

def
0

= inf { x + | B | B0 }.

@QFSA

Сразу же заметимD что справедливо очевидное неравенство

x | B /B

0

x|B . B

@QFTA
, то простран-

Теорема 3.1.1.
ство

Если

B0

-замкнутое подпространство

B /B

0 есть банахово пространство относительно нормы

@QFSA.

ISQ


ДоказательствоF Сначала докажемD что функция @QFSA определяет норE муF Из неравенства треугольника в пространстве B следует неравенство

x+y++ |B x+ |B + y+ |B ,
поэтому

x + y | B /B0 = inf { x + y + + | ( + ) B0 } inf { x + | B | B } + inf { y + | B | B } = x | B /B0 + y | B /B0 .
СледовательноD неравенство треугольника для функции @QFSA выполненоF Однородность относительно умножения на скаляр очевиднаF Пусть x | B /B0 = 0. Тогда существует такая последовательность {n } B0 и такой элемент x xD что x + n 0 , n . В силу замкнутости пространства B0 @имено здесь используется замкнуE тость пространства B0 A имеемX

x = - lim n B0 ,
n

поэтому

x = 0.
Невырожденность функции @QFSA доказанаF ИтакD мы доказалиD что функE ция @QFSA определяет норму на пространстве B /B0 F Теперь докажемD что пространство B /B0 полно относительно этой нормыF Пусть xn Eфундаментальная относительно нормы @QFSA последовательE ностьF Без ограничения общности мы можем считатьD что выполнено неравенство xn+1 - xn | B /B0 2-(n+1) , x1 = 0. Существуют такие xn B , n B0 D что

x
Положим

n+1

- xn + n | B 2-n , x1 = 0. (x
1mn

yn
Так как

+1

=

n+1

- xn + n ) , y1 = 0.

y

n+1

- yn = x

n+1

- xn + n ,

ISR


то существует предел

y := lim yn .
n

Справедливо неравенство

y - xn+1 | B /B0 = y - yn+1 | B /B y - yn+1 | B 0 , n .
Полнота пространства B /B0 доказанаF Приведем примеры банаховых пространствF

0



QFIFI. Пространство Cn есть банахово пространство относительE но каждой из норм
Пример

z=
1j n

|zj | , z = max{|zj | | 1 j n}.

C1 F

Пространство Cn можно рассматривать как прямую сумму пространств

Пример QFIFP. Пространство C (D ) всех определенных на компакте D Rn нерперывных функций есть банахово пространство относительно норE мы f | C (D) = sup{|f (x)| | x D}. @QFUA

QFIFQ. В пространстве Lp , 1 p < , с интегралом I рассмотрим линейное подпространство L0 X
Пример

L0 = {f | I (|f |p ) = 0},
и рассмотрим факторEпространство относительно пространства L0 X

Lp /L0 .
Это факторEпространство есть банахово пространство относительно норE мы (f Lp /L0 ) : f = I (|f |p )1/p . где f Eлюбая функция из класса эквивалентности f F Полнота пространE ства Lp /L0 следует из теоремы РиссаEФишераF Обычно факторEпространство Lp /L0 отождествляется с Lp и обознаE чается тем же символомF ISS


Теорема 3.1.2.

В банаховом пространстве операции сложения

(B Ч B )
и умножения на число

xЧy x+y B

(C1 Ч B )
непрерывны.

Ч x x B

ДоказательствоF Пусть

xn B , yn B , xn x0 , yn y0 , n .
Тогда

(x0 + y0 ) - (xn + yn ) x0 - x

n

+ y0 - yn 0 , n ,

что и доказывает непрерывность операции сложенияF Непрерывность умножения на число доказывается абсолютно аналогичноF

Теорема 3.1.3.
странстве

1. Если

O

-открытое множество в банаховом про-

B

и

= 0,

то множество

O = {x | x = y , y O}
открыто. 2. Если

O

-открытое множество в банаховом пространстве

B

и

A

-

произвольное множество в банаховом пространстве

B

, то множество

A + O = {x | x = y + z , y O , z A }
открыто.

ДоказательствоF Для доказательства первого утверждения заметимD что отображение B B : x x/ непрерывноF Множество O есть прообраз открытого множества O при этом отображении и поэтому открытоF Для доказательства второго утверждения заметимD что отображение

B B: x x - y
непрерывноF Поэтому при любом y A множество y + O открыто как прообраз открытого множества O при непрерывном отображенииF МноE жество A + O открыто как объединение открытых множествF IST


3.2

Пространство линейных отображений.

Пусть B1 и B2 Eбанаховы пространстваF

Определение 3.2.1.

Отображение

T : B1 B2
называется линейнымD если

( C , ч C , x B1 , y B1 ) : T (x + чy ) = T (x) + чT (y ).
то оно непрерывно в произвольной точке

Лемма 3.2.1.

Если линейное отображение непрерывно в точке

x=0

,

x0 B1

.

ДоказательствоF Пусть

xn x0 , n .
Тогда

(xn - x0 ) 0 , n ,
и если линейное отображение T непрерывно в нулеD то

T (xn ) - T (x0 ) = T (xn - x0 ) 0 , n ,
а отсюда следует непрерывность отображения T в точке x0 F

Лемма 3.2.2.
точке

Если линейное отображение непрерывно в некоторой

x0 B1

, то оно непрерывно в нуле.

ДоказательствоF Пусть

yn 0 , n .
Тогда

( x0 + y n ) x0 ,
и если линейное отображение T непрерывно в точке x0 D то

T (yn ) = T (x0 + yn ) - T (x0 ) 0 , n ,
Из лемм QFPFI и QFPFP вытекает
то оно непрерывно всюду.

Теорема 3.2.1.

Если линейное отображение непрерывно в одной точке,

ISU


Множество всех линейных непрерывных отображений банахова проE странства B1 в банахово пространство B2 мы обозначим символом L(B1 B2 )F

Определение 3.2.2.

Линейное отображение

T : B1 B2
ограниченоD если существует такая константа C < D что

(x B1 ) : T (x) < C x .

@QFVA

В левой части неравенства @QFVA норма берется в пространстве B2 D в правой части неравенства @QFVA норма берется в пространстве B1 F В дальнейшем мы не будем специально оговаривать в каком именно проE странстве берутся нормыD если это можно понять из контекстаF Точная нижняя грань всех возможных констант C D которые удовлеE творяют неравенству @QFVA называется нормой ограниченного оператора TX T | L(B1 B2 ) := sup{ T (x) | B2 | x | B1 1}. @QFWA Мы оставляем читателю проверку тогоD что правая часть @QFWA действиE тельно задает норму на линейном пространстве всех ограниченных лиE нейных операторовD которые действуют из B1 в B2 F

Теорема 3.2.2.

Линейный оператор непрерывен в том и только том

случае, если он ограничен.

ДоказательствоF Непосредствено из определения @QFVA следуетD что ограниченный оператор непрерывен в нулеD поэтому ограниченный опеE ратор непрерывенF Если оператор T непрерывен в нулеD то тогда существует такая конE станта > 0D что ( x < ) : T (x) < 1. @QFIHA Положим в @QFIHA

x = y /2 y , y = 0.
Тогда получимX

@QFIIA

2 y, что и доказывает ограниченность непрерывного оператора T F В дальнейшем пространство L(B1 B2 ) мы будем рассматривать как нормированное пространство с нормой @QFWAF (y B1 ) : T (y )
ISV


Теорема 3.2.3.
нормой

Пространство

L(B1 B2 )

есть банахово простран-

ство, т. е. оно полно относительно метрики, которая индуцирована

@QFWA.

ДоказательствоF Пусть {Tn } L(B1 B2 ) Eпроизвольная последоваE тельностьD которая фундаментальна по норме @QFWAF Так как

(x B1 ) : Tn (x) - Tm (x) Tn - Tm
и пространство B2 полноD то

x

(x B1 ) , T (x) : lim Tn (x) = T (x).
n

@QFIPA

ЯсноD что определенный равенством @QFIPA оператор T линеенF ДокажемD что он ограниченF Пусть N выбрано настолько большимD что

(m , n > N ) : Tn - Tm < 1
Тогда

(x B1 ) : Tn (x) Tn (x) - Tm (x) + Tm (x) (1 + Tm ) x .

@QFIQA

Переходя в неравенстве @QFIQA к пределу n D мы получаем неравенE ство

(x B1 ) : T (x) (1 + Tm ) x ,
из которого и следует ограниченность оператора T F Но оганиченный опеE ратор непрерывенD поэтому наша теорема доказанаF Рассмотрим QFPFI. Пусть D Rn Eзамкнутая ограниченная область в проE странстве Rn , k (x , y ) Eнепрерывная функцияD заданная в области D ЧD. Формула
Пример

K f (x) =
D

k (x , y )f (y )dy

@QFIRA

задает оператор

K : C (D) C (D).
ISW


Оценим его нормуF ИмеемX

K f | C (D) = sup{|
D

k (x , y )f (y )dy |x D}

(sup{
D

|k (x , y )|dy | x D}) sup{|f (y )| | y D} = |k (x , y )|dy | x D}) f | C (D)

(sup{
D

СледовательноD

K | L(C (D) C (D)) sup{
D

|k (x , y )|dy | x D}.

Будем рассматривать заданный формулой @QFIRA оператор как оператор из L1 (D) в L1 (D) и оценим его нормуF ИмеемX

K f | L1 (D) =
D

|
D

k (x , y )f (y )dy |dx |f (y )|dy
D

(sup{
D

|k (x , y )|dx | y D})

sup{
D

|k (x , y )|dx | y D} f | L1 (D) .

СледовательноD

K | L(L1 (D) L1 (D)) sup{
D

|k (x , y )|dx | y D}.

Будем рассматривать заданный формулой @QFIRA оператор как оператор из L2 (D) в L2 (D) и оценим его нормуF ИмеемX

K f | L2 (D)
DЧD 2

k (x , y )f (y )dy dx
D

2

=
D

|k (x , y )|2 dxdy
D

|f (y )|2 dy

ITH


СледовательноD

K | L(L2 (D) L2 (D))
DЧD

|k (x , y )|2 dxdy

1/2

.

В рассмотренном примере мы получили оценку сверху для нормы оператораF Точное вычисление нормы оператора может быть трудной задачейF
3.3 Основные принципы.

Основными принципами функционального анализа традиционно назыE ваются несколько наиболее часто цитируемых теоремD которыеD как праE вилоD составляют трудную часть доказательствF ИнтересноD что эти теоремы @за исключением теоремы ХанаEБанахаA являются следствием теоремы Бэра о категорияхF
3.3.1 Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза.

Пусть

F : B1 B2 , I
Eсемейство не обязательно линейных отображений банахова пространE ства B1 в банахово пространство B2 F Следующее утверждение обычно называется принципом равномерной ограниченностиF

Теорема 3.3.1.

Предположим, что выполнены следующие условия.

1. Каждое отображение

F

непрерывно.

2. Выполнены неравенства:

( I , x , y B1 ) : F (x + y ) F (x) + F (y ) , ( I , R1 , x B1 ) : F (x) || F (x) .
3. При каждом мерно по

@QFISA @QFITA

x B1

семейство отображений

F

ограничено равно-



:

(x B1 ) : sup{ F (x) | I } = C (x) < .
Тогда семейство отображений
0

@QFIUA

F

непрерывно в нуле равномерно по



:

lim sup{ F (x) | x < , I } = 0.
ITI

@QFIVA


ДоказательствоF В силу непрервности отображения F при каждом I , n 1 множество

{x | F (x) n}
замкнутоF Поэтому при каждом n 1 множество

Xn =
I

{x | F (x) n}

замкнуто как пересечение замкнутых множествF Из @QFIUA следуетD что B1 = Xn ,
n

поэтому в силу теоремы Бэра о категориях @смF стрF IITA существует такой открытый шар b(x0 , ) и такое nD что

b(x0 , ) Xn .
Включение @QFIWA означаетD что

@QFIWA

( y < ) : sup{ F (x0 + y ) | I } n.
СледовательноD в силу неравенства @QFISA справедлива оценкаX

( y < ) : sup{ F (y ) | I } sup{ F (x0 + y ) | I } + sup{ F (-x0 ) | I } n + C (x0 ).
Но тогда из @QFITA следуетD что

sup{ F (x) | x < , I } (n + C (x0 ))/ .
Теорема доказанаF Следующие две теоремы есть простое следствие принципа равномерE ной ограниченности и вместе эти теоремы называются теоремой БанахаE ШтейнгаузаF

Теорема 3.3.2.
то

Пусть

T

-семейство линейных непрерывных отобра-

жений банахова пространства

B1

в банахово пространство

B2

. Если

(x B1 ) : sup{ T (x) | I }} = C (x) < , sup{ T | I } < .
ITP


ДоказательствоF Применим теорему QFQFI к семейству отображений F = T F ПолучимD что

( > 0) , ( x < ) : sup{ F (x) | x < , I } < 1.
Но тогда

sup{ T | I } = sup{ T (x) | x < 1 , I } < 1/.
Теорема доказанаF
отображений банахова пространства и для каждого

Теорема 3.3.3.

Пусть

Tn

-последовательность линейных непрерывных

B1

в банахово пространство

B2

x B1

существует предел

(x B1 ) , T0 (x) : lim Tn (x) = T0 (x).
n

@QFPHA

Тогда определенный формулой

@QFPHA оператор T0 непрерывен.

ДоказательствоF Из @QFPHA следуетD что

(x B1 ) : sup{ Tn (x) | 1 n < } < .
Но тогда в силу теоремы QFQFP

sup{ Tn | 1 n < } < ,
и

(x B1 ) : T0 (x) sup{ Tn | 1 n < } x .
СледовательноD оператор T0 ограничен и поэтому непрерывенF Теорема доказанаF Следующая теорема есть простое следствие неравенства треугольниE каD но она тоже иногда называется теоремой БанахаEШтейнгаузаF

Теорема 3.3.4.

Пусть

Tn

-последовательность линейных непрерывных

отображений банахова пространства удовлетворяет условию

B1

в банахово пространство

B2

sup{ Tn | 1 n < } = C < ,
пусть

@QFPIA

D

-плотное в

B1

множество:

Cl(D) = B1 ,
ITQ


и для каждого

xD

существует предел:

(x D) , T0 (x) : T0 (x) = lim Tn (x).
n

Тогда предел формулой

limn Tn (x)

существует для всех

x B1

и определенный

T0 (x) = lim Tn (x)
n

def

@QFPPA

оператор непрерывен.

ДоказательствоF Для каждого x B1 и > 0 найдем такое y (x , ) DD что x - y (x , ) < /4C, где C Eконстанта из @QFPIAF Тогда

Tn (x) - Tm (x) (Tn - Tm )y (x , ) + (Tn - Tm )(x - y (x , )) /2 + (Tn - Tm )y (x , ) .
Пусть n , m выбраны настолько большимиD что

(Tn - Tm )y (x , ) < /2.
Тогда из предыдущего неравенства следуетD что для таких n , m будет выполнено неравенство

Tn (x) - Tm (x) .
СледовательноD последовательность Tn (x) сходится для всех x B1 F ЯсноD что

T0 (x) sup{ Tn | 1 n < } x C x .
СледовательноD оператор T0 ограничен и поэтому непрерывенF Теорема доказанаF Рассмотрим
Пример

QFQFI. Пусть B Eбанахово пространство всех периодичных и непреE рывных на отрезке [0 , 2 ] функцийX f B D если f непрерывна и

f (0) = f (2 ).
Определим в пространстве B нормуX

f | B = sup{|f (x)| | x [0 , 2 ]}.
ITR


Определим в пространстве B операторы Tn L(B C1 )D положив

Tn (f ) =

a0 + 2

(ak cos k x + bk sin k x)
1kn x=0

,

где ak , bk Eкоэффициенты Фурье функции f по тригонометрической сиE стеме функцийX

1 ak =

2 0

1 f (x) cos(k x)dx , bk =

2

f (x) sin(k x)dx.
0

Оценим норму оператора Tn F С этой целью вспомним интегральное предE ставление частной суммы ряда Фурье через ядро ДирихлеX

Tn (f ) =
Пусть

1

2 0

sin((n + 1/2)(t - x)) f (t)dt 2 sin((t - x)/2)

.
x=0

0 m 2n + 1 , t f
n,

m,n

= m/(n + 1/2) , m = 0, . . . ,

(t) =

sig n sin((n + 1/2)(t)) , если |t - tm , n | > , линейна на участке |t - tm , n | <

и непрерывнаF ЯсноD что

fn , = 1, Tn | L(B C1 ) sup{|Tn f 1 2 C
1 0 2 0 n

n,

| || > 0} =

sin((n + 1/2)t) dt sin(t/2) | sin(t)| dt = C t
(k+1) 1 0kn-1 k

| sin(t)| dt t

const.
1k(n-1)

1 const. ln n. k

В выписанных выше неравенствах

C1 = min

0t

t , 2 sin(t/2)

символ const. обозначает положительную константуD которая не зависит от n и точное значение которой для нас не важноF СледовательноD нормы ITS


операторов Tn не ограничены в совокупностиF Из теоремы QFQFP следуетD что это может быть только в том случаеD если существует такая функE ция f0 B D что |Tn (f0 )(0)| , n F СледовательноD существует такая непрерывная периодическая функцияD ряд Фурье которой расхоE дится в точке x = 0 @сдвигом аргумента существование такой функции доказывается для любой точкиAF Доказанный нами результат Eэто теорема существованияD и теорема БанахаEШтенгауза часто используется для этих целейF
3.3.2 Теорема об открытом отображении и ее следствия.

Определение 3.3.1.

Линейное отображение T банахова пространства B1 в банахово пространство B2 называется открытымD если образ любого открытого в B1 множества открыт в B2 F ЗаметимD что отображение может быть линейным и непрерывнымD но не быть открытымF Примером линейногоD непрерывногоD но не отE крытого отображения является отображениеD которое все пространство B1 переводит в ноль пространства B2 F

Определение 3.3.2.

Образом @или областью значенийA отображения

T : B1 B2
называется множество

Im(T ) = {y | y = T (x) , x B1 }.

@QFPQA

Иногда область значений отображения T обозначается символом

Range(T ) Im(T ).
F

@QFPRA

Следующее утверждение называется теоремой об открытом отобраE жении или принципом открытости отображенияF

Теорема 3.3.5.

Если отображение

T L(B1 B2 )
линейно, непрерывно и образ пространства все пространство то отображение

B1

при отображении

T

есть

B2

:

Im(T ) = B2 , T
открыто.

@QFPSA

ITT


Доказательству теоремы QFQFS мы предпошлем несколько леммF В дальнейшем шар в пространстве Bi мы будем помечать тем же индексомX bi ( , ) Bi .

Лемма 3.3.1.
тром в нуле:

Если выполнены условия теоремы 3.3.5, то замыкание

образа любого шара с центром в нуле содержит открытый шар с цен-

( > 0) , ( ) : b2 (0 , ( )) Cl(T (b1 (0 , ))).
ДоказательствоF Из условия @QFPSA следуетD что

@QFPTA

B2 =
n

Cl(T (b1 (0 , n)).

@QFPUA

Из @QFPUA и теоремы Бэра о категориях @смF стрF IITAследуетD что

(n , y0 B2 , r > 0) : b2 (y0 , r) Cl(T (b1 (0 , n))).
Теперь заметимD что из включения

@QFPVA

y Cl(T (b1 (0 , n)))
следует включение

-y Cl(T (b1 (0 , n))),
а из включений

y1 Cl(T (b1 (0 , n))) , y2 Cl(T (b1 (0 , n)))
следует включение

(0 1) : y1 + (1 - )y2 Cl(T (b1 (0 , n)))
Поэтому из @QFPVA следуетD что

M = {y | y = (2 - 1)z , z b2 (y0 , r) , 0 1} Cl(T (b1 (0 , n))) @QFPWA Так как шар b2 (y0 , r) открытD множество M открыто и содержит точку 0D поэтому ( > 0) : b2 (0 , ) M Cl(T (b1 (0 , n))).
СледовательноD

( > 0) : b2 (0 , ) Cl(T (b1 (0 , n))).
ITU


Положив в этом включении

= /n,
мы получим включение @QFPTA с

( ) =
Лемма доказанаF

2

/n.

( )

Лемма 3.3.2.

Если выпонены условия предыдущей леммы, а числа

удовлетворяют условию

@QFPTA, то

и

b2 (0 , ( )) T (b1 (0 , 3 )).
ДоказательствоF Пусть
1

@QFQHA

=,

n

= 2-(

n-1)

(n-1)

.

Мы будем считатьD что выбранная в соответствии с @QFPTA последовательE ность ( n ) удовлетворяет условиюX

(
Фиксируем произвольно

(n+1)

1 ) < ( n ). 2

y b2 (0 , ( 1 )).
Нам нужно доказатьD что

(x b1 (0 , 3 )) : y = T (x).
Из леммы QFQFI следуетD что

b2 (y ,

1 ( 2 )) 2

T (b1 (0 ,
1

1

)) = ,

и поэтому существует такое x1 b1 (0 ,

)D что

1 y - T (x1 ) < ( 2 ). 2
СледовательноD

(y - T (x1 )) b2 (0 , ( 2 )),
ITV


и существует такое x2 b1 (0 ,

2

) что

1 y - T (x1 ) - T (x2 ) < ( 3 ). 2
Рассуждая по индукцииD мы получим такую последовательность {xn }D что 1 xn < n , y - T (x1 + x2 + . . . + xn ) < ( (n+1) ) 0 , n . @QFQIA 2 Положим

x=
n

xn .

Из @QFQIA следуетD что

y = T (x) , x < (1 + 1/2 + . . .) < 3 .
Лемма доказанаF Переходим к доказательству теоремыF Пусть A Eоткрытое в пространстве B1 множествоD x0 A и

y0 = T (x0 ).
Так как A EоткрытоD то существует такой шар b1 (0 , ) B1 D что

x0 + b1 (0 , ) = b1 (x0 , ) A.
В силу леммы QFQFP существует такой шар b2 (0 , ( )) B2 , что b2 (0 , ( )) T (b(0 , ))F Поэтому

y0 + b2 (0 , ( )) = b2 (y0 , ( )) T (x0 + b1 (0 , )) T (A).
СледовательноD множество T (A) вместе с каждой своей точкой содержит некоторый открытый шар с центром в этой точке и поэтому множество T (A) открытоF Теорема доказанаF Выведем некоторые следствия из доказанной теоремыF Пусть T : B1 B2 @QFQPA Eлинейное @не обязательно непрерывноеA отображение и Im(T ) = B2 .

Определение 3.3.3.

Отображение

T

-1

: B2 B1

называется обратным к отображению T D если

(x B1 ) : T

-1

(T (x)) = x , (y B2 ) : T (T
ITW

-1

(y )) = y .


ЗамечаниеF Сейчас мы рассматриваем только такие отображенияD обE ласть определения которых совпадает со всем пространствомF Позже мы будем рассматривать отображенияD область определения которых явE ляется лишь линейным подмногообразием в банаховом пространствеD и для таких отображений будет дано свое определение обратного отобраE женияF Для существования обратного отображения необходимо и достаточE ноD воEпервыхD чтобы образ пространства B1 при отображении T совпаE дал бы со всем пространством B2 D иD воEвторыхD чтобы каждый элемент пространства B2 имел бы только один прообраз при отображении T X

(T (x1 ) = T (x2 )) (x1 = x2 ).
В силу линейности отображения T последнее условие можно сформулиE ровать в видеX (T (x1 - x2 ) = 0) (x1 - x2 = 0). Ядром линейного отображения T назавается мноE

Определение 3.3.4.
жество

Ker(T ) = {x | T (x) = 0}.

def

@QFQQA

ИтакD необходимое и достаточное условие существования обратного к линейному @не обязательно непрерывномуA отображению @QFQPA состоит в следующемX Im(T ) = B2 , Ker(T ) = 0. @QFQRA ОтображенияD удовлетворяющие первому из условий @QFQRAD называются сюръективными отображениямиF ОтображенияD удовлетворяющие втоE рому условию @QFQRAD называются инъективными отображениямиF Следующая теорема называется теоремой Банаха об обратном отобE раженииF

Теорема 3.3.6.
ям

@QFQRA и непрерывно, то обратное отображение непрерывно.

Если линейное отображение

T

удовлетворяет услови-

ДоказательствоF Пусть A Eоткрытое множество в пространстве B1 F Тогда в силу теоремы об открытом отображении множество

(T

-1 -1

) (A) = T (A)

открытоD поэтому при отображении T -1 @которое существует в силу @QFQRAA прообраз любого открытого множества открытD тF еF отображение T -1 непрерывно @смF стрF IIWAF Теорема доказанаF Еще одно следствие теоремы об открытом отображении Eтеорема о замкнутом графикеF IUH


Определение 3.3.5.

Графиком линейного отображения

T : B1 B2
называется множество

@QFQSA

Gr(T ) = {x T (x) | x B1 } B1 B2 .

@QFQTA

График линейного отображения есть линейное подмногообразие пряE мой суммы области определения и области значенийF Обратное отображение Eэто оператор с графиком

Gr(T

-1

) = {T x x | x B1 } B2 B1 .

Если отображение непрерывноD то график отображения есть замкнутое подпространство этой прямой суммыF ОказываетсяD что справедливо и обратное утверждениеF Следующая теорема называется теоремой о заE мкнутом графикеF

Теорема 3.3.7.

Если график линейного отображения

@QFQSA замкнут,

то отображение

T

непрерывно.

ДоказательствоF Если подмножество Gr(T ) B1 B2 замкнутоD то пространство Gr(T ) есть банахово подпространство банахова пространE ства B1 B2 F Отображение

P r1 : x T (x) x

@QFQUA

есть линейное непрерывное отображение банахова пространства Gr(T ) на пространство B1 D причем Im(P r1 ) = B1 , Ker(P r1 ) = 0F В силу теоремы Банаха об обратном отображении отображение

B1 Gr(T ) : x x T (x)
непрерывноF СледовательноD отображение

B1 B2 : x x T (x) T (x)
непрерывно как композиция непрерывных отображенийF @Мы учлиD что сужение непрерывного отображения проектирования x y y на заE мкнутое B1 B2 множество Gr(T ) непрерывноFA Теорема доказанаF ЗаметимD что в доказанной нами теореме предполагалосьD что отобE ражение задано на всем пространствеF IUI


3.3.3

Теорема Хана-Банаха.

В теореме ХанаEБанаха топологическая структура пространств не расE сматривается и в дальнейших рассуждениях она никак не используетсяF

Определение 3.3.6.
L функция

Заданная на вещественном линейном пространстве

p: L R

1 +

@QFQVA

называется калибровочнной функциейD если она удовлетворяет условиE ямX

(x , y L) : p(x + y ) p(x) + p(y ). ( > 0 , x L) : p(x) = p(x).

@QFQWA @QFRHA

Определение 3.3.7.
L функция

Заданная на комплексном линейном пространстве

p : L R1 +
называется полунормойD если она удовлетворяет условиям

(x L , y L) : p(x + y ) p(x) + p(y ), (x L , C1 ) : p(x) = ||p(x).

@QFRIA @QFRPA

Всякая полунорма есть калибровочная функцияD а отличие полунорE мы от нормы состоит в томD что для полунормы из условия p(x) = 0 не следуетD что x = 0F Следующая теорема называется теоремой ХанаEБанаха для вещественноE линейных пространствF

Теорема 3.3.8.
L
на

Пусть

L

-вещественное линейное пространство,

L0

-подпространство пространства

L

и

f (x)

-заданный на

L , p(x) подпространстве L

-калибровочная функция
0 вещественно-линейный

функционал, который удовлетворяет условию

(x L0 ) : f (x) p(x).
Тогда существует заданный на всем пространстве функционал

@QFRQA

L

вещественно-линейный

f

, который удовлетворяет условиям:

(x L0 ) : f (x) = f (x) , (x L) : - p(-x) f (x) p(x).
IUP

@QFRRA


ДоказательствоF Если L = L0 D то доказывать нечегоF Пусть x0 L\L0 F Из @QFRQA и определения калибровочной функции следуетD что справедE ливо неравенствоX

(x L0 , y L0 , x0 L \ L0 ) : f (x) + f (y ) = f (x + y ) p(x + y ) = p(x - x0 + y + x0 ) p(x - x0 ) + p(y + x0 ).
Поэтому

(x L0 , y L0 , x0 L) : f (x) - p(x - x0 ) p(y + x0 ) - f (y ). @QFRSA
Левая часть неравенства @QFRSA не зависит от y D правая часть неравенства @QFRSA не зависит от xD поэтому существует такая не зависящая от x и y @но зависящая от x0 A константа aD что выполнены неравенстваX

(x L0 , y L0 ) : f (x) - p(x - x0 ) a p(y + x0 ) - f (y ).
СледовательноD

@QFRTA

(x L0 ) : f (x) - a p(x - x0 ) (y L0 ) : f (y ) + a p(y + x0 ).

@QFRUA

Пусть L1 прямая сумма линейного пространства L0 и одномерного проE странстваD которое натянуто на вектор x0 X

L1 = L0 {tx0 } , t R1 .
На пространстве L1 определим линейный функционал

(x L0 ) : f1 (x + tx0 ) = f (x) + ta.
Так как x0 L0 D то определение @QFRVA корректноF Из @QFRUA следуетD что

@QFRVA

(t > 0) : f1 (x + tx0 ) = t(f (x/t) + a) tp(x/t + x0 ) = p(x + tx0 ), (t > 0) : f1 (x - tx0 ) = t(f (x/t) - a) tp(x/t - x0 ) = p(x - tx0 ).
Если L = L1 D то теорема доказанаF Если L \ L1 = D то повторим наше построениеF Далее мы проведем расужденияD которые опираются на аксиому выE ыбора и иногда называются трансфинитной индукциейF Пусть {L , f } , I Eмножество всех пространств и функционаE ловD которые можно получить описанным выше способомF Введем в этом множестве частичное упорядочениеD положив

{L , f } {L , f }
IUQ


если

L L и (x L ) : f (x) = f (x).

При таком линейном упорядочении каждая линейная цепь имеет максиE мальный элементX им является параD состоящая из объединения всех вхоE дящих в цепь пространств L и естественно определенного на этом объE единении функционалаF В силу аксиомы выбора существует такой максиE мальный относительно введенного упорядочения элемент {Lmax , fmax }D что {Lmax , fmax } {L0 , f }F Если Lmax = LD то мы снова можем провеE сти описаное выше построение и получить элементD который будет больE ше элемента {Lmax , fmax } и не совпадать с нимD что противоречит опреE делению максимального элементаF СледовательноD Lmax = L и теорема доказанаF Простым следствием доказанной теоремы является теорема ХанаE Банаха для комплексноEлинейных пространствF

Теорема 3.3.9.

Пусть

L

-комплексно- линейное пространство,

-подпространство пространства заданный на подпространстве влетворяет условию

L , p(x)

-полунорма на

L

и

L0 L f (x) -

L

0 линейный функционал, который удо-

(x L0 ) : |f (x)| p(x).
Тогда существует заданный на всем пространстве ционал

@QFRWA

L

линейный функ-

f

, который удовлетворяет условиям:

(x L0 ) : f (x) = f (x) , (x L) : |f (x)| p(x).

@QFSHA

ДоказательствоF Сначала будем рассматривать наше пространство как вещественноEлинейное и применим предыдущую теорему к вещественноE линейному функционалу Re f (x) и полунорме p(x)D которую будем расE сматривать как калибровочную функциюF Пусть Re f Eполученное соE гласно предыдущей теореме расширение вещественноEлинейного функE ционала Re f (x)F Положим по определению

(x L) : f (x) = Re f (x) - iRe f (ix)

@QFSIA

ЯсноD что формула @QFSIA задает комплексноEлинейное расширение функE ционала f (x)F ПроверимD что выполнена оценка @QFSHAF Пусть

f (x) = |f (x)| exp(i).
Тогда

|f (x)| = Re f (exp(-i)x)) p((exp(-i)x)) = p(x).
IUR


Теорема доказанаF Теорему ХанаEБанаха часто формулируют в упрощенной формеX заE данный на линейном подмножестве банахова пространства линейный функционал можно продолжить на все пространство с сохранением норE мыF
3.4 Сопряженное пространство и элементы теории двойственности.
3.4.1 Сопряженное пространство.

Сопряженным к данному банахову пространству B называется банахово пространство

Определение 3.4.1.

B = L(B C1 )
всех линейных непрерывных отображений банахова пространства B в множество комплексных чиселF Норма в сопряженном пространстве задается формулойX

(f B ) : f | B

= sup{|f (x)| | x B , x 1}.

@QFSPA

Рассмотрим примерF Пусть D Eограниченная замкнутая область в проE странстве Rd F НапомнимD что в силу теоремы IFPFIH @смF стрF VQA при 1 < p < между пространствами Lq (D) , q = p/(p - 1), и Lp (D) можно установить взаимно однозначное соответствие

J : Lq (D) Lp (D) ,
при котором функции g Lq (D) ставится в соответсвие функционал J (g ) Lp (D) D действующий по правилуX

( Lp (D)) : J (g )() =
D

g (x)(x)dx.

@QFSQA

В теореме IFPFIH доказываетсяD что любой функционал из Lp (D) можно задать с помощью этой формулы и

J (g ) | Lp (D)

= g | Lq (D ) ,

поэтому пространства Lp (D) и Lq (D) иногда отождествляютсяF IUS


хова пространства dist

Теорема 3.4.1.

Пусть

B0 замкнутое B , y0 B0 ,

линейное подпространство бана-

(y0 , B0 ) = inf { y0 - x | x B0 } = d > 0. fB
,

Тогда существует такой линейный непрерывный функционал что

f (B0 ) = 0 , f (y0 ) = 1 , f | B

= 1/d.

@QFSRA

ДоказательствоF Рассмотрим линейное пространство L0 D которое есть прямая сумма линейного пространства B0 и пространстваD натянутого на вектор y0 X L0 = B0 {y0 } , C1 . Так как y0 B0 D то это определение корректноF На пространстве L0 определим линейный функционал f X

(x B0 ) : f (x + y0 ) = .

@QFSSA

Определенный равенством @QFSSA функционал удовлетворяет условиямX

f (B0 ) = 0 , f (y0 ) = 1.
Будем рассматривать линейное пространство L0 как банахово подпроE странство банахова пространства B и вычислим норму функционала f в пространстве L0 F ИмеемX

(x B0 ) : x + y0 | L0 = x + y0 | B = || (1/)x + y0 | B ||d = |f (x + y0 )|d.
Отсюда следуетD что

(x L0 ) : |f (x)|

1 x , поэтому f | L d

0

1 . d

@QFSTA

Пусть {xn } L0 EпоследовательностьD которая удовлетворяет условиюX

y0 - x
Тогда

n

d , n . y0 - x f | L0 d.

1 = |f (y0 - xn )| f | L0
СледовательноD

n

1 f | L0 . d
IUT


Сравнивая это неравенство с неравенством @QFSTAD мы получаем равенE ство 1 f | L0 = . d Теперь воспользуемся теоремой ХанаEБанаха и распространим функциE онал f на все пространство B F Теорема доказанаF

Теорема 3.4.2.

Для любого элемента

x

банахова пространства

B

су-

ществует такой функционал

fx B

, что

fx | B

= 1 , fx (x) = x .

@QFSUA

ДоказательствоF Если x = 0D то доказывать нечегоF Пусть x = 0F Применим предыдущую теорему к подпространству B0 = 0 и элементу y0 = xF Пусть f EфункционалD который удовлетворяет условию

f (x) = 1 , f = 1/ x .
Тогда функционал

(y B ) : fx (y ) = x f (y )
EискомыйF Из определения нормы функционала @QFSPA и теоремы QFRFP вытекает

Следствие 3.4.1.

Справедливо равенство

x | B = sup{|f (x)| | f | B

1}.

@QFSVA

В дальнейшем нам будет удобно использовать обозначение

(f B , x B ) : < f | x >= f (x).
Пусть B1 и B2 Eбанаховы пространства и

@QFSWA

: B1 Ч B2 C1

@QFTHA

Eлинейная по каждому аргументу функцияF Такая функция называется билинейной формойF

Определение 3.4.2.

Билинейная форма @QFTHA ставит пространства B1 и B2 в отделимую двойственность @или задает отделимую двойственность на пространствах B1 и B2 AD если из равенства

(y B2 ) : (x , y ) = 0
IUU


следуетD что

x = 0,
а из равенства

(x B1 ) : (x , y ) = 0
следуетD что

y = 0.
Из @QFSPA и @QFSVA следуетD что билинейная форма < f | x > ставит пространства B и B в отделимую двойственностьD причем справедливы равенства

f | B = sup{| < f | x > | | x | B 1}, x | B = sup{| < f | x > | | f | B 1}.

@QFTIA @QFTPA

Теорема 3.4.3.

Пусть

T : B1 B2 B1
в бана-

-линейный непрерывный оператор из банахова пространства хово пространство

B2

. Тогда

T | L(B1 B2 ) = sup{| < f | T (x) > | | f | B2 1 , x | B1 1}.
ДоказательствоF Следует из равенств

@QFTQA

T (x) | B2 = sup{| < f | T (x) > | | f | B2 1}, T | L(B1 B2 ) = sup{ T (x) | B2 | x | B1 1}.

Теорема 3.4.4.
пространстве то

Если , что

{x | I }

-такое подмножество в банаховом

B

(f B ) : sup{|f (x )| | I } < , sup{ x | I } < .



ДоказательствоF Определим отображения

T : B C
по формуле

1

T (f ) =< f | x > .
IUV


Из теоремы БанахаEШтейнгауза @смF стрF ITPD теорема QFQFPA следуетD что

sup{ T | I } < .
Но в силу равенства @QFTPA

T = sup{| < f | x > | | f | B
что и доказывает нашу теоремуF

1} = x ,

ных непрерывных отображений банахова пространства пространство

Теорема 3.4.5.

Пусть

{T | I } L(B1 B2 )

-семейство линей-

B1

в банахово

B2

. Следующие условия эвивалентны:

1. sup{ T | L(B1 B2 ) | I } < . 2. (x B1 ) : sup{ T (x) | B2 | I } < . 3. (x B1 , f B2 ) : sup{| < f | T (x) > | I } < .

@QFTRA @QFTSA @QFTTA

ДоказательствоF ЯсноD что из @QFTRA следует @QFTSAD а из @QFTSA следует @QFTTAF В силу теоремы QFRFR из @QFTTA следуетD что

(x B1 ) : sup{ T (x) | I } < ,
позтому из @QFTTA следует @QFTSAF Неравенство @QFTRA следует из @QFTSA в силу теоремы БанахаEШтейнгаузаF Теорема доказанаF ГоворятD что последовательность операторов Tn L(B1 B2 ) схоE дится к оператору T0 L(B1 B2 )X в равномерной операторной топологииD если

Tn - T0 | L(B1 B2 ) 0 , n ,
в сильной операторной топологииD если

(x B1 ) : Tn x - T0 x | B2 0 , n ,
в слабой операторной топологииD если

(x B1 , f B2 ) : f (Tn (x)) f (T0 (x)) , n .
Из теоремы QFRFS следуетD что из сходимости последовательности опеE раторов Tn в слабой операторной топологии следует равномерная по n ограниченность норм операторов Tn F IUW


Пусть B Eбанахово пространство и B Eего сопряженноеF Фиксируем x B . Формула f < f | x > @QFTUA задает линейный непрерывный функционал на пространстве B F ОбознаE чим этот функционал символом J (x)D а множество всех линейных непреE рывных функционалов на пространстве B обозначим символом B X

J: B B

, J (x)(f ) =< f | x > .

@QFTVA

Из формулы @QFSVA следуетD что

J ( x) | B

= sup{| < f | x > | | f | B

1} = x .

Мы видимD заданное формулой @QFTVA отображение пространства B в проE странство B @это пространство называется вторым сопряженнымA есть линейное и изометрическое отображениеF СледовательноD образ J (B ) проE странства B в пространстве B при отображении J замкнутF

Определение 3.4.3.

Пространство B называется рефлексивнымD если

J (B ) = B .

@QFTWA

Таким образомD пространство B рефлексивноD если оно изометрично своE ему второму сопряженному @иногда говорятX совпадает со своим вторым сопряженнымA и любой линейный непрерывный функционал на проE странстве B задается формулой @QFTUAF

Теорема 3.4.6.
пространство.

Из теоремы IFPFIH @смF стрF VQA следует
При

1
пространство

Lp (D , ч(dx))

-рефлексивное

ДоказательствоF Из теоремы IFPFIH следуетD что для каждого функциE онала f (Lp (D , ч(dx))) существует такая функция f Lq (D , ч(dx)) , q = p/(p - 1)D что

(g Lp (D , ч(dx))) : < f | g >=
Оперделенное формулой @QFUHA отображение

f (x)g (x)ч(dx).

@QFUHA

(Lp (D , ч(dx)))

f f (x) Lq (D , ч(dx))

взаимно однозначно и изометричноF В силу этой же формулы отображеE ние (Lq (D , ч(dx))) g g (x) Lp (D , ч(dx)) IVH


взаимно однозначно и изометричноF СледовательноD

J (Lp (D , ч(dx))) = Lp (D , ч(dx)) .
Теорема доказанаF Пространство L1 (D , ч(dx))D вообще говоряD не есть рефлексивное проE странствоF
3.4.2 Сопряженный оператор.

Определение 3.4.4.

Оператором T D сопряженным к оператору

T L(B1 B2 )
называется операторD который каждому функционалу f B2 ставит в соответствие функционал T (f ) B1 D действующий по формуле

(f B2 , x B1 ) : < T (f ) | x >=< f | T (x) > .

@QFUIA

Рассмотрим примерF Пусть D Eограниченная замкнутая область в пространстве Rd F Пусть функция k (x , y ) непрерывна в D Ч DX

k (x , y ) C (D Ч D).
На пространстве Lp (D) рассмотрим оператор T D который действует по правилуX

(f Lp (D)) : T (f )(x) =
D

k (x , y )f (y )dy .

@QFUPA

Эта формула задает оператор

T L(Lp (D) Lp (D)).
Пусть J Eопределенное в @QFSQA отображениеF Вычислим оператор

TJ L(Lq (D) Lq (D)),
который делает коммутативной диаграмму

Lp (D ) - - Lp (D ) -
J J

T

Lq (D) - - Lq (D) -J
IVI

T


ИмеемX

< TJ (g ) | >=< J (g ) | T () >=
D

k (x , y )(y )dy dx =

g (x)
D


D D

k (x y )g (x)dx (y )dy .

Отсюда следуетD что

TJ (g )(y ) =
D

k (x , y )g (x)dx.

Разница между операторами T и TJ в томD что оператор T действует в пространстве Lp (D) D а оператор TJ в пространстве Lq (D)F Часто этой разницей пренебрегают и отждествляют оператор T с операторм TJ F

Теорема 3.4.7.
B2 )

Отображение

T T
есть линейное изометрическое отображение пространства в пространство

@QFUQA

L(B1

L(B2 B1 ).

ДоказательствоF Линейность отображения @QFUQA очевиднаD а для доE казательства изометричности этого отображения заметимD что

T | L(B2 B1 ) = sup{ T (f ) | B1 | f | B2 1} = sup{| < T (f ) | x > | | f | B2 1 , x | B1 1} = sup{| < f | T (x) > | | f | B2 1 , x | B1 1} = T | L(B1 B2 )
Теорема доказанаF

Определение 3.4.5.

Аннулятором подмножества A B называется подмножество пространства B D определяемое равенством

N (A) = {x | (f A) : < f | x >= 0} =
f A

{x |< f | x >= 0}.

@QFURA

АналогичноD IVP


Аннулятором подмножества A B называется подмножество пространства B D определяемое равенством

Определение 3.4.6.

N (A) = {f | (x A) : < f | x >= 0} =
xA

{x |< f | x >= 0}.

@QFUSA

Если A B D то N (A) B D а если A B D то N (A) B F Иногда аннулятор обозначается символом

A N (A).

Теорема 3.4.8.

Для любого оператора

T L(B1 B2 )
справедливо равенство

Cl(Im(T )) = N (Ker(T )).
ДоказательствоF Пусть

@QFUTA

y Cl(Im(T )).
Тогда существует такая последовательность {xn } B1 D что

yn = T (xn ) y , n .
СледовательноD

(f Ker(T )) : < f | y >= lim < f | T (xn ) >=
n n

lim < T f | xn >= 0.

Поэтому

y N (Ker(T ))
и

Cl(Im(T )) N (Ker(T )).
Пусть

@QFUUA @QFUVA

y Cl(Im(T )).

Тогда в силу теоремы QFRFI @смF стрF IUTA существует такой функционал f0 B2 D что f0 (y ) = 1 , f0 (Cl(Im(T ))) = 0. @QFUWA IVQ


СледовательноD

(x B1 ) : < f0 | T (x) >=< T (f0 ) | x >= 0.
Отсюда вытекатD что

T (f0 ) = 0,
и поэтому

f0 Ker(T ).
Из @QFUWA и @QFVHA следуетD что если справедливо @QFUVAD то

@QFVHA

y N (Ker(T ))
Поэтому

@QFVIA @QFVPA

Cl(Im(T )) N (Ker(T )).
Из @QFUUA и @QFVPA вытекает утверждение теоремыF Пусть Bi , 1 i 3 Eбанаховы пространстваD

T1 L(B1 B2 ) , T2 L(B2 B3 )

Определение 3.4.7.

Определенный формулой

B1 B3 : x T1 (x) T2 (T1 (x))
оператор называется композицией @или произведениемA операторов T2 и T1 X def T2 ћ T1 L(B1 B3 ) , T2 ћ T1 (x) = T2 (T1 (x)). @QFVQA ОчевидноD что

T2 ћ T1 (x) | B3 T2 | L(B2 B3 ) ћ T1 (x) | B2 | T2 | L(B2 B3 ) ћ T1 | L(B1 B2 ) ћ x | B1 .
Поэтому

T2 ћ T1 | L(B1 B3 ) T2 | L(B2 B3 ) ћ T1 | L(B1 B2 ) . @QFVRA
Тождественным @или единичнымA отображением @операторомA мы называем отображение @операторA id L(B B )D коE торое определено формулой

Определение 3.4.8.

(x B ) : id(x) = x.
IVR

@QFVSA


Тождественное отображение на любом пространстве мы будем обоE значать одним и тем же символом id. Таким образомD определение обратного оператора может быть запиE сано в видеX T -1 : T -1 ћ T = T ћ T -1 = id. @QFVTA Очевидна

Лемма 3.4.1.

Справедливо равенство

(T2 ћ T1 ) = T1 ћ T2 L(B3 B1 )
чае, если существует

@QFVUA

Теорема 3.4.9.

Оператор

(T )-1 существует в том и только том слуоператор T -1 , причем справедливо равенство (T )-1 = (T
-1

).

@QFVVA

ДоказательствоF Пусть оператор T -1 существуетF Тогда переходя к сопряженным операторам в @QFVTAD мы получаемX

T ћ (T

-1

) = (T

-1

) ћ T = id.

@QFVWA

СледовательноD оператор (T )-1 существует и справедливо равенство @QFVVAF Теперь предположимD что оператор (T )-1 L(B1 B2 ) существуетF Тогда существует оператор (T )-1 F Так как оператор T на пространE стве B1 B1 совпадает с оператором T D то

Ker(T ) Ker(T ) = 0.
Простанство B1 замкнуто в пространстве B1 есть прообраз замкнутого в пространстве B1 рывном отображении (T )-1 F СледовательноD то в B2 F Так как оператор (T )-1 существуетD

@QFWHA

D и множество Im(T ) B2 множества B1 при непреE множество Im(T ) замкнуE то

Ker(T ) = 0,
и в силу теоремы QFRFV @смF стрF IVQA справедливо равенство

B2 = Ker(T ) = Cl(Im(T )) = Im(T ).

@QFWIA

Из @QFWHA D @QFWIA и теоремы Банаха о существовании обратного оператора QFQFT @смF стрF IUHA следует существование непрерывного оператора T -1 F Теорема доказанаF IVS


3.5

Банаховы алгебры и операторное исчисление.

3.5.1

Предварительные сведения.

Напомним определение алгебрыF

Определение 3.5.1.

Множество A называется алгеброй над полем комE плексных чисел C1 D если множество A есть линейное пространство над полем комплексных чисел C1 и в множестве A определена бинарная опеE рация умножения A Ч A A : a Ч b ab, которая удовлетворяет следующим условиямF IF Операция умножения ассоциативнаX

(a A , b A , c A) : a(bc) = (ab)c.
PF Операция умножения билинейнаX

(a A , b A , c A , C , C , C) : (a + b)c = ac + bc , a( b + c) = ab + ac.

Определение 3.5.2.

Алгебра A называется банаховой алгебройD если на A определена нормаD относительно которой A есть банахово пространE ствоD причем операция умножения и норма связаны условиемX

ab a b .

@QFWPA

Определение 3.5.3.

Банахова алгебра A называется унитальной банаE ховой алгеброй @или алгеброй с единицейA если

(id A) , (a A) : id ћ a = a ћ id = a.
В дальнейшем @если явно не оговорено другоеA рассматриваемые наE ми алгебры будут алгебрами с единицейF Из @QFWPA следуетD что операция умножения непрерывнаX если

an a0 , bn b0 , n ,
то

an bn - a0 b

0

a

n

bn - b

0

+ b 0 an - a

0

0 , n .

IVT


Примером унитальной банаховой алгебры является банахово пространE ство A = L(B B ) @QFWQA всех линейных непрерывных операторов из банахова пространства B в банахово пространство B D в котором операция умножения определена как композиция операторов @смF определение QFRFU и @QFVQA на стрF IVRAF В частностиD если банахово пространство B = Rn D то алгебру @QFWQA можно отождествить с алгеброй квадратных матриц размером n Ч nD в которой линейные операции и операция умножения матриц определены обычным образомF В дальнейшем @как можно доказатьD в существенном не ограничиE вая общностиA для простоты можно считатьD что рассматриваемая нами алгебра есть алгебра @QFWQAF Распространим на функции со значениями в банаховой алгебре некоE торые понятия теории функций комплексного переменногоF Гладким контуром l в плоскости комплексного переменного C1 мы будем называеть образ полуинтервала [a , b) при непрерывно дифференE цируемом инъективном @взаимноEобнозначном на образеA отображенииX

l = {z | z = z (t) , a t < b , |z (t)| < const. < , } , l C1 .
Пусть

@QFWRA

a( z ) : l A
Eравномерно по z непрерывное отображение контура l в алгебру AF Составим интегральную сумму РиманаX

S=
j

a(z (tj ))(z (tj +1 ) - z (tj )) , tj tj tj +1 .

@QFWSA

Диаметром разбиения

a = t0 < t1 . . . tj < tj
полуинтервала [a , b) называется число

+1

... < b

= max |tj
j

+1

- tj |.

Если S и S Eдве интегральные суммы Римана и D Eсоответствующие этим суммам диаметры разбиений полуинтервала [a , b)D то справедлива очевидная оценка

S-S

(b - a) sup |z (t)|Ч
t

sup{ a(z (t )) - a(z (t )) | |t - t | < + , a t , t < b},
из которой следует IVU


функция на предел

Лемма 3.5.1.
l

Если

l

-гладкий контур и

a(z )

-равномерно непрерывная

со значениями в банаховой алгебре

A,

то существует

a(z )dz = lim
l

def

0

a(z (tj ))(z (tj +1 ) - z (tj )) ,
j

= max |tj
j

+1

- tj | , tj tj tj +1 .

@QFWTA

Предел @QFWTA называется интегралом Бохнера от функции a(z ) по контуру lF Пусть D Eоткрытая область в плоскости комплексного переменного 1 CF

Определение 3.5.4.

Функция

a(z ) : D A
называется дифференцируемой в точке z DD если существует предел

Определение 3.5.5. Теорема 3.5.1.
Если

a(z + z ) - a(z ) da(z ) def . = lim z 0 dz z

@QFWUA

Если предел @QFWUA существует в каждой точке z DD то функция a(z ) называется аналитичесой в области DF Доказательство существования предела @QFWUA облегчает
Пусть в области

D

задана функция:

D

z T (z ) L(B B ). (x B , f B )

@QFWVA

функция

(z , x , f ) =< f | T (z )(x) >
аналитична в области

D

, то функция

@QFWVA аналитична в области D

в смысле определения 3.5.5.

ДоказательствоF Фиксируем z DF Из аналитичности функции (z , x , f ) следуетD что функция

z (f , x , z ) = ( (z + z , x , f ) - (z , x , f ))/z
IVV


аналитична в окрестности нуляF СледовательноD

(x B , f B ) , ( > 0) : sup{|(z1 - z2 )-1 Ч ((f , x , z1 ) - (f , x , z2 ))| | |z1 | + |z2 | < } < .
Из теоремы QFRFS @смF стрF IUWA следуетD что

@QFWWA

( > 0) : sup{ (z1 - z2 )-1 ((T (z + z1 ) - T (z ))/z1 - (T (z + z2 ) - T (z ))/z2 | z1 | + |z2 | < } < .
Поэтому

( > 0 , C ( ) < ) : ((T (z + z1 ) - T (z ))/z1 - (T (z + z2 ) - T (z ))/z2 < C ( )|z1 - z2 |.
Теорема доказанаF На функции комплексного переменного со значениями в банаховой алгебре практически без изменения формулировок и доказательств @ с очевидной заменой оценок по модулю на оценки по нормеA переносятE ся многие классические теоремы теории функций комплексного переE менногоF Детали доказательств подобных обобщений мы предоставляем читателюF В частностиD нам понадобятся обобщение интегральной форE мулы Коши и некоторых теорем теории степенных рядов @формулы для радиуса сходимости степенного ряда и теоремы Коши о существовании особых точек на границе круга сходимостиAF Мы надеямсяD что читатель самостоятельно получит обобщения этих теорем на случай функций со значениями в банаховой алгебреF
3.5.2 Резольвента и спектр.

Определение 3.5.6.
a AD если

Элемент a

-1

A называется обратным к элементу
-1

a-1 a = aa

= id.

Определение 3.5.7.
Очевидна

Элемент a A называется обратимымD если у него существует обратный элемент a-1 AF

Лемма 3.5.2.
ратим и

Если элементы

a

и

b

обратимы, то элемент

c = ab

об-

c

-1

= b - 1 a- 1 .
IVW


В дальнешем мы по определению полагаем

(a = 0) : a0 = id.
Прямым вычислением доказывается

Лемма 3.5.3.

Если

a < 1,

то элемент

(id - a) an .

обратим и

(id - a)-1 =
0n<

Лемма 3.5.4.
a+b

Отсюда вытекает
Если элемент

a

обратим и

b
-1 -1

, то элемент

обратим и

(a + b)

-1

=

(-a-1 b)n a-1 .
0n<

@QFIHHA

Для доказательства достаточно заметитьD что

(a + b) = a(id + a-1 b),
и оба сомножителя в правой части этого равенства обратимыD так как

a-1 b a

-1

b < 1.

Из этого утверждения вытекает очень важное

Следствие 3.5.1.
алгебры

Множество всех обратимых элементов банаховой
-1

A

открыто и отображение

aa

@QFIHIA
-1

непрерывно в достаточно малой окрестности обратимого элемента.

Определение 3.5.8.

Если элемент ( ћ id - a) называется резольвентой элемента a AX
def

A существуетD то он
@QFIHPA

R( , a) = ( ћ id - a)-1 .

ЗамечаниеF Иногда резольвентой элемента a называют элемент (a - ћ id)-1 . В формулахD подобных @QFIHPAD часто опускают обозначение idD считая по умолчаниюD чтоX ћ id , и при такой договоренности определение @QFIHPA записывается такX

R( , a) = ( - a)-1 .
IWH


Определение 3.5.9.

Резольвентным множеством элемента a A назыE вается множество C1 тех точек комплексной плоскости D для которых существует резольвентаX res(a) = { | ( ћ id - a)-1 }.
def

@QFIHQA

Из следствия QFSFI вытекаетD что резольвентное множество любого элемента банаховой алгебры открытоD а из леммы QFSFQ следуетD что

(|| > a ) : R( , a) =

1

0n<

a

n

.

@QFIHRA

В дальнешем нам понадобится следующее очевидное следстие непрерывE ности резольвенты как функции своих аргументовF

Теорема 3.5.2.

Предположим, что резольвента

R( , a0 )

существует

в каждой точке

D C1 . Тогда существует такая открытая окрестность O (D ) множества D и такой открытый шар b(a0 , ) A, что резольвента R( , a) существует при всех Ч a O (D ) Ч b(a0 , ). D
некоторого компактного множества

ДоказательствоF В силу непрерывности резольвенты R( , a) по совоE купности переменных , a в метрике

d((1 , a1 ) , (2 , a2 )) = max(|1 - 2 | , a1 - a2 )
для каждой точки 0 D существует такое (0 )D что резольвента R( , a) существует при | - 0 | < (0 ) и a b(a0 , (0 ))F Открытые окружноE сти { | | - 0 | < (0 )} , 0 D составляют покрытие компактного множества DD поэтому это покрытие содержит конечное подпокрытиеF Выбирая число равным наименьшиму радиусу (0 ) входящих в это покрытие окружностейD мы получим утверждение теоремыF @Искомая открытая окрестность множества D есть объединение конечного числа входящих в выбранное конечное покрытие окружностейAF

Лемма 3.5.5.
формула

Если

U

-обратимый элемент алгебры
-1

A,

то справедлива

U R( , a)U

= R( , U aU

-1

).

@QFIHSA

ДоказательствоF Следует из равенства

(id - U aU

-1

)U R( , a)U
IWI

-1

= id.


Спекторм (a) элемента a A называется доE полнение резольвентного множества элемента a X

Определение 3.5.10.

(a) = C(res(a)).
Иногда спектр элемента a A обозначается символом

def

@QFIHTA

Sp(a) (a).
Так как резольвентное множество открытоD то спектр Eзамкнутое мноE жествоD и если U Eобратимый элементD то

Теорема 3.5.3.

(U aU

-1

) = (a).

@QFIHUA @QFIHVA @QFIHWA @QFIIHA

Справедливы равенства:

R( , b) - R( , a) = R( , b)(b - a)R( , a), R( , b) - R( , a) = R( , a)(b - a)R( , b), R( , a) - R(ч , a) = -( - ч)R( , a)R(ч , a).
ДоказательствоF Равенство

(id - a) - (id - b) = (b - a)
умножаем слева на R( , b)D а справа на R( , a)F Получим @QFIHVAF УмноE жая это же равенство справа на R( , b)D а слева на R( , a)D получим @QFIHWAF АналогичноD исходя из равенства

(чid - a) - (id - a) = -( - ч)id,
мы легко получим @QFIIHAF ЗамечанияF ЯсноD что @QFIHVA и @QFIHWA есть разные формы записи одного и того же равентсваF Это равенство называется вторым резольE вентным уравнением @или вторым резольвентным тождествомAF РавенE ство @QFIIHA называется первым резольвентным уравнением @или первым резольвентным тожествомD или тождеством ГильбертаAF Можно докаE затьD что если операторные функции удовлетворяют уравнениям @QFIHVAE @QFIIHAD то они являются резольвентой некоторого элементаF Если оператор (b - a) достаточно хорошийD то иногда бывает удобно преобразовать второе резольвентное уравнениеF Положим по определеE нию

( res(a)

res(b)) : T ( , a , b) = (b - a) + (b - a)R( , b)(b - a), @QFIIIA
@QFIIPA

def

Q( , a , b) = id + T ( , a , b)R( , a).
IWP


Лемма 3.5.6.
T ( R ( (b - T (

Справедивы равенства

R( , b) = R( , a) + R( , a)T ( , a , b)R( , a) = R( , a)Q( , a , b), @QFIIQA , a , b) = (b - a) + , b)(b - a) = R( , a)R( , b) = T ( , , a , b) - T (ч , a , b (b - a)R( , a)T ( , a , b), a)T ( , a , b), a , b)R( , a), ) = -( - ч)T ( , a , b)R( , a)R(ч , a)T (ч
@QFIIRA @QFIISA @QFIITA , a , b). @QFIIUA

ДоказательствоF Из второго резольвентного уравнения следуетD что

R( , b)(b - a) = R( , a)(b - a) + R( , a)(b - a)R( , b)(b - a) = R( , a)(b - a) + R( , a)(T ( , a , b) - (b - a)) = R( , a)T ( , a , b).
Подставив левую часть этого равенства в @QFIIIAD мы получим @QFIIRAF Подставив во второе резольвентное уравнениеD получим @QFIIQAF РавенE ство @QFIITA доказывается абсолютно аналогичноF Далее имеемX

T ( , a , b) - T (ч , a , b) = (b - a)(R( , b) - R(ч , b)(b - a) = - ( - ч)(b - a)(R( , b)R(ч , b)(b - a) =
@с учетом доказанных выше равенствA

-( - ч)T ( , a , b)R( , a)R(ч , a)T (ч , a , b).
Лемма доказанаF В теории потенциального рассеяния бывает удобна следующая форма второго резольвентного уравненияF

Лемма 3.5.7.

Пусть

b - a = cd. ,
где существуют операторы

Тогда в тех точках

R( , a) , R( , b) , (id - dR( , a)c)-1 ,
справедливо равенство

R( , b) - R( , a) = R( , a)c(id - dR( , a)c)-1 dR( , a).
IWQ

@QFIIVA


ДоказательствоF Из второго резольвентного уравнения

R( , b) - R( , a) = R( , b)cdR( , a)
следует равенство

dR( , b)c - dR( , a)c = dR( , b)cdR( , a)c.
Пусть

= dR( , b)c , = dR( , a)c.
Тогда предыдущее равенство можно записать в виде

- = ,
поэтому

(id - )(id + ) = id ,
Далее имеемX

(id + ) = (id - )-1 .

R( , (R( R( , R( , R( , R( ,

b) - R( , a) = R( , b)cdR( , a) = , a) + R( , a)cdR( , b))cdR( , a) = a)(id + cdR( , b))cdR( , a) = a)c(id + dR( , b)c)dR( , a) = a)c(id + )dR( , a) = a)c(id - )-1 dR( , a).

Лемма доказанаF Из тождества Гильберта @QFIHVA и непрерывности резольвенты вытеE кает

Теорема 3.5.4.
литична по

На резольвентном множестве резольвента

R( , a)

ана-

dR( , a) = -R( , a)2 . @QFIIWA d Будем рассматривать алгебру A как алгебру операторов L(B B )F Тогда мы получимD что при любых x B , f B функция < f | R( , a)x > аналитична на резольвентном множестве элемента a и не постояннаF СледовательноD в силу теоремы Лиувилля она обязятельно имеет особые точкиF Отсюда вытекаетD что спектр любого элемента баE наховой алгебры не пустF ИтакD справедлива



и

Теорема 3.5.5.
|| a }.

Спектр

(a)

любого элемента

a

банаховой алгебры есть

непустое замкнутое множество, которое содержится в круге

{ |

IWR


3.5.3

Операторное исчисление.

Fa Eэто множество всех функцийD каждая из коE торых аналитична в открытой окрестности @своей для каждой функцииA множества (a)F
Множество Fa есть алгебра функций относительно поточечного слоE жения и умножения функцийF Пусть f Fa и Df Eоткрытая окрестность множества (a)D которая выбрана такD что граница l = Df есть гладкая кривая и множество l Df принадлежит областиD в которой функция f аналитичнаF ЗаметимD что область Df не обязательно есть односвязная областьX область Df и кривая l(f ) могут состоять из нескольких компоE нентF Поставим каждой функции f Fa оператор f (a) A по правилуX

Определение 3.5.11.

Пусть a Eэлемент банаховой алгебры и (a) Eего спектрF

Opa : Fa A , f () f (a) =

1 2 i
l

R( , a)f ()d.

@QFIPHA

Интеграл по замкнутому контуру l в @QFIPHA берется в направлении поE ложительного обхода содержащей спектр оператора a области Df F ИнтеE грал @QFIPHA иногда называется интегралом ДанфордаF

Теорема 3.5.6.

@QFIPHA отображение Opa есть алгебраический гомоморфизм алгебры функций Fa в алгебру операторов A.
Заданное формулой

ДоказательствоF Линейность отображения @QFIPHA очевиднаF Нам нужE но доказатьD что произведение функций при отображении @QFIPHA перехоE дит в произведение операторовF Пусть f A , g AF Будем считатьD что области Df , Dg выбраны в соответствии с описанными выше правилами и Dg Dg Df , dist( Df , Dg ) > 0. Из тождества Гильберта следует равенство

f (a)g (a) = (2 i)
-2 l (f )

R( , a)f ()d ћ

R(ч , a)g (ч)dч =

(2 i)

-2 l (f ) l (g )

f ()g (ч)R( , a)R(ч , a)ddч = f ()g (ч)(R( , a) - R(ч , a))(ч - )-1 ddч.

(2 i)

-2 l (f ) l (g )

IWS


Но

f ()g (ч)R( , a)(ч - )-1 dч = 0,
l(g )

1 2 i
l(f )

f ()( - ч)-1 d = f (ч).

Поэтому

f (a)g (a) =

1 2 i
l(f )

R( , a)f ()g ()d.

Теорема доказанаF Рассмотрим примерыF Пусть A есть алгебра 2 Ч 2 матрицD

a=
Тогда

12 . 21

(id - a) =

- 1 -2 , -2 - 1 1 -3 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 . 1/2

det(id - a) = ( + 1)( - 3) , (a) = {-1 , 3},

R( , a) =

1/2 -1/2 + -1/2 1/2 1/2 -1/2 f (a) = f (-1) + f (3) -1/2 1/2 11 . 01

1 +1

Пусть

a=
Тогда

(id - a) =

- 1 -1 , 0 -1

det(id - a) = ( - 1)2 , (a) = {1},

1 1 10 01 + , 2 -1 0 1 ( - 1) 0 0 10 01 f (a) = f (1) + f (1) . 01 00 R( , a) =
Из формулы @QFIHRA следует IWT


Лемма 3.5.8.
та

Если контур

D

содержит внутри себя спектр элемен-

a

:

(a) D,
то

1 2 i
D

R( , a)d = id.

@QFIPIA

ЗаметимD что если аналитическая в некоторой открытой окрестности замкнутого множества M функция () не имеет нулей на множестве M D то у множества M есть открытая окрестностьD в которой функция 1/() аналитичнаF Из этого замечания вытекает

Теорема 3.5.7.
элемента

Если

F

a , то элемент

(a)-1

существует в том

и только том случае, если функция

()

не имеет нулей на спектре

a

.

ДоказательствоF Если Fa и

( (a)) : |()| > 0,
то существует такая открытая окрестность D спектра (a)D что функции () и 1/() аналитичны в D и

( D) : () ћ

1 = 1. ()
1 (a)

@QFIPPA определен и

Из @QFIPPA и леммы QFSFV следуетD что элемент

(a) ћ

1 1 = ћ (a) = id. (a) (a)

Теперь предположимD что функция () имеет ноль в точке 0 (a)F Тогда () = (0 - )h(), где функция h() Eаналитична в окрестности спектра элемента aF СлеE довательноD (a) = (0 id - a)h(a). Если бы у элемента (a) существовал обратныйD то тогда мы имели бы равенствоX

id = (0 id - a)h(a)(a)-1 = h(a)(a)-1 (0 id - a),
IWU


из которого следуетD что элемент (0 id - a) имеет обратныйD а это протиE воречит включению 0 (a). Теорема доказанаF Теоремы QFSFT и QFSFU можно изложить в немного другой редакцииF Введем в множестве Fa соотношение эквивалентностиD положив

1 () 2 (), если O( (a)) , ( O( (a))) : 1 () = 2 () @QFIPQA
Здесь O( (a)) Eоткрытая окрестность множества (a)F Обозначим символом тот класс эквивалентностиD который содерE жит функцию Fa F Умножение и сложение функций в алгебре Fa естественно индуцируют умножение и сложение в множестве Fa всех классов эквивалентностиD и относительно этих операций множество Fa становится алгеброй с единицейX единица в алгебре Fa Eэто тот класс экE вивалентностиD который содержит функцию () 1. Элемент Fa обратим в том и только том случаеD если существут не имеющая нулей на спектре элемента a функция F Пространство Fa называется алгеброй ростков аналитических функE цийD заданных на компакте (a)F Поясним смысл введения этого пространстваF Функция 0 () Fa есть единица алгебры Fa D если

(() Fa ) : 0 ()() ()0 () = ().
СледовательноD единица алгебры Fa есть определенная на всей плоскоE сти комплексного переменного функция

0 () 1.
Но тогда элемент () Fa имеет обратный в том и только том случаеD если 1 ћ () = 1, @QFIPRA () и оба сомножителя в @QFIPRA аналитичны на всей плоскости комплексноE го переменногоF СледовательноD в алгебре Fa обратимы только функцииD тождественно равные константамF ЯсноD что формула @QFIPHA индуцирует алгебраический гомоморфизм алгебры Fa в алгебру AF Теперь теорему QFSFU можно сформулировать такF
чае, если элемент

Теорема 3.5.8.

Элемент

(a)-

1

существует в том и только том слу-



имеет обратный элемент в алгебре

Fa

IWV


Из теоремы QFSFU следуетD что элемент (ч ћ id - f (a)) имеет обратный в том и только том случаеD если функция

(ч - f ())
не имеет нулей на спектре элемента aF Это утверждение эквивалентно

Теорема 3.5.9.

Справедливо равенство

(f (a)) = f ( (a)).

@QFIPSA

Пусть функция (z ) аналитична в окрестности спектра (a)D а функE ция f (z ) аналитична в окрестности ( (a))F Оператор f ((a)) мы моE жем вычислить двумя способамиF Мы можем вычислить функцию z f ((z ))D а потом поставить этой функции в соответствие оператор f ((a))F Мы можем вычислить оператор (a)D а потом оператор f ((a)) как функE цию оператора (a)F ОказываетсяD что оба способа дадут один и тот же результатF

Лемма 3.5.9.

Диаграмма

O

(z ) - - f ((z )) - Op p
a

a

(a) - - f ((a)) --
Op
(a)

коммутативна.

ДоказательствоF Справедливы равенства

f ((a)) = 1 2 i 1 2 i

1 R( , (a))f ( )d = 2 i 1 ( - ())-1 R( , a)d f ( )d = 2 i

f (())R( , a)d = f ((a)).

Лемма доказанаF ПоEсуществуD эта лемма доказывает корректность опеределния @QFIPHAX мы доказалиD что оператор f ((a)) определяется только функцией z f ((z )) и не зависит от способа вычисления этой функцииF

Определение 3.5.12.

Образ алгебры Fa при гомоморфизме @QFIPHA мы обозначим символом Opa (Fa )F IWW


ЯсноD что Opa (Fa ) Eкоммутативная подалгебра алгебры A = L(B

B ).
Пусть f Fa и W Eсодержащая спектр элемента a A открытая окрестностьD в которой аналитична функция f F Из @QFIPHA следует очеE видная оценкаX

f (a) |l| sup{ R( , a) | l} sup{|f ()| | W },
где |l| Eдлина контура lF Константа

@QFIPTA

C (W , a) = |l| sup{ R( , a) | l}
не зависит от функции f Fa D но зависит только от элемента a A и окрестности W D в которой аналитична функция f F СледовательноD для всех функций f D аналитичных в фиксированной окрестности W D спраE ведлива оценкаX

f (a) C (W , a) sup{|f ()| | W }.
Отсюда вытекает

@QFIPUA

ной окрестности

Теорема 3.5.10.

Пусть все функции

{fn }

аналитичны в фиксирова-

W (a).

Пусть последовательность

{fn }

фунда-

ментальна в метрике

dW (f , g ) = sup{|f () - g ()| | W }.
Тогда существует такая функция

@QFIPVA

f Fa

, что

fn (a) - f (a) 0 , n .

@QFIPWA

ДоказательствоF Существование функции f Fa Eследствие теоремы ВейрштрассаD утверждение @QFIPWA Eследствие оценки @QFIPUAF Сейчас мы не рассматриваем топологию в множестве Fa D поэтому вопрос о непрерывности отображения @QFIPHA нами не ставитсяF Докажем несколько простых свойств гомоморфизма @QFIPHAF

Теорема 3.5.11.

Если

f () =
0n<

n

n

@QFIQHA

и радиус сходимости степенного ряда

@QFIQHA больше, чем a , то

f ( a) =
0n<

n an .

@QFIQIA

PHH


ДоказательствоF Выберем > 0 настолько малымD что число a + было бы меньшеD чем радиус сходимости ряда @QFIQIAD выберем в качеE стве контура интегрирования в @QFIPHA окружность радиуса a + и подставим в @QFIPHA разложения @QFIHRA и @QFIQIAF Получим @QFIQIAF В теории банаховых алгебр важное значение имеет понятие спекE трального радиусаF

Определение 3.5.13. Теорема 3.5.12.

Спектральным радиусом элемента a банаховой алгебры называется число

r(a) = sup{|| | (a)}.
Справедлива формула

@QFIQPA

r(a) = lim a
n

n 1/n

.

@QFIQQA

ДоказательствоF Обратимся к формуле @QFIHRAF Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле

R0 = lim sup an
n

1/n

.

@QFIQRA

Доказательство этой формулы для случая банаховах алгебр дословно повторяет известное доказательство в теории функций комплексного пеE ременногоD и так жеD как и в теории функций комплексного переменного легко доказываетсяD что ряд @QFIHRA сходится при || > R0 D расходится при || < R0 и представленная рядом @QFIHRA функция обязательно имеет особенности на окружности { | || = R0 } Отсюда следуетD что

r(a) = lim sup a
n

n 1/n

.

@QFIQSA

Теперь заметимD что из формулы @QFIPSA следуетD что

{ | = чn , ч (a)} = (an ) { | || an },
поэтому

(n > 0) : r(a)n an .
СледовательноD

r(a) lim inf a
n

n 1/n

.

@QFIQTA

Сравнивая формулы @QFIQSA и @QFIQTAD мы получаем утверждение теореE мыF PHI


числа замкнутых множеств:

Теорема 3.5.13.

Пусть спектр элемента

a

есть объединение конечного

( a) =

j ,

dist

(j , k ) > 0 , j = k . P (j ) A,
что

Тогда существуют такие элементы

P 2 (j ) = P (j ), P (j )P (k ) = 0 , j = k , P (j ) = id,
j

@QFIQUA @QFIQVA @QFIQWA

(f Fa ) : f (a)P (j ) = P (j )f (a) , (P (j )f (a)) = {0} f (j ).
@QFIRHA

ДоказательствоF Пусть O(j ) Eнепересекающиеся открытые окрестноE сти множеств j F Положим

Pj () =
Элементы

1 , O(j ), 0 , O(j ).
def

@QFIRIA

P (j ) = Pj (a)

@QFIRPA

удовлетворяют условиям теоремыF Если A = L(B B )D то доказанную нами теорему можно изложить в несколько иной редакцииF

Определение 3.5.14.
если

Оператор P L(B B ) называется проекторомD

P 2 = P.

@QFIRQA

Обратим внимание на тоD что мы рассматриваем только ограниченE ные линейные операторыD которые удовлетворяют равентсву @QFIRQA та a AX

Определение 3.5.15.
Проектор

Пусть j Eзамкнутая компонента спектра элеменE dist(j , (a) \ j ) > 0.
def

P (j ) =

1 2 i
D

R( , a)d

PHP


где

j D O(j ) , O(j )

( (a) \ j ) = ,

называется спектральным проектором на компоненту j спектра элеменE та aF Пусть P Eпроектор и y = P xF Тогда

P y = P 2x = P x = y,
поэтому справедлива

Лемма 3.5.10.
случае, если

Если

P

-проектор, то

y Im(P )

в том и только том

y = P y.

@QFIRRA

СледовательноD для любого непрерывного проектора P подпространE ство Im(P ) B есть замкнутое подпространствоF Далее замечаемD что если P EпроекторD то (id - P ) EпроекторF СледовательноD для любого непрерывного проектора P пространство B разлагается в прямую сумму замкнутых подпространствX

B = P B (id - P )B = Im(P ) Im(id - P ).
Теперь теорему QFSFIQ можно сформулировать такF

Теорема 3.5.14.

Пусть спектр элемента

a L(B B )

есть объеди-

нение конечного числа замкнутых множеств:

( a) =
и

j ,

dist

(j , k ) > 0 , j = k ,

ство

P (j ) B

-соответсвующие спектральные проекторы. Тогда пространразлагается в прямую сумму

B=
j

P (j )B ,

@QFIRSA

причем

(f Fa ) : f (a)P (j )B P (j )B , (P (j )f (a)) = {0}

f (j ). @QFIRTA

ПосмотримD как изменяется оператор f (a) при малом изменении опеE ратора aF Из теоремы QFSFP @смF стрF IWIA следует PHQ


Теорема 3.5.15.
и

Пусть

f Fa

. Тогда существует такое

> 0,

что

(b b(a , )) : f Fb f ( b) =
0n

1 2 i
l(a)

R( , a)((b - a)R( , a))n f ()d.

@QFIRUA

ДоказательствоF Из второго резольвентного тождества @ @QFIHVAD стрF IWP A следуетD что

R( , b)(id - (b - a)R( , a)) = R( , a).
Поэтому при достаточно малом

>0: ((b - a)R( , a))n .
0n

(b b(a , )) : R( , b) = R( , a)

@QFIRVA

Подставив эту формулу в @QFIPHAD мы получим утверждение теоремыF Из @QFIRUA следует полезное и часто используемое равенствоX

f (b) = f (a) +

1 2 i
l(a)

R( , a)(b - a)R( , a)f ()d + O( b - a 2 ), @QFIRWA

где символ O(. . .) означает слагаемоеD норма которого имеет указанный в скобках порядокF Наконец отметимD что из леммы QFSFS @смF стрF IWIA и формулы @QFIHUA следует

Теорема 3.5.16.
3.6

Если

U A

-обратимый элемент, то
-1

U f (a)U

= f (U aU

-1

).

@QFISHA

Изолированные особые точки резольвенты.

3.6.1

Определение 3.6.1.

Общий случай.

Точка 0 называется изолированной особой точкой резольвенты R( , a)D если существует такое 0 > 0D что

( { | 0 < | - 0 | < 0 }) : R( , a) =
-
An ( - 0 )n ,

@QFISIA @QFISPA

(n < 0) : An = 0
PHR


Входящие в @QFISPA коэффициенты An удовлетворяют ряду тождествD которые мы сейчас выведемF Введем функции

(n) =
m n =

1, n 0 0 , n < 0. 1 , n = m, 0 , n = m.

Теорема 3.6.1.

Справедливы равенства
+n+1

1. (m , n) : An Am = (1 - (m) - (n))Am 0 2. n : (a - 0 id)An = An-1 - n id.
ДоказательствоF Пусть 0 < < 0 . Положим

.

@QFISQA @QFISRA

l1 = {ч | |ч - 0 | = /2}, l2 = { | | - 0 | = }.
Тогда из @QFISPA следуетD что

n : An =
и

1 2 i
l2

R( , a)( - 0 )-

(n+1)

d,

@QFISSA

An Am = 1 2 i 1 2 i 1 2 i
2

R( , a)( - 0 )-n-1 d
l2 2 l1

R(ч , a)(ч - 0 )-

m-1

dч =

R( , a)R(ч , a)( - 0 )-n-1 (ч - 0 )
l2 l1 2

-m-1

ddч =

(R( , a) - R(ч , a))(ч - )-1 Ч
l2 l1 -n-1

( - 0 )
Но

(ч - 0 )-

m-1

ddч. ч - 0 - 0
k

( ч - )

-1

= -( - 0 )

-1 0k

.

PHS


Подставив это равенство в предыдущееD мы получим первое утверждение теоремыF Теперь докажем второе утверждение теоремыF Справедливо равенство

((0 id - a) + ( - 0 )id)R( , a) = id.
Умножим это равенство на (2 i)-1 ( - 0 )-n-1 и проинтегрируем по конE туру l2F Получим @QFISRAF Теорема доказанаF Определим операторы

P (0 ) = A1 = D(0 ) = A2 = A0 (0 ) = 1 2 i
l2

def

1 2 i
l2

R( , a)d, R( , a)( - 0 )d,
l2

@QFISTA @QFISUA @QFISVA

1 2 i

R( , a)( - 0 )-1 d.

Теорема 3.6.2.
где

В окрестности изолированной особой точки резольвен-

та имеет разложение:

R( , a) = S- () + P (0 )( - 0 )-1 + S+ (),

@QFISWA

S- () =
-
D(0 )

(|n|-1)

( - 0 )n ,
n+1

@QFITHA @QFITIA

S+ () =

(-1)n+1 A0 (0 )
0n<

( - 0 )n .

ДоказательствоF Положим в @QFISQA m = -2 , n = -q , q 1F ПолуE чимX A-(q+1) = A-2 A-q , поэтому

A

-(q +1)

= Aq 2 . -

Положим в @QFISQA m = 0 , n 0F ПолучимX

A(
поэтому

n+1)

= -A0 An ,
(n+1)

(n 0) : An = (-A0 )
Теорема доказанаF PHT

.


ванные особые точки и нет других особенностей, то

Теорема 3.6.3.

Если у резольвенты элемента

a

есть только изолиро-

a=
j

(j P (j ) + D(j )),

@QFITPA

где сумирование распространено на все особые точки резольвенты и входящие в

@QFITPA операторы вычисляются по формулам @QFISTA-@QFISUA.

ВоEпервых отметимD что поскольку все особые точки резольвенты расE положены внутри круга конечного радиусаD то изолированных особых точек может быть только конечное числоF Далее заметимD что из @QFISRA следует равенство

j : P (j )a - j P (j ) = D(j ).
Суммируя эти равенства по всем j и учитывая @QFIQWAD мы получим утверждение теоремыF
3.6.2 Строение резольвенты в окрестности полюса.

Определение 3.6.2.

Изолированная особая точка 0 называется полюE сом порядка m 1D если в разложении @QFISPA

(n > m) : A

-n

=0, A

-m

= 0.

@QFITQA

В дальнешем нам будет удобно считатьD что

a = T L(B B ).
Напомним

Определение 3.6.3. Теорема 3.6.4.
T
, то 1.

Число 0 называется собственным значением опеE ратора T L(B B )D если

(x B , x = 0) : T x = 0 x.
Если

0

-полюс порядка

m

для резольвенты оператора .

0

-собственное значение оператора

T

2. При

nm

справедливы равенства:

(n m) : Ker((0 - T )n ) = Im(P (0 )). (n m) : Im((0 - T )n ) = Im(id - P (0 )),
где

@QFITRA @QFITSA

P (0 )

-спектральный проектор

@QFISTA. @QFITTA

Таким образом,

(n m) : B = Im((0 id - T )n ) Ker((0 id - T )n ).
PHU


ДоказательствоF Из @QFISRA следует равенство

(n 1) : (T - 0 id)A
Если

-n

= A-

(n+1)

.

@QFITUA

A-m = 0 , но A-

(m+1)

= 0,

то существует такой вектор z B D что

x = A-m z = 0 , A
Поэтому из @QFITUA следуетD что

-(m+1)

z = 0.

(x B , x = 0) : (T - 0 id)x0 = 0.
Мы доказалиD что полюс резольвенты оператора есть собственное значеE ние оператораF ЗамечаниеF Если 0 Eсобственное значение оператораD то Ker(0 id - T ) = 0 и у оператора (0 id - T ) нет обратногоD поэтому собственное знаE чение всегда принадлежит спектру оператораD но собственное значение может не быть изолированной особой точкой резольвенты оператораF Перейдем к доказательству второго утверждения теоремыF Из @QFISQA и @QFISRA следуют равенстваX

(n 0) : An = (T - 0 id)A(n (T - 0 id)A0 = P (0 ) - id.
Поэтому

+1)

,

(k 0) : (P (0 ) - id) = (T - 0 id)A0 = (T - 0 id)2 A1 = . . . (T - 0 id)(k
СледовательноD
+1)

Ak = Ak (T - 0 id)(k

+1)

.

@QFITVA

(n 1) : Ker((0 id - T )n ) Im(P (0 )).
Из @QFIRRA и @QFITVA следуетD что

@QFITWA

(n m , x Im(P (0 ))) : (T - 0 id)n x = (T - 0 id)n A-1 x = A-
Поэтому

(n+1)

x = 0.
@QFIUHA

(n m) : Im(P (0 )) Ker((T - 0 id)n ).
PHV


Из @QFITWA и @QFIUHA следуетD что

(n m) : Im(P (0 )) = Ker((T - 0 id)n ).
Если

@QFIUIA

x = (P (0 ) - id)z ,
то в силу равенства @QFISRA

x = (T - 0 id)A0 z = (T - 0 id)n A(n-1) z Im((T - 0 id)n ),
поэтому справедливо включение

(n 1) : Im(id - P (0 )) Im((T - 0 id)n ).
Теперь докажемD что

@QFIUPA

(n m) : Im((0 id - T )n )
Пусть n m и

Ker((0 id - T )n ) = 0.

@QFIUQA

x = (0 id - T )n z , (0 id - T )n x = 0.
Тогда

@QFIURA

(0 id - T )2n z = 0,
и из @QFIUIA следуетD что

z Im(P (0 )) = Ker((0 - T )n ),
поэтому x = 0F Утверждение @QFIUQA доказаноF ИтакD мы имеемX

(n m) : B = (Im(P (0 )) Im(id - P (0 )) = Ker((0 - T )n Im((0 - T )n ).
Теорема доказанаF

Теорема 3.6.5.
то

Если



0 -изолированная особая точка резольвенты и

dim(

Im(P (0 ))) = n < ,

0

-полюс.

PHW


ДоказательствоF Пусть e1 , e2 . . . en Eбазис в пространстве Im(P (0 ))F Так как n+1 векторов e1 , T e1 , . . . T n e1 принадлежат пространству Im(P (0 )) и поэтому линейно зависимыD то должны существовать такие числа 1,j , 0 j nD что P1 (T )e1 := 1,j T j e1 = 0.
0j n

Точно так же должны существовать такие полиномы Pj ()D что

j : Pj (T )ej = 0.
Положим

Q() = P1 ()P2 () . . . Pn ().
ОчевидноD что

Q(T )P (0 ) = 0.
Если точка 0 не есть корень многочлена Q()D то функция

@QFIUSA

W () =

1/Q() , | - 0 | < , 0 , | - )0| >

@QFIUTA

аналитична в окрестности спектра оператора T D и справедливо равенство

W (T )Q(T )P (0 ) = P (0 ).
СледовательноD 0 корень многочлена Q()D и существует такое m < D что справедливо равенство

Q() = ( - 0 )m h(),
где h(0 ) = 0F Отсюда вытекаетD что существует такое > 0D при котором функция 1/h() аналитична в окрестности { | | - 0 | < } и

(| - 0 | < ) : ( - 0 )m = Q()/h(),
Отсюда следуетD что оператор 1/h(T ) существует и

(T - 0 id)m P (0 ) =
поэтому

1 Q(T )P (0 ) = 0, h(T )

(n > m) : A

-n

= (T - 0 id)n P (0 ) (T - 0 id)m P (0 ) = 0.
PIH

= (T - 0 id)(

n-m)


Теорема доказанаF Если 0 Eизолированная особая точкаD то число dim(Im(P (0 )) назыE вается алгебраической кратностью собственного значенияD а число dim(Ker(0 id- T )) называется геометрической кратностью собственного значенияF Из @QFITWA следуетD что всегда выполнено неравенство dim(Ker(0 id - T )) dim(Im(P (0 )), @QFIUUA

причемD как показывают примерыD неравенство может быть строгимF Ниже мы уточним теорему QFTFS и докажемD что если условия теоE ремы выполненыD то порядок полюса резольвенты не может превышать алгебраичесой кратности собственного значенияF
3.7 Возмущение изолированного собственного значения.
3.7.1 Зависящие от параметра проекторы.

НапомнимD что оператор

P L(B B )
называется проекторомD если

P 2 = P,
а пространство B есть прямая сумма своих подпространств Bj X

B = B1 B2 . . .
j

Bj ,

если все подпространства Bj замкнутыD

(x B ) : x =
j

xj , xj Bj ,

и

j : Bj
i= j

Bi

= 0.

Выясним связь между проектором и разложением пространства в пряE мую сумму своих подпространствF PII


Если оператор P EпроекторD то оператор (id - P ) EпроекторD так как

(id - P )2 = id - 2P + P 2 = id - P.
Если

x Im(P )

Im(id - P ),

то x = 0D так как если справедливы равенства

x = P z = (id - P )y ,
то

P z = P 2 z = (P - P )y = 0.
Легко видетьD что

(x Im(P )) (x = P x)
СледовательноD для любого проектора P L(B B ) пространство Im(P ) замкнуто и для любого проектора P L(B B ) все пространE ство B есть прямая сумма своих замкнутых подпространствX

B = Im(P ) Im(id - P ).
ПредположимD что банахово пространство B есть прямая сумма своих замкнутых подпространствX

B = B1 B2 .
Тогда любой вектор x B единственным образом представим в виде

x = x1 + x2 , x1 B1 , x2 B2 ,

@QFIUVA

и поэтому разложение @QFIUVA корректно определяет линейный оператор

P : x x1 B1 ,

@QFIUWA

который удовлетворяет равенству P 2 = P F В силу замкнутости пространE ства B1 и этого равенства определенный во всем пространстве формулой @QFIUWA оператор замкнут и поэтому непрерывенF Очевидна
обратимый оператор, то оператор

Лемма 3.7.1.

Если

P L(B B ) Q = UP U

-проектор и

U L(B B )

-

-1

@QFIVHA

-проектор.

PIP


венством @QFIVHAF

Определение 3.7.1.

Проекторы P и Q подобныD если они связаны раE

Лемма 3.7.2.
то

Если проекторы dim

P

и

Q

подобны и

(Im(P )) = n < , Im(Q)) = n.

@QFIVIA

dim(

ДоказательствоF Если выполнено условие @QFIVIAD то существуют таE кие векторы ej B и l(j ) B D что

(x B ) : P x =
1j n

l(j ) (x)ej .

@QFIVPA

Тогда из @QFIVHA следуетD что

(x B ) : Qx =
1j n

l(j ) (U

-1

x)U ej .

@QFIVQA

СледовательноD

dim(Im(Q)) dim(Im(P )) = n.

Осталось заметитьD что соотношение подобия рефлексивноF НапомнимD что если векторы ej B составляют базис в некотором подпространстве пространства B D то векторы l(j ) B D которые удовлеE творяют условию j l(j ) (ei ) = i , называются базисомD сопряженным к базису ej B F Из приведенных выше выкладок вытекает

Пусть проекторы P и Q связаны равенством @QFIVHA, ej B , 1 j n, составляют базис в подпространстве Im(P ) и векторы l(j ) B , -сопряженный базис. Тогда векторы U ej , 1 j n составляют базис в пространстве Im(Q), а функционалы векторы

Лемма 3.7.3.

x l(j ) (U

-1

x) , 1 j n U ej , 1 j n
.

составляют базис, сопряженный к базису

Теорема 3.7.1.

Если проекторы

P

и

Q

удовлетворяют условию

P - Q < 1,
то они подобны.

@QFIVRA

PIQ


ДоказательствоF Определим операторы

U := QP + (id - Q)(id - P ), V := P Q + (id - P )(id - Q), W := id - (P - Q)2 .
Прямой выкладкой доказываетсяD что справедливы равенства

QU = U P, U V = V U = W.
Если выполнено условие @QFIVRAD то оператор W обратимF Из равенства

U (V W

-1

) = (W

-1

V )U = id

следуетD что тогда и оператор U обратим и поэтому проекторы P и Q подобныF
литически зависящих от параметра

Теорема 3.7.2.

P (ч) L(B B ) -семейство проекторов, анач {ч | |ч| < }, то существует такое аналитически зависящее от параметра ч {ч | |ч| < } семейство обратимых операторов U (ч), что P (ч) = U (ч)P (0)U
ДоказательствоF Положим
-1

Если

(ч) , |ч| < .

@QFIVSA

L(ч) :=

dP (ч) dP (ч) P (ч) - P (ч) . dч dч

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции со значениями в банаховой алгебре L(B B )X

dU (ч) = L(ч)U (ч), U (0) = id; |ч| < . dч

@QFIVTA

Решение этого уравнения существуетD единственно и аналитически завиE сит от параметра ч @доказательствоX сведение к интегральному уравнеE нию и традиционный метод последовательных приближений для докаE зательства существования решения интегрального уравненияAF Аналогично доказываетсяD что решение уравнения

dV (ч) = -V (ч)L(ч), V (0) = id; |ч| < dч
PIR

@QFIVUA


существуетD единственно и аналитически зависит от чF Далее замечаемD что

d V (ч)U (ч) = -V (ч)L(ч)U (ч) + V (ч)L(ч)U (ч) 0, dч
поэтому

V (ч)U (ч) id, |ч| < .
Аналогично показываетсяD что оператор

W (ч) := U (ч)V (ч) - id
удовлетворяет дифференциальному уравнению

dW (ч) = L(ч)W (ч) - W (ч)L(ч), W (0) = 0, dч
и поэтому

U (ч)V (ч) id.
СледовательноD определенный как решение уравнения @QFIVTA оператор U (ч) обратим и U -1 (ч) = V (ч). Положим по определению

Q(ч) := U (ч)P (0)V (ч).

@QFIVVA

Легко проверитьD что определенный равенством @QFIVVA оператор удовлеE творяет дифференциальному уравнению

dQ(ч) = [L(ч) , Q(ч)] , Q(0) = P (0). dч
Дифференцируя равенство

P 2 (ч) = P (ч),
легко показатьD что этому же уравнению удовлетворяет оператор P (ч)F СледовательноD P (ч) Q(ч). Теорема доказанаF Из доказанной теоремы и конструкцииD использованной при доказаE тельстве теоремы QFUFQ вытекает PIS


тичны при

Теорема 3.7.3.

Пусть

P ( ч)

-семейство проекторов, которые анали-

|ч| <

как функции со значениями в dim

L(B B ).

Пусть

(Im(P (0))) = n < .
dim

Тогда

(|ч| < ) :
в пространстве пространстве

(Im(P (ч))) = n, {ej (ч) , 1 j n}, {l (ч) , 1 j n}, что
(j )

Im(P (ч))

есть такой базис

ав

B

есть такие векторы

i < li (ч) | ej (ч) >= j ,

и функции

ч ej (ч) B , ч l(i) (ч) B
аналитичны.
3.7.2 Аналитическое возмущение изолированного собственного значения.

IF Нам потребуются некоторые элементарные алгебраические фактыF Сейчас мы не будем предполагатьD что алгебра A снабжена какойEлибо топологиейF Пусть алгебра A как линейное пространство представлена в виде прямой суммы своих подпространствX

A = A1 A2 , A1

A2 = 0.

@QFIVWA

Пусть каждое из подпространств Aj в @QFIVWA есть алгебра относительно сложения и умножения в AX

(ai , bi Ai ) : ai bi Ai ; (i = j , ai Ai , bj Aj ) : ai bj = 0.

@QFIWHA

Примером такой констукции является простанство C2 D рассматриваемое как алгебра с покомпонентным сложением и умножениемF В этом случае A1 есть алгебра элементов вида (z ; 0)D алгебра A2 есть алгебра элементов вида (0 ; z )F Ниже будет рассмотрен и другой примерF Мы назовем элемент idj Aj локальной единицейD если

(aj Aj ) : idj aj = aj idj = aj ; (ai Ai , i = j ) : idj ai = ai idj = 0 @QFIWIA Мы назовем элемент a-1 Ai локально обратным элементу ai Ai D i,loc если a-1 ai = ai a-1 = idj . @QFIWPA i,loc i,loc
Прямой выкадкой на основе введенных определений проверяется PIT


Лемма 3.7.4.
где

1. Справедливо равенство

id1 + id2 = id, id
-единица алгебры 2. Если элементы элемент

A. ai A a
-1 1,loc

i имеют локально обратные

a

-1 i,loc

A

i , то

(a1 + a2 )

обратим в алгебре

A

и

+a

-1 2,loc

= (a1 + a2 )-1 .

В рассмотреном выше примере локальными единицами являются элеE менты (1 ; 0) , (0 ; 1)F Другой примерF Пусть банахово пространство B есть прямая сумма своих подпространствX B = B1 B2 . Рассмотрим алгебру A0 L(B B )D которая состоит из коммутируюE щих операторовD каждый из которых приводит подпространства Bj X

(a A0 ) : aBj Bj .
Пусть Pj Eпроектор на подпространство Bj B F Разложим алгебру A0 в прямую суммуX A0 = A0 P1 A0 P2 . Тогда операторы Pj есть локальные единицы в подалгебрах A0 Pj F PF Пусть b(0 , 0 ) ч T (ч) L(B B ) Eаналитическая функция параметра ч b(0 , 0 ) C1 со значениями в банаховом пространстве L(B B )F Пусть точка 0 есть изолированная точка спектра оператора T (0)F НапомнимD что это означает следующееX

0 (T (0)) , dist(0 , (T (0)) \ 0 ) > 0.
ЯсноD что изолированная точка спектра оператора есть изолированная особая точка его резольвентыF Пусть число > 0 и открытая область D C1 с гладкой границей D выбраны такD что

(T (0)) \ 0 ) D , D
В силу этого выбора множество

b(0 , 2 ) = .

M := C(D)
PIU

C(b(0 , ))


есть резольвентное множество оператора T (0)F Из теоремы QFSFP @смF стрF IWIA следуетD что существует такое ( ) > 0D что множество M есть реE зольвентное множество оператора T (ч) при |ч| < ( )F Следовательно

(|ч| < ( )) : (T (ч)) D

b(0 , ).

@QFIWQA

В дальнейшем мы считаемD что числа > 0 , ( ) удовлетворяют условию @QFIWQAD а параметры , ч изменяются в области

W = { , ч | | - 0 | < , |ч| < ( )}.

@QFIWRA

QF Пусть A(ч) L(B B ) Eкоммутативная алгебра аналитических функций от оператора T (ч)D которая построена по формуле @QFIPHA @смF стрF IWSAX A(ч) = Opa (Fa ) , a = T (ч). @QFIWSA Пусть

2 < dist(0 , D).
Положим

P1 ( ч ) =

1 2 i
l1

R( , T (ч))d , l1 = { | | - 0 | = 2 }, R( , T (ч))d , l2 = D.
l2

@QFIWTA @QFIWUA

1 P2 (ч) = 2 i

Лемма 3.7.5.
пространстве 2. Алгебра

1. При

ски зависят от параметра

|ч| < ( ) проекторы Pj (ч) , j = 1 , 2, ч как функции со значениями

аналитичев банаховом

B. A(ч)

есть прямая сумма своих подалгебр:

A(ч) = A1 (ч) A2 (ч) , Aj (ч) = A(ч)Pj (ч),
и операторы

Pj (ч)

есть локальные единицы в подалгебрах

Aj (ч)

, причем

справедливо равенство

P1 (ч) + P2 (ч) = id.

@QFIWVA

ДоказательствоF Это утверждение есть следствие формул @QFIWTAE@QFIWVAD аналитической зависимости оператора T (ч) от параметра ч и теоремы QFSFIRF PIV


Лемма 3.7.6.
в алгебре

Оператор

a2 ( , ч) := (id - T (ч))P2 (ч) A2 (ч)
имеет локальный обратный:

a

-1 2,loc

( , ч) =

1 2 i
l2

( - )-1 R( , T (ч))d

@QFIWWA

который аналитичен по в

, ч , ( , ч W )
-1 2,loc

как функция со значениями

A(B B ): W ( ; ч) a ( , ч) A(B B ).
-1 2,loc

ДоказательствоF Аналитичность оператора a формулы @QFIWWAF Справедливо равенство
1 (id - T (ч))a-,loc = 2 1 1 ( - )( - )-1 R( , T (ч))d = 2 i 2 i l2

( , ч) есть следствие

R( , T (ч))d =
l2

P1 (ч).
Лемма доказанаF Пусть выполнено условие dim(Im(P1 (0))) = n < . Тогда в силу теоремы QFUFQ dim(Im(P1 (ч))) n, и поэтому dim(P1 (ч)B ) n. Пусть {ej (ч)} , {l(i) (ч)} EбазисыD которые описаны в теореме QFUFQF СлеE дующая лемма очевиднаF @QFPHHA

Лемма 3.7.7.

1. Положим
i j ( , ч) =< l(i) (ч) | (id - T (ч))ej (ч) >

@QFPHIA @QFPHPA

( , ч) =

i det{j

( , ч)}.
PIW


Определенная равенством

@QFPHPA функция ( , ч) аналитична:
(n-1)

( , ч) = n + 1 (ч)
где

+ . . . + n (ч),

j (ч)

аналитические функции при

|ч| < ( ).

2. Функция

( , 0)
в точке

=

0 имеет ноль порядка

n

и в области

W

уравнение

( , ч) = 0
имеет (с учетом кратности) точно

@QFPHQA

n

корней

{j (ч) , 1 j n}

.

Уравнение @QFPHQA относительно параметра называется характериE стическим уравнением и исследованию поведения его корней как функE ции коэффициентов уравнения и параметра ч посвящено много работF В теории функций комплексного переменного известна теорема ВейрE штрассаD из которой следуетD что в окрестности точки ч = 0 корни уравE нения @QFPHQA имеют разложение

j (ч) =
1m<

a

j ,m

ч

m/p

, 1 j n,

@QFPHRA

где p Eцелое числоF ЗаметимD что кратность нуля детерминанта ( , 0) в точке = 0 совпадает с размерностью пространства Im(P (0 ))D и часто алгебраичеE ская кратность собственного значения по опеределению полагается равE ной кратности нуля детерминанта ( , 0)F Пусть a1 ( , ч) := (id - T (ч))P1 (ч).

Лемма 3.7.8.
A(ч)

Оператор

a1 ( , ч)

имеет локальный обратный в алгебре

в том и только том случае, если

( , ч) = 0,

причем

( ( , ч) = 0) : a
где оператор значениями в

-1 1,loc

( , ч) =

1 r( , ч), ( , ч) W

@QFPHSA

r( , ч) A(ч) L(B B )

аналитичен в области

как функция со

Это утверждение следует из того фактаD что оператор a1 ( , ч) есть оператор в линейном пространстве P1 (ч)B размерности n и оператор a1 ( , ч) приводит пространство P1 (ч)B F Окончательно наши результаты мы сформулируем в виде теоремыF PPH


Теорема 3.7.4.
при

Если оператор

T (ч) L(B B ) ч как функция со значениями в банаховом L(B B ), точка 0 есть изолированная точка спектра оператора T (0) и размерность области значений спектрального проектора @QFIWTA конечна то тогда 1. Существуют такие положительные числа > 0 , ( ) > 0, что в |ч| <
пространстве области аналитичен по

W = { , ч | | - 0 | < , |ч| < ( )}
описанная в лемме 3.7.7 функция в области

( , ч)

аналитична. При

( , ч) = 0
@QFPHTA

W

справедливо равенство

R( , T (ч)) =
где операторы

1 r( , ч) + a( , ч), ( , ч)
в области

a( , ч) , r( , ч)
dim

W

аналитичны по

, ч
и

как

функции со значениями в банаховом пространстве

L(B B )

(Im(r( , ч)))

dim(

Im(P1 (0))),

Im(r( , ч))
2. При

Im(a( , ч)) = 0.

@QFPHQA представимы в виде @QFPHRA и каждый корень j (ч) есть собственное знчение оператора T (ч).

|ч| <

корни уравнения

Из формулы @QFPHTA следуетD что порядок полюса резольвенты не моE жет быть больше алгебраической кратности собственного значенияD но он может быть меньше ееD так как оператор r( , 0) в точке = 0 может иметь нольF Если оператор T (ч) действует в гильбертовом пространствеD то можE но получить более полную информацию о поведении собственных чисел и собственных функцийF
ство

Теорема 3.7.5.
B ч = 0.

Пусть выполнены условия теоремы 3.7.4, простран-

-гильбертово и оператор

T ( ч)

самосопряжен при действитель-

ных значениях параметра точки

ч

. Тогда

1. Собственные значения 2. Определенный формулой

j (ч)

аналитичны по

ч

в окрестности

@QFIWTA проектор P1 (ч) аналитически зависит от параметра ч в окрестности точки ч = 0 и представим в
виде

P1 ( ч ) =
1j n

P
PPI

1,j

(ч),

@QFPHUA


где проекторы

P

1,j

(ч)

удовлетворяют условию
1,j

P
и уравнениям:

1,i

(ч)P

( ч) = 0 ,

если

i (ч) = j (ч)
@QFPHVA

T (ч)P

1,j

(ч) = j (ч)P

1,j

(ч).

ДоказательствоF Так как собственные значения j (ч) должны быть действительны при значениях параметра ч > 0D все коэффициенты aj , m в @QFPHRA должны быть действительныF Так как собственные значения j (ч) должны быть действительны и при значениях параметра ч < 0D должны выполняться равенства

m : I m exp(i m/p) = 0.
Отсюда следуетD что разложение в @QFPHRA ведется по целым степеням чF Каждое собственное значение j (ч) есть изолированная особая точка резольвенты R( , T (ч))F В силу оценки

R(j (ч) + i , T (ч)) 1/
эта особая точка есть полюс первого порядка и поэтому вычет в полюE се j (ч) удовлетворяет уравнению @QFPHVAF Так как интегал @QFIWTA есть сумма вычетовD то справедлива формула @QFPHUAF Теорема доказанаF Если собственное значение 0 не вырожденоD тFеF n = 1D то тогда отE сюда следуетD что отвечающую собственному значению (ч) , (0) = 0 D собственную функцию можно выбрать такD что она будет аналитичной по ч в окрестности точки ч = 0F В общем случае дело обстоит сложнее @смF ITAF ПокажемD как на практике находить поправки к собственным значеE ниям и собственным функциямF Пусть выполнены условия теоремы QFUFR и T (ч) = T (0) + чV , где T (0) и V Eсамосопряженные операторы в конечномерном гильберE 0 товом пространствеF Пусть j , 1 j n Eортонормированный базис в пространстве Im(P1 (0))F Будем искать собственные значения и соответE ствующие собственные функции в виде

j (ч) = 0 + bj ч + O(ч2 ) , 1 j n, j (ч) =
1in

a

j ,i

0 i + чj + O(ч2 ).

PPP


Подставляя эти разложения в уравнение

T (ч)j (ч) = j (ч)j (ч)
и собирая слагаемые с первыми степенями чD мы получаем уравнения

(T (0) - 0 )j =
1in

(bj - V )a

(j , i)

0 i , 1 j n.

@QFPHWA

Чтобы эти уравнения имели решенияD нужноD чтобы правая часть @QFPHWA была ортогональна всем функциям 0 F Это дает систему уравнений

a
1in

(j , i)

k 0 0 (i bj - < k , V i >) = 0 , 1 j n , 1 k n.

@QFPIHA

Условие существования нетривиального решения у этой системы уравE нений дает уравнение для
k 0 0 bj : det(i bj - < k , V i >) = 0 , 1 i , k n.

@QFPIIA

Пусть bj корень уравнения @QFPIIA и вектор aj = (a нормированное условием

(j , 1)

,a

(j , 2)

. . .) есть

|a
1in

(j , i)

|2 = 1

решение системы @QFPIHAD

j (0) =
1in

a

(j , i)

0 i .

Пусть векторы k , k = 0 Eнормированные собственные векторы опеE ратора T (0)D которые состваляют базис в пространствеD ортогональном пространству Im(P1 (0))X

T (0)k = k k , k Im(P1 (0)).
Из уравнения @QFPHWA мы находимX

< k , (T (0) - 0 )j >= (k - 0 ) < k , j >= - < k , V j (0) >
и получаемX

j (ч) = j (0)+ (0 - k )-1 < k , V j (0) > k
k =
0

ч + O(ч2 )

j (ч) = 0 + bj ч + O(ч2 ),
PPQ


где k , k система собственных значений и собственных функций опеE ратора T (0)D а bj дается формулой @QFPIIAF Так как (k = 0 ) : j (0)k , то

j (0) + ч
3.8
3.8.1

j

2

= 1 + O(ч2 ).

Компактные операторы.
Определения и основные свойства компактных операторов.

Определение 3.8.1.

Линейный оператор

T : B1 B2
компактенD если он переводит единичный шар пространства B1 в мноE жествоD замыкание которого в пространстве B2 EкомпактF В силу теоремы PFQFQ @смF стрF IQIA это определение эквивалентно следующемуF

Определение 3.8.2.

Оператор T компактенD если из любой последоE вательности {T (xn ) | 1 n < , xn | B1 1} можно выделить сходящуюся в пространстве B2 подпоследовательностьF Предел этой последовательности может и не принадлежать множеE ству T (b(0 , 1))F Напомним @смF ту же теорему PFQFQAD что в полном метрическом проE странстве множество M компактD если оно замкнуто и сверхограничеE ноD тF еF для любого > 0 существует такой конечный набор шаров {b(xj , ) , 1 j n( )}D что

M
j

b(xj , ).

Удовлетворяющее этому условию множество {xj } M называется коE нечной Eсетью для множества M F Определение QFVFI эквивалентно следующему определениюF

Определение 3.8.3.

Оператор T компактенD если образ единичного шаE ра T (b(0 , 1)) Eсверхограниченное множествоF PPR


Все данные выше определения эквивалентныF Иногда компактный оператор определяется как операторD который любую слабо сходящуюE ся последовательность переводит в последовательностьD сходящуюся по нормеF Мы не будем использовать это определениеF

Лемма 3.8.1.

Если линейный оператор компактен, то он ограничен и

поэтому непрерывен.

ДоказательствоF Если {xn | 1 n < } B1 такая последовательE ностьD что xn | B1 1 , T (xn ) | B2 , n , то из последовательности T (xn ) нельзя извлечь сходящуюся в пространE стве B2 подпоследовательностьD что противоречит компактности множеE ства Cl(T (b(0 , 1))). СледовательноD

sup{ T (x) | B2 | x b(0 , 1) B1 } < ,
откуда следуетD что оператор T ограничен и поэтому непрерывенF ОднакоD как мы увидим позжеD если пространство B1 имеет бескоE нечную размерностьD не любой непрерывный оператор в нем компактенF Иногда компактные операторы называются вполне непрерывнымиF Перечислим некоторые очевидные свойства компактных операторовF

Лемма 3.8.2.
-компактен.

1. Если операторы

T1

и

T2

-компактны, то оператор
2

T = T1 + T
2. Если оператор

T компактен, а оператор A ограничен, то операAT , T A -компактны. 3. Если {Tn | 1 n < } L(B1 B2 ) последовательность компактных операторов, которая сходится в норме пространства L(B1 B2 ) к оператору T , то оператор T компактен.
торы

Мы докажем только последнее утверждениеF Достаточно доказатьD что при любом > 0 множество Cl(T (b(0 , 1))) содержит конечную E сеть F Пусть

y Cl(T (b(0 , 1))) , {xj } b(0 , 1) B1 .
Тогда

y - T (xj ) | B2 y - T (x) | B2 + T (x - xj ) | B2 y - T (x) | B2 + 2 T - Tn | L(B1 B2 + Tn (x - xj ) | B2 . @QFPIPA
PPS


Сначала выберем x T (b(0 , 1)) такD чтобы вополнялось неравенство

y - T (x) | B2 < /3.
Затем выберем n такD чтобы выполнялось неравенство

2 T - Tn | L(B1 B2 ) < /3.
Потом выберем множество {xj | 1 j N ( )} b(0 , 1) B1 такD чтобы множество {T (xj ) | 1 j N ( )} было конечной /3Eсетью в множестве Cl(Tn (b(0 , 1)))F Тогда из @QFPIPA будет следовать неравенство

min{ y - T (xj ) | B2 | 1 j N ( )} < ,
что и доказывает наше утверждениеF Приведем пример компактного оператораF Пусть D Rd Eзамкнутая ограниченная область с гладкой границейD k (x , y ) Eнепрерывная в области D Ч D функцияF

Лемма 3.8.3.
компактен.

Оператор

K : Lp (D) C (D) , K f (x) =
D

k (x , y )f (y )dy , 1 < p <

@QFPIQA

ДоказательствоF Нам нужно доказатьD что множество

M = {(x) | (x) =
D

k (x , y )f (y )dy , f | Lp (D) 1}

равномерно ограничено и равностепенно непрерывноF Это утверждение есть следствие следующих оценокF 1/q

|(x)| = |
D

k (x , y )f (y )dy |
D

|k (x , y )|q dy

f | Lp (D) ,

sup{|k (x , y )| | x D , y D}mes(D)1/q f | Lp (D) ; |(x) - (x )| sup{|k (x , y ) - k (x , y )| | y D}mes(D)1/q f | Lp (D) .
При выводе этих оценок мы воспользовались неравенством ГельдераD положив q = p/(p - 1)F Из доказаной леммы следуетD что оператор @QFPIQA компактен как опеE ратор из Lp (D) в Lq (D) при любом 1 < q < D так как из сходимости в пространстве C (D) вытекает сходимость в каждом из пространств Lq (D)F Следующая теорема называется теоремой ШаудераF PPT


Теорема 3.8.1.

Оператор

T L(B1 B2 )
компактен в том и только том случае, если сопряженный оператор

T L(B2 B1 )
компактен.

ДоказательствоF Сначала докажемD что из компактости оператора T следует компактность оператора T F Пусть оператор T компактен и

{fn | 1 n < } b(0 , 1) B2 .
Нам нужно доказатьD что последовательность T (fn ) содержит сходящуE юся в пространстве B1 подпоследовательностьF ИмеемX

(x B1 ) : < (T (fn ) - T (fm ) | x >=< (fn - fm ) | T (x) > .

@QFPIRA

Заданная на компактном множестве Cl(T b(0 , 1)) последовательность функE ций Cl(T b(0 , 1)) y fn (y ) равномерно ограниченаX

n : |fn (y )| fn | B2 ћ T | L(B1 B2 ) ћ x | B1
и равностепенно непрерывнаD так какX

|fn (y ) - fn (y )| = |fn (y - y )| fn | B2 ћ y - y | B2 .
По теореме АрцелаEАсколи @смF теорему PFQFR на стрF IQSA последовательE ность fn содержит сходящуюся в метрике

d(f , g ) = sup{|f (y ) - g (y )| | y Cl(T b(0 , 1))}
подпоследовательностьF Будем считатьD что сходится сама последоваE тельность fn F В силу равенства @QFPIRA

T (fn ) - T (fm ) | B1 = sup{| < T (fn ) - T (fm ) | x > | | x | B1 1} d(fn , fm ),
PPU


что и доказывает сходимость последовательности T (fn )F Теперь предположимD что оператор T компактен и докажемD что опеE ратор T компактенF Если оператор T компактенD то в силу только что доказанного свойE ства оператор T : B1 B2 компактенF Пусть {xn } b(0 , 1) B1 и J Eопределенное формулой @QFTVA @смF стрF IVHA изометрическое вложениеX

J : B1 B1 .
Тогда

(n , m > N ( )) T (xn ) - T (xm ) | B2 = T (J (xn )) - T (J (xm )) | B2 < ,
если только последовательность {xn } выбрана такD что последовательE ность T (J (xn )) сходитсяD что можно сделать в силу компактности опеE ратора T и включения {J (xn )} b(0 , 1) B1 F Теорема доказанаF Следующая теорема называется теоремой @или леммой A Рисса о поE чти перпендикуляреF Эта теорема не использует понятие компактостиD но на ней основано доказательство часто используемой теоремы Рисса о компактности единичного шара в банаховом пространстве и многих других теорем о компактных операторахF

Теорема 3.8.2.
B

Пусть

хова простанства

B

и

существует такой

B0 -замкнутое линейное подпространство банаB \B0 = . Тогда для любого > 0 в пространстве вектор x, что выполнены условия: x = 1,
dist

(x , B0 ) > 1 - .

@QFPISA

ДоказательствоF Пусть y B \ B0 F Тогда dist(y , B0 ) = > 0 и сущеE ствует такой вектор z B0 D что

z - y < (1 + ).
Пусть

x = (z - y )/ z - y .
Тогда x = 1 и

(z B0 ) : x - z >1- . (1 + )

= z-y

-1

z- z-y z -y

PPV


Теорема доказанаF Следующая ниже теорема и есть упоминавшаяся теорема Рисса о компактности единичного шараF

Теорема 3.8.3.
конечномерно.

Если в банаховом пространстве

B

замыкание единич-

ного шара есть компактное множество, то банахово пространство

B

ДоказательствоF Пусть {e1 , . . .} B EлинейноEнезависимые векторыD норма которых равна единицеD

Bn = Cl(spn{e1 . . . , en }).
Тогда Bn B(n+1) D и если B(n+1) \ Bn = D то согласно предыдущей теореме существует такой вектор yn B(n+1) D что

yn = 1, dist(yn , Bn ) > 1/2.
Если последовательность {yn } бесконечнаD то это будет такая принадE лежащая замыканию единичного шара последовательностьD из которой нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательностьD поэтому если едиE ничный шар компактенD то начиная с некоторого номера n должно быть выполнено равенство Bn = B(n+1) F Теорема доказанаF
3.8.2 Теория Рисса-Шаудера.

Теория РиссаEШаудера описывает резольвенту компактного оператора и устанавливает связь между областью значений и ядром оператора (id - T ) в том случаеD если оператор T компактенF Эти результаты будут подытожены нами в теореме QFVFSF Мы будем считатьD что рассматриваемое нами банахово пространство рефлексивноX B = B. Начнем мы с доказательства нескольких леммF В дальнейшем мноE жество компактных операторовD действующих из пространства B в проE странство B мы обозначим символом K(B B )F ЯсноD что

K(B B ) L(B B ).

Лемма 3.8.4.
Im(id - T )

Если

T

-компактный оператор и

= 0,

то пространство

замкнуто.

PPW


ДоказательствоF Пусть

yn Im(id - T ) , yn y0 , n .
Нам нужно доказатьD что

y0 Im(id - T ).
Пусть

yn = (id - T )(xn ).
Положим

n = dist(xn , Ker(id - T )),

и пусть элементы wn выбраны такD что

wn Ker(id - T ) , n xn - w
Положим

n

(1 + 1/n)n .

zn = xn - wn .
Рассмотрим два случаяX n const и n F В первом случае мы имеемX

zn = (1/)(yn + T zn ) , zn const.

@QFPITA

Так как оператор T компактенD из последовательности T zn можно изE влечь сходящуюся подпоследовательностьF Для простоты можно счиE татьD что сходится последовательность T zn F Переходя к пределу в предыE дущем равенствеD мы получаемX

z0 = (y0 + T z0 )/,
СледовательноD

y0 Im(id - T ).
Теперь мы покажемD что второй случай невозможенF Пусть n и

n = zn / zn .
Тогда n = 1D и мы можем предположитьD что последовательность T n сходитсяF Тогда из @QFPITA следуетD что и сама последовательность n сходитсяX n 0 , @QFPIUA причем

0 = T 0 .
PQH


С другой стороныD

n - 0 = xn - wn -1 xn - wn - ( xn - wn )0 xn - wn -1 dist(xn , Ker(id - T )) n 1 , n . (1 + 1/n)n
Это противоречит определению элемента 0 как предела последовательE ности n F Лемма доказанаF

Лемма 3.8.5.
то

Если

T

-компактный оператор,

=0

и

Im(id - T ) = B ,

@QFPIVA @QFPIWA

Ker(id - T ) = 0.

ДоказательствоF ПредположимD что выполнено равенство @QFPIVAD а равенство @QFPIWA не выполненоF ДокажемD что это противоречит комE пактности оператора T F Положим Nk = Ker(id - T )k , k = 1 , . . . . Каждое из пространств Nk замкнуто и

k : Nk N(k
В силу сделанных нами предположений

+1)

.

@QFPPHA

N1 = 0,
и существуют такие векторы x1 , x2 D что

x1 = 0 , (id - T )x1 = 0 , (id - T )x2 = x1 .
Но тогда

(id - T )x2 = 0 , (id - T )2 x2 = 0,
СледовательноD

x2 N1 , x2 N2 , N2 \ N1 = 0.
Мы можем продолжить наше построение и получимD что в @QFPPHA все включения EстрогиеX k : N(k+1) \ Nk = 0. PQI


В силу теоремы Рисса о почтиEперпендикуляре QFVFP @смF стрF PPVA сущеE ствует такая последовательность {yk }D что

yk = 1 , yk Nk , dist(yk , N
Дале мы замечаемD что

(k-1)

) > 1/2.

T yn - T ym = [yn - (ym - ((id - T )ym - (id - T )yn )/)], (n > m) : ym - ((id - T )ym - (id - T )yn )/ N(n-1) ,
поэтому

(n > m) : T yn - T ym ||dist(yn , N

n-1

) = ||/2.

Мы видимD что из последовательности T yn нельзя извлечь сходящейся подпоследовательностиD что противоречит компактности оператора T F Лемма доказанаF

Лемма 3.8.6.
то

Если оператор

T

компактен и

Ker(id - T ) = 0,

@QFPPIA @QFPPPA

Im(id - T ) = B .

ДоказательствоF В силу теоремы QFRFV @смF стрF IVQA из условия @QFPPIA следует равенство Cl(Im(id - T ) ) = B . Так как в силу теоремы Шаудера оператор T компактенD то из леммы QFVFR следуетD что

Cl(Im(id - T ) ) = Im(id - T ) ) = B .
Воспользовавшись леммой QFVFSD мы получаемX

Ker(id - T ) = 0.
На основе теоремы QFRFV отсюда следуетD что

Im(id - T ) = Cl(Im(id - T )) = B .
Лемма доказанаF Из лемм QFVFT и QFVFS следует PQP


Лемма 3.8.7.

Если оператор

T

компактен и

= 0,

то

Ker(id - T ) = 0
в том и только том случае, если

Im(id - T ) = B .
Из этого утверждения и теоремы Банаха QFQFT @смF стрF IUHA следует

Теорема 3.8.4.
либо

Если оператор

T

компактен и

= 0,

то либо

Ker(id - T ) = 0,

@QFPPQA

(id - T )-1 L(B B ).

@QFPPRA

Утверждение теоремы QFVFR называется альтернативой ФредгольмаF Необходимость условия @QFPPQA тривиальнаX если это условие не выполнеE ноD то однозначно определенного оператора @QFPPRA не существуетF НетриE виальная часть теоремы QFVFR состоит в томD что условие @QFPPQA достаE точно для существования оператора @QFPPRAF Из теоремы QFVFR следуетD что отличные от нуля точки спектра компE катного оператора есть его собственные значения и только собственные значения есть отличные от нуля особые точки резольвенты компактного оператораF Изучим эти собственные значенияF Напомним один результат из линейной алгебрыF

Лемма 3.8.8.
и

Если

T

-линейный оператор в линейном пространстве

L

{xj , 1 j n}

-последовательность векторов, которые удовлетво-

ряют уравнениям

j : xj = 0 , j xj = T (xj ) ; (j = k ) (j = k ),
то векторы

@QFPPSA

{ xj }

линейно независимы.

ДоказательствоF Пусть

j xj = 0.
1j n

@QFPPTA

PQQ


Умножая уравнение на оператор T D мы получим равенстваX

j xj = 0,
1j n

j j xj = 0,
1j n

ћћћ ћћћћћћ j n-1 xj = 0. j
1j n

Эта система уравнений относительно неизвестных {xj } имеет нетривиE альное решение только в том случаеD если

1 . . . n
1j
(j - k ) = 0,

откуда и следует доказываемое утверждениеF ЗаметимD что размерность пространства L в данном случае роли не играетF

Лемма 3.8.9.

Если оператор

T

компактен и

{xj , 1 j < }

-последовательность

линейно независимых векторов, которые удовлетворяют уравнениям

j xj = T (xj ),
то либо последовательность

{xj }

конечна, либо

j 0 , j .
ДоказательствоF ПредположимD что последовательность {xj } бескоE нечна и j : j = 0. @Если нужноD мы можем перейти к подпоследовательностиFA Пусть

Ln = spn{x1 , . . . xn }.
Тогда

Ln Ln+1 , L

n+1

\ Ln = .

В силу леммы о почтиEперпендикуляре существуют такие векторы {yn }D что j yn = 1 , dist(yn , Ln-1 ) 1/2 , yn = n xj .
1j n

PQR


ЗаметимD что обязательно выполнено неравество
n n = 0,

так как

yn L
Положим

(n-1)

.

wj = yj /j .
Пусть n > mF Рассмотрим разность

T (wn ) - T (wm ) = n n xn + zn = yn + vn ; vn L
Из этого равенства следуетD что

(n-1)

, zn L(n-1) .

T (wn ) - T (wm ) dist(yn , L
Если

(n-1)

) 1/2.

@QFPPUA

j : |j | const. > 0,
то

n : w

n

< const. < ,

а это противоречит томуD что оператор T компактенD так как в силу @QFPPUA из последовательности T wn нельзя извлечь сходящуюся подпоE следовательностьF Лемма доказанаF Из лемм QFVFW и QFVFV вытекает

Лемма 3.8.10.
то

Если

T

-компактный оператор и

Ker(0 id - T ) = 0, 0
-изолированная особая точка резольвенты dim

@QFPPVA

R( , T )

и

(Ker(0 id - T )) < .

Пусть выполнено условие @QFPPVAF Пусть P (0 ) Eспектральный проекE торX 1 P (0 ) = R( , T )d, l = { | | - 0 | = }. 2 i
l

PQS


Если x Ker(0 id - T )D то (id - T )x = ( - 0 )xD и

R( , T )x = ( - 0 )-1 x , P (0 )x = x,

поэтому

Ker(0 id - T ) Im(P (0 )).
@Вспомним включение @QFITWA на стрF PHVAF

Лемма 3.8.11.
dim dim

Справедливы равенства:

P (0 ) =

1 2 i
l

R( , T )d, l = { | | - 0 | = },

@QFPPWA @QFPQHA @QFPQIA

(Im(P (0 ))) = dim(Im(P (0 ))) < , (Ker(0 - T )) = dim(Ker(0 - T ))

ДоказательствоF Равенство @QFPPWA следует из теоремы QFRFW @смF стрF IVSAF Справедливо равенство

R ( , T ) =
откуда следуетD что

1 (id + T R( , T )),

1 P (0 ) = 2 i
l

1 R( , T )d T .

СледовательноD оператор P (0 ) есть произведение ограниченного операE тора и компактного и поэтому компактенF Так как пространство Im(P (0 )) замкнуто и инвариантно относительно изометричного в пространстве Im(P (0 )) компактного оператора P (0 )D то единичный шар в пространE стве Im(P (0 )) компактен и в силу теоремы Рисса QFVFQ @смF стрF PPWA пространство Im(P (0 )) конечномерноF Пусть Im(P (0 )) = spn{e1 , . . . , en }. На пространстве Im(P (0 )) определим линейные функционалы

f

(j )

:
(j )

j | ek >= k , 1 j n

@QFPQPA

PQT


и распространим их @используя теорему ХанаEБанахаA на все пространE ство B F Справедливо равенство

(x Im(P (0 ))) : x =
1j n

f

(j )

(x) < f | ej > .

СледовательноD

(f Im(P (0 ))) : < P (0 )f | x >=< f | P (0 )(x) >=
1j n

f

(j )

(x)ej ,

и

(f Im(P (0 ))) : f =
1j n

< f | ej > f

(j )

.

СледовательноD векторы {f (j ) , 1 j n} составляют базис в пространE стве Im(P (0 )) и выполнено равенство @QFPQHAF Теперь заметимD что число dim(Ker(0 id - T )) есть дефект матрицы

a

(j ) k

=< f

(j )

| (0 [id] - T )(ek ) >,

а число dim(Ker(0 id - T )) есть дефект матрицыD транспонированной (j ) к матрице {ak }F Как известноD эти дефекты совпадаютF Лемма доказанаF Подытожим полученные нами результатыF
дующие утверждения. 1. Оператор 2. Если то

Теорема 3.8.5.

Пусть оператор компактен. и

T

компактен. Тогда справедливы сле-

T 0 = 0

Ker(0 id - T ) = 0, Ker(0 id - T ) = 0,
и

(0 - T )-1 L(B B ) , (0 id - T )-1 L(B B )
3. Если то

0 = 0

и

Ker(0 id - T ) = 0, 0
-полюс резольвент dim

R ( , T )

и

R ( , T )

, причем

(Im(P (0 ))) = dim(Im(P (0 ))) < , dim(Ker(0 id - T )) = dim(Ker(0 id - T )), Im(0 id - T ) = N (Ker(0 id - T )).
PQU


Последнее утверждение есть напоминание теоремы QFRFV @смF стрF IVQAF Близкое по смыслу утверждение составляет содержание следующей ниже теоремыD которая есть следствие теорем QFVFS и QFUFR и иногда наE зывается аналитической теоремой ФредгольмаF
плексного переменного функция

Теорема 3.8.6.

Пусть

D C1

-открытая связная область в плоскости ком. Пусть в области

D

задана аналитическая

D

ч K (ч) L(B B ),

значения которой есть компактные операторы:

ч : K (ч) K(B B ).
Тогда либо оператор

(id - K (ч)) (ч)

не обратим ни в одной точке области

D

, либо в области

D

существует такая не равная тождественно нулю и такие аналитические функции

аналитическая функция

D

ч r(ч) K(B B ) , D

ч a(ч) L(B B ),

что справедливо равенство

((ч) = 0) : (id - K (ч))-1 =
причем dim

1 r(ч) + a(ч), (ч)

(Im(r(ч))) const. < , Im(r(ч))

Im(a(ч)) = 0.

ДоказательствоF Достаточно заметить что точка = 1 может быть только изолированной особой точкой резольвенты R( , K (ч)) и отвечаE ющий этой особой точке спектральный проектор конечномеренD а затем применить теорему QFUFR в каждой точке ч DF
3.9 Резольвента и спектр неограниченных операторов.

До сих пор все операторы в банаховых пространствах мы считали линейE ными ограниченными @а потому и непрерывнымиA операторамиD область определения которых совпадает со всем пространствомF Теперь мы переE ходим к изучению более общей ситуацииX мы будем рассматривать такие линейные отображенияD область оперделения которых есть не совпадаюE щее со всем пространством линейное многообразиеD а сами отображения PQV


не ограничены на своей области оперделенияF Переходим к точным форE мулировкамF Пусть B1 и B2 Eбанаховы пространстваD Dom(A) B1 Eлинейное мноE гообразие @не обязательно замкнутоеA в пространстве B1 F

Определение 3.9.1.

Отображение

A : Dom(A) B2
мы называем линейным отображением @линейным операторомAD если

( C1 , C1 , x Dom(A) , y Dom(A)) : A(x + y ) = A(x) + A(y ).
Если

Dom(A1 ) = Dom(A2 ),
то два оператора

A1 : Dom(A1 ) B2 , A2 : Dom(A2 ) B2
мы будем считать разными операторамиD даже если их значения совпаE дают на множестве Dom(A1 ) Dom(A2 ). Умножение неограниченного оператора на число коментариев не треE буетD а сумму двух неограниченных операторов A1 и A2 мы определяем только в том случаеD если Dom(A1 ) Dom(A2 ) = X

Dom(A1 + A2 ) := Dom(A1 )

Dom(A2 ),

(x Dom(A1 + A2 )) : (A1 + A2 )(x) := A1 (x) + A2 (x).
Ядро неограниченного оператора определяется такX

Ker(A) = {x | x Dom(A) , A(x) = 0}.
Определим резольвенту неограниченного оператораF

Определение 3.9.2.
ратора D если

Оператор R( , A) называется резольвентой опеE

1.Dom(R( , A)) = Im(id - A) , Im(R( , A)) = Dom(id - A)) @QFPQQA 2.Ker(id - A) = 3. sup{ R( , A)x 4.(x Im(id - 5.(x Dom(id 0 , Cl(Im(id - A)) = B , | x Im(id - A) , x 1} < ; A)) : (id - A)R( , A)x = x, - A)) : R( , A)(id - A)x = x.
PQW @QFPQRA @QFPQSA @QFPQTA @QFPQUA


Это определение согласуется с данными прежде определениями реE зольвенты элемента банаховой алгебры и резольвенты ограниченного оператораD но с понятием резольвенты неограниченного оператора нужE но быть внимательнымF В силу условия @QFPQSA резольвента по непреE рывности продолжается на все пространствоD но на этом продолжении может не быть выполнено равество (id - A)R( , A)x = xF Мы примем следующее

Определение 3.9.3.

Оператор

R( , A) L(B B )
называется резольвентой неограниченного оператора

A : Dom(A) B ,
если

1. 2. 3. 4.

Ker(id - A) = 0 Dom(A) Im(R (x B ) : (id - (x Dom(A)) :

, Im(id - A) = B , ( , A)), A)R( , A)x = x, R( , A)(id - A)x = x.

@QFPQVA @QFPQWA @QFPRHA @QFPRIA

В рассматриваемых нами приложениях @резольвента инфинитезимальE ного оператора и резольвента самосопряженного оператораA оба опредеE ления совпадаютF По умолчаниюD мы будем пользоваться только вторым определениемF Резольвентным множеством res@eA неограниченE ного оператора A называется множество всех комплексных чиселD для которых существует резольвентаX res(A) := { | R( , A)}. Спектром (A) неограниченного оператора A называется дополнение реE зольвентного множестваX

Определение 3.9.4.

(A) = C(res(A)).

Лемма 3.9.1.
что то

Часто бывает полезна следующая
Если существует такая последовательность

{ xn } B

,

x (A)
.

n

= 1 , yn = (id - A)xn 0,

@QFPRPA

PRH


ДоказательствоF Если res(A)D то существует оператор R( , A)D и из @QFPRPA следуетD что

xn = R( , a)yn , 1 = x

n

R( , a) ћ yn ,

что противоречит @QFPRPAF Лемма доказанаF Сформулированный в данной лемме критерий принадлежности точки спектру оператора A иногда называется критерием @признакомA ВейляD а удовлетворяющая условию @QFPRPA последовательность Eпоследовательностью ВейляF

Лемма 3.9.2.
метра берта:

1. Резольвентное множество открыто. Резольвента

R( , A)

аналитична на своем резольвентном множестве как функция пара-



со значениями в

L(B B )

и удовлетворяет тождеству Гиль-

R( , A) - R(ч , A) = -( - ч)R( , A)R(ч , A).

@QFPRQA

ДоказательствоF Пусть res(A)F Рассмотрим равенство @QFPRQA как уравнение относительно неизвестного оператора R(ч , A) L(B B )X

(id - ( - ч)R( , A))R(ч , A) = R( , A).
При
-1

@QFPRRA

| - ч| < R( , A)

уравнение @QFPRRA имеет единственное решение

R(ч , A) =

(( - ч)R( , A))n R( , A),
0n<

@QFPRSA

и это решение аналитично по ч в круге

{ч | | - ч| < R( , A)

-1

}.

ДокажемD что решение уравнения @QFPRRA есть резольвента оператора AF Из @QFPRQA следуетD что

Im(R(ч , A)) Dom(A).
Умножая обе части равенства @QFPRQA слева на (id - A)D мы получаемX

(id - A)R(ч , A) = id - (ч - )R(ч , A),
PRI


откуда следуетD что

(чid - A)R(ч , A) = id.
АналогичноD применяя равенство @QFPRQA к элементу (id - A)xD мы поE лучаемX R(ч , A)(id - A)x = x + ( - ч)R(ч , A)x, а отсюда следуетD что

(x Dom(A)) : R(ч , A)(чid - A)x = x.
Лемма доказанаF

Лемма 3.9.3.

Если res(A1

Dom(A1 ) = Dom(A2 ) ,
то справедливы равенства

)

res(A2

) , (A1 - A2 ) L(B B ),

R( , A1 ) - R( , A2 ) = R( , A1 )(A1 - A2 )R( , A2 ), R( , A1 ) - R( , A2 ) = R( , A2 )(A1 - A2 )R( , A1 ).

@QFPRTA @QFPRUA

Равенства @QFPRUAE@QFPRTA есть две формы записи второго резольвентE ного тождества @уравненияAF Первым резольвентным тождеством @уравE нениемA называют тождество ГильбертаF ДоказательствоF ИмеемX

(x Dom(A1 )) : (id - A2 )x - (id - A1 )x = (A1 - A2 )x.
В @QFPRVA сделаем замену

@QFPRVA

x R( , A1 )x
и умножим слева на R( , A2 )F Получим @QFPRTAF АналогичноD сделав заE мену x R( , A2 )x и умножив слева на R( , A2 )D получим @QFPRUAF Лемма доказанаF

Лемма 3.9.4.
то

Если

( C1 ) : R( , A1 ) = R( , A2 ), A1 = A2 .
PRP

@QFPRWA


ДоказательствоF Из @QFPRWA следуетD что

(x Dom(A1 )) : x = R( , A2 )(id - A1 )x.
СледовательноD

Dom(A1 ) Dom(A2 )
и

(id - A2 )x = (id - A2 )R( , A2 )(id - A1 )x = (id - A1 )x.

Определение 3.9.5.

Графиком линейного оператора

A : B1 Dom(A) B2
называется множество

Gr(A) = {x Ax | x Dom(A)},
рассматриваемое как подпространство прямой суммы B1 B2 банаховых пространств B1 и B2 F Множество L B1 B2 есть график линейного оператора в том и только том случаеD еслиD воEпервыхD L есть линейное многообразие иD воEвтрыхD из условий

xy L, x y L, x=x
следуетD что

y=y.
Последнее условие для линейного многообразия эквивалентно требоваE ниюX L (0 B2 ) = 0 0. @QFPSHA

Определение 3.9.6. Определение 3.9.7.

Оператор A называется замкнутымD если его граE фик замкнут как подпространство прямой суммы B1 B2 банаховых пространств B1 Dom(A) и B2 Im(A)F Оператор Cl(A) называется замыканием оператоE ра AD если график оператора Cl(A) есть замыкание графика оператора AX def Gr(Cl(A)) = Cl(Gr(A)). PRQ


Замыкание графика оператора A не обязательно удовлетворяет услоE вию @QFPSHAD поэтому замыкание графика оператора не обязательно есть график какогоEнибудь оператораD но очевидна

Лемма 3.9.5.
то оператор

Если выполнено условие

Cl(Gr(A)) A
имеет замыкание

(0 B2 ) = 0 0, Cl(A)
:

@QFPSIA

Dom(Cl(A)) = Pr1 (Cl(Cr(A)), (x y Cl(Cr(A))) : Cl(A)(x) = y .

@QFPSPA

Для доказательства заметимD что в силу условия @QFPSIA соотношение @QFPSPA однозначно определяет операторD график которого есть замкнуE тое множество Cl(Gr(A))F Таким образомD замыкание Cl(A) оператора A Eэто операторD который делает коммутативной следующую диаграммуX

Cl(Gr(A)) Pr
1

Cl(Gr(A)) Pr
2

B1

-- -

Cl(A)

B2

где rj Eоператор проектирования прямой суммы B1 B2 на слагаемое Bj F Так как Gr(A) Cl(Gr(A)), то

Dom(A) Dom(Cl(A)) , (x Dom(A)) : Ax = Cl(A)(x).
ЗаметимD что область оперделения Dom(A) замкнутого оператора может не быть замкнутым подпространством в банаховом пространстве B1 Dom(A) и область оперделения замыкания оператора может не быть замыканием области определения исходного оператораF В дальнейшем оператор и его замыканиеD как правилоD мы будем обоE значать одним и тем же символомF Рассмотрим примерыF Пусть

B = L2 (R1 , dx); Dom(A) = {f | f (x) L2 (R1 , dx) , x2 f (x) L2 (R1 , dx)}; A : Dom(A) L2 (R1 , dx) , Af (x) = x2 f (x).
PRR


Область определения оператора A плотна в L2 (R1 , dx)D так как она соE держит все функции с компактным носителемF Оператор A неограниченF ДействительноD положим

f (x) = ( / )
Тогда

1/4

exp(- x2 /2).

( > 0) : f Dom(A) , f
Легко видетьD что

= 1 , Af

> const/ ,

0.

R( , A)f (x) =

1 f (x) , (A) = [0 , ). ( - x2 )

Оператор A замкнутF Для доказательства этого утверждения рассмотE рим последовательность

fn (x) Afn (x) Gr(A),
которая в топологии прямой суммы L2 (R1 , dx) L2 (R1 , dx) сходится к точке f0 (x) (x) и докажемD что эта точка принадлежит графику оператора AF Из определения нормы в прямой сумме пространств следуетD что в метрике пространства L2 (R1 , dx)

fn (x) f0 (x) , x2 fn (x) x2 f0 (x) = (x) , n .
Из полноты пространства L2 (R1 , dx) вытекаетD что

f0 (x) L2 (R1 , dx) , x2 f0 (x) L2 (R1 , dx),
СледовательноD

f0 (x) Dom(A) , (x) = Af0 (x) и f0 (x) (x) Gr(A).
ЗаметимD что в рассмотренном примере область определения оператора A не замкнута в пространстве L2 (R1 , dx)F Рассмотрим другой примерF Положим

B = L2 (R1 , dx), Dom(A) = {f | f (x) L2 (R1 , dx) , f (x) L2 (R1 , dx) , f (x) L2 (R1 , dx)}, d2 2 1 A : Dom(A) L (R , dx) , Af (x) = - 2 f (x). dx
PRS


Оператор A неограниченF ДействительноD пусть

f Dom(A) , f = 1.
Тогда но



nf (nx) Dom(A) ,

nf (nћ) = 1,

A nf (nћ) > const.n , n .

Используя преобразование ФурьеD можно доказатьD что оператор дифE ференцирования сводится @позже мы уточнимD в каком именно смыслеA к оператору умножения на независимую переменнуюD поэтому рассмотренE ные нами примерыD поEсуществуD есть разные редакции примера одного и того же оператораF Пусть

z = x + iy C1 , B = {f (z ) |
Положим

|f (z )|2 exp(-|z |2 )dxdy < }.

Dom(A) = {f | f (z ) B , |z |f (z ) B }, A : Dom(A) B , Af (z ) = z f (z ).
Легко видетьD что в рассматриваемом случае резольвентное множество оператора A пустоX res(A) = D и спектр оператора совпадает со всей комплексной плоскостьюX (A) = C1 F
3.10 Полугруппы операторов в банаховом пространстве.

Теория полугупп операторов в банаховом пространстве возникла при изучении уравнений вида

du = Lu , t > 0 ; u(+0) = u0 . dt

@QFPSQA

Одна из основных задач теории состоит в ответе на вопросD при каких условиях на оператор L и начальные данные u0 уравнение @QFPSQA имеE ет решение и это решение единственноF ОказываетсяD что ответ на эти вопросы можно дать в терминах некоторых свойств неограниченных опеE раторовD с элементами теории которых мы только что познакомилисьF PRT


Определение 3.10.1.

Функция

T (t) : R1 +

t T (t) L(B B )

называется полугруппой класса C0 D если

1. (t1 R1 , t2 R1 ) : T (t1 )T (t2 ) = T (t1 + t2 ). + + 2. T (0) = id L(B B ). 3. (x B ) функция R1 t T (t)(x) B +
непрерывна на [0 , )F Полугруппой называется функция R1 t T (t) L(B B )D котоE рая удовлетворяет условиям I и PF Термин C0 уточняет условие Q непреE рывности этой функцииF Иногда условие Q формулируется в более слабой формеD которую мы здесь не рассматриваемF

Лемма 3.10.1.

Если

T (t)

-полугруппа класса

C

0 , то она ограничена по

норме на любом фиксированном интервале:

(t > 0) : sup{ T ( ) | t} < C (t) <
(под нормой опрератора пространстве

T (t)
).

здесь и ниже мы понимаем его норму в

L(B B )

ДоказательствоF Из условия Q определения QFIHFI следуетD что для любого x B функция t T (t)x непрерывна на [0 , )D поэтому

(t > 0 , x B ) : sup{ T ( )x | t} = C (x) < .
Отсюда и из теоремы БанахаEШтейнгауза QFQFP @смF стрF ITPA следуетD что sup{ T ( ) | t} C (t) < . Лемма доказанаF Следствием этого утверждения является

Лемма 3.10.2.
константы

T (t) -полугруппа M < , < , что

Если

класа

C

0 , то существуют такие

(t > 0) : T (t) < M exp( t).
PRU

@QFPSRA


ДоказательствоF Пусть

t = n + , 0 < 1.
Тогда

T (t) = T (n)T ( ) T (1)n ћ T ( ) T (1) n ћ T ( ) sup{ T ( ) | 1} exp(t ln T (1) ).
Лемма доказанаF
Замечание

QFIHFI. О свойствах гладкости функции

t T (t)
мы сейчас ничего сказать не можемX из наших рассуждений не следует даже измеримость этой функцииF Пусть T (t) Eполугруппа класса C0 и

Ah (x) =
Положим

1 (T (h)x - x). h

Dom(A) := {x | lim Ah (x)},
h+0

@QFPSSA @QFPSTA

(x Dom(A)) : A(x) = lim Ah (x).
h+0

Определение 3.10.2.

Определенный равенством @QFPSTA оператор наE зывается инфинитезимальным оператором полугруппы T (t)F Если A Eинфинитезимальный оператор полугруппы T (t)D то говорятD что полугруппа T (t) порождена инфинитезимальным оператором AF

Лемма 3.10.3.
и

Если

A

-инфинитезимальный оператор полугруппы

T (t)

x Dom(A),

то функция

(0 , )
дифференцируема и

t T (t)x

dT (t)x = AT (t)x. dt
PRV


ДоказательствоF Справедливо равенство

(T (t + t) - T (t))x = t T ( t) - id T ( t) - id T (t)x = T (t) x t t AT (t)x = T (t)Ax , t 0, (T (t - t) - T (t))x T ( t) - id = T (t - t ) x = T (t)Ax. (- t) t (x Dom(A) , t > 0) :
Лемма доказанаF QFIHFP. Инфинитезимальный оператор есть правая производE ная полугруппы в нулеF В лемме QFIHFQ утверждаетсяD что существует обычная производнаяF
Замечание

Теорема 3.10.1.
T (t)
класса

Если

A

-инфинитезимальный оператор полугруппы

C

0 , то следующие условия эквивалентны:

1. Dom(A) = B , 2. T (t) - id 0 , t +0, 3. (A L(B B )) : T (t) = exp(tA).
ДоказательствоF 1 2F Если предел @QFPSSA существует для любого x B D то в силу теоремы БанахаEШтейнгауза

sup{ (T (h) - id)/h | 0 < h < h0 } = C < ,
поэтому

T (h) - id C h 0 , h 0. 2 3F Пусть > 0 выбрано такD что (t < ) : T (t) - id < 1/2.
Тогда

(T (t)) b(1 , 1/2) C1 ,

и так как функция ln(z ) аналитична в круге b(1 , 1/2)D то определен опеE ратор (0 < t < ) : V (t) = ln T (t). Если 0 < nt < D то

V (nt) = ln T (nt) = ln(T (t)n ) = nV (t).
PRW


Отсюда следуетD что

V (t/n) =
и

1 V (t), n

m m m t< ):V t = V (t). n n n Из непрерывности оператора V (t) как функции t отсюда следуетD что (m , n , (0 < t < ) : V (t) = tA , A L(B B ),

и

T (t) = exp(tA) , 0 < t < .
С помощью полугруппового тождества это равенство распространяется на все t > 0F 3 1F Утверждение тривиальноF Рассмотрим примерыF Пусть B = R1 , (z R1 ) : T (t)z = exp(at)z . Это соотношение задает в пространстве R1 полугруппу класса C0 с инE финитезимальным оператором

Az = az .
Область определения мом случае совпадает ратор ограниченF Пусть B = C ([0 , [0 , 2 ] периодичныхX Положим инфинитезимального оператора в рассматриваеE со всем пространством и инфинитезимальный опеE

2 ]) Eпространство всех непрерывных на отрезке f (0) = f (2 ) , f B функций с обычной нормойF T (t)f () = f ( + t).

Это сотношение задает в пространстве C ([0 , 2 ]) полугруппу класса C с инфинитезимальным оператором

0

Af () =

df () . d

Область определения инфинитезимального оператора Eмножество всех непрерывно дифференцируемых функцийF Это множество плотно в проE странстве C ([0 , 2 ])D но не совпадает с нимD а инфинитезимальный опеE ратор неограниченF PSH


3.10.1

Теорема Хилле-Филлипса-Иосиды.

Следующая теорема является основной в теории полугрупп класса C0 F

Теорема 3.10.2.
лугруппы класса если оператор

Оператор

A

есть инфинитезимальный оператор по-

C

A

0 в банаховом пространстве B тогда и только тогда, удовлетворяет следующим условиям.

1. Область определения оператора

A

плотна в

B

:

Cl(Dom(A)) = B .
2. Оператор кость

A

замкнут.

3. Существуют такие константы

M <,<

, что полуплос-

Re >

принадлежит резольвентному множеству оператора

A

и резольвента

R( , A)

удовлетворяет оценке
n

(n > 0 , > ) : R( , A)

M | - |-n .

@QFPSUA

Доказательство этой теоремы мы получим как следствие нескольких леммF Сначала мы будем доказывать необходимость условий теоремы ХиллеE ФиллипсаEИосиды и ниже мы предполагаемD что T (t) Eполугруппа классE са C0 F На пространстве B определим оператор

Mt x =

1 t

t

T ( )xd .
0

Это определение корректноD так как функция t T (t)x неперерывнаF

Лемма 3.10.4.

Если

T (t)

полугруппа класса
t0

C

0 , то

(x B ) : lim Mt x = x.
ДоказательствоF Фиксируем x B F Из определения полугруппы класE са C0 следуетD что

( > 0) , ( ) > 0 , (t < ( )) : T (t)x - x < .
Поэтому

(t < ( )) : Mt x - x <
Лемма доказанаF

1 t

t

T ( )x - x d < .
0

PSI


Лемма 3.10.5.

Справедливо равенство

Ah Mt = At Mh .
Это утверждение доказывается прямым вычислениемX
t t

htAh Mt x = (T (h) - id)
0 t+h t

T ( )xd =
0 h

(T (h + ) - T ( )) xd =

T ( )xd -
h 0

T ( )xd =
0

T ( ) (T (t) - id) xd = htAt Mh .

Из лемм QFIHFR и QFIHFS следует

Лемма 3.10.6.

Справедливы утверждения:

(t > 0) : Im(Mt ) Dom(A) ; Cl(Dom(A)) = B , (x B ) : AMt x = At x.
ИтакD мы доказалиD что область определения инфинитезимального оператора полугруппы класса C0 плотна в том пространствеD где дейE ствует полугруппаF Теперь докажем лемму

Лемма 3.10.7.
замкнут.

Инфинитезимальный оператор полугруппы класса

C

0

ДоказательствоF Пусть

xn Axn Gr(A) , xn Axn {x0 , y0 }.
Нам нужно доказатьD что

x0 y0 Gr(A).
Из леммы QFIHFQ следуетD что справедливо равенство
t

(t > 0) : T (t)xn - xn =
0

T ( )Axn d .

Переходя в этом равенстве к пределу n D мы получаемX
t

(t > 0) : T (t)x0 - x0 =
0

T ( )y0 d .

Разделив обе части этого равенства на t и переходя к пределу t 0D мы получимX x0 Dom(A) , Ax0 = y0 . Лемма доказанаF PSP


T (t) -полугруппа класса C0 и константы M , удовлетворяют оценке @QFPSRA. Тогда полуплоскость Re > принадлежит резольвентному множеству инфинитезимального оператора A и при Re > резольвента инфинитезимального оператора может
быть вычислена по формуле


Лемма 3.10.8.

Пусть

R( , A)x =
0

exp(-t)T (t)xdt.

@QFPSVA

ДоказательствоF Из оценки @QFPSRA следуетD что интергал в правой части равенства @QFPSVA сходитсяF ДокажемD что оператор в левой части равенства @QFPSVA есть резольвента инфинитезимального оператораF НиE же мы предполагаемD что оператор R( , A) определен как правая часть равенства @QFPSVAF ИмеемX
a

(x Dom(A)) : R( , A)(id - A)x = lim
a

a

exp(-t)T (t)(id - A)xdt =
0

- lim

a

0

d exp(-t)T (t)xdt = x. dt

ДалееX


(x B ) : Ah R( , A)x = Ah
0

exp(-t)T (t)xdt =
h

exp(h) - 1 h


h

1 exp(-t)T (t)xdt - h

exp(-t)T (t)xdt
0


0

exp(-t)T (t)xdt - x , h 0.

СледовательноD

(x B ) : R( , A)x Dom(A) , (id - A)R( , A)x = x.
Лемма доказанаF
са

Лемма 3.10.9.
C

Если

A

-инфинитезимальный оператор полугруппы клас-

0 , то его резольвента удовлетворяет оценке

@QFPSUA.

ДоказательствоF Из тождества Гильберта и леммы QFIHFV следуетD что

R( , A) 1 n!

n+1

x=

(-1)n dn n! dn



exp(-t)T (t)xdt =
0

exp(-t)tn T (t)xdt.
PSQ


Исползуя оценку @QFPSRAD мы получаемX

( > ) : M | - |

R( , A)n+1 x x.

M n!



exp(-t + t)tn dt x =
0

-(n+1)

Лемма доказанаF Мы доказали необходимость условий теоремы ХиллеEФиллипсаEИосидыF Переходим к доказательству достаточности этих условийF Ниже мы будем считатьD что < < F Пусть A EоператорD удовлетворяющий условиям теоремы ХиллеEФиллипсаE Иосиды и R( , A) Eего резольвентаF

Лемма 3.10.10.
Иосиды, то

Если выполнены условия теоремы Хилле-Филлипса-

(x B ) : R( , A)x x , .
ДоказательствоF Справедливо равенство

@QFPSWA

(x Dom(A)) : R( , A)x - x = R( , A)Ax.
Поэтому

(x Dom(A)) : R( , A)x - x M | - |-1 Ax 0 , .

@QFPTHA

Так как множество Dom(A) плотно в B D то из @QFPTHAD оценки @QFPSUA и теоремы БанахаEШтейнгауза QFQFR @смF стрF ITQA следует утверждение леммыF Положим

( > ) : V ()x = -(id - R( , A))x.

Лемма 3.10.11.

Справедливо утверждение

(x Dom(A)) : V ()x - Ax 0 , .

@QFPTIA

ДоказательствоF Это утверждение следует из леммы QFIHFIH и равенE ства V ()x = R( , A)Ax. Положим

( > ) : S ( , t) = exp(tV ()).
PSR


Лемма 3.10.12.

Справедлива оценка:

(t > 0 , > ) : S ( , t) M exp

t -

.

ДоказательствоF При > справедливо равенство

S ( , t) = exp(-t)
0n<

12 t n!

n

R( , A)n .

Так как резольвента удовлетворяет оценке @QFPSUAD то

S ( , t) exp(-t)
0n<

12 t n!

n

R( , A)n

M exp(-t)
0n< 2

12 t n!

n

| - |-n = t - .
@QFPTPA

M exp -t +
Лемма доказанаF

t -

= M exp

Лемма 3.10.13.

Существут предел
def

(x B , t > 0) , T (t) : T (t) = lim S ( , t)x.


@QFPTQA

ДоказательствоF Справедливо равенство

(x Dom(A)) : S ( , t)x - S (ч , t)x =
t 0 t

d S (ч , t - )S ( , )x d = d S (ч , t - )S ( , )(V (ч) - V ())xd

0

const. (V (ч) - V ())x 0 , x Dom(A) , , ч .
@На последнем этапе мы воспользовались леммой QFIHFIIFA Множество Dom(A) плотно в B D а норма оператора S ( , t) ограничеE на равномерно по в силу леммы QFIHFIP D поэтому утверждение леммы следует из теоремы БанахаEШтейнгауза QFQFRF Лемма доказанаF @QFPTQA оператор T (t) есть полугруппа класса C0 с инфинитезимальным оператором A.
Заданный равенством

Лемма 3.10.14.

PSS


ДоказательствоF Справедливы равенства

(x B , t1 R1 , t2 R1 ) : S ( , t1 )S ( , t2 )x = S ( , t1 + t2 )x,
t

(x Dom(A)) : S ( , t)x - x =
0

S ( , )V ()xd .

Переходя в зтих равенствах к пределу D мы получаемX

(x B , t1 R1 , t2 R1 ) : T (t1 )T (t2 )x = T (t1 + t2 )x,
t

(x Dom(A)) : T (t)x - x =
0

T ( )Axd .

@QFPTRA

Отсюда следуетD что заданная формулой @QFPTQA функция t есть полуE группа и (x Dom(A)) : T (t)x - x 0 , t 0. Опять воспользовавшись теоремой БанахаEШтейнгауза QFQFRD мы полуE чаемX (x B ) : T (t)x - x 0 , t 0. СледовательноD T (t) Eполугруппа класса C0 F Пусть A Eинфинитезимальный оператор полугруппы T (t)F Умножим обе части равенства @QFPTRA на exp(-t) и проинтегрируем по t от 0 до F ПолучимX

(x Dom(A)) : R( , A)(id - A)x = x.
В уравнении @QFPTSA сделаем замену x R( , A)xF ПолучимX

@QFPTSA

(x Dom(A)) : R( , A)x = R( , A)x.
Так как Dom(A) плотно в B D то отсюда следуетD что

@QFPTTA

R( , A) = R( , A),
Отсюда в силу леммы QFWFR следуетD что

A = A.
ИтакD мы доказали теорему ХиллеEФиллипсаEИосидыF Переходя к пределу @QFPTPAD мы получаем следующее уточнеE ние теоремы ХиллеEФилипсаEИосидыX

Лемма 3.10.15.

Если M и -константы, которые входят в оценку @QFPSUA, то для порожденной инфинитезимальным оператором A полугруппы T (t) справедлива оценка

T (t) M exp( t).
PST

@QFPTUA


Определение 3.10.3. Лемма 3.10.16.
ряет оценке

Полугруппа T (t) называется сжимающейD если

(t > 0) : T (t) 1.
Полугруппа

T (t)

сжимающая в том и только том

случае, если резольвента ее инфинитезимального оператора удовлетво-

( > 0) : R( , A) 1/.

@QFPTVA

ДоказательствоF Необходимость условия следует из формулы @QFPSVAF Для доказательства достаточности условия @QFPTVA заметимD что при его выполнении R( , A)n R( , A) n Re -n , поэтому в оценке @QFPTUA мы можем положить M = 1 , = 0F ЗаметимD что заменой

T (t) exp(- t)T (t)
можно добиться тогоD что рассматриваемая полугруппа будет сжимаюE щейF

Теорема 3.10.3.
класса

Если

A0

-инфинитезимальный оператор полугруппы

C

0 в банаховом пространстве

B

и

b L(B B )

то оператор

A0 + b

есть инфинитезимальный оператор полугруппы класса

C

0.

ДоказательствоF Пусть T0 (t) Eполугруппа класса C0 D которая порожE дена инфинитезимальным оператором A0 и пусть

T0 (t) M exp( t).
Выберем число > 0 такD чтобы выполнялось неравенство

:= b M exp( ) < 1.
Пусть C ([0 , ] , B ) Eбанахово пространство всех непрерывных функций от t [0 , ] со значениями в B F Фиксируем x B и в пространстве C ([0 , ] , B ) рассмотрим оператор

W : C ([0 , ] , B ) C ([0 , ] , B ),
t

W z (t) = T0 (t)x +
0

T0 (t - )bz ( )d , 0 < t < .
PSU


Этот оператор сжимающийF Пусть z0 (t , x) Eего неподвижная точкаF Для [0 < t < ] определим оператор

U (t) : x z0 (t , x).
Оператор U (t) Eлинейный ограниченный операторX

(t < ) : U (t)x | B (1 - )-1 b M exp( ) x | B ,
причем из определения пространства C ([0 , ] , B ) следуетD что

(x B ) : U (t)x - x | B 0 , t +0.
Пусть t1 + t2 < F Тогда
t1

z0 (t1 + t2 , x) = T0 (t2)(T0 (t1)x +
0 t2

T0 (t1 - )bz0 ( , x)d )+

T0 (t2 - )bz0 (t1 + , x)d .
0

Так как оператор W при каждом x B имеет единственную неподвижE ную точкуD то отсюда следует равенство

z (t1 + t2 , x) = z (t2 , z (t1 , x)),
поэтому

(t1 + t2 < ) , : U (t1)U (t2) = U (t1 + t2).
Пусть Положим

t=n +, 0 < . 2 2

def T (t) = U ( )n U ( ). @QFPTWA 2 Это равенство определяет полугруппу класса C0 с инфинитезимальным оператором A = A0 + bF Теорема доказанаF Рассмотрим примерF В пространстве B = L2 (R1 , dx) на области Dom(A) = {f | f (x) L2 (R1 , dx) , x2 f (x) L2 (R1 , dx)}
определим оператор

Af (x) = -x2 f (x).

Легко видетьD что все условия теоремы ХиллеEФиллипсаEИосиды выполE нены и оператор A порождает сжимающую полугруппу

T (t)f (x) = exp(-x2 t)f (x).
PSV


3.10.2

Абстрактная задача Коши.

Пусть A Eлинейный @не обязательно непрерывныйA оператор с областью определения Dom(A)X

A : B Dom(A) B .

Определение 3.10.4.
R

Функция
1 +

t y (t , y0 ) Dom(A)

@QFPUHA

называется решением абстрактной задачи Коши

dy (t , y0 ) = Ay (t , y0 ) , 0 < t < , y (+0 , y0 ) = y0 , dt если выполнены условияX dy (t , y0 ) B. dt 2. (t > 0) : y (t , y0 ) Dom(A) 3. y (t , y0 ) - y0 0 , t +0 1. (t > 0) :
и равенство @QFPUIAF
тор полугруппы класса

@QFPUIA

Теорема 3.10.4.

Если оператор

@QFPUIA имеет единственное решение:

A есть инфинитезимальный C0 , y0 Dom(A), то абстрактная задача y (t , y0 ) = T (t)y0 ,

операКоши

где

T (t)

-полугруппа, порожденная инфинитезимальным оператором

A.

В доказательстве нуждается только единственность решенияF Пусть z (t) Eрешение абстрактной задачи КошиX

dz (t) = Az (t) , t > 0 , z (+0) = 0. dt
Справедливо равенство

(0 < < t) :
СледовательноD

d T (t - )z ( ) = -AT (t - )z ( ) + AT (t - )z ( ) 0. d

t > 0 : T (0)z (t) = z (t) = T (t)z (0) = 0.
Теорема доказанаF PSW


3.10.3

Некоторые равенства, связанные с теорией полугрупп.

Выведем некоторые полезные и часто используемые равенстваD которые связаны с теорией полугруппF Для удобства вывода нужных нам раE венств мы будем считать все встречающиеся операторы ограниченныE миF В приложенях область применимости этих равенств исследуется в каждом случае отдельноF

Формула Троттера. Лемма 3.10.17. a , b L(B

B ),
n

то справедливо равенство

exp(t(a + b)) = lim (exp(ta/n) ћ exp(tb/n))n .
ДоказательствоF Справедливы равенства

@QFPUPA

(exp(ta/n) ћ exp(tb/n))n = (id + ta/n + O((1/n)2 ))(id + tb/n + O((1/n)2 )) (id + ta/n + tb/n + O((1/n) ))
2 n n

=

exp(t(a + b)) , n .

Формула @QFPUPA называется формулой ТроттераF

Формула Дюамеля. Лемма 3.10.18. Пусть функция
R1 +
непрерывна. Пусть

t a(t) L(B B )
-решение уравнения:

U (t , )

dU (t , ) = a(t)U (t , ) , 0 < < t < , U ( , ) = id. dt
Тогда решение задачи

@QFPUQA

dy (t) = a(t)y (t) + f (t) , y (0) = y dt
дается формулой
t

0

@QFPURA

y (t) = U (t , 0)y0 +
0

U (t , )f ( )d .

@QFPUSA

PTH


ДоказательствоF Дифференцируя правую часть равенства @QFPUSA по t и используя равенство @QFPUQAD мы получаемX

dU (t , 0)y0 d + dt dt a(t)U (t , 0)y0 +

t

U (t , )f ( )d =
0 t

a(t)U (t , )f ( )d + U (t , t)f (t) =
0

a(t)y (t) + f (t).
Лемма доказанаF Формула @QFPUSA называется формулой ДюамеляF Если оператор a(t) не зависит от tX

a(t) a,
то

U (t , ) = exp((t - )a),
и формула Дюамеля принимает вид
t

y (t) = exp(ta)y0 +
0

exp((t - )a)f ( )d .

@QFPUTA

Рассмотрим уравнение

dy (t) = ay (t) + by (t) , y (0) = y0 . dt
где операторы a и b не зависят от tF Полагая

@QFPUUA

f (t) = by (t)
и применяя формулу @QFPUUAD мы получаемX
t

exp(t(a + b))y0 = exp(ta)y0 +
0

exp((t - )a)b exp( (a + b))y0 d .

Заменяя в этом уравнении

bb-a
и используя произвольность y0 D мы получаем формулу
t

exp(tb) - exp(ta) =
0

exp((t - )a)(b - a) exp( b)d .
PTI

@QFPUVA


муле @QFPUVA

Формулы дифференцирования экспоненты.
a = a( ) , b = a( ) +

Положим в форE

da( ) + O(( )2 ) d

и перейдем к пределу 0F Получим

d exp(ta( )) = d
В частностиD если

t

exp((t - )a( ))
0

da( ) exp( a( ))d . d

@QFPUWA

a( ) = a + b,
то

d exp((a + b))| d

1 =0

=
0

exp((1 - )a)b exp( a)d .

@QFPVHA

Формулы @QFPUWAE@QFPVHA иногда называют формулами ФейнманаF Положим в формуле @QFPUWA

a( ) = -t exp( a)h exp(- a),
воспользуемся формулой @QFISHA @смF стрF PHRA и потом положим = 0F Мы получимX
t

[a , exp(-th)] = -
0

exp(-(t - )h)[a , h] exp(- h)d

@QFPVIA

где

[a , b] = ab - ba.
Формула @QFPVIA называется формулой Кубо @правдаD она выписана в непривычных для глаза физика обозначенияхAF Физики назывют форE мулами БейкераEКембеллаEХаусдорфа @или формулами БейкераEХаусдорфаA ряд формулD которые получаются как следствие известной в теории групп Ли формулы КембеллаEХаусдорфа для оператора ln(exp A ћ exp B ). ПоE лучим некоторые из этих формулF Мы будем считатьD что все оператоE ры оганиченыD хотя на практике формулы чаще всего применяются к неограниченным операторамF Положим [A , B ] := AB - B A. PTP

Формулы Бейкера-Кембелла-Хаусдорфа.


Лемма 3.10.19.
то

Если

[A [A , B ]] = 0,

exp(A)B exp(-A) = B + [A , B ], exp(A)(B ) = (B + [A , B ]) exp(A).
ДоказательствоF Положим

f (t) = exp(tA)B exp(-tA).
Диффиренцируя по tD получаемX

df = exp(tA)(AB - B A) exp(-tA) = [A , B ] exp(tA) exp(-tA) = [A , B ]. dt f (t) = B + t[A , B ].
Отсюда следует первая из доказываемых формулD из которой вытекает @смF формулу @QFISHA на стрF PHRAD что

exp(tA)(B ) exp(-tA) = (exp(tA)B exp(-tA)) = (B + t[A , B ]),
что эквивалентно второй формулеF

Лемма 3.10.20.
то

Если

[A , B ] = C , [A , C ] = [B , C ] = 0, 1 exp(A) ћ exp(B ) = exp( C + A + B ). 2 ДоказательствоF Положим f (t) = exp(tA) ћ exp(tB ) ћ exp(-t(A + B )).
Тогда

df = exp(tA)A exp(tB ) ћ exp(-t(A + B )) + exp(tA) ћ exp(tB )B exp(-t(A + B ))- dt exp(tA) ћ exp(tB )(A + B ) exp(-t(A + B )) = exp(tA)(A exp(tB ) - exp(tB )A) exp(-t(A + B )) = tC f (t).
Отсюда следуетD что Лемма доказанаF PTQ

1 f (t) = exp( t2 C ). 2


QFIHFQ. Не существует элементов банаховой алгебрыD которые удовлетворяют равенству ab - ba = id
Замечание

Докажем это утверждение от противногоF Пусть такие элементы суE ществуютF Тогда должны выполняться равенства

a2 b - aba = a , aba - ba2 = a,
поэтому

a2 b - ba2 = 2a,
и по индукции

n : an b - ban = nan-1 ,
следовательно

n : n a

n-1

2 a b a

n-1

, = 0D а отсюда следуетD

что возможно только в том случаеD если a что an-1 = an-2 = . . . = a = 0 = id.
3.11
3.11.1

n-1

Коментарии и литературные указания.
Определение линейнного пространства.

Напомним определение линейного @векторногоA пространстваF Линейное пространство Eэто коммутативная @абелеваA группаD на которой определеE но подчиняющееся ряду аксиом действие поля скаляровF В качестве поля скаляров мы будем рассматривать только два поляX поле действительE ных чисел и поле комплексных чиселF Алгебраические свойства действиE тельных и комплексных чисел мы считаем известнымиD поэтому общего определения поля мы давать не будемF Общеринятый список аксиом лиE нейного пространства мы приводим нижеF Линейное пространство L Eэто множествоD в котором определены опеE рация сложенияD ставящая каждым двум элементам a L , b L в соответствие третий элементD обозначаемый символом a + bD и опрерация умножения на @комплексноеA числоD ставящая каждому числу C1 и элементу a L в соответствие обозначаемый символом a элемент проE странства LF ПредполагаетсяD что операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомамF PTR


IF Сложение ассоциативноX

(a + b) + c = a + (b + c).
PF Существует такой элемент 0 LD что

(a L) : a + 0 = 0 + a = a.
QF Для каждого элемента a L существует такой элемент (-a) LD что

a + ( - a) = 0 .
RF Сложение коммутативноX

(a L , b L) : a + b = b + a.
Операция умножения на число удовлетворяет следующим аксиомамF

5. 6. 7. 8.

( ( ( (

a



C1 C1 C1 L)

, , , :

a 1

,b ћa

C1 C1 =

, a L) : ( a) = ( )a. L) : (a + b) = a + b. , a L) : ( + )a = a + a. a.

Аксиомы IEQ задают в L структуру группыD аксиома R уточняетD что эта группа коммутативна @абелеваAD аксиомы SEU задают в L стуктуру модуля над полемD аксиома V уточняетD что этот модуль EунитарныйF Не все аксиомы IEV независимыX некоторые из них можно вывести из другихD некоторые можно сформулировать в более слабой формеD однако список IEV удобен и является общепринятымF Примеры линейных пространств общеизвестны и мы не будем на них останавливатьсяF
3.11.2 Определение фактор-пространства.

Напомним определение факторEпространства линейного пространстваF Пусть L Eлинейное пространство и L L0 Eлинейное подпространство пространства LF Введем в пространстве L соотношене эквивалентностиD положив a a , если a - a L0 . @QFPVPA Пусть L/L0 Eфактор множество множества L по соотношению эквиваE лентности @QFPVPA и пусть [a] L/L0 Eтот класс эквивалентностиD котоE рый содержит элемент a LF Превратим множество L/L0 в линейное пространствоD положив по определению

[a] + [b] := [a + b].
PTS

@QFPVQA


Корректность этого определения следует из того фактаD что L0 Eлинейное пространство и поэтому правая часть @QFPVQA не зависит от выбора предE ставителей в классах эквивалентностиF Множество классов эквивалентности по соотношению @QFPVPA с опреE деленными соотношением @QFPVQA операциями линейного пространства называется факторEпространством пространства L по подпространству L0 F
3.11.3 Определение прямой суммы пространств.

Пусть I Eпроизвольное множество индексов и пусть каждому I поE ставлено в соответствие линейное пространство L над одним и тем же полем скаляровF Рассмотрим множество функций

I

a( ) L



и превратим это множество в линейное пространствоD положив по опреE делению (a + b)( ) := a( ) + b( ) L . Это линейное пространство называется прямой суммой линейных проE странств L и обозначается символом


I

L .

В качестве примера подобной конструкции можно рассмотреть пространE ство Rd F В этом случае множество индексов I Eэто отрезок натурального ряда {1 d} , L R1 и

Rd =
1 d

R1 .

Другой подход к понятию прямой суммы линейных пространств дает следующая конструкцияF Пусть L Eлинейное пространство и пусть L Lj , 1 j n E линейныйе подпространства пространства LD которые удовлетворяют слеE дующему условиюX каждый элемент a пространства L единственным образом представим в виде

a=
j

aj , a j L j .
PTT


В этом случае говорятD что линейное пространство L разложено в прямую сумму пространств Lj X L= Lj .
j

Изложенные в этой главе факты теории банаховых пространствD по существуD являются простейшим бесконечномерным обобщением изE вестной читателю теории матриц и операторов в конечномерном линейE ном пространстве и есть практически в каждом учебнике функциональE ного анализаF Классическими учебниками являются книги PID PUD IVF Простое изложение начал теории банаховых пространств есть в учебниE ке QQF Краткое и рассчитанное на подготовленного читателя изложение основ теории банаховых пространств есть в QPF Обстоятельное излоE жение основных принципов читатель найдет в RHF Много интересных фактов теории банаховых пространств читатель узнает из книг IWD PHF

PTU


PTV


Глава 4 Гильбертовы пространства.

4.1

Основные определения.

Мы рассматриваем линейные пространства над полем комплексных чиE сел @если явно не оговорено другоеA и если z C1 D то символ z обознаE чает числоD комплексно сопряженное числу z X

(a R1 , b R1 ) : z = a + ib , z = a - ib.
4.1.1 Скалярное произведение и норма.

Скалярное произведение на линейном пространстве L Eэто функция

<,

> : L Ч L C1 ,

которая удовлетворяет следующим аксиомамF IF Скалярное произведение линейно по второму аргументуX

(a L , b L , c L , C1 , C1 ), : < c , a + b >= < c , a > + < c , b > .
PF Скалярное проиизведение кососимметричноX

(a L , b L) : < a , b >=< b , a > .
QF Скалярное произведение не вырожденоX

(a L) : < a , a > 0 , (< a , a >= 0) (a = 0).

Определение 4.1.1.

Линейное пространство вместе с определенным на нем скалярным произведеним называется унитарным пространствомF PTW


Вместо условия линейности скалярного произведения по второму арE гументу часто принимают условие линейности скалярного произведения по первому аргументуF Мы будем следовать сложившейся в математичеE ской физике традицииF В прямой сумме унитарных пространств

H=
j

Hj

скалярное произведение вводится по формуле

(a H , b H ) : < a , b >=
j

< aj , bj >j , aj Hj , bj Hj ,

где < , >j Eскалярное произведение в пространстве Hj F
удовлетворяет неравенству

Теорема 4.1.1.

Скалярное произведение на унитарном пространтсве

(a L , b L) : | < a , b > | < a , a >

1/2

< b , b >1/2 .

@RFIA

ДоказательствоF Достаточно рассмотреть случай

< a , b >= 0.
В неравенстве

(z C1 ) : < z a - z -1 b , z a - z -1 b >= |z |2 < a , a > +|z |-2 < b , b > -2Re (exp(-2i arg(z )) < a , b >) 0
положим

z=

< b, b > < a, a >

1/4

exp(i) , = (1/2) arg(< a , b >)

Получим @RFIAF Неравенство @RFIA в математической литературе на русском языке наE зывют неравенством КошиEБуняковскогоF В математической литературе на английском языке это неравенство называют неравенством Коши или неравенством ШварцаF

Теорема 4.1.2.

На унитарном пространстве функция

L

a < a , a >

1/2

R

1 +

@RFPA

удовлетворяет условиям нормы.

PUH


ДоказательствоF Невырожденность и однородность функции @RFPA очеE видныF Докажем неравенство треугольникаF ИмеемX

! < a + b , a + b >=< a , a > + < b , b > +2Re < a , b > < a , a > + < b , b > +2(< a , a >< b , b >)1 ((< a , a >)
СледовательноD
1/2 /2

=

+ (< b , b >)1/2 )2 .

a+b a + b .
Утверждение доказаноF

Определение 4.1.2.
нем нормой

Унитарное пространство вместе с определенной на

a =< a , a >

1/2

@RFQA

называется предгильбертовым пространствомF Вычислением проверяетсяD что определенная равенством @RFQA норма удовлетворяет равенству параллелогаммаX

(x H , y H ) : x + y

2

+ x-y

2

= 2( x

2

+ y 2 ).

@RFRA

В предгильбертовом пространстве неравенство @RFIA может быть записаE но в виде | < a, b > | a ћ b . @RFSA В действительном евклидовом пространстве это неравенство означаетD что модуль косинуса угла меньше или равен единицеF Скалярное произведение в прямой сумме унитарных пространств поE рождает норму aj 2 = aj 2 .
j j

Из определения нормы в унитарном пространстве и неравенства КошиE Буняковского вытекает очевидная

Лемма 4.1.1.

Справедливо равенство

x = sup{| < y , x > | | y 1}.

@RFTA

Определение 4.1.3.

Гильбертово пространство Eэто предгильбертово пространствоD которое есть банахово пространство @тF еF полное нормиE рованное простанствоA относительно нормы @RFQAF PUI


Пусть L0 Eпредгильбертово пространство и пусть L Eпополнение проE странства L0 как банахова пространстваF Оператор вложения

J : L0 L
линеенD и это позволяет задать скалярное произведение на линейном мноE гообразии J (L0 ) LD положив по определению

(a L0 , b L0 ) : < J (a) , J (b) >:=< a , b > .
По непрерывности это скалярное произведение можно распространить на все пространство L и превратить L в гильбертово пространствоF ПоE лученное гильбертово пространство называется пополнением предгильE бертова пространства L0 F Гильбертово пространство обычно обозначют символом H F Скалярное произведение в гильбертовом пространстве H мы будем обозначать символом < , > F Рассмотрим примерыF
Пример

RFIFI. L2 (D , ч(dx)) Пусть D Rd и L2 (D , ч(dx)) определено как в IFIFIR @смF стрF RRAF Превратим пространство L2 (D , ч(dx)) в гильбертово пространствоD положив по определению

Пространство

.

(f L2 (D , ч(dx)) , g L2 (D , ч(dx))) : < f , g >=
D

f (x)g (x)ч(dx).

@RFUA

Интеграл в @RFUA существует в силу неравенства

|f (x)g (x)| |f (x)|2 + |g (x)|2 .
Полнота пространства L2 (D , ч(dx)) есть следствие теоремы РиссаEФишера IFIFT @смF стрF RQAF
Пример

RFIFP. l2 Элементами пространства l2 являются такие числовые последовательности

Пространство .

a = {aj | aj C1 , 1 j < }
что
1j <

|aj |2 < .
2

Пространство l можно рассматривать как частный случай пространства L2 (D , ч(dx)) при D = R1 D если считатьD что носитель меры ч(dx) есть множество целых чисел ZF PUP


Структура линейного пространства на l2 задается формулой

a + b = {aj + bj }.
Скалярное произведение на пространстве l2 задается формулой

< a , b >=
1j <

a b j . j

Полнота пространства l2 есть следствие теоремы РиссаEФишера IFIFT @смF стрF RQAD так как сумму можно рассматривать как интеграл по мереD носитель которой есть множество целых чиселF
4.1.2 Ортонормированные системы.

Элементы f , g гильбертова пространства H ортоE гональны @обозначениеX f g AD если

Определение 4.1.4.

< f , g >= 0.

Определение 4.1.5.

Система элементов {ej | j I } H гильбертова пространства H называется ортонормированнойD если
i i i < ei , ej >= j , (i = j ) : j = 0 , i : i = 1.

Приведем примеры ортонормированных системF В пространстве l2 ортонормированную систему элементов ej , j = 1 . . . составляют векторыD у которых координата с номером j равна едиE ницеD а все остальные координаты равны нулюX

ej = {0 , 0 . . . 0 , 1 , 0 . . .}.
В пространстве L2 ([0 , 1] , dx) ортонормированную систему элементов соE ставляют векторы e0 (x) = 1 , e2j (x) = 2 cos(2 j x) , e2j +1 (x) = 2 sin(2 j x) , j = 1 . . . Ортонормированная система не обязательно счетнаF

Определение 4.1.6.
элементовD то числа

Если {ej | j I } H Eортонормированная система

< ej , f >
называются коэффициентами Фурье элемента f H по ортонормироE ванной системе {ej }F PUQ


Лемма 4.1.2.

Пусть

{fj | 1 j < } H Ln =
span{f1

-произвольная счетная

система элементов гильбертова пространства

H

и

, . . . fn }.

Тогда существует такая счетная ортонормированная система функций

{ej | 1 j < }

, что

Ln

span{e1

, . . . en }

ДоказательствоF Доказательство проводим индукцией по nF ДостаE точно рассмотреть случайD когда при каждом n система функций {f1 . . . , fn } линейно независимаF Для n = 1 положим

e1 = f1 / f1 .
Если

f
то положим

(n+1)

spn{e1 , . . . en },

e
ОчевидноD что

(n+1)

= ч(f

(n+1)

-
1j n

< ej , f

(n+1)

> ej ).

(j n) : < e(n

+1)

, ej >= 0 ; e(n

+1)

= 0.

Параметр ч выберем из условия

e
ИмеемX

(n+1)

= 1.

f

(n+1)

=

1 e(n ч

+1)

+
1j n

< ej , f

(n+1)

> ej spn{e1 , . . . e(n+1) }.

Лемма доказанаF Прямым вычислением доказывается

Лемма 4.1.3.
j : f -

Если

{ej | 1 j < }
2

-ортонормированная система

элементов, то справедливо равенство

j e
1j n

j

=f

2

-
1j n

| < ej , f > |2 +
1j n

|j - < ej , f > |2 .
@RFVA

PUR


Из этого равенства вытекает

Следствие 4.1.1.

Если

{ej | 1 j < }

-ортонормированная система

элементов, то справедливы неравенства:

j : f -
1j n

< ej , f > ej f -
1j n 2

j e j .

@RFWA @RFIHA

| < ej , f > |2 f
1j <

.

Неравенство @RFIHA называется неравенством БесселяF Из неравенства Бесселя следуетD что для любой ортонормированной системы и любого f H ряд

< ej , f > ej
j

сходится по норме пространства H F

Определение 4.1.7.

Ортонормированная система элементов {ej | I } называется полнойD если не существует отличного от нуля вектораD коE торый ортогонален всем векторам системы {ej | I }X

(ej : < ej , f >= 0) (f = 0).
в том и только том случае, если

Лемма 4.1.4.

Если ортонормированная система счетна, то она полна

(f H ) : f

2

=
1j <

| < ej , f > |2 .

@RFIIA

ДоказательствоF Если элемент f H ортогонален всем элементам системы {ej | 1 j < }D то из условия @RFIIA следуетD что f = 0D поэтому из @RFIIA следует полнота системы {ej | 1 j < }F Для любого f H элемент g=f- < ej , f > ej
1j <

ортогонален всем элементам системы {ej | 1 j < }F Если система {ej | 1 j < } полнаD то g = 0F Умножая равенство g = 0 скалярно на f D получим равенство

0= f

2

-
1j <

| < ej , f > |2 .
PUS


Лемма доказанаF Если ортонормированная система счетнаD то положив в равенстве @RFIIA f f + g и приравняв слагаемые при одинаковых степенях D мы получим

Лемма 4.1.5.

Счетная ортонормированная система

{ej | 1 j < }
@RFIPA

полна в том и только том случае, если

(f H , g H ) : < f , g >=
1j <

< f , ej >< ej , g > .

Определение 4.1.8. Теорема 4.1.3.

Равенство @RFIPA называется равенством ПарсеваляF

Гильбертово пространство H сепарабельноD если в нем существует счетное всюду плотное множествоD тF еF такое множество {fj | 1 j < }D что

H = Cl({fj | 1 j < }).

@RFIQA

Гильбертово пространство сепарабельно в том и толь-

ко том случае, если в нем существует счетная полная ортонормированная система элементов.

ДоказательствоF Пусть гильбертово пространство H сепарабельноD множество {fj | 1 j < } удовлетворяет условию @RFIQA и ортонорE мированная система {ej | 1 j < } удовлетворяет условию

n : spn{fj | 1 j n} spn{ej | 1 j n}.

@RFIRA

Для каждого элемента f H существует такая последовательность fn(j ) , 1 j < D что

f -f
Пусть

n(j )

0 , j .
(n(j ) , i) ei

f

n(j )

=
1in(j )

.

Из неравенства @RFWA следуетD что

(n > n(j )) : f -
1in

< ei , f > ei
2

2

0 , j .

f-
1in(j )

(

n(j ) , i) ei

= f -f

n(j )

2

PUT


СледовательноD удовлетворяющая условию @RFIRA ортонормированная сиE стема полнаF Теперь предположимD что в гильбертовом простанстве H существует счетная полная ортонормированная система элементов {ej | 1 j < }F Рассмотрим множество функций вида

(aj + ibj )ej , aj , bj - рациональны, n = 1 . . .
1j n

Это множество счетно и всюду плотноF СледовательноD гильбертово проE странство H сепарабельноF Теорема доказанаF

Определение 4.1.9.

Оператор

U L(H1 H2 )
называется изометрическимD если

(f H1 , g H1 ) : < U f , U g >2 =< f , g >1 .

Лемма 4.1.6.

Оператор

U

есть изометрический оператор в том и

только том случае, если

(f H1 ) : U f | H2

2

= f | H1 2 .

ДоказательствоF Достаточно в равенстве

U (f + g ) | H2

2

= (f + g ) | H1

2

приравнять слагаемые с линейной и сопряженноEлинейной по частьюF

Определение 4.1.10.
нымD если он обратимX

Изометрический оператор U называется унитарE
-1 -1 -1

U

: UU

=U

U = id.

Замечание RFIFI. Оператор может быть изометрическим и не иметь обE ратногоF Приведем соответствующий классический пример @исползуемое в этом примере понятие гильбертова сопряжения определено нижеAF В пространстве l2 определим оператор

U (a1 , a2 , . . .) = (0 , a1 , a2 , . . .).
PUU


Тогда

(a l2 ) : U a = a , U (a1 , a2 , . . .) = (a2 , . . .), U U (a1 , a2 , . . .) = (a1 , a2 , . . .), U U (a1 , a2 , . . .) = (0 , a2 , . . .), id = U U = U U .
Мы видимD что в этом примере левый обратный элемент не есть праE вый обратный элементF СледовательноD обратного элемента нетF Отсюда следуетD что оператор сдвига не есть унитарный операторF

Теорема 4.1.4.
странство l2 .

Если в гильбертовом пространстве

H

существует счет-

ная полная отртонормированная система элементов

{ej | 1 j < }

,

то существует унитарное отображение этого пространства на про-

ДоказательствоF Отображение U строится по формуле

(f H ) : U f = {< ej , f >| 1 j < }.
Обратное отображение вычисляется по формуле

U

-1

({j }) = f =
1j <

j ej .

Из доказанной теоремы следуетD что все сепарабельные гильбертовы проE странстваD поEсуществуD одинаковыX как гильбертовы пространства они унитарно изоморфны пространству l2 F Пусть H0 , H1 , H2 Eсепарабельные гильбертовы пространстваD Ui E унитарные отображения пространств Hi в H0 D A L(H1 H2 ) , A E операторD который делает коммутативной диаграммуX

U

1

H1 - - H2 - U H0 - - H0 -
A

A

2

ЯсноD что изучение оператора A можно свести к изучению оператора AD поэтому в случае сепарабельных гильбертовых пространств можно ограничиться изучением пространства L(H H )F Приведем пример несепарабельного гильбертова пространства и несчетE ной ортонормированной системыF PUV


Пусть L0 Eлинейное пространство функций вида

f L0 : f (x) =
1j n

aj exp(ij x) , j R1 , - < x < , n = 1 . . .

Определим на L0 скалярное произведение

(f L0 , g L0 ) : < f , g >:= lim

a

1 2a

a

f (x)g (x)dx.
-a

Пусть H Eпополнение L0 относительно нормыD индуцированной этим скаE лярным произведениемF В полученном гильбертовом пространстве систеE ма элементов e (x) = exp(ix) , R1 ортонормирована и несчетнаD а само пространство H несепарабельноF
4.2 Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.

НапомнимD что множество M в линейном пространстве называется выE пуклымD если

(a M , b M , (0 , 1)) : a + (1 - )b M .
Следующая теорема часто называется теоремой ЛевиF
странства существует элемент с наименьшей нормой и этот элемент единственен.

Теорема 4.2.1.

В замкнутом выпуклом множестве гильбертова про-

ДоказательствоF Пусть M Eзамкнутое выпуклое множество в гильE бертовом пространстве H F Множество { x | x M } ограничено снизуD поэтому у этого множества существует точная нижняя грань d и сущеE ствует такая последовательность {xn } M D что
n

lim x

n

= d = inf { x | x M }.

@RFISA

В силу равенства паралеллограма

(m > 0) : 1 2 x
n 2

1 (xn + x 2
(n+m) 2

2 (n+m)

)

+

1 ( xn - x 2

2 (n+m)

)

=
@RFITA

+x

d2 , n .
PUW


Но в силу выпуклости множества M X

1 ( xn + x 2
поэтому

(n+m)

) M,
2

(n , m) :
и из @RFITA следуетD что

1 (xn + x 2

(n+m)

)

d2 ,

sup{ xn - x

(n+m)

| 1 m < } 0 , n .

Мы доказалиD что удовлетворяющая условию @RFISA последовательность фундаментальнаF Пусть последовательность {xn } удовлетворяет услоE вию @RFISAF Так как множество M замкнутоD то

(x0 M ) : xn x0 , x

0

= d.

Пусть x0 Eпроизвольный элементD который удовлетворяет условию

(x0 M ) , x

0

= d.

Тогда должна существовать такая последовательность {xn } M D что

xn x0 , n .
Последовательность

x1 , x 1 , x 2 , x 2 , . . .
удовлетворяет условию @RFISA и поэтому фундаментальнаF СледовательE ноD x0 = x0 F Теорема доказанаF Пусть M Eпроизвольное множество в гильбертовом пространстве H F

Определение 4.2.1.
M

Множество

def

= {x | (y M ) : < y , x >= 0}

@RFIUA

называется ортогональным дополнением множества M F

Лемма 4.2.1.
M


Для любого множества

M

его ортогональное дополнение

есть замкнутое линейное подпространство в

H

и

(Cl(M )) = M



ДоказательствоF Функция

x < y , x >
PVH


непрерывнаD поэтому множество

{x |< y , x >= 0}
замкнуто при любом y H F Множество

M =
y M

{x |< y , x >= 0}

замкнуто как пересечение замкнутых множествF Если x1 M , x2 M D то

(y M ) : < x1 + x2 , y >= < x1 , y > + < x2 , y >= 0,
поэтому

x1 + x2 M .
СледовательноD M Из включения


Eлинейное подпространствоF

M Cl(M )
следует включение

(Cl(M )) M .
Пусть

x M , yn M , yn y0 Cl(M ).
Тогда

< x , y0 >= lim < x , yn >= 0,
n

поэтому

x (Cl(M )) , M (Cl(M )) .
Лемма доказанаF Следующая теорема называется теоремой Леви о проекцииF

Теорема 4.2.2.

Если

H0

-замкнутое линейное подпространство в гиль-

бертовом пространстве

H

, то все пространство есть прямая сумма
H = H0 H0 .

@RFIVA

ДоказательствоF Пусть x H F Множество

M = {x - y | y H0 }
PVI


есть замкнутое выпуклое множествоF Пусть (x - y0 ) Eэлемент с наименьE шей нормой в множестве M F Согласно теореме RFPFI такой элемент суE ществует и он единствененF Так как элемент (x - y0 ) имеет наименьшую норму среди всех элементов множества M D то

(w H0 ) : (w H0 ) :

d x - y0 + z w dz d x - y0 + iz w dz

2 z =0 2 z =0

= 0, = 0.

Вычисляя производныеD мы получаемX

(w H0 ) : < x - y0 , w > + < x - y0 , w > = 0, (w H0 ) : < x - y0 , w > - < x - y0 , w > = 0.
СледовательноD
(x - y0 ) H0 .

Теперь осталось заметитьD что

x = y0 + x - y0 .
Единственность разложения @RFIVA следует из того фактаD что

H0 : H0

H0 = 0.

Теорема доказанаF ЗаметимD что пространство H0 может быть отождествлено с факторE пространством пространства H по пространству H0 F Следующая теорема следует из теоремы Леви и называется теореE мой Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом проE странствеF
нейного непрерывного функционала

Теорема 4.2.3.
y (l ) H
, что

Если

H

-гильбертово пространство, то для любого ли-

lH

существует такой вектор

(x H ) : l(x) =< y (l) , x > .
Удовлетворяющий условию

@RFIWA

@RFIWA вектор y (l) единственен.

ДоказательствоF Единственность представления @RFIWA следует из невыE рожденности скалярного произведенияX если x : l(x) =< y (l) , x >=< y1 (l) , x > , то y (l) = y1 (l). PVP


Докажем существование представления замкнутое линейное подпространство в Если Ker(l) = H D то теорема доказанаX Ker(l) = H D то z : z Ker(l) Так как

@RFIWAF Множество Ker(l) есть гильбертовом пространстве H F можно положить y (l) = 0F Если

, z = 0.

(x H ) : l(l(x)z - l(z )x) = l(x)l(z ) - l(z )l(x) = 0,
то

(x H ) : (l(x)z - l(z )x) Ker(l),
следовательно

(x H ) : < z , l(x)z - l(z )x >= 0,
позтому

< z , z > l(x) = l(z ) < z , x >,
и

x : l(x) =< y (l) , x > , y (l) = l (z ) z
Теорема доказанаF

-2

z.

@RFPHA

Лемма 4.2.2.
антилинейно:

Определяемое формулой

@RFPHA отображение

I : H H, H

l I (l) = y (l) H

I (l1 + l2 ) = I (l1 ) + I (l2 ),
обратимо:

I
и сохраняет норму

-1

(y )(x) =< y , x > .
@RFPIA

I (l) | H = l | H .
Последнее утверждение вытекает из @RFTAF PVQ


Определение 4.2.2.

Функция

B : H Ч H C1
называется полулинейной @или косо линейнойD или полуторалинейнойD или сопряженноEлинейнойD или иногда просто билинейнойD если ясноD о чем идет речьA формойD если

(x H , y H , z H ) : B (x , y + z ) = B (x , y ) + B (x , z ), B (x + y , z ) = B (x , z ) + B (y , z ).

Определение 4.2.3.

Билинейная форма B (x , y ) называется кососимE метричной @или эрмитовойA если

(x H , y H ) : B (x , y ) = B (y , x) .

@RFPPA

Прямым вычислением проверяетсяD что для кососиметричной билиE нейной формы справедливо поляризационное тождествоX

1 B (x , y ) = (B (x + y , x + y ) - B (x - y , x - y )+ 4 iB (x - iy , x - iy ) - iB (x + iy , x + iy )).

@RFPQA

СледовательноD кососимметричная билинейная форма однозначно опреE деляется своими значениями на диагоналиX квадратичной формой B (x , x)F

Лемма 4.2.3.

Если в комплексном гильбертовом пространстве били-

нейная форма на диагонали принимает действительные значения:

(x H ) : B (x , x) R1 ,
то она кососимметрична:

B (x , y ) = B (y , x) .
ДоказательствоF Равенство

I m B (x + y , x + y ) = 0
даетX

I m B (x , y ) = -I m B (y , x).
Сделав в последнем равенстве замену

y iy ,
PVR


мы получаемX

Re B (x , y ) = Re B (y , x).
Лемма доказанаF Следствием теоремы Рисса является теорема ЛаксаEМильграмаEВишика @или теорема ЛаксаEМильграмаD или теорема ЛаксаAX

Теорема 4.2.4.
ству

1. Если билинейная форма

B

удовлетворяет неравен-

(C < ) , (x H , y H ) : |B (x , y )| < C x ћ y ,
то существует такой оператор

@RFPRA

A L(H H )

, что

(x H , y H ) : B (x , y ) =< x , Ay > .
2. Если билинейная форма коэрцитивности:

@RFPSA

B

удовлетворяет условию

@RFPRA и условию @RFPTA

(m > 0) , (x H ) : B (x , x) > m x 2 ,
то входящий в представление ряет неравенству:

@RFPSA оператор A обратим и удовлетво@RFPUA

A-1 1/m.

ДоказательствоF Из условия @RFPRA следуетD что при каждом фиксиE рованном x H линейный функционал

y B (y , x)
непрерывенF Поэтому существует такой вектор A(x) H D что

(y H ) : B (y , x) =< y , A(x) > .
Из линейности формы B по первому аргументу следуетD что оператор A линеен и A(x) sup{|B (y , x)| | y 1} C x . Поэтому оператор A непрерывен и

B (x , y ) =< x , Ay > .
Первое утверждение теоремы доказаноF Из @RFPTA следуетD что Ker(A) = 0. PVS


ДокажемD что из условия коэрцитивности следует равенство

Im(A) = H.
ВоEпервыхD заметимD что из условия коэрцитивности следуетD что биE линейная форма B (x , y ) на диагонали принимает действительные знаE чения и поэтому кососимметричнаF СледовательноD билинейная форма B (x , y ) задает на пространстве H скалярное произведениеD причем инE дуцированная этим скалярным произведением норма эквивалентна исE ходной нормеF Применяя теорему Рисса к гильбертовому пространству H со скалярным произведением B (x , y )D мы получаемD что существует такой оператор A L(H H )D что

(x H , y H ) : < x , y >= B (x , Ay ) =< x , AAy > .
СледовательноD

Im(A) = H.
Так как

Ker(A) = 0 , Im(A) = H,
то из теоремы Банаха о существовании обратного оператора отсюда слеE дуетD что существует оператор A-1 L(H H )F Далее имеемX

|B (A-1 x , A-1 x)| = | < A-1 x , x > | m A-1 x 2 .
Поэтому в силу неравенства КошиEБуняковского

( x = 1) : A-1 x m A-1 x 2 .
Отсюда и вытекает неравенство @RFPUAF Теорема доказанаF ЯсноD что устанавливаемое формулой @RFPSA соответствие между удоE влетворяющими условию @RFPRA билинейными формами и операторами A L(H H ) взаимно однозначноF В дальнейшем нам часто будет удобно задавать операторы их билинейными формами @подобно томуD как в линейной алгебре операторы задаются матрицамиAF Если билинейная форма кососимметричнаD то входящий в представE ление @RFPSA оператор A удовлетворяет тождеству

(x H , y H ) : < x , Ay >=< Ax , y > .
PVT


4.3

Понятие гильбертова сопряжения и ограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.

Пусть i = 1 , 2 , Hi Eгильбертовы пространства со скалярным произвеE дением < , >i , A L(H1 H2 )F

Определение 4.3.1.

Оператор

A L(H2 H1 )
называется гильбертово сопряженным к оператору AD если @RFPVA

(x H1 , y H2 ) : < A y , x >1 =< y , Ax >2 .

Гильбертово сопряженный оператор @обозначениеX A A и ранее веденE ный сопряженный оператор @обозначениеX A A действуют в разных проE странствахX гильбертово сопряженный оператор действует в пространE стве H2 D а сопряженный оператор в пространстве H2 F Гильбертово соE пряженный оператор и сопряженнй оператор связаны равенством
- A = I1 A I2 1 ,

@RFPWA

где

Ii : Hi Hi
Eопределенные ранее операторы вложенияF

H2 )

Лемма 4.3.1.

Операция гильбертова сопряжения в пространстве

L(H1

удовлетворяет равенствам

(A1 + A2 ) = A + A . 1 2 (A ) = A. A = A .

@RFQHA @RFQIA

ДоказательствоF Первое свойство очевидноF Для доказательства втоE рого заметимD что

(x H1 , y H2 ) : < y , Ax >2 =< A y , x >1 = < x , A y > =< (A ) x , y > =< y , (A ) x >2 . 1 2
Равенство @RFQHA доказаноF Из @RFPWA следуетD что


A

A

= A.

Делая в этом неравенстве замену A A D мы получаем равенство @RFQIAF Лемма доказанаF PVU


Определение 4.3.2.
женнымD если

Оператор A L(H H ) называется самосопряE @RFQPA

(x H , y H ) : < x , Ay >=< Ax , y > .

Определение 4.3.3. Определение 4.3.4.
раторыD то если

Ограниченный самосопряженный оператор A наE зывается неотрицательнымD если

(x H ) : < x , Ax > 0.

@RFQQA

Если A и B Eограниченные самосопряженные опеE

A B, A - B 0.
ОчевидноD что если A и B Eнеотрицательные ограниченные самосоE пряженные операторыD то при > 0 операторы A , A+B EнеотрицательныF
Если

ный оператор, то

Лемма 4.3.2.

A

-ограниченный неотрицательный самосопряжен-

(x H , y H ) : | < x , Ay > | < x , Ax >1/2 < y , Ay >
ДоказательствоF Рассмотрим неравенство

1/2

.

@RFQRA

< (z x - z -1 y ) , A(z x - z -1 y ) >= |z |2 < x , Ax > +|z |-2 < y , Ay > -2Re (exp(-2i arg(z )) < x , Ay >) 0.
Если < x , Ax >= 0D то мы должны иметьX

< x , Ay >= 0,
иначе это неравенство станет противоречивым при замене x tx и соE ответствующем выборе параметра tF Если < x , Ax >= 0D то мы можем положить

z=

< y , Ay > < x , Ax >

1/4

exp(i arg(< x , Ay > /2))

и получим нужное неравенствоF Лемма доказанаF Положим

m- = inf {< x , Ax >| x = 1}, m+ = sup{< x , Ax >| x = 1}.
PVV

@RFQSA


Теорема 4.3.1.
(A).

Если оператор

A

самосопряжен, то

(A) [m- , m+ ] , m+

ДоказательствоF Если оператор A самосопряженD то квадратичная форма x < x , Ax > принимает действительные значения и

(x H , R1 ) : (A + i id)x
ДокажемD что отсюда вытекает

2

= Ax

2

+ 2 x

2

2 x 2.

@RFQTA

Лемма 4.3.3.
Замечание

Спектр самосопряженного ограниченного оператора ле-

жит на действительной оси.

RFQFI. Позже мы докажемD что спектр любого самосопряженE ного оператора лежит на деЙсвительной осиF ДоказательствоF Сдвиг

A A + iaid , a R1
переводит любой самосопряженный оператор в самомопряженныйD поE этому достаточно доказатьD что при R1 , = 0 оператор (A + i id) обратимF Пусть = 0 , H0 = Im(A + i id). ДокажемD что множество H0 замкнутоF Пусть

yn H0 , yn y0 , n .
Тогда

yn = (A + i id)xn , y

(n+m)

-y

n

2

2 x

(n+m)

-x

n

2

.

Отсюда вытекаетD что последовательность xn сходитсяX

xn x

0

и

y0 = (A + i id)x0 H0 .

Замкнутость множества H0 доказанаF Теперь докажемD что H0 = H F Пусть H0 = H F Тогда
z : z H0 , z = 1.

PVW


СледовательноD

< z , (A + i id)z >=< z , Az > +i z
поэтому

2

= 0,

I m < z , (A + i id)z > = z
Получили противоречиеF ИтакD мы имеемX

2

= 0.

( = 0) : (A + i id) L(H H ) , Im(A + i id) = H , Ker(A + i id) = 0.
По теореме Банаха о существовании обратного оператора отсюда следуE етD что ( = 0) : (A + i id)-1 L(H H ). Лемма доказанаF Вернемся к доказательству теоремыF Пусть

R1 , > m+ .
Тогда

< x , (id - A)x > ( - m+ ) x 2 ,

поэтому билинейная форма

B (x , y ) =< x , (id - A)y >
коэрцитивна и оператор (id - A) имеет обратныйF Аналогично доказыE ваетсяD что при < m- оператор (id - A) имеет обратныйF Нам осталось доказатьD что m+ (A)F Пусть последовательность {xn } удовлетворяет условию

x
Оператор

n

= 1 , < xn , Axn > m- . B = A - m- id

неотрицателенF Применим неравенство @RFQRA к

x = xn , y = (A - m- id)xn , A = B .
Получим неравенство

(A - m- id)x

n

4

| < xn , (A - m- id)xn > | (A - m- id)
PWH

3

0 , n .


Отсюда вытекаетD что последовательность {xn } есть последовательность Вейля @смF стрF PRHA для оператора A и числа = m- и поэтому m- (A)F Затем мы рассматриваем последовательность

{ xn } : x
и оператор

n

= 1 , < xn , Axn > m+ B = m+ id - A,

а далее рассуждаем аналогичноF Теорема доказанаF Следующая теорема называется теоремой РелеяF

Лемма 4.3.4.
ство

Если оператор

A

самосопряжен, то справедливо равен-

A = sup{| < x , Ax > | | x = 1}.
ДоказательствоF Пусть

@RFQUA

M = sup{| < x , Ax > | | x = 1}.
Из неравенства КошиEБуняковского следуетD что

( x 1) : | < x , Ax > | x ћ Ax A ,
поэтому

M A .
Далее имеемX

|Re < x , Ay >| = M 4 x+y
2

1 (< (x + y ) , A(x + y ) > - < (x - y ) , A(x - y ) >) 4 M + x-y 2 = x 2+ y 2 . 2

Положим в этом неравенстве

x=
ПолучимX

Ay . Ay

( y = 1) : Ay M .
Лемма доказанаF Из леммы RFQFR вытекают два важных следствияF PWI


Следствие 4.3.1.

Если

A

-самосопряженный оператор, то

A2 = A 2 .
Это вытекает из равенства

@RFQVA

A2 = sup{< x , A2 x >| x = 1} = sup{< Ax , Ax >| x = 1} = A 2 .

Следствие 4.3.2.
оператора

Если

r(A)

-спектральный радиус самосопряженного

A,

то

r(A) = A .
ДоказательствоF Из @RFQVA следуетD что

@RFQWA

n : Aq

(n)

=A

q (n)

, q (n) = 2n .

В силу теоремы QFSFIP справедливо равенство

r(A) = lim Aq
n

(n) 1/q (n)

= A.

4.4

Компактные самосопряженные операторы, операторы Гильберта-Шмидта и ядерные операторы.

4.4.1

Компактные самосопряженные операторы.

Эти операторы часто встречаются в классических задачах математичеE ской физикиF Свойства компактных самосопряженных операторов опиE сываются теоремой ГильбертаEШмидтаF

Теорема 4.4.1.
j 0 , j ,

Если

A=0

-самосопряженный компактный оператор в

гильбертовом пространстве,то существует такая не более чем счетная ортонормированная система что

{ej }

и такая последовательность

{j } ,

(f H ) : Af =
1j <

j < ej , f > ej .

@RFRHA

Если ряд

@RFRHA бесконечен, то он сходится по норме. PWP


ДоказательствоF В силу леммы RFQFI хотя бы одно из чисел + A = 0 принадлежит спектру оператора AF Пусть 1 (A) , |1 | = A F Все не равные нулю точки спектра компактного оператора Eизолированные собственные значения @смF теорему QFVFSD стрF PQUAF СледовательноD 1 Eсобственное значение оператора AF Пусть e1 Eсобственная функцияX

Ae1 = 1 e1 .
Рассмотрим оператор

@RFRIA

A1 : A1 f = Af - 1 < e1 , f > e1 .
Оператор A1 самосопряжен и компактенF Либо A1 = 0D либо у оператоE ра A1 есть собстенное значение 2 D которому соответствует собственная функция e2 D причем A1 = |2 |F ИмеемX

Ae2 - 1 < e1 , e2 > e1 = 2 e2 .
Умножив скалярно обе части этого равенства на e1 D мы получимX

< e1 , Ae2 > -1 < e1 , e2 >= < Ae1 , e2 > -1 < e1 , e2 >= 0 = 2 < e1 , e2 > .
СледовательноD либо 2 = 0 , либо < e2 , e1 >= 0 и

Ae2 = 2 e2 .
Далее положим

A2 : A2 f = A1 f - 1 < e1 , f > e1 - 2 < e2 , f > e2
и продолжим этот процессF Тогда либо на некотором шаге мы получимD что Af = j < ej , f > ej ,
1j n

либо получим бесконечную последовательность j D причем в силу теореE мы QFVFS |j | = Aj 0 , j . Теорема доказанаF Приведем пример компактного самосопряженного оператораF PWQ


Пусть D Rd Eограниченная квадрируемая областьD k (x , y ) Eнепрерывная функция от x , y DD которая принимает действительные значения и симметрична по x , y X

(x D , y D) : k (x , y ) = k (y , x).
Оператор

Af (x) =
D 2

k (x , y )f (y )dy

компактен в пространстве L (D) @смF стрF PPTA и самосопряженF Пусть {+ } Eположительные собственные значения компактного саE j мосопряженного оператора AD расположенные в порядке невозрастания модуляX + + . j +1 j Пусть {- } Eотрицательные собственные значения компактного самосоE j пряженного оператора AD расположенные в порядке невозрастания моE дуляX |- +1) | |- |. j (j Пусть L(j
-1)

Eподпространства в H X
j -1)

L(

H , dim(L
j -1) j -1)

(j -1)

) = j - 1,
-1)

(L( - (L(

+

) = sup{< f , Af >| f = 1 , f L (j ) = inf {< f , Af >| f = 1 , f L

},

(j -1)

}.

Следующий результат называется теоремой ЕF Фишера или принципом минимаксаF

Теорема 4.4.2.

1. Если

(A)
то справедливы равенства

[0 , ) = ,

+ = sup{< f , Af >| f = 1}, 1 j > 1 : + = inf { + (L(j -1) ) | L( j
2. Если

j -1)

H }.

@RFRPA @RFRQA

(A)
то справедливы равенства

(- , 0] = ,

- = inf {< f , Af >| f = 1}, 1 j > 1 : - = sup{ - (L(j -1) ) | L j
PWR

(j -1)

H }.

@RFRRA @RFRSA


ДоказательствоF Пусть

Ae+ = + e+ j jj
Eсобственные функцииD соответствующие собственным значениям + F СпраE j ведливо равенство

(f H ) : < f , Af >=
j

+ | < e+ , f > |2 + j j
j

- | < e- , f > |2 . j j

@RFRTA Из @RFRTA следуетD что при вычислении точных граней в @RFRPAE@RFRRA доE статочно рассмотреть случай

f

2

=
+,j

| < e+ , f > |2 . j

@RFRUA

Если справедливо равенство @RFRUAD то

( f = 1) : + - < f , Af >= 1 (+ - + )| < e+ , f > |2 + 1 j j
j j

(+ - - )| < e- , f > |2 0, 1 j j

причем

+ =< e+ , Ae+ > . 1 1 1

Равенство @RFRPA доказаноF Равенство @RFRRAполучается из @RFRPA заменой A -AF Фиксируем произвольно линейно независимые векторы

{hi , 1 i j - 1} H,
пусть

L(

j -1)

= spn{hi , 1 i j - 1}

и определим числа {i , 1 i j } из условий

(k j - 1) :
1ij

i < e+ , hk >= 0 , i
1ij

|i |2 = 1.

Пусть

=
1ij

i e + . i

Тогда

= 1 , (L(j

-1)

) , < , A >=
1ij

+ |i |2 + , i j

PWS


поэтому

+ (L
Но

(j -1)

) < , A > + . j
+ (j -1)

+ (e+ , . . . e 1

) = + , j

что и доказывает @RFRQAF Равенство @RFRSA получается из @RFRQA заменой A -AF Теорема доE казанаF
вания собственные числа самосопряженных операторов

Следствие 4.4.1.

Если

j (A)

и

j (B ) A B,

-занумерованные в порядке убы-

A

и

B

и

то

j : j (A) j (B ).
Формула @RFRHA в некотором смысле задает общий вид компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространствеF

Лемма 4.4.1.

Если

пространстве и

{ej } -ортонормированная система в гильбертовом j 0 , j -последовательность действительных

чисел, то оператор

Af =
j

j < ej , f > ej

компактен.

ДоказательствоF Оператор

An f =
1j n

j < ej , f > ej

компактенF Дале имеемX

Af - An f
поэтому

2

=
j >n

2 j | < ej , f > |2 f

2

2 sup{j | j > n},

A - An sup{|j | | j > n} 0 , n .
СледовательноD оператор A есть предел по норме компактных оператоE ров и поэтому компактенF PWT


4.4.2

Полярное разложение оператора и характеристические числа.

Пусть A L(H H )F Оператор A A L(H H ) самосопряжен и его спектр лежит на неотрицательной действительной осиD где определена функция R1 R1 . + + В силу теоремы RFSFI корректно определен неотрицательный самосопряE женный оператор |A| := (A A)1/2 . @RFRVA Следующая теорема называется теоремой о полярном разложении опеE ратораF

Теорема 4.4.3.

Оператор

A L(H H ) A = U |A|,

представим в ввиде:

@RFRWA

где самосопряженный неотрицательный оператор

|A|

@RFRVA, а оператор U удовлетворяет условиям:

дается формулой

1. Dom(U ) = Cl(Im(|A|)) , Im(U ) = Cl(Im(A)) , Ker(U ) = 0. 2. f Cl(Im(|A|)) : U f 2 = f 2 . 3. U -1 : U -1 L(Cl(Im(A)) Cl(Im(|A|)).
ДоказательствоF Из определения @RFRVA следуетD что

@RFSHA @RFSIA @RFSPA

f H : < |A|f , |A|f >=< f , A Af >= Af
СледовательноD

2

.

f H :

|A|f = Af , Ker(|A|) = Ker(A).

@RFSQA

Оператор U мы оперделимD задав его графикF Положим по определению

Gr(U ) := {|A|f Af | f H }.

@RFSRA

Так как Af = 0 в том и только том случаеD если |A|f = 0D равенство @RFSRA корректно задает график оператораD который удовлетворяет условию

A = U |A|
и в силу @RFSQA на образе оператора |A| удовлетворяет остальным условиE ям теоремыF Так как последовательность {|A|fn } сходится в том и только PWU


том случаеD если сходится последовательность {Afn }D оператор U можно по непрерывности продолжить на замыкание множества Im(|A|)D причем продолженный оператор удовлетворяет условиюX

U (Cl(Im(|A|))) = Cl(Im(A)).

@RFSSA

В силу теоремы Банаха об обратном операторе отсюда следует третье утверждение теоремыF Теорема доказанаF
Замечание

RFRFI. Опрератор U

-1

не определен в пространстве H F Пусть @RFSTA

PA = ортогональный проектор на пространство Cl(Im(A)).
Оператор U виямX
-1

PA определен во всем пространстве и удовлетворяет услоE U
-1

PA A = |A| , U A

-1

P

A

= 1. |A|

Теорема 4.4.4.
оператор.

@RFSUA
-компактный

Если оператор

компактен, то оператор

ДоказательствоF Если оператор A компактенD то оператор A A есть произведение двух компактных операторов и поэтому есть неотрицательE ный компактный самосопряженный операторF Пусть

sj (A)2 : A Aej = sj (A)2 ej , s

(j +1)

(A)2 sj (A)2

@RFSVA

Eсистема собственных значений и собственных функций оператора A AF Из теоремы ГильбертаEШмидта RFRFI @смF стрF PWPAследуетD что

sj (A) 0 , j .
Из определения RFRV следует равенство

|A|f =
j

sj (A) < ej , f > ej .

@RFSWA

Из этого равенства и леммы RFRFI @смF стрF PWTA следуетD что оператор |A| Eкомпактный операторF Теорема доказанаF Расположенные в порядке убывания собственные значения оператора |A| называются характеристическими числами @или sEчисламиA компактного оператора AF Обычно характеристические числа оператора обозначаются симвоE лом sj (A)F Из формул @RFRWAD @RFSWA и теоремы RFRFQ следует PWV

Определение 4.4.1.


стве представим в виде

Теорема 4.4.5.

Компактный оператор

A

в гильбертовом простран-

Af =
j

sj (A) < ej , f > gj ,

@RFTHA

где

{ej }

и

{gj }

-ортонормированные системы.

ДоказательствоF Справедливы равенства

Af = U |A|f =
j

sj (A) < ej , f > U ej ,

@RFTIA

где {ej } Eортонормированная системаF Так как оператор U унитарен на области значений оператора |A|D система gj = U ej EортонормированаF Представление компактного оператора A в виде @RFTHA называется разложением ШмидтаF ЗаметимD что у компактного оператора в гильE бертовом пространстве может не быть ни одного собственного вектораF Пример такого оператора Eоператор
x

Af (x) =
0

f (t)dt

в пространстве L2 ([0 , 1] , dx)F Однако характеристические числа есть у любого компактного оператораF Мы будем считатьD что рассматриваемые гильбертовы пространства сепарабельны и входящие в разложение Шмидта ортонормированные сиE стемы полны @ясноD что при необходимости ортонормированные систеE мы {ej } и {gj } можно произвольно дополнить до полных ортонормироE ванных систем и считатьD что соответствующие дополненным элементам слагаемые входят в разложение с нулевыми коэффициентамиAF Фундаментальное свойство характеристических чисел компактного оператора описывается доказываемой ниже теоремой ДFЭFАллахвердиеваF Перед формулировкой этой теоремы мы напомним некоторые свойство конечномерных операторовF

Определение 4.4.2.
нымD если

Оператор K L(H H ) называется конечномерE

Kf =
1j n

< ej , f > gj

@RFTPA

где {ej } и {gj } Eлинено независимые системы элементов гильбертова проE странстваF PWW


Представление оператора в виде @RFTPA не единственноF Если

f H :
1j n

< ej , f > gj =
1j m

< ej , f > gj ,

@RFTQA

то выбрав в @RFTQA вектор fi такD чтобы выполнялись равенства
i < ej , fi >= j ,

мы получимX

i : gi =
1j m

< ej , fi > gj .

СледовательноD в представлении @RFTQA n mF Аналогично мы получаE ем неравенство m nF СледовательноD для конечномерного оператора число dim(K ) := dim(Im(K )) @RFTRA зависит только от оператора K и не зависит от его представления в виде @RFTQAF Определеное равенством @RFTRA число мы будем называть размерностью оператораF Если оператор K задан формулой @RFTPAD то

Im(K ) = spn{g1 , . . . gn }.
Также очевидно равенство dim(K ) = dim(K ). Пусть

Mj := {K | K L(H H ) , dim(K ) = j }.

@RFTSA

Следующая теорема назывется теоремой ДFЭFАллахвердиеваF

Теорема 4.4.6.

Справедливы равенства
j +1

s1 (A) = A , j 1 : s

(A) =

dist

(A , Mj ).

@RFTTA

ДоказательствоF Из теоремы Фишера @теорема RFRFPD стрF PWRA следуетD что

s

2 (j +1)

(A) =
@RFTUA @RFTVA @RFTWA @RFUHA

inf inf inf inf

{sup{< f , A Af >| f = 1 , f (Im(K )) | K Mj }} = {sup{ Af 2 | f = 1 , f Ker(K )} | K Mj } {sup{ (A - K )f 2 | f = 1} | K Mj } = { (A - K ) 2 | K Mj } = dist(A , Mj )2 .
QHH


Равенство @RFTUA Eэто формулировка утверждения теоремы ФишераF РаE венство @RFTVA Eэто следствие равенства

Ker(K ) = (Im(K ))
которое есть следствие равенства @QFUTA @см стрF IVQAF ВпрочемD выписанE ное выше равенство легко можно проверить непосредственноF Последние два равенства есть формулировка соответствующих определенийF СледовательноD s(j +1) (A) dist(A , Mj ). Пусть @RFTHA Eразложение Шмидта оператора AF Положим

K0 =
1ij

si (A) < ei , f > gi .

ОчевидноD что и

K 0 Mj

(A - K 0 )f
СледовательноD

2

=
ij +1

s2 (A)| < ei , f > |2 s i

(j +1)

(A)2 f

2

.

@RFUIA

A-K
Теорема доказанаF

0

s

(j +1)

(A) и s

(j +1)

(A) dist(A , Mj ).

Теорема 4.4.7.
Если

Характеристические числа компактного оператора

A

удовлетворяют условиям:

B

-компактный оператор, то

1. 2. 3. 4.

|sj (A) - sj (B )| A - B . sj (A ) = sj (A). sj (A) = ||sj (A). B L(H H ) : sj (B A) B sj (A) , sj (AB ) B sj (A).

@RFUPA @RFUQA @RFURA @RFUSA

ДоказательствоF Первое утверждение теормы следует из теоремы ДFЭFАллахвердиева и обобщенного неравенства треугольника @смF форE мулу @PFIIA на стрF IHQA Второе утверждение также следует из теоремы ДFЭFАллахвердиеваD так как j : dist(A , Mj ) = dist(A , Mj ), QHI


что следует из равенства

A - K = A - K .
Третье утверждение очевидноF Для доказательства четвертого утверждения заметимD что

(f H ) : < f , (B A) B Af > B
СледовательноD

2

Af

2

B

2

< f , A Af >

(f H ) : < f , ( B 2 A A - (B A) B A)f > 0,
и поэтому

B 2 A A (B A) B A.

@RFUTA

Из этого неравенства и следствия RFRFI @смF стрF PWTA вытекает неравенE ство B 2 sj (A)2 sj (B A)2 . Далее заметимD что

sj (AB ) = sj (B A ) B sj (A ) = B sj (A).
Теорема доказанаF
4.4.3 Операторы Гильберта-Шмидта.

Пусть H сепарабельное гильбертово пространствоF Оператор A L(H H ) называется оператором ГильбертаEШмидтаD если для какихEнибудь двух полных ортонормироE ванных систем в пространстве H : {ej , 1 j < } , {gj , 1 j < } сходится ряд A | H S 2 := | < ej , Agj > |2 . @RFUUA
1i< 1j <

Определение 4.4.3.

Ниже мы докажемD что определенная равенством @RFUUA функция

A A | HS

@RFUVA

действительно задает некоторую норму и введенное равенством @RFUUA обозначение будет оправданоF Множество всех операторов ГильбертаEШмидта мы одозначим симE волом H S F QHP


ных ортонормированных систем, то он сходится для любых полных ортонормированных систем и его сумма не зависит от выбора этих систем.

Теорема 4.4.8.

Если ряд

@RFUUA сходится для каких-нибудь двух пол-

ДоказательствоF Пусть {ej | 1 j < } Eпроизвольная полная ортоE нормированная система в пространстве H F В силу равенства Парсеваля справедливы равенства

A | HS

2

=
1j < 1i<

| < ei , Agj > |2 | < A ei , gj > |2
1i< 1j <

=
1j <

Ag

j

2

.

@RFUWA @RFVHA @RFVIA

A | HS

2

=
2

=
1i<

A ei 2 .

Agj
1j <

=
1j < 1i<

| < ei , Agj > |2

Из первых двух равенств следует независимость суммы @RFUUA от выбоE ра ортонормированных системD из третьего равенства следуетD что если ряд @RFUUA сходится для какихEнибудь двух полных ортонормированных системD то он сходится для любых полных ортонормированных системF

Теорема 4.4.9.

Если оператор

A
2

есть оператор Гильберта-Шмидта,

то он компактен и справедливо равенство

A | HS
где

=
1j <

sj (A)2 , A.

@RFVPA

sj (A)

-характеристические числа оператора

ДоказательствоF Пусть оператор A есть оператор ГильбертаEШмидтаD {ej , 1 j < } Eполная ортонормированная системаF Определим опеE ратор < ej , f > ej , Pn : Pn f =
1j n

Справедливы оценкиX

(A - Pn A)f

2

=
j >n

| < ej , Af > |2
j >n

A e

j

2

f

2

.

@RFVQA

Из @RFVQA и @RFVHAследуетD что если оператор A есть оператор ГильбертаE ШмидтаD то A - Pn A 0 , n . QHQ


и оператор A компактен как предел по норме компактных конечномерE ных операторовF Для доказательства равенства @RFVPA достаточно в @RFVIA взять ортоE нормированную систему {gj , 1 j < } такD чтобы она включала в себя ортонормированную систему собственных функций оператора |A|F

Теорема 4.4.10.

Множество операторов Гильберта-Шмидта есть ли-

нейное подпространство в подпространстве норму.

L(H H )

и функция

@RFUVA задает на этом

ДоказательствоF Включение

(A H S , z C1 ) : z A H S
и однородность функции @RFUVA очевидныF Пусть A H S , B H S и {ej , 1 j < } Eполная ортонормированE ная система в пространстве H F Тогда
1/2 1/2

(A + B ) | H S =
1j < 1/2

(A + B )e

j

2



( Ae
1j <

j

+ B ej )

2



1/2

Aej
1j <

2

+
1j <

Be

j

2

= A | HS + B | HS .

Мы доказалиD что множество операторов ГильбертаEШмидта есть линейE ное пространство и функция @RFUVA удвлетворяет неравенству треугольE никаF Выполнение остальных аксиом нормы очевидноF Теорема доказанаF

Теорема 4.4.11.
(A (A (A BA | H H H H S S S S

Норма

@RFUVA удовлетворяет следующим условиям.

) : A A | HS ) : A H S и A , B L(H H )) B A | HS ,

. | HS = A | HS : AB H S , B A H S и AB | H S B A | H S .

@RFVRA @RFVSA @RFVTA

ДоказательствоF Из равенства @RFUWA следуетX

Ag

1

A | HS

Так как в качестве вектора g1 может быть взят любой ортонормированE ный векторD то из этого неравенства вытекает @RFVRAF Равенство @RFVSA следует из сравнения равенств @RFUWA и @RFVHAF QHR


Для доказательства неравенств @RFVSA заметимD что если {ej , 1 j < } Eполная ортонормированная система в пространстве H D то

BA | H S
и

2

=
1j <

B Ae

j

2

B

2 1j <

Aej

2

=B

2

A | H S 2,

AB | H S = B A | H S B ћ A | H S .
Теорема доказанаF
странство относительно нормы 2. На пространстве

Теорема 4.4.12.

1. Пространство

HS @RFUVA

есть полное нормированное про.

HS

корректно определена билинейная форма

H S (A , B ) :=
1j <

< Aej , B ej >,

@RFVUA

@RFVUA сходится абсолютно. @RFVUA задает на пространстве H S скалярное произведение, которое порождает норму @RFUVA и относительно скалярного произведения @RFVUA пространство H S есть гильбертово про-

которая не зависит от выбора полной ортонормированной системы

{ej , 1 j < }

и ряд в

3. Билинейная форма

странство.

ДоказательствоF Если последовательность {An } H S фундаменE тальна по норме пространства H S D то в силу неравенства @RFVRA она фунE даментальна в L(H H ) и поэтому

A : A - An 0 , n .
Переходя к пределу n в неравенстве

@RFVVA

An | H S

2

=
1j <

An e

j

2

const.

мы получаемD что определенный равенством @RFVVA оператор A H S F Полнота пространства H S доказанаF Абсолютная сходимость ряда @RFVUA следует из оценки

| < Aej , B ej > | Ae
Равенство

j

2

+ Be

l

2

.

A | HS

2

= H S (A , A)

следует из @RFUWAF Теорема доказанаF QHS


Теорема 4.4.13.
ражение что оператор

Если

A HS

, то существует такое унитарное отоб-

U : H L2 (D , ч(dx)), A
, который делает коммутативной диаграмму

U

H

-- -

A

H

U

@RFVWA

L2 (D , ч(dx)) - - L2 (D , ч(dx)) -
есть интегральный оператор

A

(f H ) : AU f (x) =
D

a(x , y )U f (y )ч(dy )

@RFWHA

с квадратично интегрируемым ядром

|a(x , y )|2 ч(dx)ч(dy ) < ,
DЧD

которое вычисляется по формуле

a(x , y ) :=
1i< , 1j <

< gi , Agj > ei (x)ej (y ),

@RFWIA

причем справедливо равенство

|a(x , y )|2 ч(dx)ч(dy ) = A | H S 2 .
DЧD

@RFWPA

ДоказательствоF Пусть H Eпроизвольное гильбертово пространство и {gj , 1 j < } Eполная ортонормированная система в пространстве H F Пусть D Rd и {ej (x) , 1 j < } Eполная ортнормированная система в пространстве L2 (D , ч(dx))F Мы будем считатьD что функции ej (x) действительныX ej (x) = ej (x) . Определим унитарное отображение

U : H L2 (D , ч(dx)),
равенством

U gj = ej
QHT


Далее вычисляемD двигаясь по верхней и правой стрелке вниз на диаE грамме @RFVWAF ИмеемX

f=
1j <

< gj , f > gj , Af =
1j <

< gj , f > Agj =

< gj , f >< gi , Agj > gi ;
1j < , 1i<

U Af =
1j < , 1i<

< gj , f >< gi , Agj > ei .

Так как

< gj , f >=< ej , U f >,
то

U Af =
1j < , 1i<

< ej , U f >< gi , Agj > ei (x); < ej , U f >< gi , Agj > ei =
1j < , 1i<

AU f =

< gi , Agj >
1j < , 1i< D

ei (x)ej (y )U f (y )ч(dy ) .
@RFWQA

Нам предстоит обосновать перемену порядка интегрирования и суммиE рования в @RFWQAF Мы сделаем это с помощью приемаD который часто окаE зывается полезен в аналогичных случаяхF ЗаметимD что так как A H S D то ряд в @RFWIA сходится в метрике пространства L2 (D Ч D , ч(dx) Ч ч(dy ))D поэтому

( H ) : < AU f , U >=
D ЧD

(a(x , y )U f (y )) U (x)ч(dx) Ч ч(dy )

@RFWRA Воспользовавшись теоремой Фубини IFPFT @смF стрF UHA запишем интеграл в @RFWRA как повторныйX

(a(x , y )U f (y )) U (x)ч(dx) Ч ч(dy ) =
DЧD


D D





(a(x , y )U f (y )ч(dy ) U (x)ч(dx)

QHU


Заданный правой частью равенства @RFWSA функционал

U ( x)
D

(a(x , y )U f (y )ч(dy ) U (x)ч(dx)
D

@RFWSA

линеен и непрерывенF СледовательноD существует такой вектор b(x) L2 (D , ч(dx))D что

( H ) : < b , U >=
D


D

((a(x , y )U f (y )ч(dy ) U (x)ч(dx)

@RFWTA По определениюD интеграл в правой части равенства @RFWHA мы будем счиE тать равным этом вектору b(x) @это есть частный случай так называемого интеграла ПеттисаX интеграл понимается как задаваемый подинтегральE ным выражением линейный непрерывный фукционалAF Равенство @RFWPA следует из равенства ПареваляF Теорема доказанаF
4.4.4 Ядерные операторы.

Компактный оператор A L(H H ) называется ядернымD если сходится ряд из его характеристических чиселX

Определение 4.4.4.

A | N cl :=
1j <

sj (A).

@RFWUA

Позже мы докажемD что правая часть @RFWUA удовлетворяет условиям нормыF Определенная равенством @RFWUA норма называется ядерной @или следовойA нормойF Множество всех ядерных операторов мы обозначим символом xlF

Лемма 4.4.2.
сходится ряд

Оператор

A

ядерный в том и только том случае, если

для какой-либо полной ортонормированной системы

{ej | 1 j < }
@RFWVA

< ej , |A|ej >
1j <

Если ряд

@RFWVA сходится для какой-либо полной ортонормированной си-

стемы, то он сходится для любой полной ортонормированной системы, его сумма не зависит от выбора полной ортонормированной системы, оператор ство

|A|1/2

есть оператор Гильберта-Шмидта и выполнено равен-

A | N cl = |A|1/
QHV

22

@RFWWA


ДоказательствоF Справедливо равенство

< ej , |A|ej >=
1j < 1j <

< |A|1/2 ej , |A|1/2 ej >= |A|1/2 | H S 2 .

Отсюда следует независимость суммы ряда @RFIUUA от выбора полной ортонормированной системыF Для доказательства равенства @RFWWA доE статочно выбрать полную ортонормированную систему такD чтобы она включала в себя систему собственных функций оператора |A|F RFRFP. Мы видимD что из сходимости ряда @RFWVA следуетD что оператор A есть оператор ГильбертаEШмидта и поэтому компактный операторF ОтметимD что N cl H S.
Замечание

Теорема 4.4.14.

Оператор

A

ядерный в том и только том случае, если

он есть произведение двух операторов Гильберта-Шмидта.

ДоказательствоF Пусть оператор A ядерныйF Используя полярное разE ложение оператора A @смF @RFRWAD стрF PWUAD мы получаемX

A = U |A| = U |A|1/2 ћ |A|1/2 ,
где операторы U |A|1/2 и |A|1/2 есть операторы ГильбертаEШмидтаF Пусть A H S , B H S F ДокажемD что AB xlF Пусть {ej , 1 j < } Eполная ортонормированная система в пространстве H F Из формулы @RFSUA следуетD что -1 |AB | = UAB PAB AB , где UAB E изометричный операторD входящий в полярное разложение опеE ратора AB F Поэтому

< ej , |AB |ej >=< ej , U

-1

P

AB

AB ej >=< A (U

-1

P

AB

) ej , B ej > .

Вспоминая определение билинейной формы H S @смF @RFVUAD стрF QHSAD мы видимD что

< ej , |AB |ej >= H S (A (U
1j <

-1

P

AB

) , B ) < .

@RFIHHA

Из неравенства КошиEБуняковского следуетD что

AB |N cl| A|H S ћ B |H S .
Теорема доказанаF QHW


подпространство в ция

Теорема 4.4.15.

Множество ядерных операторов Ncl есть линейное

L(H H )

и определенная равенством

@RFWUA функ-

A A | N cl

удовлетворяет условиям нормы:

(A , B Ncl) : z A | N cl = |z | A | N cl , A + B | N cl A | N cl + B | N cl .
Относительно нормы

@RFWUA пространство ядерных операторов есть

банахово пространство.

ДоказательствоF Однородность определенной правой частью равенE ства @RFWUA функции очевиднаF ДокажемD что

(A xl , B xl) ((A + B ) xl).
Пусть {ej , 1 j < } Eполная ортонормированная система в пространE стве H F Из формулы @RFSUA следуетD что

|A + B | = U(-1 B ) P A+
поэтому

(A+B )

(A + B ),

< ej , |A + B |ej >=< ej , U < ej , U
Далее имеемX
-1 (A+B )

-1 (A+B )

P

(A+B )

(A + B )ej >= P
(A+B )

P

(A+B )

Aej > + < ej , U

-1 (A+B )

B ej > .

@RFIHIA

< ej , U

-1 (A+B )

P

(A+B )

Aej >=< ej , U

< (U(-1 B ) P A+
следовательноD

(A+B )

UA |A|1/2 ) ej ,

-1 (A+B ) P(A+B ) |A|1/2 ej >,

UA |A|1/2 |A|1/2 ej >=

< ej , U
1j <

-1 (A+B )

P

(A+B )

Aej > =

< (U(-1 B ) P A+
1j <

(A+B )

UA |A|1/2 ) ej , |A|1/2 ej > =

H S ((U(-1 B ) P A+ (U |A|
-1 (A+B ) 1/2

(A+B )

UA |A|1/2 ) , |A|1/2 )
/2

P

(A+B ) 2

UA |A|1/2 ) | H S ћ |A|1

| HS

| HS

= A | N cl .
QIH


Аналогично оценивается второе слагаемое в @RFIHIAF Из @RFWWA следуетD что A + B | N cl A | N cl + B | N cl . Полнота пространства ядерных операторов относительно ядерной норE мы доказывается дословным повторением доказательства полноты проE странства операторов ГильбертаEШмидтаF Теорема доказанаF

Теорема 4.4.16.

На пространстве ядерных операторов корректно опре-

делен функционал

(A N cl) : tr(A) :=
1j <

< ej , Aej >

@RFIHPA

Правая часть системы

@RFIHPA не зависит от выбора полной ортонормированной {ej , 1 j < } и оперделенный равенством @RFIHPA функцио@RFIHQA @RFIHRA

нал удовлетворяет условиям:

1 (A , B H S ) : tr(AB ) = tr(B A). 2. |tr(A)| A | N cl .

ДоказательствоF Используя полярное разложение оператора AD мы получаемX

< ej , Aej >=
1j < 1j <

< ej , U |A|ej >=

< (U |A|1/2 ) ej , |A|1/2 ej >= H S ((U |A|1/2 ) , |A|1/2 ).
1j <

Отсюда следует абсолютная сходимость ряда @RFIHPA и независимость его суммы от выбора ортонормированной системыF Далее имеемX

tr(AB ) =
1j <

< ej , AB ej >=
1j <

< A ej , B ej >=

< ej , Aei >< ei , B ej > .
1j < , 1i<

Выписанное равенство доказывает равенство @RFIHQAF Для доказательства неравенства @RFIHRA выберем полную ортонормиE рованную систему такD чтобы она включала в себя систему собственных QII


функций оператора |A|F Тогда получимX

< ej , Aej > =
1j < 1j <

< ej , U |A|ej >

sj (A)| < ej , U ej > | A | H S .
1j <

Теорема доказанаF Определенный равенством @RFIHPA функционал называется следом оператораF
4.5 Спектральное разложение ограниченных самосопряженных операторов.

Наша цель состоит в доказательстве теоремы RFSFPF Эта теоремаD воE первыхD описывает общий вид самосопряженного оператора в гильберE товом пространстве и является обобщением ранее доказанной теоремы ГильбертаEШмидта RFRFIF ВоEвторыхD она позволяет для любой заданной на спектре оператора A борелевской функции f определить оператор f (A)F Поясним содержание теоремы RFSFP на примереF Пусть A компактный самосопряженный операторF Тогда

( H , n Z+ ) : An =

j

n < ej , > ej , j

где {j } = (A) Eспектр оператора A , ej Eего собственные функцииF СлеE довательноD для любого полинома справедливо равенство

( H ) : p(A) =

j

p(j ) < ej , > ej ,

Откуда следуетD что

( H ) : p(A)
Поэтому

2

=
j

|p(j )|2 | < ej , > |2 .

p(A) = sup{|p()| | (A)}.

@RFIHSA

Мы видимD что алгебра всех полиномов от оператора AD рассматриваеE мая как подалгебра алгебры L(H H )D алгебраически и топологически QIP


изоморфна алгебре полиномов на спектре оператора AF Теорема @RFSFPA утверждаетD что это справедливо и в более общей ситуацииF Приводимое ниже доказательство теоремы @RFSFPA принадлежит ЭберE лейну и основано на следующей элементарной леммеF

Лемма 4.5.1.
Тогда

Пусть

A

-самосопряженный оператор:

A = A

. Пусть

p() = a0 n + a1 n-1 + . . . + an , aj R1 . p(A) sup{|p()| | || A }.
ДоказательствоF Фиксируем вектор x H , x = 1F Пусть @RFIHTA

Hx = span{x , Ax , . . . , An x}.
По построению размерность пространства Hx конечнаX

dimHx n + 1
Мы будем рассматривать пространство Hx как подпространство проE странства H F ЯсноD что H = Hx Hx . Пусть P Eоператор ортогонального проектирования на пространство Hx X

P 2 = P , (x H ) : P x Hx , (x Hx ) : x = P x.
По определению оператора проектированияD справедливы равенстваX

(x Hx ) (x (Ax Hx ) ( (A2 x Hx ) ... (An x Hx )
СледовательноD

= P x), Ax = P Ax = P AP x) (A2 x = P A2 x = P AAx = P AP P AP x = (P AP )2 x) (An x = (P aP )n x). p(A)x = p(P AP )x.

Оператор P AP действует в конечномерном гильбертовом пространстве Hx D и согласно @RFIHSA

| < x , p(A)x > | = | < x , p(P AP )x > | p(P AP ) sup{|p()| | (P AP )} sup{|p()| | || A | H }.
QIQ

@RFIHUA


Правая часть неравенства @RFIHUA не зависит от xD следовательноD

sup{| < x , p(A)x > | | | x 1} = p(A) sup{|p()| | || A | H }.
Лемма доказанаF ЗаметимD что доказательство этой леммы опирается только на свойE ства эрмитовых операторов в конечномерном унитарном пространствеF RFSFI. Из доказываемой ниже теоремы @RFSFPA следуетD что для произвольного самомопряженного оператора A справедливо равенство @RFIHSAF
Замечание

В дальнйешем мы будем опираться только на неравенство @RFIHTAD поэтому читатель может сразу перейти к следствию RFSFI на стрF QIUF Ниже мы докажем несколько утвержденийD которые по смыслу близE ки лемме RFSFI и которые полезно знатьF

Лемма 4.5.2.

Если

A

-ограниченный самосопряженный оператор и

p()

-полином с действительными коэффициентами, то

p(A) = sup{|p()| | (p(A))} = sup{|p()| | (A)}.

@RFIHVA

ДоказательствоF Если коэффициенты полинома p() действительныD то оператор p(A) самосопряженD поэтому в силу следствия RFQFP @смF стрF PWPA справедливо равенство

p(A) = sup{|| | (p(A))} = sup{|| | p( (A))} = sup{|p()| | (A)}.
Лемма доказанаF ЗаметимD что при доказательстве этой леммы мы существенно исE пользовали теорему об отображении спектра и свойства спектрального радиусаF Если читатель усвоил эти понятияD то в последующих рассужE дениях он может использовать лемму @RFSFPA вместо леммы @RFSFIA и тогда можно последующие расуждения сделать более точнымиX во всех оценE ках отрезки [- A , A ] можно заменить на компакт (A)F Ниже дается доказательство леммыD которая полезна и в многих друE гих приложенияхF

Лемма 4.5.3.

Если

A

и

B

-ограниченные коммутирующие:

AB = B A
неотрицательные самосопряженные операторы, то оператор сопряжен и неотрицателен.

AB

само-

QIR


ДоказательствоF Самосопряженность оператора AB вытекает из раE венства (AB ) = B A = B A = AB . Докажем неотрицательность оператора AB F Не ограничивая общностиD в дальнешем мы будем считатьD что

0 A id.
Построим последовательность операторов

A0 = A , A
ОчевидноD что

(n+1)

= An - A2 . n

n : An B = B An .
ДокажемD что

n : 0 An id.
Доказываем по индукцииF Если

@RFIHWA

0 An id,
то так как

A2 (id - An ) 0 , An (id - An )2 0, n

< f , A2 (id - An )f >=< An f , (id - An )An f > 0, n < f , An (id - An )2 f >=< (id - An )f , An (id - An )f > 0.
Вычисление показываетD что

A
СледовательноD

(n+1)

= A2 (id - An ) + An (id - An )2 . n A(n+1) 0.

Если

id - An 0,
то

id - A(n

+1)

= id - An + A2 0. n

Неравенство @RFIHWA доказаноF Так как A2 = An - A( n QIS

n+1)

,


то
0mn

A2 = A - A( m

n+1)

A.

@RFIIHA

СледовательноD

f : < f , A2 f > 0 , n . n

Из этого утверждения и поляризационного тождества следуетD что

(f H , g H ) : < f , An g > 0 , n .
Но тогда из @RFIIHA следуетD что

n : < f , AB f >=
0mn

< f , A2 B f > + < f , A( m
(n+1)

n+1)

B f >=

< Am f , B Am f > + < f , A
0mn

B f >

< Am f , B Am f > 0, n .
0m<

Лемма доказанаF Из этой леммы лего следует утверждениеF Пусть A Eограниченный самосопряженный операторF Положим

a = inf {< f , Af >| f = 1} , b = sup{< f , Af >| f = 1}.

@RFIIIA

Лемма 4.5.4.
то

Если

p()

-такой многочлен с действительными коэф-

фициентами, что

( [a , b]) : p() 0, p(A) 0.
ДоказательствоF Справедливо равенство

p() =
j,k,l,s

2 ( - j )(k - )( - l )2 (( - s )2 + s ),

где

j a , k b , l [a , b] , s R1 , s R1 .
Отсюда следуетD что

p(A) =
j,k,l,s

2 (A - j id)(k id - A)(A - l id)2 ((A - s id)2 + s id). @RFIIPA

QIT


Каждый сомножитель в @RFIIPA Eнеотрицательный операторF В силу лемE мы RFSFQ их произведение есть неотрицательный операторF Лемма докаE занаF Теперь докажем утверждениеD которое уточняет лемму @RFSFIAF

Лемма 4.5.5.

Справедливо неравенство

p(A) sup{|p()| | [a , b]}.

@RFIIQA

ДоказательствоF Пусть

c = sup{|p()| | [a , b]}.
Справедливо неравенство

( [a , b]) : c + p() 0.
В силу леммы RFSFR отсюда следует неравенство

( H ) : < , (c + p(A)) > 0,
которое эквивалентно неравенству @RFSFSAF На полиномах p() с действительными коэффициентами определим отображение OpbA : p() OpbA (p()) = p(A). @RFIIRA Из леммы RFSFI вытекает

C ([- A , A ]) поледовательности полиномов в фундаменL(H H ) последовательности операторов и поэтому расширяется до непрерывного отображения пространства C ([- A , A ]) в пространство L(H H ): если f C ([- A , A ]) и в метрике пространства C ([- A , A ]):
тальные в метрике

Следствие 4.5.1.
метрике

Отображение

Opb

A переводит фундаментальные в

f () = lim pn (),
n

то

OpbA (f ) = lim OpbA (pn ()).
n

def

@RFIISA

Фиксируем вектор H и на пространстве C ([- A , A ]) рассмотE рим линейный функционалX

C ([- A , A ])

f () I0 ( | f ) = < , OpbA (f ) > .
QIU

def

@RFIITA


удовлетворяет условиям элементарного интеграла в схеме Даниэля и неравенствам:

Лемма 4.5.6.

Отображение

@RFIITA на пространстве C ([- A , A ])

( H , f C ([- A , A ])) : |I0 ( | f )| 2 sup{|f ()| | [- A , A ]}, (( [- A , A ]) : f () 0) (< , f (A) > 0).
ли

@RFIIUA @RFIIVA

ДоказательствоF Линейность функционала @RFIITA по f очевиднаF ЕсE

( [- A , A ]) : fn () 0 , fn ()
то в силу теоремы Дини

0 , n ,

sup{fn () | [- A , A ]} 0 , n ,
поэтому в силу оценки @RFIIUA

I0 ( | fn ) 0 , n .
Докажем неотрицательность функционала @RFIITAF Если функция f непрерывна и неотрицательнаD то функция

(f ())1/2
непрерывна и неотрицательнаF Поэтому существует такая последовательE ность полиномов Qn ()D что

Qn ()
СледовательноD

(f ()1/2 , Q2 () n

(f () , n .

< , f (A) >= lim < , Qn (A)2 >=
n

< Qn (A) , Qn (A) > 0.
Рассмотрим пространство C ([- A , A ]) как пространство элеменE тарных функций при построении интеграла ДаниэляF Функционал f I ( | f ) Eэто построенное по схеме Даниэля расширение элементарного интеграла I0 ( | f ) и ч( | dx) Eмера на отрезке [- A , A ]D которая порождена интегралом I ( | f )X

Определение 4.5.1.

(m B ([- A , A ])) : ч( | m) := I ( | I(m | ћ)).
QIV


Из теоремы IFPFP @смF стрF SSA следуетD что любое борелевское подмноE жество отрезка [- A , A ] при любом H измеримо относительно меры ч( | dx) и пространство интегрируемых по мере ч( | dx) функций содержит множество B or([- A , A ]) всех ограниченных измеримых по Борелю функций на отрезке [- A , A ]F Можно доказатьD что множество [- A , A ] \ (A) есть множество меры нуль относительно меры ч( | dx)F Множество B or([- A , A ]) есть алгебра относительно операций поточечного сложения и умножения функцийF С помощью интеграла f I ( | f ) мы построим зависящий от оператора A гомоморфизм

OpbA : B or([- A , A ]) L(H H )

@RFIIWA

алгебры B or([- A , A ]) в некоторую коммутативную подалгебру алE гебры L(H H )F Гомоморфизм OpbA мы будем строить такF ФиксируE ем функцию f B or([- A , A ])D которая принимает действительные значенияF Используя поляризационное тождествоD на простанстве H поE строим билинейную форму

B ( , | f ) :=

1 4

ik [I (ik + | f ).
0k3

@RFIPHA

Из оценки @RFIIUA следуетD что для любой действительной ограниченной функции f B or([a , b]) билинейная форма @RFIPHA удовлетворяет нераE венству |B ( , | f )| sup{|f ()| | [a , b]}. @RFIPIA Из этого неравенства и теоремы ЛаксаEМильграмаEВишика @смF стрF PVSA следуетD что билинейная форма @RFIPHA задается линейным непрерывным операторомF Расширим область определения отображения OpbA F

Определение 4.5.2.

Отображение OpbA каждой действительной функE ции f B or([- A , A ]) ставит в соответствие оператор OpbA (f ) = f (A)D который удовлетворяет равенству

B ( , | f ) =< , f (A) >,

@RFIPPA

где билинейная форма B ( , | f ) определена равенством @RFIPHAF На комплексные функции отображение OpbA распространяется по лиE нейностиF QIW


виям.

Теорема 4.5.1.

Отображение

Opb

A удовлетворяет следующим усло-

1. Отображение

Opb

A линейно:

OpbA : B or([- A , A ])
2. Отображение операторов:

(f + g ) (f (A) + g (A)) L(H H ).

Opb

A произведение функций переводит в композицию

OpbA : B or([- A , A ])
3.Отображение

f (x) ћ g (x) f (A)g (A)) L(H H ).

Opb

A переводит функцию, тождественно равную еди-

нице, в единичный оператор:

OpbA : 1 id.
4. Отображение

Opb

A действительные функции переводит в самосо-

пряженные операторы, неотрицательные действительные функции переводит в неотрицательные операторы и удовлетворяет условию

OpbA ( ) = OpbA () ,
где

@RFIPQA



-функция, комплексно сопряженная функции

, OpbA ()

-оператор,

гильбертово сопряженный оператору 5. Если функция ведлива оценка

OpbA ().

f

принимает действительные значения, то спра-

f (A) sup{|f ()| | [- A , A ]}.
6. Если

@RFIPRA

(x [- A , A ]) : fn (x) 0 , n : |fn (x)| const.,
то

( , H ) : < , fn (A) > 0 , n .
ДоказательствоF Утверждения теоремы очевидны для полиномовD а для остальных функций получаются предельным переходомF Отображение OpbA иногда называется борелевским операторным исE числениемF Особую роль в этом исчислении играет рассматриваемый как функция параметра операторD являющися образом при отображении OpbA характеристической функции отрезка [- A , ] , [- A , A ]F QPH


НапомнимD что харктеристическая функция отрезка [- A , ] задается равенством 1 , - A x < A , I([- A , ] | x) = 0 , < x A , @RFIPSA 1,= A . По сображениям технического порядка @так как мы используем лемму RFSFIвместо точной оценки @RFIHSAA мы определим спектральную фунцию такF

Определение 4.5.3.

Спектральная функция E ( , A) ограниченного @aid A bidA самосопряженного оператора A Eэто образ функции x I([- A , ] | x)) при отображении OpbA X

E ( , A) = OpbA (I([- A , ] | ћ))
Можно показать @это будет следовать из дальнешегоADчто можно быо бы определить спектральную функцию как образ функции x I([- A , ] (A) | x)) Таким образомD

( H ) : < , E ( , A) >=
[- A x A

I(- A , ]) | x)ч( | dx),
@RFIPTA

где мера ч( | dx) задана согласно определению RFSFIF

Обычно спектральная функция доопределяется на всю числовую ось равенствами

E ( , A) = 0 , < a = inf {< f , Af >| f = 1}, E ( , A) = id , b = sup{< f , Af >| f f = 1}.

@RFIPUA

Теорема 4.5.2.
тор:

Каждому самосопряженному оператору

A L(H

H ) согласно определению 4.5.3 соответствует спектральная функция E ( , A), которая обладает следующими свойствами. 1. Для любого R1 оператор E ( , A) -самосопряженный проек( R1 ) : E ( , A)2 = E ( , A).
2. Операторная функция

@RFIPVA

E ( , A)

неубывает:

(2 1 ) (E (2 , A) E (1 , A))
QPI


и в каждой точке смысле, что



функция

E ( , A)

непрерывна справа в том

( H , R1 ) : lim (E ( + , A) - E ( , A)) = 0.
+0

3. Справедливо равенство

(1 R1 , 2 R1 ) : E (1 , A)E (2 , A) = E (min(1 , 2 ) , A).
4. Если

@RFIPWA

(1 , 2 ]
то

(3 , 4 ] =

(E (2 , A) - E (1 , A)) ћ (E (4 , A) - E (3 , A)) = 0.
5. Если функция равенство
b

f

непрерывна справа на отрезке

[a , b],

то справедливо

( H ) : < , f (A) >=
a

f ()d < , E ( , A) >,

@RFIQHA

где для непрерывной функции

f

интеграл можно понимать как инте-

грал Римана-Стильтьеса по неубывающей функции

< , E ( , A) > .
В общем случае интеграл в Стильтьеса. 6. Если

@RFIQHA понимается как интеграл Лебега-

< , E ( - 0 , A) >=< , E ( + 0 , A) >,
то справедливо равенство

@RFIQIA

< , E ( , A) >= 1 lim +0 2 i


< , (R( - i , A) - R( + i , A)) > d.
-

@RFIQPA

ДоказательствоF Утверждение I следует из тогоD что характеристиE ческая функция удовлетворяет равенству

(x [a , b]) : I([a , ]) | x)2 = I([a , ]) | x)
и того фактаD что отображение OpbA есть алгебраический гомоморфизмF QPP


Докажем утверждение PF Так как

( [a , b] ,
то

n

0) : [a , ] =
n

[a , +

n

],

( , [a , b]) : I([a , + 0] | ) = I([a , ] | ).
В силу теоремы RFSFI отсюда следуетD что

( , H ) : < , E ( + 0 , A) >=< , E ( , A) > .
Но

( H ) : (E ( , A) - E ( + , A)) 2 = < , (E ( , A) - E ( + , A)) > 0 , 0.
Утверждение Q следует из тогоD что характеристическая функция удоE влетворяет равенству

I([a , 1 ]) | x) ћ I([a , 2 ]) | x) = I([a , min(1 , 2 )]) | x).
Утверждение R следует из утверждения QF Утверждение S следует из теоремы IFPFQ @смF стрF SSAF Докажем утверждение TF Справедливо равенство

1 2 i 1 2 i



< , (R( - i , A) - R( + i , A)) > d =
-

( - i - x)
axb -

-1

- ( + i - x)- 2

1

d ч( | dx) =
@RFIQQA

1
axb

arctg

( - x)

+

ч( | dx)

Если выполнено условие @RFIQIAD то ч( | dx)Eмера точки x = равна нулюD поэтому

ч( | dx) пFвF : lim

+0

1

arctg

( - x)

+

2

= I([a , ]) | x).

Переходя на основе теоремы Лебега к пределу в @RFIQQAD мы получаем равенство @RFIQPAF QPQ


Теорема доказанаF ЗаметимD что из утверждения T следуетD что спектральная функция E ( , A) однозначно определяется оператором A и что резольвентное множество есть множество меры ноль относительно меры ч( | dx)F Функция < , E ( , A)g > может принимать комплексные значения и при принятом нами опредеE лении интеграла РиманаEСтильтьеса мы не можем взять ее как интегриE рующую функциюF Мы примем следующее

Определение 4.5.4.

Положим
def

f ()d < , E ( , A) > = B ( , | f ),

@RFIQRA

где стоящая в правой части билинейная форма задана равенством @RFIPHAF Если = D то интеграл @RFIQRA можно понимать как интеграл ЛебегаE СтильтьесаF Непосредственно из определения @смF определение RFSFP на стрF QIWA следуют равенства

f ()d < , E ( , A) >= d < f (A) , E ( , A) >= d < , E ( , A)f (A) >,

d < , E ( , A) >=< , > .
При фиксированны f и функционал



f ()d < , E ( , A) >

сопряженноEлинеен и непрерывенD поэтому на основе теоремы Рисса

(g H ) , ( H ) : < , g >=

f ()d < , E ( , A) > .

@RFIQSA

Если выполнено равенство @RFIQSAD то мы положим по определению

f ()d E ( , A) = g , f ()d E ( , A) :
QPR

def

@RFIQTA

f ()d E ( , A) .

@RFIQUA


Рассмотрим примерыF IF Пусть A Eкомпактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H F Из @RFRHA следуетD что

E ( , A) =
j

< ej , > ej .

@RFIQVA

Если пространство H есть L2 (D , dx)D то спектральная фукция есть инE тегральный оператор с ядром

(x , y , ) =
j

ej (x)ej (y ).

PF Пусть оператор A Eоператор умножения на независимую переменную x в гильбертовом пространстве L2 ([0 , 1] , dx)X

A(x) = x(x).
Тогда полином от оператора A Eэто оператор умножения на полином от независимой переменной xD и спектральная функция оператора A Eэто оператор умножения на характеристическую функцию отрезка [a , ]X

E ( , A)(x) = I([a , ]) | x)(x).
QF Следующий пример называется моделью Фридерихса и часто исползуE ется при рассмотрении задач квантовой механикиF Мы рассмотрим этот пример в упрощенной формулировке и выделим его в отдельный параE графF

оператор

Модель Фридерихса.
1 0

В пространстве L2 ([0 , 1] , dx) рассмотрим

B : B (x) = x(x) + ч

(x)(x)dx (x) , C0 ([0 , 1]). @RFIQWA

Обратим внимание на тоD что мы предполагаем функцию (x) действиE тельнойD гладкой и равной нулю в окрестности точек x = 0 , x = 1F Воспользуемся изложенной в лемме QFIHFQ @смF стрF PRVA конструкциE ейF В нашем случае

a = A , A(x) = x(x) , b = B , (b - a)(x) = ч < , > (x).
Сначала будем предполагатьD что I m = 0F Так как операторы A и B самосопряженыD то в рассматриваемом случае res(A) res(B ) QPS


и оператор T ( , A , B ) определенF Так как в рассматриваемом случае область значений оператора (b - a) одномерна и натянута на вектор (x)D область значений оператора T ( , A , B ) также будет натянута на вектор (x)F СледовательноD

T ( , A , B )(x) = c( , )(x).

@RFIRHA

Подставив это выражение в уравнение @QFIIRAD мы получим уравнение для определения c( , )X

c( , ) = ч < , > +ч < , R( , A) > c( , ).
Положим
1

@RFIRIA

g () :=< , R( , A) >=
0

( - x)-1 (x)2 dx , I m = 0.

@RFIRPA

Если выполнены наши предположения о функции (x)D то функция g () аналитична в области [0 , 1]D стремится к нулю при и при (0 , 1) существует предел

g ( - i0) - g ( + i0) = 2 i()2 .
В дальнейшем мы будем предполагатьD что

|1 - чg ( + i0)| > 0 . R1

@RFIRQA

ОчевидноD что это неравенство будет выполнено и в некоторой окрестE ности действительной осиF Если выполнено условие @RFIRQAD то

c( , ) =

ч < , > , 1 - чg ()

@RFIRRA

и левая часть @RFIRRA аналитична в окрестности интервала (0 , 1)F Из @RFIRHA следуетD что в нашем случае оперделенный в лемме QFIHFQ оператор Q вычисляется по формуле

Q( , A , B )(x) =
1

(x) + ч(1 - чg ())

-1 0

( - x)-1 (x)(x)dx (x) , [0 , 1].
@RFIRSA

Из равенства @QFIIQA @смF IWQ A следуетD что

R( , B ) = R( , A)Q( , A , B ).
QPT

@RFIRTA


Так как правая часть равенства @RFIRTA аналитична при [0 , 1]D то спектр оператора B лежит на отрезке [0 , 1] X (B ) [0 , 1]F ЗаметимD что если C0 ([0 , 1])D то существуют пределы Q( + i0 , A , B , ) , (0 , 1)F Справедливо равенство

< 2i 2i 2i

, < < <

(R( - , R( R ( + i R ( + i

i - , ,

, B ) - R( + i i , B )R( + i B ) , R( + i A)Q( + i , A

, B )) >= , B ) >= , B ) >= , B ) , R( + i , A)Q( + i , A , B ) > .

Поэтому
( C0 ([0 , 1]) , (0 , 1)) : < , E ( , B ) >=

lim lim

+0

1 2 i



< , (R( - i , B ) - R( + i , B )) > d =
-

< R( + i , A)Q( + i , A , B ), - R( + i , A)Q( + i , A , B ) > d =
+0 1

lim


+0



((x - )2 +
- 0

2 -1

) |Q( + i , A , B )(x)|2 dx d =
@RFIRUA @RFIRVA

|Z+ ()( )|2 d,
0

где

Z+ ()( ) = Q( + i0 , A , B )( ).

Таким образомD в рассматриваемой нами модели спектральная функция задается квадратичной формой
( , C0 ([0 , 1])) : < , E ( , B ) >= 0

Z+ ()( ) Z+ ( )( )d,
@RFIRWA

Вычисляя правую часть @RFIRVAD мы получаемX
( C0 ([0 , 1])) : Z+ ()() = 1

() + ч(1 - чg ( + i0))-

1 0

( + i0 - x)-1 (x)(x)dx (). @RFISHA

Из @RFIRWA следует равенство
1 ( C0 ([0 , 1])) : 0 1

|(x)|2 dx =
0

|Z+ ()()|2 d.

@RFISIA

QPU


СледовательноD первоначально определенное на C0 ([0 , 1]) преобразоваE ние Z+ : (x) Z+ ()() @RFISPA

расширяется до унитарного преобразования пространства L2 ([0 , 1]) в сеE бяF Это преобразование диагонализует оператор B D а обратное преобраE зование дается формулой
- Z+ 1 : (x) = Z+ ()|=x + 1

ч
0

(1 - чg ( - i0))-1 ( - i0 - x)-1 ()Z+ ()()d (x).

@RFISQA

Эта формула получается такF В правой части равенства
1 1

(x) (x)dx =
0 0

Z ( )() Z ()()d

@RFISRA

в формуле для Z ( )() интегрирование функции (x) по dx ставим поE следним и приравниваем множитель перед (x) в левой и правой части равенства @RFISRAF Приведем вывод формулы для R( , B )D который не использует форE мализм T EматрицыF Из второго резольвентного уравнения имемX

( L2 ([0 , 1])) : R( , B (B - A)R( , B ) = ч < < , R( , B ) > - < , < , R( , B ) >= (1 - ч

) - R( , A) = R( , A)(B - A)R( , B ) , , R ( , B ) > , R( , A) >= ч < , R( , B ) >< , R( , A) >, < , R( , A) >)-1 < , R( , A) >, @RFISSA

R( , B ) = R( , A) + (1 - ч < , R( , A) >)-1 < , R( , A) > .
Формула @RFISSA при = называется фомулой КрейнаEАроншайнаF К модели Фридерихса сводятся многие задачи квантовой механикиF В качестве примера рассмотрим простейший случай модели сильной связиF В этой модели гильбертово пространство состояний есть пространство последовательностей

l2 {f (j )} :
-
|f (j )|2 < .

Операторы A и B задаются формулами
0 Af (j ) = 2f (j ) - f (j + 1) - f (j - 1) , V f (j ) = чj f (0) , B = A + V .

QPV


Преобразование

U : l2 L2 ([0 , 1]) , U (f )(x) =
j

f (j ) exp(2 ij )

унитарно и образ оператора A при этом преобразовании есть оператор умножения на функциюX

U (Af )(x) = 2(1 - cos(2 x))U (f )(x),
а образ оператора V есть интегральный оператор с вырожденным ядромX
1

U (V f )(x) = ч
0

U (f )(x)dx.

ЯсноD что заменой переменной x задача о вычислении спектральной функE ции оператора B сводится к предыдущей задачеF
4.6 Спектральное разложение унитарных операторов.

Очевидна

Лемма 4.6.1.

Оператор

U L(H H )

-унитарный оператор, если

U U = U U = id.
Пример унитарного оператора в пространстве L2 ([0 , 1]) E оператор умножения на функцию exp(i (x))D где (x) Eдействительная измеримая функцияF Ниже мы увидимD что в некотором смысле все унитарные опеE раторы похожи на этот операторF Основной результат этого параграфа Eтеорема RFTFPF Доказательству теоремы мы предпошлем несколько леммF Обратим внимание на тоD что наши построения во многом аналогичны предыдущимF Ниже символом C ([0 , 2 ]) мы будем обозначать множество всех непреE рывных на отрезке [0 , 2 ] периодических функцийX

(f C ([0 , 2 ])) : f (0) = f (2 ).
Пусть A Eмножество функций вида

f (exp(i)) A : f (exp(i)) = (k exp(ik ) + k exp(-ik )) , k , k C1 .
0km

QPW


Множество функций A есть подалгебра алгебры C ([0 , 2 ]) относительно операций поточечного сложения и умножения функцийF ЗаметимD что алгебра A замкнута относительно операции комплексного сорпряженияX

(f A) (f A).
Алгебра A содержит подалгебру {Pm } тригонометрических полиномовX

Pm (exp(i)) = a0 /2 +

(ak cos(k ) + bk sin(k )) , ak , bk R1 .
1km

Следующая лемма называется леммой ФейераF

Лемма 4.6.2.

Если тригонометрический полином неотрицателен:

( [0 , 2 ]) : Pm (exp(i)) 0,
то он представим в виде

@RFISTA

Pm (exp(i)) = Q(exp(i)) ћ Q(exp(i)) , Q A.

@RFISUA

ДоказательствоF Пусть функция F (z ) , z C1 определена из условияX

F (z ) = Pm (exp(i)) , z = exp(i) , 0 2 .
Функция F (z ) пердставима в виде

(0 < |z | < ) : F (z ) = z
где p
2m

-m

p

2m

(z ),

(z ) Eалгебраический полином степени 2mF Функция F (z ) = F ((1/z ) )


аналитична в области 0 < |z | < F Так как тригонометрический полином принимает действительные знаE чения на единичном кругеD то справедливо равенство

( [0 , 2 )) : F (exp(i) = F (exp(i)).
Отсюда следуетD что

@RFISVA

F (z ) F (z ).
СледовательноD если точка

z=a
QQH

j


есть ноль полинома p

2m

(z )D то точка z = (1/aj )

также ноль полинома p2m (z )F Если неравенство в @RFISRA строгоеD то отE сюда следует что нули полинома p2m (z ) не лежат на окружности |z | = 1 и

F (z ) = z

-m

c
1j m

((z - aj )(z - (1/aj ) )) = c

((z - aj )(z
1j m

-1

- a )) j
@RFISWA

ЯсноD что константа c дожна быть неотрицательнойF Представление @RFISWA доказывает лемму в случае строго неравенства в @RFISRAF Общий случай получается очевидным предельным переходомF Фиксируем унитарный оператор U F По унитарному оператору U поE строим отображение OpU : A L(H H ) согласно формуле

O pU (
0km

(k exp(ik ) + k exp(-ik ))) =

(
0km

(k U k + k U

-k

)).

@RFITHA

Лемма 4.6.3.
гебру

Отображение

Op

U есть гомоморфизм алгебры

A

в ал-

L(H H )

, который удовлетворяет условию:

OpU (f ) = OpU (f ) ,
где

@RFITIA

f



-функция, комплексно сопряженная функции

f , OpU (f )

-оператор,

гильбертово сопряженный оператору

OpU (f ).

ДоказательствоF Утверждение о томD что отображение OpU есть гоE моморфизм означаетD что

OpU (f1 + f2 ) = OpU (f1 ) + OpU (f2 ), OpU (f1 ћ f2 ) = OpU (f1 ) ћ OpU (f2 )
и проверяется прямым вычислениемF Формула @RFITIA есть следствие раE венства U -1 = U . QQI


Лемма 4.6.4.
2. Если

1. Если

P

m -тригонометричекий полином, то

OpU (Pm )

-самосопряженный оператор.

P

m -неотрицательный тригонометрический полином:

: Pm (exp(i) 0,
то

OpU (Pm )

-неотрицательный оператор:

( H ) : < , OpU (Pm ) > 0.

@RFITPA

3. Для любого тригонометрического полинома справедлива оценка

| < , OpU (Pm ) > sup{|Pm (exp(i))| | [0 , 2 ]} 2 .

@RFITQA

ДоказательствоF Если Pm Eтригонометрический полиномD то по опреE делению он принимает действительные значения и первое утверждение леммы следует из @RFITIAF Если тригонометрический полином Pm неотE рицателенD то в силу леммы Фейера справедливо представление

Pm (exp(i)) = Q(exp(i)) ћ Q(exp(i)) , Q A,
и используя равенство @RFITIA мы получаемX

< , OpU (Pm ) >=< , OpU (Q Q) >= < , OpU (Q )OpU (Q) >=< , OpU (Q) OpU (Q) >= < OpU (Q) , OpU (Q) > 0.
Третье утверждение леммы есть очевидное следствие второгоF Лемма доказанаF Для каждого H на алгебре тригонометриE ческих полиномов {Pm } линейный функционал I0 ( | ћ) определяется равенством

Определение 4.6.1. Лемма 4.6.5.
I0 ( | ћ) I0 ( | ћ)

I0 ( | ћ) : Pm (exp(i)) I0 ( | Pm ) =< , OpU (Pm ) > .
Определенный формулой по непрерывности продолжается на пространство

@RFITRA

@RFITRA линейный функционал C ([0 , 2 ])

и продолжение (мы обозначаем его тем же символом) функционала удовлетворяет оценкам:

1.(f () C ([0 , 2 ]) , f () 0) (I0 ( | f ) 0). 2. (f () C ([0 , 2 ])) : |I0 (| | f )| sup{|f ()| | [0 , 2 ]} 2 .
QQP

@RFITSA @RFITTA


ДоказательствоF Если f C ([0 , 2 ])D то по теореме Вейрштрасса существует такая последовательность тригонометрических многочленов {Pm(n) }D что

Определение 4.6.2.

n

lim sup{|f () - P

m(n)

(exp(i))| | [0 , 2 } = 0.

@RFITUA

На пространстве C ([0 , 2 ]) функционал I0 ( | ћ) определяется равенством

I0 ( | f ) := lim < , Op(P
n

m(n)

) >,

@RFITVA

если последовательность P

m(n)

удовлетворяет условию @RFITUAF

В силу оценки @RFITQA это определение корректно и определенный равенством @RFITVA функционал I0 ( | ћ) есть продолжение по непрерывE ности функционала @RFITRAF Если

( [0 , 2 ]) : f () 0,
то мы можем выбрать последовательность многочленов в @RFITUA такD что будет выполнено неравенство

(n > 0 , [0 , 2 ]) : P

m(n)

(exp(i)) 0,

а отсюда следует неравенство @RFITSAF Второе утверждение леммы есть очевидное следствие первогоF Лемма доказанаF Наши дальнейшие расуждения полностью совпадают с темиD которые были проведены для случая самосопряженных операторовF Рассмотрим пространство C ([0 , 2 ]) как пространство элементарных функций при построении интеграла ДаниэляD а функционал I0 ( | ћ) как элементарный интегралF

Определение 4.6.3.

Пусть I ( | ћ) Eрасширение по Даниэлю элементарE ного интеграла I0 ( | ћ)D а ч( | d) Eмера на отрезке [0 , 2 ]D порожденная интегралом I ( | ћ)F Пространство интегрируемых по мере ч( | d) функций содержит алгебру B or([0 , 2 ]) всех ограниченных измеримых по Борелю функций на отрезке [0 , 2 ]F Фиксируем действительную функцию f B or([0 , 2 ]) и пусть B ( , | f ) Eбилинейная формаD которая в силу поляризационE ного тождества соответствует квадратичной форме I ( | f )F Ниже мы построим отображение

OpU : B or([0 , 2 ]) L(H H ),
которое служит продолжением отображения @RFITHAF QQQ

@RFITWA


Определение 4.6.4.

Если f B or([0 , 2 ])D то оператор OpU (f ) Eэто операторD который определяется билинейной формой B ( , | f )X

( H , H ) : < , OpU (f ) > = B ( , | f ).

def

@RFIUHA

На комплекснозначные функции f B or([0 , 2 ]) определение RFTFR распространяется по линейностиF Очевидна
в алгебру

Теорема 4.6.1.
где

1. Отображение

Op

U есть гомоморфизм алгебры

B or([0 , 2 ])
@RFIUIA

L(H H )

, который удовлетворяет условию:

OpU (f ) = OpU (f ) , f


-функция, комплексно сопряженная функции

f , Op(f )

-оператор,

гильбертово сопряженный оператору 2. Отображение

Op(f ).

Op

U переводит неотрицательные функции в неот-

рицательные операторы.

Определение 4.6.5.

Пусть Eun ( , U ) Eобраз характеристической функE ции отрезка [0 , ] при отображении OpU X

Eun ( , U ) = OpU (I([0 , ] | ћ)),
что эквивалентно равенству
2

@RFIUPA

H : < , Eun ( , U ) >=
0

I([0 , ] | x)ч( | dx).

@RFIUQA

Теорема 4.6.2.
ектор:

Справедлива
Каждому унитарному оператору

гласно определению 4.6.4 соответствует функция обладает следующими свойствами. 1. Для любого

U L(H H ) соEun ( , U ), которая

[0 , 2 ]

оператор

Eun ( , U )

-самосопряженный про-

( [0 , 2 ]) : Eun ( , U )2 = Eun ( , U ).
2. Операторная функция

@RFIURA

Eun ( , U )

монотонно неубывает:

(2 1 ) (E (U , 2 ) E (U , ))
и в каждой точке



непрерывна справа в том смысле, что

( H , [0 2 )) : < , Eun ( + 0 , U ) >=< , Eun ( , U ) > , Eun (2 , U ) = id.
QQR


3. Справедливо равенство

(1 , 2 [0 , 2 ]) : Eun ( , U )Eun ( , U ) = Eun (min(1 , 2 ) , U ). @RFIUSA
4. Если

(1 , 2 ]
то

(3 , 4 ] =

(Eun (2 , U ) - Eun (1 , U )) ћ (Eun (4 , U ) - Eun (3 , U )) = 0.
5. Если

f (exp(i)) C ([0 , 2 ]),

то справедливо равенство
2

( H ) : < , f (U ) >=
0

f (exp(i))d < , Eun ( , U ) >,
@RFIUTA

где интеграл понимается как интеграл Лебега-Стильтьеса по мере

ч( | d).
Доказательство теоремы RFTFP дословно повторяет доказательство теоE ремы RFSFPF
4.7 Гильбертово сопряжение неограниченных операторов.

Мы будем рассматривать только такие линейные операторыD которые имеют плотную в H область определенияF Пусть Dom(A) плотное в гильE бертовом пространстве H линейное многообразиеX

Cl(Dom(A)) = H,
и пусть

@RFIUUA

A : Dom(A) H
Eлинейное отображение многообразия Dom(A) в гильбертово пространE ство H F Типичный примерX пусть H = L2 (R1 , dx) , P (x) Eполином с действиE тельными коэффициентами и

(f C0 (R1 ) H ) : Af (x) = P (x)f (x).

Определение 4.7.1.

Элемент y Dom(A )D если заданный на плотном в H линейном многообразии Dom(A) линейный функционал

Dom(A)

x < y , Ax >
QQS

@RFIUVA


продолжается по непрерывности на все пространство H D и в этом случае мы полагаем A y = z , где z Eтот элементD который по теореме Рисса @смF PVPA задает функциоE нал @RFIUVAX

(x Dom(A)) : < z , x >=< A y , x >=< y , Ax > .

@RFIUWA

Описанный этим определением оператор A называется операторомD гильбертово сопряженным оператору AF Если оператор A ограниченD то это определение совпадает с ранее данным определением гильбертово сопряженного оператораF Если оператор ограниченD то область определения сопряженного опеE ратора есть все пространствоF Если оператор неограниченD то может случиться такD что область определения сопряженного оператора соE стоит лишь из нуляF Приведем соответствующий примерF Пусть H = L2 (R1 , dx) , {en (x)} Eполная ортонормированная система в L2 (R1 , dx),
Dom(A) = C0 (R1 ) , (f Dom(A)) : Af (x) = 1n<

f (n)en (x).
@RFIVHA

Функционал
C0 (R1 )

f < g , Af >=
1n<

f (n) < g , en >

продолжается до линейного непрерывного функционала на L2 (R1 , dx) только в том случаеD если

n : < g , en >= 0.
Отсюда следуетD что Dom(A ) = 0F ОтмтимD что оператор @RFIVHA есть пример оператораD не имеющеE го замыканияX замыкание графика оператора @RFIVHA есть пространство L2 (R1 , dx) L2 (R1 , dx)D которое не есть график оператораF Можно дать эквивалентное определение гильбертово сопряженного оператораF В прямой сумме гильбертовых пространств H H определим операE тор V : H H H H , V (f g ) = (-g ) f . @RFIVIA Оператор V унитарен и удовлетворяет равенству

V 2 = -id.
QQT


Теорема 4.7.1.

Справедливо равенство

Gr(A ) = (V Gr(A)) .
ДоказательствоF Мы имеемX

@RFIVPA

Gr(A) = {x Ax | x Dom(A)}, V (Gr(A)) = {(-Ax) x | x Dom(A)}, (V (Gr(A))) = {y z | (y , Ax) = (z , x) , x Dom(A)}, (V (Gr(A))) (0 H ) = {0 z | (z , x) = 0 , x Dom(A)}
@RFIVQA @RFIVRA

Так как множество Dom(A) плотно в H D то из @RFIVRA следуетD что

(V (Gr(A)))

(0 H ) = 0,

поэтому множество (V (Gr(A))) есть график оператораD из @RFIVQA слеE дуетD что это график оператора A F Равенство @RFIVPA может служить определением гильбертово сопряE женного оператораF Так как ортогональное дополнение к любому мноE жеству замкнутоD то из теоремы RFUFI вытекает
Если оператор

Следствие 4.7.1.
A

Гильбертово сопряженный оператор

A

замкнут.

замкнут, то справедливо равенство

H = V (Gr(A)) Gr(A ).

@RFIVSA

Из теоремы о замкнутом графике и замкнутости оператора A слеE дует теорема ХеллингераEТеплицаF

Теорема 4.7.2.
H

Если оператор

A

определен во всем пространстве:

и самосоряжен:

A = A

, то оператор

A

ограничен:

Dom(A) = A L(H H ).

НапомнимD что замкнутый оператор Eэто такой операторD график коE торого замкнутF Из замкнутости оператора не следует ни замкнутость его области определенияD ни замкнутость его области значенийF НапомE нимD что замыкание оператора A существует только в том случаеD если

(Cl(Gr(A)))

(0 H ) = 0. A
существует, то

Лемма 4.7.1.

Если замыкание оператора

(Cl(A)) = A .
QQU


ДоказательствоF Справедливы равенства

Gr(Cl(A)) ) = (V (Gr(Cl(A)))) = (V (Cl(Gr(A)))) = (Cl(V ((Gr(A)))) = (V (Gr(A))) = Gr(A ).
Лемма доказанаF

Определение 4.7.2.
что означаетX

Оператор B есть расширение оператора A @или оператор A есть часть оператора B AD если

Gr(A) Gr(B ),

@RFIVTA

Dom(A) Dom(B ) , (x Dom(A)) : Ax = B x.
Соотношение @RFIVTA записывается такX

A B.

Лемма 4.7.2.
то

Если

Cl(Dom(A )) = H, A (A ) .

ДоказательствоF В силу условия леммы оператор (A ) существуетF ИмеемX

(x Dom(A) , y Dom(A )) : < x , A y >=< A y , x > =< y , Ax > =< Ax , y >=< (A ) x , y > .
СледовательноD Лемма доказанаF

(x Dom(A)) : Ax = (A ) x.

Определение 4.7.3.
что означаетX

Оператор A симметриченD если

A A ,

@RFIVUA

(x , y Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y > .
QQV


Определение 4.7.4.

Оператор A самосопряженD если

A = A .

@RFIVVA

НапомнимD что оператор U L(H1 H2 ) называется унитарнымD если он обратим и

(x H1 , y H1 ) : < U x , U y >2 =< x , y >1 .

Определение 4.7.5.

Оператор

A2 : H2 Dom(A2 )
унитарно эквивалентен оператору A1 X

x A2 x H2

A1 : H1 Dom(A1 )
если

x A1 x H1

Dom(A2 ) = U (Dom(A1 )) , (x Dom(A2 )) : A2 x = U A1 U
где U L(H1 H2 ) Eунитарный операторF

-1

x,

Лемма 4.7.3.

Если оператор

но эквивалентен оператору

A1 самосопряжен A1 , то оператор A2

и оператор

A2

унитар-

самосопряжен.

ДоказательствоF ИмеемX

(x Dom(A2 ) , y Dom(A2 )) : < x , A2 y >2 =< x , U A1 U < U -1 x , A1 U -1 y >1 =< A1 U -1 x , U -1 y >1 =< A2 x , y >2 .

-1

y >2 =

Это равенство доказываетD что оператор A2 симметричен на своей облаE сти определенияF Из этой же выкладки и самосопряженности оператора A1 следуетD что функционал

y < x , A2 y >
продолжается до непрерывного функционала в том и только том случаеD если U -1 x Dom(A1 ), тFеF

x U (Dom(A1 )) = Dom(A2 ),
а это и означаетD что оператор A2 самосопряженF QQW


Лемма 4.7.4.
то

Если

A B, B A .

ДоказательствоF Пусть

x Dom(B ) , y Dom(A).
Тогда СледовательноD Лемма доказанаF

< x , Ay >=< x , B y >=< B x , y > . x Dom(A ) , B x = A x.

Лемма 4.7.5.
то

Если

A = A , A B , B B , A = B.
ДоказательствоF ИмеемX

A B , поэтому B A = A B .
СледовательноD

B = B = A.

Лемма доказанаF Из этой леммы следуетD что если оператор A самосопряженD то любое его симметричное расширение совпадает с нимD тFеF среди симметричных операторов самосопряженный оператор есть симметричный оператор с максимальной областью определенияF НапомнимD что линейный оператор A-1 определен в том и только в том случаеD если Ker(A) = 0D и в этом случае по определению оператор A-1 есть оператор с графиком

Gr(A-1 ) = {Ax x | x Dom(A)}.

Лемма 4.7.6.
то

Если

Ker(A) = 0 , Cl(Im(A)) = H, (A-1 ) = (A )-1 .
QRH


ДоказательствоF Из первого условия леммы следуетD что оператор A-1 существуетD из второго условия леммы следуетD что оператор (A-1 ) суE ществуетF Далее имеемX

Gr(A-1 ) = {Ax x | x Dom(A)}, V (Gr(A-1 )) = {(-x) Ax | x Dom(A)}, V (Gr(A-1 )) = {y z | - < y , x > + < z , Ax >= 0 , x Dom(A)}, V (Gr(A-1 )) = {A z z | z Dom(A )}.
Сравнивая поседнее равенство с @RFIVPA мы получаемX

Gr((A )-1 ) = Gr((A-1 ) )).
Лемма доказанаF

Лемма 4.7.7.
то

Если

A = A , Ker(A) = 0, Cl(Im(A)) = H.

ДоказательствоF Пусть

y Cl(Im(A)).
Тогда

(x Dom(A)) : < y , Ax >= 0.
СледовательноD

y Dom(A ) , A y = Ay = 0 , y Ker(A).
Из второго условия леммы следуетD что

y = 0.
Лемма доказанаF

Лемма 4.7.8.
и оператор

Если оператор

A

самосопряжен:

A=A A-
1



существует, то оператор

A-1

самосопряжен:

(A-1 ) = A-1 .
QRI


ДоказательствоF ИмеемX

a. b. c. d.

(A-1 ) ((A = A ) ((Ker(A) ((A-1 ) =

(Ker(A) = 0), (Ker(A) = 0)) (Cl(Im(A)) = H ), = 0) (Cl(Im(A)) = H )) ((A-1 ) = (A )-1 ), (A )-1 ) (A = A )) ((A-1 ) = (A-1 )).

ЗдесьX a Eнеобходимое условие существования обратного оператораD b Eутверждение леммы RFUFUD c Eутверждение леммы RFUFTD d EочевидноF Лемма доказанаF

Лемма 4.7.9.
то

Если

A A , Cl(Im(A)) = H,

Ker(A) = 0.
ДоказательствоF Пусть

y Ker(A).
Тогда из первого условия леммы следуетD что

(x Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y >= 0.
Поэтому

y Im(A).
Из второго условия леммы следуетD что

y = 0.
Лемма доказанаF

Лемма 4.7.10.
то

Если

A A , Im(A) = H, A = A , A
-1

L(H H ).

QRP


ДоказательствоF Из леммы RFUFW следуетD что Ker(A) = 0D поэтоE му оператор A-1 существуетF ДокажемD что оператор A-1 симметриченF Пусть x , y Eпроизвольные элементы из Dom(A-1 ) = H F Тогда существуE ют такие элементы w , z D что x = Aw , y = Az F Поэтому

< x , A-1 y >=< Aw , z >=< w , Az >=< A-1 x , y > .
Так как оператор A-1 симметричен и область его определения есть все пространствоD то оператор A-1 самосопряжен и поэтому замкнутF По теоE реме о замкнутом графике @смF IUIA оператор A-1 ограниченF Далее имеE емX A = ((A-1 )-1 ) = ((A-1 ) )-1 = ((A-1 )-1 = A. Лемма доказанаF

Лемма 4.7.11.

Если оператор

A

симметричен, то

Ker(A + iid) = 0.
ДоказательствоF Если оператор A симметриченD то справедливо раE венство

(x Dom(A)) : (A + iid)x
откуда и следует утверждение леммыF

2

= Ax

2

+ x 2,

@RFIVWA

Cl(Im(A

Лемма 4.7.12.

Ker(A + iid) = 0 iid)) = H .

в том и только том случае, если

ДоказательствоF Доказательство проведем для знака +F Пусть

y Cl(Im(A - iid)).
Тогда

(x Dom(A)) : < y , (A - iid)x >= 0.
СледовательноD

y Dom(A + iid) , (A + iid)y = 0 , y Ker(A + iid).
Поэтому из условия следует равенство

Ker(A + iid) = 0 Cl(Im(A - iid)) = H.
QRQ


Пусть Тогда

y Ker(A + iid) , y = 0.

(x Dom(A)) : < (A + iid)y , x >=< y , (A - iid)x >= 0,
и

y Cl(Im(A - iid)).
СледовательноD

Cl(Im(A - iid)) = H.
Лемма доказанаF

Лемма 4.7.13.
ства

Если оператор

A

симметричен и замкнут, то множе-

Im(A + iid)

замкнуты. Если оператор

A

симметричен и хотя бы

одно из множеств

Im(A + iid)

замкнуто, то оператор

A

замкнут.

ДоказательствоF Проведем доказательство для знака +F Определим оператор

T : Gr(A) Im(A + iid) , T (x Ax) = (A + iid)x.
ЯсноD что

Im(T ) = Im(A + iid).
Из @RFIVWA следуетD что Ker(T ) = 0D поэтому оператор T -1 существуE етF Из @RFIVWA следуетD что оператор T изометриченD поэтому множества Gr(A) , Im(A + iid) замкнуты или нет одновременноF Рассуждения для знака - аналогичныF Лемма доказанаF Следующая теорема иногда называется основным критерием самосоE пряженностиF

Теорема 4.7.3.
Тогда

Пусть оператор

A

имеет плотную область определе-

ния и симметричен:

Cl(Dom(A)) = H , A A .
1. Если оператор

A

самосопряжен:

A = A ,
то оператор

A

замкнут и выполнены условия

Ker(A + iid) = 0.
QRR

@RFIWHA


2. Если оператор

A

замкнут и справедливы равенства

@RFIWHA, то спра@RFIWIA

ведливы равенства

Im(A + iid) = H
и резольвенты 3. Если

R(+i , A) существуют. Im(A + iid) = H , то оператор A

самосопряжен.

ДоказательствоF 1 2F Самосопряженный оператор замкнутD а равенство @RFIWHA есть следствие равенства @RFIVWAF 2 3F Из леммы RFUFIP следуетD что

Cl(Im(A + iid)) = H.
Замкнутость оператора A означает замкнутость множества Gr(A)D поE этому множество Im(A + iid) замкнуто на основе леммы RFUFIQ и

Cl(Im(A + iid)) = Im(A + iid) = H.
Так как

Ker(A + iid) = 0,
то множество

{(A + iid)x x | x Dom(A)}
есть график оператораD что эквивалентно существованию резольвентF 3 1F Проведем рассуждения для знака +F Пусть

x Dom(A ).
Тогда из условия @RFIWIA следуетD что

(y Dom(A) DomA ) : (A + iid)y = (A + iid)x
Поэтому

(A + iid)(x - y ) = 0.
Согласно лемме RFUFIP из условия Im(A - iid) = H следуетDчто Ker(A + iid) = 0F СледовательноD

(x - y = 0) (x Dom(A)) (Dom(A ) = Dom(A)).
Теорема доказанаF QRS


Замечание

RFUFI. Так как mathbf K er(A+iid) = 0D то условие Q эвивалентE но существованию операторов (A + iid)-1 D область опрделения которых удовлетворяет условиюX Dom(A + iid)-1 = H.F Для проверки условия Q достаточно доказатьD что

(x H ) , (y+ Dom(A)) : (A + iid)y+ = x.
Пусть

= a + ib , b = 0.
Тогда

(id - A) = b(iid - (-aid + A)/b)
Оператор A самосопряжен тогда и только тогдаD когда оператор (-aid + A)/b самосопряженF Поэтому из теоремы RFUFQ вытекает
на действительной оси.

Следствие 4.7.2.

Спектр любого сомосопряженного оператора лежит

Пусть A Eсамосопряженный операторD B симметричный оператор и Dom(B ) Dom(A)F Оператор B называется AEограниченным @или ограE ниченным оператором AAD если

Определение 4.7.6.

(a , b) , (x Dom(A)) : B x a x + b Ax .

@RFIWPA

Входящая в @RFIWPA константа b называется верхней AEгранью опеE ратора B @или верхней гранью оператора B по отношению оператора AAF ОтметимD что точной нижней грани всех верхних AEграней может и не существовать @число a в оценке @RFIWPA может стремиться к + при уменьшении bAF Следующая теорема называется теоремой КатоEРеллиха @или РеллихаE КатоA

Теорема 4.7.4.
ричен, жен.

Если оператор

A

самосопряжен, оператор

B
с

симмет-

Dom(B ) Dom(A) и оператор B A-ограниченн b < 1, то оператор A + B с областью определения Dom(A)
ДоказательствоF Так как

A

-гранью

самосопря-

: 2ab (a/ )2 + (b )2 ,
QRT


то из @RFIWPA следует неравенство

(x Dom(A)) : B x 2 (a2 + -2 ) x 2 + (b2 + (b2 + 2 ) (-i((a2 + -2 )/(b2 + 2 ) - A)x 2 .
Выберем такD чтобы выполнялось неравенство

2

) Ax

2

= @RFIWQA

2 := b2 +
Положим

2

< 1.
2

= (a2 +

-2

)/(b2 +

).

Для доказательства самосопряженности оператора A + B нам достаточно доказатьD что

Im(A + V + iid) = H, R(-i , A + B ) L(H H ).
Пусть @RFIWRA

x Dom(A) , (A + B + iid)x = y .

Так как оператор A самосопряженD оператор R(-i , A) существует и

R(-i , A) L(H H ) , Im(R(-i , A)) Dom(A).
Заменив в @RFIWRA

x (A + iid)x,
мы получимX

(id - B R(-i , A))(A + iid)x = y .
Сделав замену

@RFIWSA @RFIWTA

x -R(-i , A)x
в @RFIWQAD мы получимX

x : B R(-i , A)x x .
СледовательноD @RFIWUA

B R(-i , A) < 1,
и

(id - B R(-i , A))-1 L(H H ), Im(id - B R(-i , A))-1 = H.
QRU


Теперь из @RFIWSA следуетD что в равенстве @RFIWRAX

(y H ) : x = -R(-i , A)(id - B R(-i , A))-1 y Dom(A).
В силу предыдущей теоремы отсюда следуетD что оператор A + B самоE сопряженF Теорема доказанаF Рассмотрим примерыF
Пример

RFUFI. Пусть H = L2 (Rd , dx)F На плотной в L2 (Rd , dx) области

Dom(A) = {f | f L2 (Rd , dx) ,
рассмотрим оператор

|x|4 |f (x)|2 dx < }

Af (x) = x2 f (x).

Этот оператор симметричен на своей области определенияF Область опреE деления сопряженного оператора A состоит из тех элементов g H D для которых функционал

Dom(A)

f < g , Af >=

g (x)|x|2 f (x)dx

продолжается до линейного непрерывного функционала на всем проE странстве H F Это функционал непрерывен в том и только том случаеD если он ограниченD тF еF если

sup{| < g , Af > | | f 1} = sup{|
1/2

g (x)|x|2 f (x)dx| | f 1} =

|x|4 |g (x)|2 dx

< .

Отсюда следуетD что область определения сопряженного оператора A совпадает с областью определения оператора A и поэтому оператор A самосопряженF
Пример

RFUFP. Пусть H = L2 (Rd , dx)F На пространстве Шварца S (Rd ) рассмотрим оператор

A : S (Rd )

f (x) Af (x) = -f (x),

где Eоператор ЛапласаF Найдем замыкание оператора AF Пусть {fn } S (Rd ) и в метрике L2 (Rd , dx)

fn f0 H , Afn g H , n .
QRV


Переходя к преобразованиям ФурьеD находимX

fn ( ) f0 ( ) , | |2 fn ( ) g ( ) , n .
@Сходимость в метрике L2 (Rd , d )AF СледовательноD

g ( ) = | |2 f0 ( ) ,

| |4 ||f0 ( )|2 d < .

Отсюда вытекаетD что область определения замыкания оператора - состоит из функцийD принадлежащих пространству Соболева H 2 (Rd )X

Dom(Cl(-)) = H 2 (R2 ),
и на этой области определения замыкание оператора - вычисляется по формуле

-f (x) = (2 )-d lim

def

R | |
exp(i(x , ))| |2 f ( )d , f H 2 (R2 ).

@RFIWVA

Определенный формулой @RFIWVA оператор самосопряженD так как он униE тарно эквивалентен оператору умножения на | |2 в пространстве L2 (Rd , d )F Если замыкание оператора есть самосопряженный операторD то иноE гда говорятD что оператор самосопряжен в сущестенном @на своей перE воначальной области определенияAF Мы доказалиD что оператор Лапласа самосопряжен в существенном на пространстве ШварцаF Пример RFUFQ. Пусть H = L2 (Rd , dx)F На пространстве H 2 (Rd ) L2 (Rd , dx) рассмотрим оператор

B : B f (x) = l ћ Df (x) + q (x)f (x),

@RFIWWA

где l Rd D производная понимается в обобщенном смысле @смFстрF RSTADq (x) ограниченная измеримая функцияF ДокажемD что оператор B ограничен оператором - со сколь угодно малой верхней граньюF Пусть x : |q (x)| q . Тогда

B f | l | |D f | + q
Далее имеемX



f.

|D f | (2 )
-2 -d

2

(2 )- (
-2 2

d

| |2 |f ( )|2 d | |4 )|f ( )|2 d = ,

+ f

2

f

2

+

2

QRW


поэтому

|D f |
СледовательноD

-1

f+

f .

( > 0) : B f (|q +

-1

|l|) f + |l| f .

Мы доказалиD что оператор B ограничен оператором - со сколь угодно малой верхней граньюF Из теоремы КатоEРеллиха следуетD что при сформулированных нами условиях оператор Шредингера

H 2 (Rd )

f -f + l ћ Df (x) + q (x)f (x)

самосопряжен в пространстве L2 (Rd , dx) Из теоремы RFUFQ и теоремы ХиллеEФиллипсаEИосиды @смF PSIA вытеE кает теорема Стоуна F

Теорема 4.7.5.
0
операторы 2. Если

1. Если

t T (t)
-полугруппа класса полугруппы

C

0 в гильбертовом пространстве и при всех

t>

T (t) самосопряжены, T (t) самосопряжен.

то инфинитезимальный оператор

t U (t)
-полугруппа класса

C

0 , при всех

tR

1

операторы

U (t)

унитарны и

A

-инфинитезимальный оператор полугруппы

U (t),

то оператор

-iA

-самосопряжен.

ДоказательствоF Если операторы T (t) самосопряженыD то инфиниE тезимальный оператор полугруппы T (t) симметриченF В силу теоремы ХиллеEФиллипсаEИосиды он замкнутD имеет плотную область определеE ния и его резольвента определена при Re 1F СледовательноD условие Q теоремы RFUFQ выполненоF Если полугруппа состоит из унитарных опеE раторовD то ее инфинитезимальный оператор очевидно кососимметиченF Остальные рассуждения аналогичны и их проведение предоставляется читателю в качестве упражнения @следует воспользоваться спектральE ной теоремой для унитарных операторовAF Теорема доказанаF QSH


4.8

Оснащение гильбертова пространства и билинейные формы.

4.8.1

Оснащение гильбертова пространства.

Пусть H гильбертово простансво со скалярным произведением < , > и нормой f 2 =< f , f > . Пусть H+ H Eлинейное многообразие в H D которое удовлетворяет услоE виямX IF H+ плотно в H по метрике H X

H+ H , Cl(H+ ) = H.
@Замыкание берется по метрике пространства H AF PF H+ есть гильбертово пространство со скалярным произведением [ , ]+ и нормой (f H+ ) : f 2 = [f , f ]+ . + QF Выполнено неравенство

(f H+ ) : f
Приведем примерF Пусть

+

f.

H = L2 (R1 , dx) , H+ = {f | (f H+ , g H+ ) : [f , g ]+ =

|f (x)|2 (1 + x2 )dx < }, f (x)g (x)(1 + x2 )dx.

Нетрудно проверитьD что в этом примере выполнены все сделанные выше предположенияF Для любого g H на пространстве H+ определен линейный функциE оналX H+ f < g , f > . @RFPHHA Заданный на пространстве H+ формулой @RFPHHA функционал непрерыE вен в метрике пространства H+ D так как

| < g, f > | g ћ f g ћ f
QSI

+

.


СледовательноD по теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве в пространстве H+ существуE ет такой вектор J g D что

(g H , f H+ ) : [J g , f ]+ = < g , f > .
Формула @RFPHIA определяет линейный оператор

def

@RFPHIA

J : H H+ H.
Для рассматриваемого нами примера равенство @RFPHIA принимает видX

J g (x)f (x)(1 + x2 )dx =
поэтому в рассматриваемом нами примере

g (x)f (x)dx,

J g (x) = (1 + x2 )-1 g (x).

Лемма 4.8.1.

Изучим свойства определенного формулой @RFPHIA оператора J F
Справедливы неравенства

J | L(H H+ ) 1. J | L(H H ) 1.
ДоказательствоF ИмеемX

@RFPHPA @RFPHQA

(g H ) : J g | + = sup{|[J g , f ]+ | | f + 1} = sup{| < g , f > | | f + 1} sup{| < g , f > | | f 1} = g .
Первое неравенство доказаноF Второе есть очевидное следствие первогоF

Лемма 4.8.2.
Замыкание в

Оператор

J

удовлетворяет соотношениям:

Ker(J ) = 0. Cl(Im(J )) = H+ .
@RFPHSA берется в метрике пространства H+ . ДоказательствоF Если f Ker(J )D то

@RFPHRA @RFPHSA

(g H+ ) : [J f , g ]+ =< f , g >= 0.
Так как H+ плотно в H D то отсюда следуетD что f = 0F Если g H+ , g Im(J )D то

((f H ) : [J f , g ]+ =< f , g >= 0) (g = 0).
Лемма доказанаF Из леммы RFVFP вытекает QSP


Следствие 4.8.1.
H
множестве

Оператор

J

-1

определен на плотном в пространстве

Im(J ) H+ H.
носительно скалярного произведения

Лемма 4.8.3.

Оператор

J

-1

симметричен на пространсве

Im(J )

от-

<, >

.

ДоказательствоF ИмеемX

(f Im(J ) , g Im(J )) : < J -1 f , g >= [f , g ]+ = [g , f ] =< J -1 g , f > =< f , J -1 g > . +
Лемма доказанаF
стве

Лемма 4.8.4.
H
.

Оператор

J

самосопряжен и неотрицателен на простран-

ДоказательствоF ДокажемD что оператор J симметричен на пространE стве H F ИмеемX

(f Im(J ) , g Im(J )) : < J
Заменяя в этом равенстве

-1

f , g >=< f , J

-1

g>.

f J f , g J g,
мы получимX

(f H , g H ) : < f , J g >=< J f , g > .
Оператор J определен на всем пространстве H D ограничен и симметриE ченF СледовательноD он самосопряженF Неотрицательность оператора J следует из равенства

< g , J g >= [J g , J g ]+ 0.
Из самосопряженности оператора J в силу леммы RFUFV вытекает

Следствие 4.8.2.

Оператор

J

-1 -1

с областью определения

Dom(J
самосопряжен в пространстве

) = Im(J ) H
.

H

QSQ


В рассматриваемом нами примере

Im(J ) = {f | f (x) = (1 + x2 )-1 g (x) , g (x) L2 (R1 , dx)} = {f | (1 + x2 )f (x) L2 (R1 , dx)}
и

J

-1

f (x) = (1 + x2 )f (x).

На пространстве H определим скалярное произведениеX

(f H , g H ) : [f , g ]- = [J f , J g ]+ .

def

@RFPHTA

Это скалярное произведение на пространстве H порождает нормуX

f

2 -

= [f , f ]- .

@RFPHUA

Лемма 4.8.5.

Справедливо неравенство

(f H ) : f
ДоказательствоF ИмеемX

-

f.

@RFPHVA

(f H ) : f

2 -

= Jf

2 +

f

2

.

Пусть H- Eгильбертово пространствоD полученное пополнением пространE ства H по норме - со скалярным произведением [ , ]- F По построению пространство H плотно в H- по норме -F В рассматриваемом нами примере

f

2 -

=

(1 + x2 )-2 |f (x)|2 (1 + x2 )dx =
Определенный равенством

(1 + x2 )-1 |f (x)|2 dx.

Теорема 4.8.1.

@RFPHIA оператор J продолжается по непрерывности на пространство H- до оператора

J L(H- H+ ) , (f H ) : J (f ) = J (f ).
Оператор

J

удовлетворяет условиям:

Dom(J ) = H- , Im(J ) = H+ , Ker(J ) = 0 , J | L(H- H+ ) = 1.
QSR


ДоказательствоF По определениюD имеемX

(f H ) : f

2 -

= Jf

2 +

.

@RFPHWA

Так как пространство H плотно в H- D то существует и единственно такое непрерывное отображение

J L(H- H+ ),
которое продолжает это равенство на все пространство H- F ДействительE ноD пусть f H- , f - fn - 0 , n , fn H. Из @RFPHWA следуетD что последовательность J fn фундаментальна в проE странстве H+ и мы можем по определению положить

J f := lim J fn .
n

ДокажемD что множество Im(J ) замкнуто в H+ F Пусть

J fn g , n .
Тогда из @RFPHWA следуетD что последовательность fn фундаментальна в пространстве H- и поэтому

(f0 H- ) : f0 = lim fn и g = J (f0 ).
n

Если Im(J ) = H+ D то существует g H+ , g Im(J )D но тогда

(f H ) : < f , g >= [J f , g ]+ = 0.
СледовательноD g = 0 и Im(J ) = H+ F Остальные утверждения леммы тривиальныF

Следствие 4.8.3.

Оператор

J

обратим и

J

-1

| L(H+ H- ) = 1.

Теорему RFVFI можно изложить в немного другой редакцииF Скалярное произведение на пространстве H мы можем рассматриE вать как билинейную формуD заданную на декартовом произведении H Ч H+ X H Ч H+ f Ч g < f , g > C1 . @RFPIHA QSS


@RFPIHA продолжается по непрерывности на декартово произведение пространств H- Ч H+ и ее продолБилинейная форма жение:

Теорема 4.8.2.

[ , ]0 : H- Ч H+ C1 , (f Ч g H Ч H- ) : [f , g ]0 = < f , g > @RFPIIA
приводит пространства лен в виде:

def

H-

и

H+

в двойственность: любой линейный

непрерывный функционал на пространстве

H+

может быть представ-

H+

g [f , g ]0 , f H- ,

@RFPIPA

и любой линейный непрерывный функционал на пространстве жет быть представлен в виде:

H-

мо-

H-

f [f , g ] , g H+ . 0

@RFPIQA

ДоказательствоF НапомнимD что декартово произведение пространств H- Ч H+ мы можем рассматривать как метрическое пространство с метE рикой d(f Ч g , f Ч g ) = f - f - + g - g + . ИмеемX

(f Ч g H Ч H+ ) : | < f , g > | = |[J f , g ]| J f f - g +.

+

g

+

= @RFPIRA

Отсюда следуетD что билинейная форма @RFPIHA продолжается по непреE рывности на декартово произведение пространств H- Ч H+ D так как если последовательность fn Ч gn H Ч H+ фундаментальна в метрике проE странства H- Ч H+ и

fn Ч gn f0 Ч g0 H- Ч H+ , n ,
то последовательность < fn , gn > фундаментальна и отображения

H+

g [f , g ]0 , f H- , H

-

f [f , g ] , g H+ 0

задают линейные непрерывные функционалы на соответствующих проE странствахF ДокажемD что любой линейный непрерывный функционал на пространстве H+ может быть представлен в виде @RFPIPAF Пусть l Eтакой функционалF По теореме Рисса об общем виде линейного непрерывноE го функционала на гильбертовом пространстве существует такой вектор g0 H+ D что (g H+ ) : l(g ) = [g0 , g ]+ . QST


Тогда мы имеемX

l(g ) = [g0 , g ]+ = [J

-1

g0 , g ]0 .

Аналогично доказываетсяD что любой линейный непрерывный функциоE нал на пространстве H- может быть представлен в виде @RFPIQAF Теорема доказанаF Пространства H+ , H- и билинейная форма [ , ]0 называются оснаE щением гильбертова пространства H D а само пространство H вместе с пространствами H+ , H- Eоснащенным гильбертовым пространствомF
4.8.2 Полуограниченные эрмитовы формы и расширение операторов по Фридрихсу.

Пусть Dom(B ) Eплотное в гильбертовом пространстве H линейное мноE гообразиеF Функция

B : Dom(B ) Ч Dom(B )

x Ч y B (x , y ) C1

называется полуограниченной эрмитовой формой с областью определеE ния Dom(B )D если IF Функция B (x , y ) линейна по второму агрументуX

(x Dom(B ) , y Dom(B )) : B (x , y1 + y2 ) = B (x , y1 ) + B (x , y2 ).
PF Выполнено условиеX

(x Dom(B ) , y Dom(B )) : B (x , y ) = B (y , x) .
QF Существует такая константа - < M < D что

(x Dom(B )) : либо B (x , x) M x

2

, либо B (x , x) M x 2 .

Если эрмитова форма B (x , y ) ограниченаD то в силу теоремы ЛаксаE МильграмаEВишика существует такой ограниченый самосопряженный оператор AD что

(x H , y H ) : B (x , y ) =< x , Ay > .

@RFPISA

Если справедливо равенство @RFPISAD то говорятD что форма B (x , y ) предE ставлена оператором AF Если форма неограниченаD тоD вообще говоряD она не может быть представлена оператором @соответствующий пример будет приведен нижеAF Нас будет интересовать вопрос о томD при каких QSU


условиях полуограниченная форма может быть представлена самосопряE женным операторомF Если форма B (x , y ) представлена оператором AD то при замене

B (x , y ) +B (x , y ) + a < x , y > , a R1 .
предсталяющий ее оператор A заменится на оператор

@RFPITA

A +A + aid.
ЯсноD что с помощью замены @RFPITA можно получить формуD которая будет удовлетворять неравенству

(x Dom(B )) : B (x , x) x 2 .

@RFPIUA

В дальнейшем мы будем считатьD что неравенство @RFPIUA выполненоF Удовлетворяющая условию @RFPIUA эрмитова форма B (x , y ) на проE странстве Dom(B ) определяет скалярное произведение и норму

(x Dom(B )) : x | B

2 def

= B (x , x).

@RFPIVA

Эрмитова форма B (x , y ) замкнутаD если пространE ство Dom(B ) есть гильбертово пространство @тF еF полноA относительно нормы @RFPIVAF Пусть HB Eпополнение пространства Dom(B ) по норме @RFPIVAF Если {xn } Dom(B ) Eсходящаяся по метрике пространства HB поE следовательностьX

Определение 4.8.1.

xn - x0 | B 0 , x0 HB ,

@RFPIWA

то в силу неравенства @RFPIUA последовательность {xn } Dom(B ) схоE дится и в пространстве H D поэтому с помощью @RFPIWA корректно опреE делено отображение

I : HB H , I (x0 ) = lim xn .
n

@RFPPHA

Предел в правой части @RFPPHA вычисляется в метрике пространства H F

Определение 4.8.2.

Эрмитова форма B (x , y ) замыкаемаD если опредеE ленное формулой @RFPPHA отображение имеет нулевое ядроX

Ker(I ) = 0.
QSV


Приведем примерыF Пусть

H = L2 (R1 , dx) , Dom(B ) = S (R1 ), B (f , g ) = (2 )
-1

(f (x)g (x) + Dx f (x) Dx g (x))dx =

@RFPPIA @RFPPPA

(1 + 2 )f ( )g ( )d .

В этом случае

HB = {f |

(1 + 2 )|f ( )|2 d < } , Ker(I ) = 0

и форма @RFPPPA замыкаемаF Пусть

H = L2 (R1 , dx) , Dom(B ) = S (R1 ), B (f , g ) =
В этом случае

f (x)g (x)dx + f (0)g (0).

@RFPPQA

HB = L2 (R1 , dx) C1 , Ker(I ) = 0 C1 = 0
и форма @RFPPQA не замыкаема @и не может быть представлена действуE ющим в пространстве L2 (R1 , dx) операторомAF Если эрмитова форма B замыкаемаD то пространство HB @пополнеE ние пространства Dom(B ) по норме | B A с помощью определенE ного равенством @RFPPHA отображения I можно вложить в пространство H такD что вложение будет взаимно однозначно на образе пространства HB D поэтому можно считатьD что пространство HB есть подмногообразие пространства H X HB H, а эрмитова форма B по непрерывности продолжена на HB F

Теорема 4.8.3.
ратор на в

Если

B

-замкнутая плотно определенная полуограни-

ченная эрмитова форма, то существует такой самосопряженный опе-

A,

что выполнены условия:

1.Область определения оператора

A

содержится в

Dom(B )

и плот-

Dom(B ): Dom(A) Dom(B ) , Cl(Dom(A)) Dom(B ),
QSW @RFPPRA


2. Справедливо равенство:

(x Dom(B ) , y Dom(A)) : B (x , y ) =< x Ay > .

@RFPPSA

Удовлетворяющий условиям 1-2 самосопряженный оператор единственен и называется оператором, который представляет форму

B

.

ДоказательствоF Докажем существование оператора AF Заменой @RFPITA перейдем к формеD которая удовлетворяет неравенству @RFPIUAF Далее исE пользуем конструкциюD описанную в предыдущем параграфеX пусть

Dom(B ) = H+ , B (x , y ) = [x , y ]+ , A = J

-1

,

где J -1 Eвведенный в следствии @RFVFPA операторF Как доказано в предыE дущем параграфеD условия IEP выполненыF Докажем единственность опеE ратора AF Пусть оператор A0 удовлетворяет условиям IEPF Так как

(x Dom(A0 )) , B (x , x) = [x , A0 x]+ x 2 ,
то

Ker(A0 ) = 0
и оператор A-1 существуетF Далее имеемX 0

(x Dom(B ) , y Dom(A0 )) : < A0 y , x >= [y , x]+ = [J A0 y , x]+ = [A0 y , J x]+ = [y , A0 J x]+ , < y , x >= [A-1 y , x]+ = [J y , x]+ . 0
Так как множество Dom(A0 ) плотно в Dom(B )D то отсюда следуетD что оператор A0 непрерывен как оператор L(H+ H ) и совпадает на плотE ном в H+ множестве с ораниченным оператором J -1 D а оператор A-1 0 совпадает на Dom(B ) с оператором J F Теорема доказанаF Пусть Dom(A) Eплотное в гильбертовом пространстве H линейное многообразиеD и A Eопреденный на Dom(A) симметричный полуограниE ченный операторX

Теорема 4.8.4.
образии

(x Dom(A) , y Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y >, (x Dom(A)) : < x , Ax > M x 2 или < x , Ax > M x 2 . @RFPPTA
Если

A

-опреденный на плотном в

H

линейном много-

Dom(A)

симметричный полуограниченный оператор, то форма

(x Dom(A) , y Dom(A)) : B (x , y ) =< x , Ay >
эрмитова, полуограничена и замыкаема.

QTH


ДоказательствоF В нем нуждается только последнее утверждениеF Без ораничения общности будем считатьD что выполнено неравенство @RFPIUAF Нам нужно доказатьD что если последовательность {xn } Dom(A)) удоE влетворяет условиямX IF Последовательность {xn } фундаментальна по норме

x|B x
то

2

= B (x , x).

PF Последовательность {xn } сходится к нулю в пространстве H X
n

0 , n ,

B (xn , xn ) 0 , n .
Пусть пространство HB есть пополнение пространства H по норме B и x0 HB Eпредел последовательности {xn }F ИмеемX

|

(x Dom(A))) : |B (x , x0 )| = lim |B (x , xn )| =
n n

lim | < x , Axn > | = lim | < Ax , xn > | lim Ax ћ x
n n

n

= 0.

Так как множество Dom(A) плотно в HB D то отсюда следуетD что x0 = 0F Теорема доказанаF Пусть A Eопреденный на плотном в гильбертовом пространстве H лиE нейном многообразии Dom(A) симметричный полуограниченный операE торF Заменой : A +A + aid @RFPPUA можно сделать такD что порожденная оператором A эрмитова форма

(x Dom(A) , y Dom(A)) : B (x , y ) =< x , Ay >
будет удовлетворять неравенствуX

@RFPPVA

(x Dom(A)) : B (x , x) x 2 .
Сделаем такую замену и пусть B Eзамыкание формы @RFPPVAD а A E операторD который представляет форму B X

(x Dom(B ) , , y Dom(A)) : B (x , y ) =< x , Ay > .
Оператор

A := -1 A

@RFPPWA

самосопряжен и удовлетворяет условиямX

Dom(A) Dom(A) Dom(B ) , (x Dom(A)) : Ax = A(x).
Оператор A называется расширением по Фридрихсу оператора AF Это расширение часто используется в математической физикеF QTI


4.9

Преобразование Келли и спектральное разложение неограниченных операторов.

ДробноEлинейное преобразование

z (z - i)/(z + i)
переводит прямую R1 в окружность

z = exp(i) , 0 2 .
Спектр любого самосопряженного оператора лежит на действительной осиF СледовательноD если A Eограниченный самосопряженный операторD то по теореме об отображении спектра спектр оператора

C a(A) = (A - iid) ћ (A + iid)

def

-1

@RFPQHA

лежит на единичной окружности и оператор C a(A) унитаренF Мы докаE жемD что оператор C a(A) унитарен для любого самосопряженного опеE ратора AF

Лемма 4.9.1.
формула

Если A -произвольный самосопряженный оператор, то @RFPQHA корректно определяет оператор C a(A).

ДоказательствоF Если A Eсамосопряженный операторD то в силу теоE ремы RFUFQ

Dom(A + iid)

-1

= H , Im((A + iid)-1 ) Dom(A - iid),

поэтому произведение операторов в @RFPQHA корректно определено и Dom(C a(A)) = H F

Определение 4.9.1. Лемма 4.9.2.

Определенный формулой @RFPQHA оператор C a(A) называется преобразованием Келли оператора AF Прямое вычисление показываетD что справедлива
График оператора

C a(A)

есть множество

Gr(C a(A)) = {(A + iid)h (A - iid)h | h Dom(A)}.
Из этой леммы вытекает QTP

@RFPQIA


Лемма 4.9.3.

Преобразование Келли самосопряженного оператора удо-

влетворяет условиям:

Dom(C a(A)) = H , Im(C a(A)) = H, Ker(C a(A)) = 0 , C a(A)-1 = C a(A)
и унитарно.

@RFPQPA

ДоказательствоF Так как оператор A самосопряженD то в силу теореE мы RFUFQ Im(A + iid) = H. Отсюда следуют первые два утверждения леммыF Второе утверждение леммы следует из равенства @RFIVWAF Из этого же равенства следуетD что множество

Gr(C a(A)-1 ) := {(A - iid)h (A + iid)h | h Dom(A)}
есть график оператораF ОчевидноD что это график оператораD обратного к C a(A)F Из равенства @RFIVWA и леммы RFPQI следуетD что оператор C a(A) изоE метриченX ( H ) : C a(A) = . Так как оператор C a(A) изометричен и обратимD то он унитаренF Лемма доказанаF Пусть A Eограниченный самосопряженный операторF Тогда спектр его преобразования Келли C a(A) лежит на дуге

z = exp(i) , 0 < 1 2 < 2
и точка z = 1 не принадлежит спектру оператора C a(A)F СледовательноD оператор (C a(A) - id)-1 существует и

A = -i(C a(A) + id)(C a(A) - id)-1 .
Поэтому согласно теореме RFTFP справедливо равенство

@RFPQQA

( H , f B or(R1 )) : < , f (A) >=
2

f
0 2

-i

exp(i) + 1 exp(i) - 1

d < , Eun ( , C a(A)) >=
@RFPQRA

f (- ctg(/2))d < , Eun ( , C a(A)) > .
0

QTQ


Интеграл в @RFPQRA нужно понимать как интеграл ЛебегаEСтльтьесаF Подставив в формулу @RFPQRA вместо функции f характеристическую функцию полуинтервала ( , ]D мы получимX

( H , = - ctg(/2)) : < , E ( , A) >=< , Eun ( , C a(A)) > .
Если оператор A неограниченD то точка z = 1 принадлежит спектру опеE ратора C a(A) и оператор (C a(A) - id)-1 не существуетD поэтому предыдуE щие рассуждения для неограниченного оператора не проходятF Но ограE ниченную функцию от неограниченного оператора можно просто опреE делить равенством @RFPQRAF ПокажемD как это можно сделатьF НапомнимD что заданная на действительной прямой функция измеE рима по БорелюD если ее сужение на любое компактное множество измеE римо по БорелюF Преобразование g : g(f )() = f (- ctg(/2) переводит алгебру всех ограниченных измеримых по Борелю функций на действительной оси B or(R1 ) в алгебру B or([0 , 2 ])F Пусть A Eпроизвольный @ограниченный или нетA самосопряженный операторF Ниже под отобраE жением OpC a(A) нам будет удобно понимать его регуляризациюD которая стоится такF Для неотрицательных ограниченных измеримых функций f B or([0 , 2 ]) мы полагаем

( H ) : < , OpC a(A) (f ) >:= lim < , OpC a(A) (I([ , 2 - ] | ћ)f ) > .
0

@RFPQSA

где в правой части OpC a(A) Eзаданное определением RFSFP @смF стрF QIWA отображениеF Существование предела в @RFPQSA очевидноD так как праE вая часть @RFPQSA ограничена и не убывает как функция F На остальные функции f B or([0 , 2 ]) отображение OpC a(A) распространяется по лиE нейностиF Из теоремы RFTFI и формулы @RFPQRA вытекает

Теорема 4.9.1.
H)

Отображение

OpbA : B or(R1 )
переводит алгебру

f

Ca

f Op

C a(A)

L(H H )

@RFPQTA

B or(R1 )

в коммутативную подалгебру алгебры

и удовлетворяет условиям теоремы 4.5.1, а если оператор

ничен, то отображение отображением

@RFPQTA совпадает с описанным в теореме 4.5.1 QTR

L(H A огра-

Opb

A.


Из теоремы RFWFI следует что для ограниченных операторов A функE ция

R1

- ctg(/2) E (- ctg(/2) , A) = Eun ( , C a(A))

@RFPQUA

совпадает с введенной в определении RFSFQ спектральной функциейD для неограниченных операторов A мы определим спектральную функцию равенством @RFPQUAF

A

Теорема 4.9.2.
этом случае

Вектор



принадлежит области определеня оператора

в том и только том случае, если сходится понимаемый как несоб-

ственный интеграл Римана-Стильтьеса в правой части
2

@RFPQVA и в

A

2

=
0

(ctg(/2))2 d < , Eun ( , C a(A)) > .

@RFPQVA

ДоказательствоF Пусть

Dom(A) , = (A - iid) , C a(A) = (A + iid) .
Тогда

=
СледовательноD

( + C a(A)) ( - C a(A)) , A = . 2i 2

< , Eun ( , C a(A)) >= 1 |1 - exp(i)|2 d < , Eun ( , C a(A)) >= 40


(sin(/2))2 d < , Eun ( , C a(A)) >,
0

@RFPQWA

A
2

2

=

1 4



|1 + exp(i)|2 d < , Eun ( , C a(A)) >=
0

(cos(/2))2 d < , Eun ( , C a(A)) > .
0

@RFPRHA

ЗаметимD что правая часть @RFPQWAD вообще говоряD не дифференцируема по F Однако если 1 , 2 [ , 2 - ] , > 0, то в силу равенства @RFPQWAX

< , (Eun (2 , C a(A)) - Eun (1 , C a(A)) >= (sin(/2))-2 (1 + o(1)) < , (Eun (2 , C a(A)) - Eun (1 , C a(A)) >,
QTS


где

o(1) 0 , |1 - 2 | 0 , [1 , 2 ] [ , 2 - ] ,

> 0.

Вспоминая определение интеграла РиманаEСтильтьеса @смF стрF SUAD мы получаемX
2 -

A lim
0

2

= lim
0

(cos(/2))2 d < , Eun ( , C a(A)) >=

2 -

(ctg(/2))2 d < , Eun ( , C a(A)) > .

Существование предела следует из того фактаD что правая часть выпиE санного равенства ораничена сверху и не убывает как функция F Мы доказалиD что если принадлежит области определеня оператора AD то интеграл в @RFPQVA сходитсяF Теперь предположимD что интеграл в @RFPQVA сходится и докажемD что принадлежит области определения оператора AF Пусть

n = (Eun (2 - 1/n , C a(A)) - Eun (1/n , C a(A))) .
Тогда

n , n , n Dom(A),
а из сходимости интеграла @RFPQVA следуетD что существует предел

An y , n .
Из замкнутости оператора A следуетD что

Dom(A) , A = lim A
n

n

Теорема доказанаF Из формулы @RFPQVA следуетD что

(f B or(R1 ) , H ) :
2

f (A)
где

2

=
0

|f (- ctg(/2)|2 ч(|d),

@RFPRIA

ч(|d) = d < , Eun ( , C a(A)) > .
В дальнешем нам будет удобно перейти к мере @смF @RFPQUA на стрF QTSA

(|d) = d < , E ( , A) > .
QTT

@RFPRPA


ОчевидноD что порожденная функцией распределения

< , E ( , A) > , - < <
борелевская мера (|d) нормированаX


@RFPRQA

1 ћ (|d) =
-

2

и в силу @RFPRIA справедлива формулаX

(f B or(R1 ) , H ) :


f (A)

2

=
-

|f ()|2 (|d),

@RFPRRA

Формула @RFPRRA позволяет дать описание произвольного самосопряженE ного оператора в терминах оператора умножения на независимую переE менную в пространстве L2 (X )F

Теорема 4.9.3.
ты:

Пусть

A

самосопряженный оператор в сепарабельном

гильбетровом пространстве

H

. Тогда существуют следующие объек-

1. нормированные на единицу борелевские меры 2. разложение гильбертова пространства

{чj (d) | 1 j < }

,

H

в прямую сумму

H=
1j <

Hj ,

3. унитарные отображения

Tj : Hj L2 (R1 , чj (d))
которые обладают следующими свойствами 1. пространства цию от оператора

Hj A:

приводят любую ограниченную борелевскую функ-

(j , f B orR1 ) : f (A)Hj Hj ,
2. в пространстве

Hj

оператор

f (A)

унитарно эквивалентен опера-

тору умножения на функцию

f ()

в пространстве

L2 (R1 , чj (d)):
@RFPRSA @RFPRTA

(x Hj ) : Tj f (A)x = f ()Tj x L2 (R1 , чj (d)).


(x Hj ) : f (A)x

2

=
-

|f ()Tj x()|2 чj (d)
QTU


ДоказательствоF Фиксируем произвольно нормированный вектор e1 H F Пусть

ч1 (d) = d < e1 , E ( , A)e1 >, H1 = Cl{f (A)e1 | f () L2 (R1 , ч1 (d))}.
Из @RFPRRA следуетD что пространство H1 унитарно изоморфно пространE ству L2 (R1 , ч1 (d))D и этот изоморфизм осуществляется унитарным опеE ратором T1 : H1 f (A)e1 f () L2 (R1 , ч1 (d)), причем

(g B or(R1 )) : T1 (g (A)e1 ) = g ()T1 (e1 ) = g ().

Если H1 = H D то в пространстве H1 мы возьмем нормированный вектор e2 и повторим наше построениеF Так мы получим @далее мы рассуждаем такжеD как на стрF IUQD векторов ej может быть не более чем счетное числоA разложение пространства H в прямую сумму пространств

H=
i

Hi ,

в каждом из которых оператор H унитарно эквивалентен оператору умножения в пространстве L2 (R1 , чj (d))F Описанная выше конструкE ция является одним из вариантов общей спектральной теоремыF Если оператор A самосопряжен и компактенD то в качестве векторов ej можно брать собственные векторы оператора AD и тогда мы получим удобное описание оператораF В общем случае для получения удобного описания оператора приходится сужать класс рассматриваемых операторов и приE бегать к дополнительным приемам @вводить нак называемое оснащение исходного гильбертова пространстваAF d2 Вычислим спектральную функцию оператора - dx2 с областью опреE деления H 2 (R1 ) L2 (R1 , dx)F По определению имеемX

(f H 2 (R1 )) : -
Отсюда следуетD что

d2 1 f (x) = 2 dx 2



exp(ix )| |2 f ( )d .
-

d2 ( [0 , ) , f L (R , dx)) : R( , - 2 )f (x) = dx 1 2 -1 |( - | | ) exp(ix )f ( )d = r(x , y , )f (y )dy , 2 - -
2 1

QTV


где

r(x , y , ) = 1 2


1 2



|( - | |2 )-1 exp(i(x - y ) )d =
- 2 -1

|( - | | )
-

1 cos((x - y ) )d = 2



( - ч)
0

-1

cos((x - y ) ч) dч. ч

Поэтому

( (0 , )) :
-

d2 1 d2 (R( - i , - 2 ) - R( + i , - 2 )))f (x) = 2 i dx dx

k (x , y , , )f (y )dy ,
где


k (x, , y , , ) =
СледовательноD

2

2

(( - ч) +
0

2

2 -1

)

cos(|x - y | ч) dч. ч

E ( , - lim [
0)

d2 )f (x) = dx2
0 -

1 2 i

(R(ч - i , -

1
и

0

d2 d2 ) - R(ч + i , - 2 ))dч]f (x) = dx2 dx cos(|x - y | ч) sin(|x - y | ) f (y )dy dч = f (y )dy , 2ч |x - y | -


d2 1 (- 2 )f (x) = dx 2

()
0 -

cos(|x - y | ) f (y )dy d. 2

Иногда @особенно в теории рассеянияA бывает полезна следующая конструкцияF Пусть A Eсамосопряженный оператор и C (( (A) h) E множество непрерывных на (A) функций со значениями во вспомогаE тельном гильбертовом пространстве hF В дальнейше мы будем считатьD что h = L2 ( , d )D где Eкомпактное топологическое пространствоD а d Eпополнение борелевской меры на F В случае неограниченного интервала предплагаетсяD что носитель каждой функции компактенF Введем в C (( (A) h) скалярное проE изведениеX

(f () C (( (A) h) , g () C (( (A) h)) :
b

< f , g >:=
a

< f () , g () >h ч(d),
QTW


где ч(d) Eборелевсая мера на (A)F Пусть пространство L2 ( (A) h) есть пополнение пространства C (( (A) h) по норме

f | L2 ( (A) h)

2

=
( A)

f () | h 2 ч(d).

Определение 4.9.2.

Унитарное отображение

U : H L2 ( (A) h),
называется диагонализируещим преобразованиемD если при этом отобраE жении оператор A переходит в оператор умноженияX

(f Dom(A)) : U Af () = U f ().
В пространстве L2 ( (A) h) функция от оператора A действует как оператор умножения на функциюD и это часто упрощает изучение оператора AF Приведем примерыF Пусть оператор A компактен и пусть j , j Eего собственные значения и собственные функцииF ТогдаX

(A) = {j } , Aj (ћ , j ) = j j (ћ , j ).
В этом случае можно положитьX

h = C1 , L2 ( (A) h) = l2 , U f (j ) =< (ћ , j ) , f > .
Если постранство H = L2 (Rn , dx)D а преобразование U мы ищем в виде

U f ( , ) =

e(x , , ) f (x)dx ,

@RFPRUA

то тогда интегральное ядро преобразования U должно удовлетворять уравнению

ч(d) Ч d пFвF : Ax e(x , , ) = e(x , , ).

@RFPRVA

Вообще говоряD решения уравнения @RFPRVA могут не принадлежать проE странству L2 (Rn , dx) @проблема ненормируемых собственных функций непрерывного спектраAF В этом случае преобразование U не может быть задано формулой @RFPRUA на всех функциях из L2 (Rn , dx)X обычно удается задать его этой формулой на плотном в L2 (R2 , dx) множествеF Сейчас для наиболее часто встречающихся случаев разработана эффекE тивная техника решения этой проблемыF QUH


По этому поводу можно заметить следующееF IF Диагонализируещее преобразование можно и не искать в форме @RFPRUAF На примере модели Фридерихса мы показалиD как можно найти диагонализируещее преобразованиеD не обращаясь к формуле @RFPRUAF PF Обычно бывает нужна не формула для диагонализируещего преE образованияD а знание его свойствF Эти свойства часто проще получить другими методамиD не основанными на формулах для диагонализируеE щего преобразованияF Рассмотрим некоторые примерыF Пусть

H = L2 (R1 , dx) , Dom(A) = H 2 (R1 ) , A = -

d2 . dx2

@Производная здесь понимается в обобщенном смысле смF стрF RSTFA ИмеемX

< f , Af >=

1 2



2 |f ( )|2 d =
-

1 4

0

|f ( )2 + |f (- )|2 -

1/2

d.

Из приведенной выкладки следуетD что преобразование

U : L2 (R1 , dx) L2 ((0 , ) R2 ), f (- ) f ( ) , U f () = 4 4
d диагонализует оператор - dx2 в пространстве L2 (R1 , dx)F Аналогичная выкладка показываетD что преобразование
2

U : L2 (Rd , dx) L2 ((0 , ) L2 (S , d )), U f ( , ) = (2 )-d/2 2-1/2 (d/2-1)/2 f ( ),
где S Eединичная сфера в Rd со стандартной мерой d @в трехмерном случае d = sin ddAD диагонализует оператор - в пространстве L2 (Rd , dx)F

QUI


4.10

Коментарии и литературные указания.

Изложенные в этой главе сведения из теории гильбертовых пространств есть во многих учебниках функционального анализаF С точки зрения авE тораD для специалиста по математической физики интересены учебники QRD QID RPF При изложении спектральной теории мы использовали теореE му Вейрштрасса и явную конструкцию гомоморфизма алгебры функций в алгебру операторовF Можно существенно упростить доказательстваD если опираться на некоторые теоремы и констукции общей алгебры @поE нятия кольца и идеалаAF Простое изложение спектральной теорииD коE торое использует алгебраические конструцииD есть в RI D RRF ИнтересE ный подход к понятию положительных элементов развит в параграфе PFPFP книги QUF Для физика будет интересена трактовка спектральной теоремы с точки зрения теории оснащенных @riggedA гильбертовых проE странствF С этим направлением можно познакомиться по работам RU D RV D RWF В последнее время стал популярен подход к построению спектральной функцииD который опирается на аналитические свойства резольвенты оператора и методы теории функций комплексного переE менногоF Доступное изложение этого подхода есть в лекциях RQFшроко испол Модель Фридерихса обсуждается в работах SHD SIF Мы описали только один из возможных подходов к построению расE ширния операторовX расширение по ФридрихсуF Это расширение часто используется в математической физикеF Расширение по Фридрихсу можE но построить на основе вариационной процедурыD которая описанаD наE примерD в книге RPF В теории расширения симметричных операторов большую роль играют индексы дефекта симметричного оператора AX

n+ = dim(Ker(iid

A )).

Теория расширений дифференциальных операторов с обыкновенными производными изложена в книге RSF С теорией расширения эллиптичеE ских дифференциальных операторв в частных производных можно поE знакомиться по цитированной в RT литературеF Изложение общей теоE рии расширений теории есть в книгах QID RPF Книга QV донесет до читателя свежесть первоисточникаF Для подгоE товленного читателя будет интересна книга QSF Стандартым источниE ком ссылок на математические проблемы квантовой физики являются книги PQEPTF

QUP


Глава 5 Элементы математической теории рассеяния.

5.1

Абсолютно непрерывный и сингулярный спектр оператора.

Пусть H Eсепарабельное гильбертово пространствоD A Eсамосопряженный оператор в H D E ( , A) Eспектральная функция оператора AF Мы будем считатьD что функция E ( , A) доопределена нулем на множество { < inf (A)} и доопределена как единичный оператор на множество { > sup (A)} @если эти множества не пустыAFВ дальнейшем по умолчанию все интегалы без указания пределов интегрирования берутся от - до F Пусть [a , b] R1 Eпроизвольный отрезокD B or([a , b]) алгебра все бореE левских подмножеств отрезка [a , b]F Каждому множеству m B or([a , b]) поставим в соответствие задаваемый квадратичной формой проекторX

( H ) : B or([a , b])

m < , P (m) >=
@SFIA

I(m | )d < , E ( , A) > .

Каждому элементу H соответствует борелевская мера на отрезке [a , b]X ч( | ћ ) : B or(a , b]) ч( | m) =< , P (m) > . @SFPA Если A Eкомпактный операторD то

ч( | m) =
j m

|j |2 ,

QUQ


где j Eсобственные значения оператора AD j Eкоэффициенты Фурье по собственным функциям оператора AF Если A = -D то

ч( | m) = (2 )-d
2 m

|F ( )|2 d .

Теорема 5.1.1.
Если

Пространство

H

есть прямая сумма двух пространств:

H = Hac Hs .

@SFQA

Hac , то определенная равенством @SFPA мера ч( | ћ) на любом отрезке [a , b] абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на R1 . Если Hs , то определенная равенством @SFPA мера ч( | ћ) на любом отрезке [a , b] сингулярна относительно меры Лебега на R1 . Разложение @SFQA приводит оператор A: если f -любая ограниченная борелевская функция на R1 , то f (A)Hac Hac , f (A)Hs Hs .
@SFRA

ДоказательствоF Обозначим символом |m| меру Лебега множества m B or([a , b])F НапомнимD что мера ч( | ћ) абсолютно непрерывна относительно меры ЛебегаD если

(|m| = 0) (ч( | m) = 0).
Определим множество Hac H : Hac D если [a , b] R1 на отрезке [a , b] мера ч( | ћ ) абсолютно непрерывна относительно меры ЛебегаF Множество Hac есть линйное пространствоD так как если Hac , Hac D то

< ( + ), P (m)( + ) >=< , P (m) > + < , P (m) > + 2Re < , P (m) >= 0,
при

< , P (m) >= 0 , < , P (m) >= 0.
В силу непрерывности проектора P (m) множество Hac замкнутоF По теоE реме Леви о проекции H = Hac Hac . Ниже мы докажемD что
Hs = Hac .

@SFSA

QUR


Получим другое описание пространств Hac и Hs F Так как

H=
n

(E (n , A) - E (n - 1 , A))H,

то достаточно рассмотреть случайD когда

, (E (n , A) - E (n - 1 , A))H.
Рассмотрим сужение меры ч( | ћ) на отрезок [a , b] R1 F По теореме Лебега о разложении меры справедливо равенство

(m B or([a , b])) : ч( | m) = чac ( | m) + чs ( | m),

@SFTA

где мера чac ( | ћ) абсолютно непрерывна относительно меры ЛебегаX

(m B or([a , b])) : ((|m| = 0)) (чac ( | m) = 0),
а мера чs ( | ћ) сингулярна относительно меры ЛебегаX

@SFUA

(|m0 | = 0) , (m B or([a , b])) : чs ( | m) = чs ( | m

m0 ).

@SFVA

ЗаметимD что входящее в @SFVA множество m0 зависит от Dи когда это существенноD мы будем писать

m0 = m0 ().
Пусть множество m0 удовлетворяет условию @SFVAF Положим

ac = s =
Так как

I(C(m0 ) | )d E ( , A), I(m0 | )d E ( , A).

@SFWA @SFIHA

I(C(m0 ) | ) + I(m0 | ) 1,
то

( H ) : = ac + s .

@SFIIA

ДокажемD что мера ч(ac | ћ) абсолютно непрерывна относительно меры ЛебегаD а мера ч(s | ћ) сингулярна относительно меры ЛебегаF QUS


ИмеемX

ч(ac | m) =

I(m | )d < ac , E ( , A)ac >= C(m0 )) = C(m0 )),

I(m | )I(C(m0 ))d < , E ( , A) >= ч( | m чac ( | m
так как

C(m0 )) + чs ( | m

C(m0 )) = чac ( | m

чs ( | m

C(m0 )) = чs ( | m

C(m0 )

m0 ) = 0.

АналгичноDиз @SFIHA следуетD что

ч(s | m) = ч( | m
поэтому мера ч(s | ћ) сингулярнаF Пусть

m0 ),

= ac + s
Eразложение произвольного элемента H F ИмеемX

| < ac , s > |2 = | |

I(C(m0 ()))I(m0 ( ))d < , E ( , A) > |2
2

I(C(m0 ()))I(m0 ( ))d < , E ( , A) > |
2

=

чac ( | m0 ( ))

= 0.

ИтакD мы доказали равенство @SFSA Из @SFWA следуетD что

ч(f (A)ac | m) sup{|f ()|2 }ч(ac | m),
поэтому

(ч(ac | m) = 0) (ч(f (A)ac | m)) = 0),
и

f (A)Hac Hac .
Из @SFIHA следуетD что

ч(f (A)s | m) = ч(f (A)s | m
QUT

m0 ),


поэтому

f (A)Hs Hs .
Теорема доказанаF

Спектр сужения оператора A на пространство Hac называется абсолютно непрерывным спектром оператора AF Спектр сужеE ния оператора A на пространство Hs называется сингулярным спектром оператора AF Сужение оператора A на пространство Hac мы обозначим символом Aac F Если либо Hac D либо Hac D то

Определение 5.1.1.

< , E ( , A) >=< ac , E ( , A)

ac

>.

Далее заметимD что если Hac D то на любом отрезке [a , b] R1 функE ция < , E ( , A) > не убывает и мера ч( | ћ) абсолютно непрерывна относительно меры ЛебегаF СледовательноD

( ( , , ) L1 ([a , b]) , пFвF ( , , ) 0) : (m B ([a , b]) : ч( | m) =
m

( , , )d.

Так как
b

(a , b) :
a

( , , )d = (E (a , A) - E (b , A))

2

2,

то

( , , ) L1 (R1 ).
Положим

M(A) = { | Hac , пFвF | ( , , )| < }. ( M(A)) : | M(A) 2 = inf {C | пFвF | ( , , )| < C }.
Из поляризационного тождества следуетD что функция


def

@SFIPA @SFIQA


-

( , , )d =< , E ( , A) >
QUU


по мере Лебега почти всюду дифференцируема и пFвF

d < , E ( , A) >= ( , , ). d

@SFIRA

Замечание SFIFI. Утверждение @SFIRA и аналогичные формулы выше ознаE чаютD что существует такое зависящее от пары , множество m0 , |m0 | = 0D что при C(m0 ) справедливы соответствующие равенстваF В следуE ющих ниже формулах до интегрирования по d аргументы у функции будут входить не более чем в счетном @фактически EконечномA числеD поэтому выбор множества m0 роли не играетF

Теорема 5.1.2.

Наши рассуждения мы подытожим в
Если либо

Hac

, либо

Hac

, то функция

< , E ( , A) >
абсолютно непрерывна на любом отрезке

[a , b] R


1

и

( ( , , ) L1 (R1 )) : < , E ( , A) >=
-

( , , )d . @SFISA

Определенная равенством дующим условиям:

@SFISA функция ( , , ) удовлетворяет сле@SFITA @SFIUA @SFIVA @SFIWA

1. ( Hac ) : п.в. ( , , ) 0, 2. | ( , , )|2 ( , , ) ( , , ), 3. (f L (R1 )) : < , f (A) >= 4.
Множество

f () ( , , )d.

M(A) = { | Hac , | M(A) < }
плотно в

Hac

и функция

| M(A)
определяет на этом множестве норму.

@SFPHA

ДоказательствоF Докажем утверждение PF Остальные утверждения очевидныF Для доказательства утверждения P заметимD что по переменE ным , функция ( , , ) есть эрмитова формаD которая неотрицаE тельна на диагоналиF Поэтому утверждение P есть просто неравенство КошиEБуняковскогоF Равенство @SFIVA есть следствие равенства @SFISA и определения функE ции от оператораF QUV


5.2

Волновые операторы и оператор рассеяния.

Пусть Pac (A) проектор на абсолютно непрерывное подпространство опеE ратора AX Pac (A)H = Hac . Пусть B Eсамосоряженный оператор в H F

Определение 5.2.1.

Если существуют пределы
t+

( H ) : W+ (B , A) = lim exp(itB ) exp(-itA)Pac (A), ( H ) : W- (B , A) = lim exp(itB ) exp(-itA)Pac (A),
t-

@SFPIA @SFPPA

то эти пределы называются волновыми операторамиF Далее следуют равенстваD в которых есть индексы +F Эти равенства мы будем понимать как независимые равенстваD в обеих частях которых берутся либо верхние индексыD либо нижниеF Определение волновых операторов можно сформулировать такX

: lim

t+

W+ (B , A) - exp(itB ) exp(-itA)Pac (A) = 0.

@SFPQA

Условия существования волновых операторв мы обсудим позжеD а сейчас мы будем предполагатьD что эти операторы существуют и установим их простейшие свойстваF

Теорема 5.2.1.
тогда

Если волновые операторы

W + (B , A )

существуют, то

1. ( H ) : W+ (B , A) = Pac . 2. E ( , B )W+ (B , A) = W+ (B , A)E ( , A). 3. Im(W+ (B , A)) Pac (B )H.
Проведем доказательство для знака +F ИмеемX

@SFPRA @SFPSA @SFPTA

W+ (B , A) = lim exp(itB ) exp(-itA)Pac (A) =
t t

lim exp(-itA)Pac (A) = Pac (A) .

Первое утверждение теоремы доказаноF QUW


Далее имеемX

( R1 ) : W+ (B , A) exp(-i A) = lim exp(itB ) exp(-itA) exp(-i A)Pac (A) =
t

exp(-i B ) lim exp(itB ) exp(-itA))Pac (A) = exp(-i B )W+ (B , A),
t

следовательноD

exp(-i B )W+ (B , A) = W+ (B , A) exp(-i A).
Поэтому

( , ) : < , exp(-i B )W+ (B , A) >= < , W+ (B , A) exp(-i A) >=< W+ (B , A) , exp(-i A) >, exp(-i )d < W+ (B , A) , E ( , A) >= exp(-i )d < , E ( , B )W+ (B , A) >,
и из единственности преобразования Фурье следует равество

< , E ( , B )W+ (B , A) >=< W+ (B , A) , E ( , A) >,
поэтому

( , ) : < , W+ (B , A)E ( , A) >=< , E ( , B )W+ (B , A) > .
Второе утверждение теоремы доказаноF Из этого утверждения следуетD что

( H ) : < W+ (B , A) , E ( , B )W+ (B , A) >= < W+ (B , A)Pac (A) , W+ (B , A)E ( , A)Pac (A) >= < W+ (B , A) W+ (B , A)Pac (A) , E ( , A)Pac (A) >
Правая часть этого равенства есть абсолютно непрерывная функция паE раметра F СледовательноD W+ (B , A) Pac (B )H F Теорема доказанаF Соотношение @SFPSA называется сплетающим свойством волновых опеE раторовF QVH


Замечание

SFPFI. Из сильной сходимости операторовX

: An A , n
не следует

ряD

сильная сходимость их сопряженныхD поэтомуD вообще говоE

W+ (B , A) = W+ (A , B ).

Следующая теорема называется теоремой об умножении волновых операторовF
ществуют, то волновой оператор равенство

Теорема 5.2.2.

Если волновые операторы

W+ (B , A) и W+ (C , B ) суW+ (C , A) существует и выполнено
@SFPUA

W+ (C , A) = W+ (C , B )W+ (B , A).
ДоказательствоF Сначала заметимD что
t+

lim exp(itC ) exp(-itB )(Pac (B ) - id) lim exp(itB ) exp(-itA)Pac (A) =
t+ t+

(Pac (B ) - id) lim exp(itB ) exp(-itA)Pac (A) = 0.
С учетом этого замечанияD имеемX

W+ (C , B )W+ (B , A) = lim exp(itC ) exp(-itB )Pac (B ) lim exp(itB ) exp(-itA)Pac (A) =
t+ t+ t+ t+ t+ t+

lim exp(itC ) exp(-itB ) lim exp(itB ) exp(-itA)Pac (A)+
t

lim exp(itC ) exp(-itB )(Pac (B ) - id)Ч lim exp(itB ) exp(-itA)Pac (A) =

lim exp(itC ) exp(-itA)Pac (A) = W+ (C , A).

Теорема доказанаF

Определение 5.2.2. Теорема 5.2.3.
ный, то

Если

Im(W+ (B , A)) = Pac (B )H,
то волновой оператор W+ (B , A) называется полнымF
Если хотя бы один волновых операторов

@SFPVA

W + (B , A )

пол-

QVI


1. Этот оператор обратим и операторы унитарно эквивалентны:

E ( , B )Pac (B )

и

E ( , A)Pac (A)

( Pac (B )H ) : E ( , B )Pac (B ) = W+ (B , A)E ( , A)Pac (A)W+ (B , A)-1
2. Существует волновой оператор то они полны. 3. Если существуют оба волновых оператора

@SFPWA
и

W + (A , B ). W + (B , A )

W+ (A , B ),

ДоказательствоF Если выполнено условие @SFPVAD то к пространствам Pac (A)H , Pac (B )H и оператору

W+ (B , A) L(Pac (A)H Pac (B )H )
мы можем применить теорему Банаха об обратном операторе @смF стрF IUHA и первое утверждение теоремы следует из равенства @SFPTAF Если

( Pac (B )H ) , ( Pac (A)H ) : = W+ (B , A),
то

( Pac (B )H ) :
t+

t+

lim

- exp(itB ) exp(-itA) =

lim

exp(itA) exp(-itB ) - = W+ (A , B ) - .

Второе утверждение теоремы доказаноF Если существуют оба волновых оператораD то по теореме об умножеE нии волновых операторов имеемX

Pac (A) = W+ (A , B )W+ (B , A), Pac (B ) = W+ (B , A)W+ (A , B ).
Эти равенства доказываютD что

Pac (A)H = Im(W+ (A , B )) , Pac (B )H = Im(W+ (B , A)).
Теорема доказанаF Пусть существуют волновые операторы W+ (B , A)F

Определение 5.2.3.
тор

Оператором рассеяния S (B , A) называется операE
def

S (B , A) = W+ (B , A) W- (B , A).
QVP

@SFQHA


Теорема 5.2.4.

Оператор рассеяния

S (B , A)

коммутирует с любой

ограниченной борелевской функцией оператора

A.

ДоказательствоF ИмеемX

f (A)S (B , A) = f (A)W+ (B , A) W- (B , A) = (W+ (B , A)f (A)) W- (B , A) = (f (B )W+ (B , A)) W- (B , A) = W+ (B , A) f (B )W- (B , A) = W+ (B , A) W- (B , A)f (A) = S (B , A)f (A).
Теорема доказанаF
5.3 Признаки существования волновых операторов и принцип инвариантности волновых операторов.

Сначала мы докажем несколько вспомогательных утвержденийF

Лемма 5.3.1.

Если

K

-компактный оператор, то

( Hac ) : lim K exp(-itA) = 0.
t

@SFQIA

ДоказательствоF Используя разложение Шмидта @смF @RFTHA на стрF PWWAD мы получаемX

K exp(-itA)
1j n

2

= sj (K )2 | < gj , exp(-itA) > |2
j >n 2

sj (K )2 | < gj , exp(-itA) > |2 +
1j n

sj (K )2 | < gj , exp(-itA) > |2 + sn (K )2

, sn (K ) 0 , n .

Но

( Hac ) : < gj , exp(-itA) >=

exp(-it) ( , gj , )d 0 , t ,

что и доказывает наше утверждениеF Следующая важная в теории рассеяния лемма называется леммой МF РозенблюмаF QVQ


Лемма 5.3.2.

Если

T

- оператор Гильберта-Шмидта (см. определение

нормы Гильберта-Шмидта на стр. 302)и

M(A)
2

(определение этого

пространства см. на стр. 378), то справедлива оценка:

T exp(-itA) 2 dt 2 | M(A)

T | H S 2.

@SFQPA

ДоказательствоF Используя разложение ШмидтаD мы получаемX

T exp(-itA) 2 dt =
1j <

sj (T )2 | < gj , exp(-itA) > |2

dt =

sj (T )2
1j <

|

( , gj , ) exp(-it)d|2 dt.

Интеграл по d мы можем рассматривать как преобразование Фурье по переменной от переменной к переменной tF Используя равенство Парсеваля для преобразования Фурье по и неравенство @SFIUAD мы поE лучаемX

T exp(-itA) 2 dt = 2
1j <

sj (T ) sj (T )
1j <

2

| ( , gj , )|2 d | ( , gj , gj ) ( , , )|d sj (T )
1j < 2

2

2

2 | M(A)

2

( , gj , gj )d = 2 | M(A)

2

T | H S 2.

Лемма доказанаF Пусть A и B Eсамосопряженные операторы с общей областью опредеE ления Dom(A) = Dom(B ) = D и R Eплотное в Hac множествоX

Cl(R) Hac ,
которое содержится в области определения операторов A и B X

R D.
Множество R с такими свойствами всегда существуетX можно положить R = Mb (A)D и множеств с такими свойствами может быть многоF Следующее простое утверждение оказывается очень полезным в теоE рии рассеянияF Это Eпризнак Кука существования волновых операторовF QVR


Лемма 5.3.3.
бованиям и

Если множество


R

удовлетворяет описанным выше тре-

( R) :
-

(B - A) exp(-iAt) dt < , W + (B , A )
существуют.

@SFQQA

то волновые операторы

ДоказательствоF Положим

W (t) := exp(itB ) exp(-itA).
Так как

@SFQRA

W (t) 1,
то в силу теоремы БанахаEШтейнгауза @смF стрF ITQA для доказательства существования пределов @SFPIAE@SFPPA для всех Hac достаточно доE казать существование этих пределов для RF Так как Dom(A)D то

exp(-i A) Dom(B ) ,

d d W ( ) , W ( ) C ((0 , ) , H ). d d

Докажем существование предела @SFPIAF ИмеемX
t

(W (t) - W (s)) =
s

d W ( )d = i d

t

exp(i B )(B - A) exp(-i A)d ,
s t

(t > s > s( )) : (W (t) - W (s))
s

(B - A) exp(-i A) d < .

Существование предела @SFPPA доказывается аналогичноF Лемма доказаE наF Рассмотрим примерF Пусть H = L2 (R3 ) , A = - , B = - + V , где V Eоператор умножения на действительную непрерывную функцию v (x)D которая удовлетворяет оценке

(x R3 ) : |v (x)| C (1 + |x|)-

(1+ )

,

> 0.

@SFQSA

Докажем существование волновых операторов W+ (B , A)F ИмеемX

( H ) : < , E ( , A) >= (2 )-3
2 <

|( )|2 d ,

QVS


Так как правая часть этого равенства есть абсолютно непрерывная функE ция параметра при любом H D то в рассматриваемом случае

Pac (A)H = Hac = L2 (R3 )
и у оператора A нет сингулярного спектраF В силу известной в теории преобразования Фурье теоремы Винера множество функций вида

=
1j n

j exp(-(x - aj )2 ) , aj R3 , n = 1 , 2 . . .

плотно в L2 (R3 )D поэтому для доказательства существования волновых операторов W+ (B , A) достаточно доказатьD что


J (t)dt < ,
-

@SFQTA

где

J (t) = V exp(-itA)
ИмеемX

0

, 0 = exp(-(x - a)2 ).

exp(-itA)0 (x) = F (t)-
3/2

-1

(exp(it 2 )F (exp(-(ћ - a)2 ))(x) =

exp(-(x - a)2 / (t)) , где (t) = 1 + 4it.

В силу оценки @SFQSA

|V exp(-itA)0 (x)| < C | (t)|-3/2 (1 + |x|)-
Пусть число q удовлетворяет оценке

(1+ )

exp(-(|x - a|/| (t)|)2 ).

3 3
и

11 + = 1. pq

Тогда по неравенству Гельдера имеемX
1/2

J (t) C | (t)|-3 C | (t)|-3
/2

/2

(1 + |x|)
-2q (1+ )

-2(1+ )

exp(-2((x - a)/| (t)|)2 )dx exp - 2p|x - a|2 | (t)|2 dx


1/2p

1/2q

(1 + |x|)
3/2q

dx



const.| (t)|-

.

Так как 3/2q > 1D то отсюда следует оценка @SFQTAF Одним из основных признаков существования волновых операторов является следующийF QVT


Теорема 5.3.1.
и оператор

Пусть

A

и

B

-самосопряженные операторы с общей

областью определения

Dom(A) = Dom(B ) = D C = B-A
продолжается по непрерывности до ядерного оператора. Тогда волновые операторы

W+ (B , A)

существуют и полны.

Доказательству этой теоремы мы предпошлем несколько леммF Мы будем доказывать существование оператора W+ (B , A)D доказательство существования оператора W- (B , A) аналогичноF Пусть

Z (t , s) = W (t) (W (t) - W (s)) = id - exp(itA) exp(-i(t - s)B ) exp(-isA).
Прямым вычислением доказывается

Лемма 5.3.4.

Справедливо равенство
2

(W (t) - W (s))

=< , Z (t , s) > + < , Z (s , t) > .

@SFQUA

В формуле @SFQVA и в аналогичных формулах ниже символом [D , F ] мы обозначаем операторD который задает квадратичную форму на облаE сти D @и не обязательно является оператором в пространстве H AX

( D) : < , [D , F ] >:=< D , F > - < F , D > .

Лемма 5.3.5.
a

Справедливо равенство

( D , a > 0) : < , Z (t , s) >= < , exp(iaA)Z (t , s) exp(-iaA) > + i
0

< , exp(i(b + t)A)[C , exp(-i(t - s)B )] exp(-i(s + b)A) > db.
@SFQVA

ДоказательствоF Справедливо равенство

< , Z (t , s) > - < , exp(iaA)Z (t , s) exp(-iaA) >= a d < , exp(ibA)Z (t , s) exp(-ibA) > db = - 0 db
a

-i
0

< , exp(i(b + t)A)[A , exp(-i(t - s)B )] exp(-i(s + b)A) > db.
QVU


Но

[A , exp(-i(t - s)B )] = [A + C , exp(-i(t - s)B )] - [C , exp(-i(t - s)B )], [A + C , exp(-i(t - s)B )] = [B , exp(-i(t - s)B )] = 0
Лемма доказанаF

Лемма 5.3.6.

Справедливо соотношение:

( D) : lim

a

exp(iaA)Z (t , s) exp(-iaA) = 0.

ДоказательствоF ИмеемX
t

Z (t , s) exp(-iaA) = W (t)
s t

d exp(i B ) exp(-i( + a)A) > d = d

iW (t)
s

exp(i B )(B - A) exp(-i( + a)A)d .

Поэтому в силу леммы SFQFI
t

exp(iaA)Z (t , s) exp(-iaA)
s

C exp(-i( + a)A) d 0 , a .

Лемма доказанаF Положим


( M(A)) : R(g , , t) =
t

| < g , exp(-ibA) > |2 db.

Сходимость интеграла следует из леммы МFРозенблюмаF Пусть C = sj (C ) < gj , > ej
1j <

Eразложение Шмидта оператора C F Так как оператор C ядерный @опреE деление ядерного оператора и ядерной нормы смF на стрF QHVAD то

C | N cl :=
1j <

sj (C ) < ,

@SFQWA

и это неравенство мы ниже учитываемF QVV


Лемма 5.3.7.
a

Справедлива оценка

( M(A) , a > 0) : |
0

< , exp(i(t + b)A) exp(-i(s - t)B )C exp(-i(s + b)A) > db| sj (C )R(gj , , s)1/2 .
1j <

(2 )1/2 | M(A)

ДоказательствоF ИмеемX
a

|
0

< , exp(i(t + b)A) exp(-i(s - t)B )C exp(-i(s + b)A) > db|
a

sj (C )|
1j < 0

< , exp(i(t + b)A) exp(-i(s - t)B )ej > Ч

< gj , exp(-i(s + b)A) > db|
1/2

sj (C )
1j < -

| < , exp(i(t + b)A) exp(-i(s - t)B )ej > | db
1/2

2

Ч

| < gj , exp(-ibA) > |2 db
s

.

Далее в силу леммы МFРозенблюма имеемX


| < , exp(i(t + b)A) exp(-i(s - t)B )ej > |2 db =
-

| < exp(-ibA) , exp(-i(s - t)B )ej > |2 db
-

2 | M(A) 2 .
Подставляя это неравенство в предыдущую оценкуD получаем нужное утверждениеF Лемма доказанаF Аналогично доказывается

Лемма 5.3.8.
a

Справедлива оценка

( M(A) , a > 0) : |
0

< , exp(i(t + b)A) exp(-i(s - t)B ) exp(-i(s + b)A) > db| sj (C )R(ej , , t)1/2 .
1j <

(2 )1/2 | M(A)

QVW


Лемма 5.3.9.
(8 )
1/2

Справедлива оценка:
2

( M(A)) : (W (t) - W (s)) | M(A)
1j <


1/2

sj (C )(R(gj , , s)

+ R(ej , , t)

1/2

).

@SFRHA

ДоказательствоF Сначала используем равенство @SFQUAF Затем перехоE дим в @SFQVA к пределу a и используем оценки лемм SFQFUESFQFVF Из оценки @SFRHA легко следует утверждение теоремыF ДействительноD из леммы МFРозенблюма следуетD что

(R(gj , , s)1/2 + R(ej , , t)1/2 ) < const.,
где const. не зависит от j D и из той же леммы следуетD что

j : (R(gj , , s)

1/2

+ R(ej , , t)

1/2

) 0 , min(t , s) .

Так как ряд @SFQWA сходитсяD то из @SFRHA следуетD что

( M(A)) : (W (t) - W (s)) 0 , min(t , s) .
Мы доказалиD что если M(A)D то функция t W (t) имеет преE дел при t F Так как пространство M(A) плотно в Hac D то теорема доказанаF Следующее утверждение называется принципом инвариантности волE новых операторов и позволяет существенно расширить область примеE нимости теоремы SFQFIF

Теорема 5.3.2.

Если выполнены условия теоремы 5.3.1 и

h()

-такая

действительная непрерывно дифференцируемая функция, что

: |h ()| > 0,
то волновые операторы

W+ (h(B ) , h(A))

существуют, причем

( : h () > 0) (W+ (h(B ) , h(A)) = W+ (B , A)), ( : h () < 0) (W+ (h(B ) , h(A)) = W (B , A)).
ДоказательствоF Полагая в @SFRHA s = 0 , t D мы получаемX

( M(A) : W+ (B , A) - (8 )1/2 | M(A)
1j <

2


1/2

sj (C )R(gj , , )

@SFRIA

QWH


В данном неравенстве заменим

exp(-i h(A)).
В левой части неравенства @SFRIA получимX

W+ (B , A) exp(-i h(A)) - exp(-i h(A)) 2 = exp(-i h(B ))W+ (B , A) - exp(-i h(A)) 2 = W+ (B , A) - exp(i h(B )) exp(-i h(A)) 2 .
Переходя к правой части неравенства @SFRIAD воEпервыхD заметимD что

exp(-i h(A)) | M(A) | M(A) .
Далее замечаемD что справедлива оценкаX


| < gj , exp(-ibA) exp(-i h(A)) > |2 db
0

| < gj , exp(-ibA) exp(-i h(A)) > |2 db =
-

|
- -

(gj , exp(-i h(A))) exp(-ib)d|2 db =


2
-

| (gj , exp(-i h(A)) , )| d = 2
-

2

| (gj , , )|2 d < const.,

где константа не зависит от j и F Если функция

( , gj , )
ступенчатаяX

( , gj , ) =

1 , [ , ], 0 , [ , ],

то с учетом неравества h () > 0 мы имеем оценкуX


|
-

exp(-i h() - ib) ( , gj , )d|2 =


const.|


exp(-ib - i h())d|2 < const .( + b)-2 ,

из которой следуетD что в рассматриваемом случае правая часть нераE венства @SFRIA стремится к нулю при F Общий случай получается QWI


из рассмотренного применением теоремы БанахаEШтейнгауза к зависяE щему от параметра семейству отображений пространства L2 (R1 , d) в пространство L2 ((0 , ) , db))X



-

exp(-ib - i h()) (ћ , )d,

так как множество линейных комбинаций ступенчатых функций плотно в L2 (R1 , d)F Совершая в неравестве @SFRIA предельный переход при D мы получаем равенство

W+ (h(B ) , h(A)) = W+ (B , A).
Если выполнено неравенство h () < 0D то в @SFRIA мы делаем замену

exp(i h(A))
и далее расуждаем аналогичноF Теорема доказанаF Принцип инвариантности волновых операторов позволяет доказать существования волновых операторов для пары операторов A и B в том случаеD если удается подобрать гладкую монотонную функцию h() такD чтобы оператор h(A) - h(B ) был бы ядернымF
5.4 Формулы для матрицы рассеяния

Изложенный выше метод исследования задачи рассеяния основан на исE следовании предела оператора W (t) при t и называется нестациоE нарным методомF Другой подход к задаче рассеяния основан на исследоE вании пределов резольвент операторов A и B при стремлении спектральE ного параметра к точке непрерывного спектраF Этод метод технически более сложенD но позволяет получить формулы для вычисления волноE вых операторов и оператора рассеянияF Установим связь между этими двумя методамиF Мы начнем с докаE зательства нескольких вспомогательных утвержденийF ВоEпервыхD покажемD как строится обобщение теории преобразования ФурьеEПланшереля @по другой терминологии Eгильбертова преобразоваE ния ФурьеA на функции со значениями в гильбертовом пространствеF Пусть L2 ([R1 H ] , dt) Eмножество тех непрерывных функций от t R1 со значениями в гильбертовом пространстве H D которые удовлеE творяют условиюX


f (t) 2 dt < .
-

QWP


В пространстве L2 ([R1 H ] , dt) введем скалярное произведение


[f , g ] :=
-

< f (t) , g (t) > dt

и норму

f | L2 ([R1 H ] , dt)

2

:= [f , f ].

Далее тем же символом L2 ([R1 H ] , dt) мы будем обозначать пополнеE ние этого пространства по введенной нормеF На множестве функций f (t) L2 ([R1 H ] , dt) с компактным по t носителем определим преобразование ФурьеX


F (f )( ) :=
-

f (t) exp(-it )dt

Интеграл по dt здесь понимается как интеграл БохнераD тF еF как интеграл Римана от функции со значениями в гильбертовом пространствеF Справедлива формула обращения

f (t) =
и равенство Парсеваля

1 2



F (f )( ) exp(it )d
-

[f , g ] =

1 [F (f ) , F (g )]. 2

Для доказательства этих формул достаточно заметитьD что если {ej } E ортонормированный базис в гильбертовом пространстве H и

f (t) =
j

< ej , f (t) > ej

разложение функции f по этому базисуD то

F (f )( ) =
j

F (< ej , f (t) >)( )ej =
j

< ej , F (f )( ) > ej ,

и доказываемые фомулы для функций с компактным по t носителем слеE дуют из классических формул для скалярного преобразования ФурьеF На функции из L2 ([R1 H ] , dt) они распространяются по непрерывностиF Второе замечаниеD которое нам понадобится нижеD состоит в следуюE щемF QWQ


Если функция f (t) непрерывна на полуоси [0 , ) и
t

lim f (t) = a < ,

то


a = lim
0 0

exp(- t)f (t)dt.

Теперь предположимD что волновые операторы W+ (B , A) существуютF Тогда

< , W+ (B , A) >= lim < , W (t) >=
t t

lim < exp(-itB ) , exp(-itA) >=
0

lim 2
0

exp(-2 t) < exp(-itB ) , exp(-itA) > dt = exp(-2 t)(t) < exp(-itB ) , exp(-itA) > dt.
-

lim 2
0

@SFRPA

Найдем преобразование Фурье функции

g (t) : t (t) exp(- t - itB ) .
ИмеемX


F (g )( ) =
-

(t) exp(-i t - t - itB ) dt =

[
- - 0

exp(-i t - t - it)dt]d E ( , B ) =

(i + i + )-1 d E ( , B ) = iR(i - , B ) .
Воспользовавшись равенством ПарсеваляD из @SFRPA получимX


< , W+ (B , A) >= lim

+0



< R( + i , B ) , R( + i , A) > d.
-

Аналогично доказывается равенство


@SFRQA

< , W- (B , A) >= lim

+0



< R( - i , B ) , R( - i , A) > d.
-

@SFRRA QWR


В общем случае вычисление пределов @SFRQAE@SFRRA Eдовольно трудная задачаD однако в рассмотренной нами @смF стрF QPTA модели Фридерихса эти пределы легко вычисляютсяF Воспользовавшись формулами @RFIRSAE@RFIRTAD мы получаемX



0

< R( + i , B ) , R( + i , A) > d =
-

< Q( + i , B ) , R( + i , A)R( - i , A) > d =
- 1

(
- 1 0

Q( + i , B ) (x) ((x - )2 +

2 -1

) (x)dx)d

Z+ (x) (x)dx =< , Z+ > .

Следовательно
W+ = Z+ , где операторы Z+ определены формулой @RFIRVA на стрF QPUF Обратим внимание на следующее обстоятельствоF Операторы Z+ диаE гонализуют оператор B и удовлетворяют соотношениюX Z+ B = AZ+ , B Z+ = Z+ A,

что согласуется со сплетающим свойством волновых операторовF Так как операторы Z+ унитарныD то справедлива формула
W+ = Z+ = Z -1 +

.

Матрица рассеяния в диагональном представлении оператора A. ПредположимD что пространство H диагонализует оператор AX
H = L2 ((a , b) h) , h = L2 ( , d ), A(ч , ) = ч(ч , ).
ПредположимD что в этом представлении оператор T () при Re 0 есть интегральный оператор с гладким @непрерывным и ограниченным A по переменным , ч , ядромX

(a , b) : T ()(ч , ) =

t( + i0 | ч , ; , )( , )d d .
@SFRSA QWS


Теорема 5.4.1.
оператор

Пусть выполнены сделанные выше предположения и ядерный. Тогда оператор рассеяния в пространстве

B-A

H

задается формулой:

S (B , A) ( , ) = ( , ) - 2 i

t( + i0 | , , , ) ( , )d .
@SFRTA

ДоказательствоF ИмеемX
id - S (B , A) = W+ (B , A)W+ (B , A) - W+ (B , A)W- (B , A) , id - S (B , A) = W+ (B , A)(W+ (B , A) - W- (B , A)) , < , (id - S (B , A)) >= +

- +

d < , W+ (B , A) exp(iB t) exp(-iAt) > dt = dt
< , W+ (B , A) exp(iB t)(B - A) exp(-iAt) > dt =

i
- +

i
- +

< exp(-iB t)W+ (B , A) , (B - A) exp(-iAt) > dt = < W+ (B , A) exp(-iAt) , (B - A) exp(-iAt) > dt =
- +

i i
-

< exp(-iAt) , W+ (B , A) (B - A) exp(-iAt) > dt.

Теперь учтемD что согласно @SFRQA на стрF QWR и @QFIISA на стрF IWQX

< exp(-iAt) , W+ (B , A) (B - A) exp(-iAt) >=


lim

+0



< R( + i , A) exp(-iAt) , R( + i , B )(B - A) exp(-iAt) >=
-

lim

+0

< R( - i , A)R( + i , A) exp(-iAt) , T ( + i , A , B ) exp(-iAt) > .
-

В диагональном представлении оператора AX



R( - i , A)R( + i , A) =



(( - ч)2 +

2 -1

)

( - ч) ,

< . . . exp(-iAt) . . . , . . . exp(-iAt) . . . > dt = (. . . ћ exp(i( - ч)t)dt)dч = 2
QWT

(. . . ћ . . . ( - ч))dч.


Теорема дказанаF В случа модели Фридрихса пространство состоит из одной точкиD и

S () = (1 -

2 i()2 )() = 1 - g ( + i0) 1 - g ( + i0) - 2 i()2 1 - g ( - i0) () = (). 1 - g ( + i0) 1 - g ( + i0)

Мы получили классческую формулуF
5.5 Комментарии и литератутные указания

На русском языке изложение математической теории рассеяния есть в книге PPF В этой книге изложен очень большой материал и подразумеE ваетсяD что читатель может сам восстановить многие технические детали рассужденийF ПокажемD как традиционные задачи дифракции и рассеяния на коE роткодействующем потенциале можно исследовать изложенными выше методамиF Пусть L0 и L дифференциальные операторыD которые описыE вают невозмущенную и возмущенную задачиF Для простоты будем счиE татьD что L0 и L Eдифференциальные операторы эллиптического типаF Пусть G0 ( ) и G( ) Eфункции Грина задач КошиX

G0 ( ) = -L0 G0 ( ) , G( ) = -LG( ).
Функции Грина строятся традиционными методами теории дифференE циальных уравненийX последовательными приближениямиD потенциалаE миD продолжением по параметруF Соответствующие построения подробно описаны в учебной литетатуреF При широких предположениях оператоE ры G0 ( ) и G( ) Eинтегральные операторы с хорошими ядрамиF Далее самосопряженные расширения операторов -L0 и -L определяем как инE финитезимальные операторы полугрупп G0 ( ) , G( ) и полаE гаем A = G0 ( ) , B = G( )F Если оператор L - L0 подчинен @в смысле теории дифференциальных уравнений A оператору L0 D то оператор B - A оказываетсяD как правилоD ядерным и можно применять изложенную выE ше теориюF Имеющие физический смысл величины обычно выражаются через собственные функции непрерывнрго спектра операторов A и B D а эти собственные функции совпадают с собственными функциями операE торов G0 и GF

QWU


QWV


Глава 6 Распределения.

Эта глава посвящена элементарной теории распределений @в русской маE тематической литературе распределения часто называют обобщенными функциямиA и ее можно читать независимо от остальных главF КонечноD знакомый с содержанием главы P Читатель в приведенных конструкциE ях узнает прием построения топологии с помощью базы окрестностей нуля и топологииD индуцированной системой отображенийD знакомый с содержанием главы Q в доказательстве теоремы о полноте пространства распределений узнает вариант принципа равномерной ограниченности и тF дF Однако для понимания всех @за исключением теоремы о существоваE нии фундаментального решения дифференциального уравнения в частE ных производных с постоянными коэффициентамиA утверждений данной главы вполне достаточно тех сведений из математического анализа и наE чал функционального анализаD которые обычно сообщаются студентам на первом и втором курсах физических факультетов университетовF ТеоE ема о существовании фундаментального решения опирается на теорему ХанаEБанахаD которую можно принять без доказательстваF

6.1

Пространство пробных функций.

В теории распределений основными являются два объектаX пространство пробных функций и пространство распределенийF Пространство пробE ных функций Eэто чаще всего линейное пространство LD на котором заE дано некоторое множество норм


:L

x x
QWW



R1 , I . +


Нормой на линейном пространстве называется такая функция торая удовлетворяет условиямX

D коE

1.(x L) : x 0 , ( x = 0) (x = 0). 2. x + y x + y . 3. x = || x .
Мы рассмотрим два пространства пробных функцийX пространство ШварE ца S (Rd ) и пространство функций с компактными носителями D(Rd )F НаE помнимD что носителем функции (x) называется замыкание множества тех точек xD где |(x)| > 0X supp := Cl({x | |(x)| > 0 | x Rd }), а компактные множества в Rd Eэто ограниченные замкнутые множестваF
6.1.1 Пространство Шварца.

Сначала мы рассмотрим пространство Шварца на прямой S (R1 )D обобE щение на случай пространства Rd получается переосмыслением обознаE ченийF Пусть m x R1 , Dx = (-ix )m . Если это не может вызвать недоразуменийD в дальнейшем мы будем опусE кать указание на переменнуюD по которой берется производнаяX
m Dm Dx .

В современой теории дифференциальных уравнений широко применяетE ся преобразование ФурьеD введение множителя -i в оператор дифференE цирования избавляет от необходимости писать этот множитель во многих связанных с преобразованием Фурье формулах и стало общепринятымF Функция (x) принадлежит пространству Шварца S (R1 )D если она бесконечно дифференцируема и вместе с производными убывает на бесконечности быстрее любой степени |x|X

Определение 6.1.1.

( S ) ((m , p) : sup{(1 + x2 )
Положим

p/2

m |Dx (x)| | x R1 } < ).

@TFIA

| (N , S ) :=
0mN , 0pN .

m sup{(1 + x2 )p/2 |Dx (x)| | x R1 }.

@TFPA

Определение TFIFI эквивалентно определению RHH


Определение 6.1.2.
S (R )D если
1

Функция принадлежит пространству Шварца

N : | (N , S ) < .
Отметим полезное неравенство
m (m N , p N ) : |Dx (x)| (1 + x2 )- p/2

@TFQA

| (N , S ) .

Следующие функции принадлежат пространству S (R1 )X

exp(-x2 ) , 1/ ch(x) , exp(-(1 + x2 ) ) , > 0.

Свойства функций из пространства Лемма 6.1.1.
1. Пространство

S (R1 )

.

Перечислим некоторые очевидные свойства пространства S (R1 )F

S (R1 )

-линейное пространство:

( , S (R1 )) : + S (R1 ).
2. Пространство жения функций:

S (R1 )

есть алгебра относительно поточечного умно-

((x) S (R1 ) , (x) S (R1 )) : (x) ћ (x) S (R1 ).
3. Если

(x) S (R1 ),

то

Dm (x) S (R1 ),

причем

Dm | (N , S ) | (N + m , S ) .
4. Если

@TFRA
.

(x) S (R1 )

и

P (x)

-любой полином, то

P (x)(x) S (R1 )

Это свойство можно уточнитьX очевидноD что если (x) S (R1 ) и (x)Eлюбая бесконечно дифференцируемая функцияD которая вместе со всеми производными растет не быстрее степени |x|X
m m , (C (m) , n(m)) , x : |Dx (x)| < C (m)(1 + |x|) n(m)

,

то (x)(x) S (R1 )F Напомним определение преобразования Фурье в пространстве Rd X

F ()( ) :=

ћћћ

exp(-ix )(x)dx ,

x = (x1 , . . . xd ) , dx = dx1 . . . dxd , x = x1 1 + . . . + xd d ,
RHI


формулу обратного преобразования ФурьеX

(x) =
и равенство ПарсеваляX

1 2

d

ћћћ

exp(ix )F ()( )d .

ћћћ

(x) (x)dx = (2 )-d

ћћћ

F () ( )F ( )( )d .

Иногда в формуле для преобразования Фурье берут знак плюс в экспоE ненте и соответственно знак минус в экспоненте в формуле для обратного преобразования ФурьеF Это приводит к изменению знаков в некоторых других формулахF Поясним пользу от введения оператора DF Применяя оператор D к обеим частям равенства в формуле для обратного преобразоваания ФуE рье в одномерном случаеD мы получаемX

D(x) =
СледовательноD

1 2



exp(ix ) F ()( )d .
-

F (Dm )( ) = m F ()( ).

@TFSA

Мы видимD что оператор D просто коммутирует с оператором дифE ференцированияX никаких дополнительных множителей не появляетсяF Напомним формулу для преобразования Фурье от гауссовой экспоE нентыX d/2 ћ ћ ћ exp(-ax2 - ix )dx = exp(- 2 /4a). a В дальнейшем нам будет удобно упростить обозначенияX мы будем счиE татьD что

ћћћ

(. . .)dx
, то

(. . .)dx.
и

Лемма 6.1.2.
2. Если

1. Если

S (R1 )

F () S (R1 )

N , (C (N ) , M (N )) , ( S ) : F () | (N , S ) C (N ) | (M (N ) , S ) . F () S (R1 )
, то

@TFTA

S (R1 ),

причем

N , (C (N ) , M (N )) , : | (N , S ) C (N ) F () | (M (N ) , S ) .
RHP


ДоказательствоF Достаточно доказать первое утверждениеF Пусть x R F ИмеемX
1 + m |Dx F ()(x)| = -

exp(-ixy )y m (y )dy ,

(1 + x )
+ -

2 p/2

m D F ()(x) (1 + x2 )p Dx F ()(x) =

m x

2 ((1 - Dy )p exp(-ixy ))y m (y )dy

@интегрируем по частям A
+


-

2 |(1 - Dy )p y m (y )|dy .

Но очевидно @вспомним формулу для производной от произведения двух функцийAD что существует такая константа C (p , m)D что справедливо неравенство
2 y : |(1 - Dy )p y m (y )| C (p , m)(1 + y 2 ) -1

| (2p + m + 2 , S ) .

Из этого и предыдущего неравенств следует неравенство

(m , p) : sup{ (1 + x2 )p Dm F ()(x) | x R1 } C (p , m) | (2p + m + 2 , S ) ,
из которого и следует утверждение леммыF Так как преобразование Фурье свертки двух функций есть произE ведение преобразований Фурье этих функцийD то из доказанной леммы вытекает

Следствие 6.1.1.

Если

, S (R1 ),
+ -

то их свертка:

(x) :=
принадлежит пространству

(y ) (x - y )dy

S (R1 ). Rd .

Пространство Шварца функций в

УкажемD какие изменения нужно сделать в предыдущих рассуждениE яхD чтобы рассмотреть пространство Шварца функций в Rd . Положим в предыдущих рассуждениях

x = (x1 , x2 , . . . xd ); m = (m1 , m2 , . . . md ) , |m| = m1 + m2 + ћ ћ ћ md . m Dx = (-ix1 )m1 (-ix2 )m2 . . . (-ixd )md .
RHQ

@TFUA @TFVA @TFWA


Далее в предыдущих рассуждениях нужно заменить суммирование по индексам 0 m N на суммирование по индексам 0 |m| N D интеграл по прямой нужно заменить на интеграл по пространству Rd D 2 оператор Dy нужно заменить на оператор Лапласа y F Все остальные рассуждения и формулы остаются без измененияF Формула @TFSA верна и в многомерном случаеD если положить по опреE делению m mm ( Rd ) : m = 1 1 2 2 . . . d d . Ниже мы будем считатьD что наши рассуждения относятся к проE странству Шварца функций в Rd . Таким образомD в дальнешем мы поE лагаем

| (N , S ) :=
0|m|N , 0pN .

m sup{(1 + x2 )p/2 |Dx (x)| | x Rd }.

@TFIHA

6.1.2

Сходимость в простанстве

S (Rd ).

Введем понятие сходящейся в пространстве S (Rd ) последовательностиF

Определение 6.1.3.

Последовательность {n } S (Rd ) сходится к функE ции S в пространстве S (Rd )D если

N : (n - ) | (N , S ) 0 , n .

@TFIIA

Сходимость в пространстве S (Rd ) @условие @TFIIAA мы будем обознаE чать такX S n , n . Положим

( , S ) : dS ( , ) :=
0N <

1 2

N

( - ) | (N , S ) . 1 + ( - ) | (N , S )

ЯсноD что условие @TFIIA эквивалентно условию

dS (n , ) 0 , n .
Читателю предлагается проверитьD что следующие последовательности сходятся к нулю в пространстве S X

exp(-(nx2 + x-2 )) , (exp(-x2 /n) - 1)(x) , S (Rd ),
а последовательность

@TFIPA

(1/n)100 exp(-nx2 )

не сходится к нулю в пространстве S (Rd )F RHR


Определение 6.1.4. Теорема 6.1.1.
S (Rd )
странстве

Последовательность {n } S (Rd ) фундаментальE на в пространстве S (Rd )D если

N : lim sup (n+m - n ) | (N , S ) = 0.
n m>0

@TFIQA

Последовательность .

{n }

сходится в пространстве

в том и только том случае, если она фундаментальна в про-

S (Rd )

ДоказательствоF Необходимость доказывается дословным повторениE ем доказательства необходимости условия Коши для сходимости послеE довательности в метрическом пространствеF Докажем достаточностьD тF еF полноту пространства Шварца относительно метрики dS F Пусть BN Eпополнение пространства S (Rd ) по норме | (N , S ) F Если последовательность {n } фундаментальна в пространстве S (Rd )D то она фундаментальна в каждом пространстве BN D поэтому

N , (
Так как

(N )

BN ) : n - (N BN BN ,

)

0 , n .

+1

то и

(N

+1)

= (N ) :=
0N <

BN = S (Rd ),

N : n - | (N , S ) 0 , n ,
а это и означаетD что последовательность {n } сходится в пространстве S (Rd ) к функции F Теорема доказанаF
6.1.3 Непрерывные операторы в пространстве основных функций.

Определение 6.1.5.

Линейный оператор

A : S (Rd ) S (Rd )
непрерывен в пространстве ШварцаD если из условия

@TFIRA

n 0 , n
следуетD что

S

@TFISA @TFITA

A(n ) 0 , n .
RHS

S


Теорема 6.1.2.

Линейный оператор

A :SS
непрерывен в пространстве Шварца в том и только том случае, если

N , (C (N ) , M (N )) , S : A() | (N , S ) C (N ) | (M (N ) , S ) .

@TFIUA

ДоказательствоF В доказательстве нуждается только необходимость условия @TFIUAF Пусть оператор A непрерывенD но условие @TFIUA не выE полненоF Тогда существует такое N0 и такая последовательность n S D что A(n ) | (N0 , S ) n2 n | (n , S ) . Положим

n = n /(n n | (n , S ) ) .
Так как

(n M ) : n | (M , S ) n | (n , S ) = 1/n 0 , n ,
то Но

n 0 , n . A(n ) | (N0 , S ) n , n ,
что противоречит непрерывности оператора AF Теорема доказанаF Из доказаной теоремы вытекает

S

Теорема 6.1.3.

Операции дифференцирования, умножения на полином,

невырожденной линейной замены переменных:

(x) (Ax + b) ,
пространстве
6.1.4

detA

= 0,

преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье непрерывны в

S (Rd )

.

Определение 6.1.6.

Пространство пробных функций

D(Rd ).

Компактное множесво K1 строго содержится в компактном множестве K2 X

K

1

K2 ,

если существует такое открытое множество OD что

K1 O K 2 .
RHT


Заданная в пространстве Rd функция (x) приE надлежит пространству D(Rd )D если носитель функции (x) компактен и функция (x) бесконечно дифференцируемаF Положим

Определение 6.1.7.

( , supp

K) :
m sup{|Dx (x)| | x K }. 0|m|N

| (N , D(Rd ) , K ) :=

Определение TFIFU эквивалентно следуещемуX

( D(Rd )) (K , supp

K , N : | (N , D(Rd ) , K ) < ),

где K Eкомпактное в Rd множествоF При расмотрении функций из пространства D(Rd ) полезно иметь приE мер функции типа шапочка @или грибAF Приведем пример такой функE цииF Пусть t R1 F Положим

0 (t) =

exp(-(1 - t2 )-2 ) , если |t| < 1, 0 , если |t| 1.

Определим константу C из условия
+

C
-

0 (t)dt = 1

и положим
t

1 (t) = C
-

0 ( )d ,
@TFIVA

(x , x0 , R , ) = 1 ((R2 - (x - x0 )2 )/ 2 ).

Функция (x , x0 , R , ) бесконечно дифференцируема и удовлетворяет условиямX

x : 0 (x , x0 , R , ) 1, (x , x0 , R , ) = 1 , (x - x0 )2 < R2 - 2 , 0 , (x - x0 )2 > R2 + 2 .

Иногда удобнее рассмотреть функцию вида

(x) = 1 (x1 ) . . . d (xd ) , x = (x1 , . . . xd ) Rd ,
RHU


где

j (xj ) = (xj , x

0,j

, Rj ,

j

) , xj R

1

Теперь легко привести пример функции из пространства D(Rd )X достаE точно взять любую бесконечно дифференцируемую функцию и умноE жить ее на функцию (x , x0 , R , )F Для функций из пространства D(Rd ) справедливы утверждения лемE мы TFIFID но преобразование Фурье функции из пространства D(Rd ) есть целая функция и не принадлежит пространству D(Rd )F

Сходимость в пространстве D(R ). Определение 6.1.8. IF Последовательност
d

ь n D(Rd ) сходится к нулю в пространстве D(Rd )D если выполнены два условияX

1. K , n : suppn

K , K - компакт и не зависит от n,
d

@TFIWA @TFPHA

2. N : n | (N , D(R ) , K ) 0 , n .

PF Последовательность n D(Rd ) сходится к функции D(Rd ) в пространстве D(Rd )D если последовательность (n - ) D(Rd ) сходится к нулю в пространстве D(Rd )F

Определение 6.1.9.

Последовательность n D(Rd ) фундаментальна в пространстве D(Rd )D если выполнены два условияX

1. K , n : suppn
n m>0

K , K компакт и не зависит от n,

@TFPIA @TFPPA

2. N : lim sup n+m - n | (N , D(Rd ) , K ) = 0.

Дословным повторением проведенных для пространства Шварца расE суждений легко доказатьD что последовательность n D(Rd ) сходится в пространстве D(Rd ) к функции D(Rd ) в том и только том случаеD если она фундаментальна в пространстве D(Rd )D но для пространства D(Rd ) не существует метрикиD которая задавала бы сходимостьF
6.2 Распределения.

Те элементарные факты из теории распределенийD которые будут доказаE ны нижеD формулируются и доказываются одинаково и для пространства D(Rd )D и для пространства S (Rd )F Для определенности мы в основном рассмотрим случай пространства S (Rd )D оставив читателю формулировE ку и полные доказательства для случая пространства D(Rd ) @как правиE лоD в случае пространства D(Rd ) доказательства можно упроститьAF RHV


6.2.1

Медленно растущие распределения.

Отображение

f : S (Rd )

f () C1

называется линейным функционалом на пространстве S (Rd )D если

(1 , 2 S (Rd )) : f (1 + 2 ) = f (1 ) + f (2 ).
Линейный функционал на пространстве Шварца f называется непреE рывнымD если

((n 0 , n )) (f (n ) 0 , n ).

S

Определение 6.2.1.
d

Линейный непрерывный функционал на пространE стве Шварца S (R ) называется медленно растущим распределениемF

Множество всех медленно растущих распределений обозначается симE волом S (Rd ) F Приведем примерыF Пусть функция f (x) , x R1 D кусочноEнепрерывна и удовлетворяет оценке x : |f (x)| C (1 + |x|)m . @TFPQA Положим

( S ) : f () =
Справедлива очевидная оценкаX

f (x)(x)dx.

@TFPRA

|f ()| C | (m + 2 , S ) ,
из которой следуетD что заданный формулой @TFPRA линейный функциоE нал непрерывен на S (Rd )F СледовательноD формула @TFPRA задает медленE но растущее распределениеF Если функция f (x) и функционал f связаны равенством @TFPRAD то говорятD что функционал f задается функцией f (x) или что функция f (x) задает функционал f F Функционал и задающий этот функционал функцию мы обозначиE ли одним и тем же символомF Это не может привести к недоразумениямD так как аргумент функции есть точка пространства Rd D а аргумент функE ционала есть функция и из контекста обычно бывает ясноD о чем идет речьF Термин медленно растущее объясняется темD что функция f (x) в @TFPRA растет не быстее степениF Однако не любое медленно растущее распределение можно представить в виде @TFPRAF Функционал

() = (0)
RHW

def

@TFPSA


линеен и непрерывенD но он не может быть представлен как интеграл Римана от произведения кусочноEнепрерывной функции и функции из пространства ШварцаF Задаваемый формулой @TFPSA функционал называется EфункциейF Позже мы докажемD что любое медленно растущее распределение можно в некотором смысле представить как предел распределений виE да @TFPRAF ИногдаD чтобы подчеркнутьD что функционал f применяется к функE ции y (y ), значение функционала f на функции мы будем обозначать символом fy ((y ))F
Линейный функционал

непрерывен в том и только том случае, если

Теорема 6.2.1.

f

на пространстве Шварца

S (Rd )

(N , C ) , ( S (Rd )) : |f ()| C | (N , S ) .

@TFPTA

Достаточность условия @TFPTA очевидна из определения сходимости к нулю в пространстве ШварцаF Доказательство необходимости условия @TFPTA аналогично доказательству теоремы TFIFPF Пусть условие @TFPTA не выполненоF Тогда существует такая последовательность n S D что

|f (n )| n2 n | (n , S ) .
Положим

n = n /(n n | (n , S ) ) .
Так как

(n M ) : n | (M , S ) n | (n , S ) = 1/n 0 , n ,
то Но

n 0 , n . |f (n )| n , n ,
что противоречит непрерывности функционала f F Теорема доказанаF

S

Теорема 6.2.2.

Если

f S (Rd )

, то существует такая последователь-

ность непрерывных функций с компактными носителями

fn (x),

что

( S (Rd )) : f () = lim
RIH

n

fn (x)(x)dx.

@TFPUA


Доказательству теоремы мы предпошлем несколько леммF

Лемма 6.2.1.
венством

@TFIVA, то

Если

S (Rd )

и функция

(x , x0 , R , )

определена ра-

(x , 0 , R , 1)(x) (x) , R .
Для доказательства леммы достаточно заметитьD что

S

@TFPVA

( (ћ , 0 , R , 1) - 1) | (N , S ) C (1 + R2 )-1 | (N + 2 , S ) .
Положим

(x , a) =

a

d/2

exp(-ax2 ).

@TFPWA

Лемма 6.2.2.

Если

S (Rd )

, то
S

(x - y , a)(y )dy (x) , a .

@TFQHA

Для доказательства леммы нужно вычислить преобразование Фурье от правой части @TFQHAD воспользоваться примером @TFIPA и непрерывноE стью преобразования ФурьеF Пусть BN Eбанахово пространствоD полученное пополнением пространE ства S (Rd ) по норме | (N , S ) , (y ) D(Rd )F При фиксированном y Rd функция (x - y , a)D рассматриваемая как функция переменной xD принадлежит пространству BN F

Лемма 6.2.3.

Функция

R

d

y (x - y , a) BN , y
со значениями в банаховом

рассматриваемая как функция переменной пространстве

BN

, непрерывно дифференцируема.

Доказательство этой леммы упражнения @следует разложить по y в окрестности точки y = y0 D лой для остаточного члена ряда члена в пространстве BN AF

предоставляется читателю в качестве функцию (x - y , a) в ряд Тейлора воспользоваться интегральной формуE Тейлора и оценить норму остаточного RII


Чтобы не загромождать изложение сложными обозначениямиD дальE нейшее доказательство мы проведем для случая d = 1F Пусть

J (x) =
|y |R

(x - y , a)(y )dy , y R1 ,

y (j ) = R(2j - n - 1)/(n + 1) , 0 j n + 1, 1 z (j ) = (y (j ) + y (j + 1)) , 0 j n, 2 2R sn (x) = (x - z (j ))(z (j )). n + 1 0j n

Лемма 6.2.4.

Справедлива оценка

N : (J - sn ) | (N , S ) C (N )/n.
ДоказательствоF Справедливы оценкиX

@TFQIA

(J - sn ) | (N , S ) =
y (j +1)

(

(
0j n y (j ) y (j +1)

( (x - y , a)(y ) - (x - z (j ) , a)(z (j )))dy )) | (N , S ) ( (x - y , a)(y ) - (x - z (j ) , a)(z (j )))dy ) | (N , S )
y (j ) y (j +1)

(
0j n

( (x - y , a)(y ) - (x - z (j ) , a)(z (j ))) | (N , S ) dy
0j n y (j )

const . n
Мы воспользовались вытекающей из леммы TFPFQ оцекой

( (x - y , a)(y ) - (x - z (j ) , a)(z (j ))) | (N , S ) const1 |y - z (j )|.
Лемма доказанаF Положим

R , a (x) =

(x - y , a) (y , 0 , R , 1)(y )dy ,

(f S (Rd ) ) : f (R , a , y ) = fx ( (x - y , a)) (y , 0 , R , 1).
НапомнимD что индекс у символа функционала означаетD что он примеE няется по переменной xF Из лемм TFPFR и TFPFQ следует RIP


Лемма 6.2.5.

Справедливо равенство

fx (R , a (x)) =

f (R , a , y )(y )dy .

Теперь доказательство теоремы тривиальноF ИмеемX

f () = lim f (R , a ) = lim
R, a

R, a

f (R , a , y )(y )dy .

Пусть функционал определен равенством @TFPSAD n EпоследовательностьD удовлетворяющая условию

() = lim

n

n (x)(x)dx.

@TFQPA

Запись правой части равенства @TFQPA можно упроститьD полагая по опреE делению
n

lim

n (x)(x)dx

(x)(x)dx.

@TFQQA

Символ (x) в @TFQQA не есть обозначение функции и символ интеграла в правой части @TFQQA не есть обозначение интеграла РиманаX символ (x) есть обозначение функционалаD который действует на функцию от переменной x по правилуD задаваемому левой частью равенства @TFQQAD а символ интеграла в правой части равенства @TFQQA указывает на тоD что функционал может быть вычислен как предел интеграловF Такая система обозначений сложилась исторически и удобнаF Следуя смыслу этих обозначенийD для удовлетворяющей разумным условиям функции h(x) по определению полагают

(h(x))(x)dx = lim

def

n

n (h(x))(x)dx,

@TFQRA

где n Eудовлетворяющая условию @TFQPA последовательностьF
6.2.2 Сходимость в пространстве распределений.

Определение 6.2.2.
d

Последовательность медленно растущих распреE делений {fn } S (R ) сходится к распределению f S (Rd ) D если

( S (Rd )) : lim fn () = f ().
n

@TFQSA

Сходимость распределений @условие @TFQSAA мы будем обозначать такX

fn f .
RIQ

S


Последовательность медленно растущих распреE делений {fn } S (R ) фундаментальнаD если для любого элемента S (Rd ) числовая последовательность fn () фундаментальнаF
d

Определение 6.2.3.

Если последовательность медленно растущих распределений сходитE сяD то она фундаментальнаF Если последовательность {fn } S (Rd ) фунE даментальнаD то предел в @TFQSA существуетF Ниже мы докажемD что этот предел задает медленно растущее распределениеF Линейность правой чаE сти @TFQSA по очевиднаF Доказательство непрерывности задаваемого левой частью равенства @TFQSA функционала опирается на утверждениеD которое есть аналог принципа равномерной ограниченности в теории баE наховых пространствF Пусть M S (Rd ) . Положим

m( | M ) = sup{|f ()| | f M }.

Теорема 6.2.3.
то

Если

( S (Rd )) : m( | M ) < , m( | M ) 0 , 0.
S

@TFQTA @TFQUA

ДоказательствоF Пусть условие @TFQUA не выполненоF Тогда существет такое > 0 и такие последовательности {f(1 , n) } M , {(1 , n) } S (Rd )D что S (1 , n) 0 , |f(1 , n) ((1 , n) )| > . Определим номер n(j ) из условия

(1
и положим

, n(j ))

| (j , S ) < 4- ,

j

f

(2 , j )

=f

(1 , n(j ))

(2 , j )

= 2j (1

, n(j ))

.

Эти последовательности удовлетворяют условиямX

{f

(2 , j )

} M , (2

(2

, j)

| (j , S ) < 2 .

S , j) -j

0 , |f

(2 , j )

((2

, j)

)| > 2j , j ,
@TFQVA

ЗаметимD что

k :
1j <

(2

, j)

| (k , S ) < ,

@TFQWA

RIR


так как

(j > k ) : (2 f
Пусть элементы {f(3 номер j0 из условия
, p)

, j)

| (k , S ) < 2-j . = .

Дальнейшие построения проведем по индукцииF Положим
(3 , 1)

=f
(3 , p)

(2 , 1)

,

(3 , 1)

(2 , 1)

,

} , p j уже выбраныF Далее определим
, k)

(k > j0 ) : |f

(2 , k)

((2

)| >
1ij

m((3

, i)

| M) + j + 1

и определим номер j1 из условия

(k > j1 , i j ) : |f
Положим

(2 , i)

((2

, k)

)| < 2-j

f
Пусть

(3 , j +1)

=f

(2 , n(j ))

,

(3 , j +1)

= (2

, n(j ))

, n(j ) = max(j0 , j1 ).

=
1j <

(3

, j)

.

Сходимость ряда в пространстве S (Rd ) следует из оценки @TFQWAD так как по построению {(3 , j ) } {(2 , j ) }F Далее имеемX

|f

(3 , j +1)

( )| |f

(3 , j +1)

((3

, j +1)

)|- |f
(3 , j +1)

|f
1ij

(3 , j +1)

((3 , i) )| -
j +1
((3 , i) )| > j.

Так как S (Rd )D то это противоречит условию @TFQTAF Теорема докаE занаF Из доказанной теоремы следует

Теорема 6.2.4.
пределению.

Если последовательность медленно растущих распре-

делений фундаментальна, то она сходится к медленно растущему рас-

ДоказательствоF Пусть функционал f задан равенством @TFQSAF ДокаE жемD что он непрерывенF Так как для любого S (Rd ) последовательE ность fn () фундаментальнаD то

( S (Rd )) : sup{|fn ()| | n Z} < .
В силу теоремы TFPFQ отсюда следуетX
S

|f ()| sup{|fn ()| | n Z} 0 , 0.
Теорема доказанаF RIS


6.2.3

Случай пространства

D(Rd )

УкажемD какие изменения нужно сделать в формулировке основных теоE рем для случая пространства D(Rd )F Теорема о непрерывности оператора в пространстве основных функций D(Rd ) формулируется такX

Теорема 6.2.5.

Линейный оператор

A : D(Rd ) D(Rd )
непрерывен в том и только том случае, если для любого компакта любых

K

0и

N

существуют такие константы

C (K0 , N ) , M (K0 ),

и такой

компакт

K

, что

( ,

supp

K0 ) :

suppA

K , A | (N , D(Rd ) , K0 ) <

C (K0 , N ) | (M (K0 , N ) , D(Rd ) , K ) .
Доказательство теоремы остается без измененийF Теорема о необходимых и достаточных условиях непрерывности лиE ненейного функционала формулируетя такF

стве

Теорема 6.2.6.
D (R )
d

Для того, чтобы линейный функционал

f

на простран-

был непрерывен, необходимо и достаточно выполнение усло-

вия: для любого компакта

K

существуют такие константы

C (K ) , N (K ),

что выполнено неравенство

( ,

supp

K ) : |f ()| C (K ) | (N (K ) , D(Rd ) , K ) .

@TFRHA

6.2.4

Примеры вычисления пределов распределений.

Рассмотрим примерыF IF Найдем предел при

0 функционалаD заданного формулой



-

1 (x)dx. x-i
RIT


ИмеемX

1 - x - i 1 |x|<1 x - 1 |x|<1 x - +
|x |> 1



(x)dx = (x)dx +

1 (x)dx = i |x |> 1 x - i x+i ((x) - (0))dx + (0) dx 2 2 i |x|<1 x + 1 (x)dx. x-i

Справедливы равенства

lim
0 |x|<1

lim
0 |x|>1

lim
0 |x|<1

1 ((x) - (0))dx x-i 1 (x)dx = x-i |x |> 1 x+i dx = i . x2 + 2

=
|x |< 1

1 ((x) - (0))dx, x

1 (x)dx, x

СледовательноD


lim
0 -

1 (x)dx = i (0) + P x-i

1 x

(),

@TFRIA

где

P

1 x

() =
|x |< 1

1 ((x) - (0))dx + x

|x|>1

1 (x)dx. x

@TFRPA

Таким образомD мы имеемX

1 x i



S

+i (x) + P

1 x

,

0.

Это утверждение нужно понимать в следующем смыслеX распределениеD задаваемое стоящей в левой части равенства функциейD сходится в проE странстве S (Rd ) к распределениюD стоящему в правой части равенстваF Это же утверждение часто записывают в видеX

1 x i0

= +i + P

1 x

.

@TFRQA

Формулы @TFRQA называют формулами СохоцкогоF RIU


PF Найдем предел при n распределенийD задаваемых функциями

fn (x) =
ИмеемX

n

d/2

exp(-nx2 ) , x Rd .

( S (Rd )) : (0) +
-d/2

n

d/2

exp(-nx2 )(x)dx = ( )-

d/2

exp(-x2 )(x/n)dx =

exp(-x2 )((x/n) - (0))dx (0) , n .

Это равенство записывают такX

n

d/2

exp(-nx2 ) (x) , n .

S

QF Найдем предел при n распределенийD задаваемых функциями

f n ( x) =
Из очевидного равенства

sin nx , x R1 . x

1 2



exp(ix )d =
-

sin x x

и формулы для обратного преобразования ФурьеD следуетD что

F

sin x x

( ) =

1 , | | < , 0 , | | > .

Поэтому в силу равенства Парсеваля имеемX


( S (R1 )) :
-

1 sin nx (x)dx = x 2

F ()( )d
| |
1 2



F ()( )d = (0) , n .
-

sin nx S (x) , n . x Приведем другой вывод соотношения @TFRRAF Пусть C = (- , ) {z | z = exp(i) , 2 }
RIV

СледовательноD

@TFRRA

( , ).


На основании теоремы о вычетах и леммы Жордана справедливо равенE ство 1, a>0 exp(iaz ) 1 dz = . 2 i z 0 , a < 0.
C

Отсюда следуетD что

1

-

sin az 1 dz = z

C

sin az dz = 1 , a > 0. z

Справедливо равенство

sin nx (x)dx = x - 1 sin nx 1 sin nx ((x) - (0))dx + (x)dx+ |x |< x | x |> x 1 sin nx (0) (x)dx. |x|< x ( S (R1 )) :
Далее имеемX

1



sin nx 1 |(x) - (0)| ((x) - (0))dx dx = O( ), x |x |< |x| n |x |< sin nx 1 (x)dx 0 , n , |x |> x 1 1 sin nx sin x (0) dx = (0) dx (0) , n . |x|< x |x| Теперь нужно выбрать такD чтобы

0 , n , n .
Утверждение @TFRRA доказаноF RF Вычислим предел распределения

exp(ixt) , t +. (x + i0)
Нам нужно вычислить


( S (R1 )) :

t+ +0

lim lim
RIW

-

exp(ixt) (x)dx. (x + i )


На основе равенства Парсеваля имеемX
-

exp(ixt) 1 (x)dx = x+i 2



F
-

exp(-ixt) x-i



( )F ()( )d .

Далее имеемX

F

exp(-ixt) (x - i )



( ) =


exp(-ix(t + )) dx = (x - i )

2 i exp( (t + )) , (t + ) < 0, 0 , (t + ) > 0.
СледовательноD


lim
+0 -

exp(ixt) (x)dx = x+i F ()( )d -2 i(0) , t - 0 , t +.

-i
(t+ )<0

Окончательно получаемX

exp(ixt) S (x + i0)

0 , t +, -2 i (x) , t -.

SF Рассмотрим функциональную последовательность

fn (x) =
|k|n

exp(2 ik x) , - < x < .

Эта последовательность не имеет предела ни в одной точке x R1 . ДоE кажемD что последовательность распределенийD задаваемых функциями fn (x)D имеет пределF ИмеемX


( S (R )) : fn () =
- m+1

1

fn (x)(x)dx =
1

fn (x)(x)dx =
-
fn (x)
-
(x + m) dx =
y =0

exp(2 k x)
|k|n 0 -
(x + m) dx exp(-2 ik y )

(y + m)
-
,

n .

RPH


Последнее соотношение вытекает из поточечной сходимости ряда Фурье бесконечно дифференцируемой периодической функции

x
-
(x + m).

Полученное нами соотношение часто записывают в виде

exp(2 ik x) =
-
(x - k ).

Математическое содержание этой красивой формулы состоит в утверE жденииD что ряд Фурье бесконечно дифференцируемой периодической функции сходится в точке x = 0F
6.2.5 Дифференцирование и преобразование Фурье распределений.

Определение 6.2.4.

Линейный оператор

T : S (Rd ) S (Rd )
называется непрерывнымD если

(fn 0 , n ) (T (fn ) 0 , n ).

S

S

@TFRSA

ОказываетсяD что в пространстве распределений топология @понятие сходимостиA введена такD что естественно определенные операции дифE ференцирования и преобразования Фурье непрерывныF

Дифференцирование распределений.
Начнем с определения опрерации диференцирования на прямойF ПредпоE ложимD что распределение f задано медленно растущей функцией f (x)X


( S (R )) : f () =
-

1

f (x)(x)dx.

Если производная Df (x) сама есть медленно растущая функцияD то эта производная задает распределение


Df :
-

Df (x)(x)dx = -
-

f (x)D(x)dx = -f (D).

Этот пример мотивирует следующее RPI


Определение 6.2.5.

Производной порядка m распределения f S (Rd ) называется распределениеD которое действует по правилуX

Dm f : ( S (Rd )) , Dm f () = (-1)|m| f (Dm ).
Так как отображение

def

@TFRTA

S (Rd )
непрерывноD отображение

Dm S (Rd )

S (Rd )

(-1)|m| f (Dm ) C1

есть композиция линейных непрерывных отображений и поэтому есть линейное непрерывное отображениеF СледовательноD наше определение корректноX правая часть равенства @TFRTA действительно задает линейE ный непрерывный функционал на пространстве S (Rd )F

Теорема 6.2.7.
S (Rd )
.

Операция дифференцирования непрерывна пространстве

ДоказательствоF Если

fn 0 , n ,
то поэтому

S

( S (Rd )) : Dm fn () = (-1)
S

|m |

fn (Dm ) 0 , n ,

Dm fn 0 , n .
Теорема доказанаF Рассмотрм примерыF IF Пусть распределение S (R1 ) задается функцией

( x) =

1 , x > 0, 0 , x < 0.

Найдем производную этого распределенияF По определению имеемX


( S (R1 )) : iD( = -(iD) = -
0

d (x)dx = (0). dx

СледовательноD

d (x) = (x). dx
RPP


Данное равенство нужно понимать в следуещем смыслеX производная распределенияD задаваемого функцией (x)D есть распределение (x)F СреE ди физиков бытует следующая интерпретация этого равенстваX произE водная функции (x) равна нулю всюдуD кроме точки x = 0D а в точке x = 0 эта производная равна бесконечностиF Это бессмысленное на перE вый взгляд утверждение получает математически корректную интерпреE тациюD если рассмотреть аппроксимацию распределений в обеих частях данного равенства распределениямиD задаваемыми гладкими функцияE миF PF Пусть - = a0 < a1 < . . . < an < an+1 = . ПредположимD что функция f (x), x R1 удовлетворяет оценке

x : |f (x)| < C (1 + |x|)N ,
непрерывно дифференцируема на каждом интервале (ai , a и имеет пределы в точках ai , 1 i nF Положим
i+1

)0in

floc (x) =

f (x) , x (ai , ai+1 ) 0 i n, 0 , x {ai | 1 i n}

ПредположимD что функция floc (x) удовлетворяет оценке

x : |floc (x)| < C (1 + |x|)M .
Найдем производную распределенияD задаваемого функцией f (x)F ИмеE емX

d df () = -f ( ) = - dx dx - ((f (a
0in i+1



f (x)
-

d dx = - dx

ai+1

f (x)
0in ai ai+1

d dx = dx

- 0)(a

i+1

) - f (ai + 0)(ai )) -
ai

f (x)(x)dx) =

(f (ai + 0) - f (ai - 0))(ai ) +
1in -

floc (x)(x)dx.

Полученное равенство можно записать в виде

df (x) = dx

(f (ai + 0) - f (ai - 0)) (x - ai ) + floc (x).
1in

RPQ


Это равенство означает следующееX производная распределенияD задаваE емого функцией f (x)D есть линейная комбинация EфункцийD сосредотоE ченных в точках разрыва функции f (x) и распределенияD задаваемого функцией floc (x)F QF Найдем первую и вторую производную распределенияD задаваемого функцией |x|F ИмеемX

d |x| | (x) >= - ( S (R )) : < dx 0 d(x) d(x) x x - dx + dx = dx dx 0 -
1



|x|
-

d(x) dx = dx

sign(x)(x)dx,

где sign(x) = СледовательноD

1 , x > 0, -1 , x < 0.

d|x| = sign(x). dx Данное равенство нужно понимать такX производная распределенияD заE даваемого функцией |x|D есть распределениеD задаваемое функцией sign(x) = 2(x) - 1F Используя решение предыдущей задачиD находимX d2 |x| = 2 (x). dx2
QF Найдем производную распределения емX
1 x-i0

F Согласно определениюD имеE

<

d dx

1 x - i0 -
x=0

| (x) >= - <

1 x - i0

|

- i (x)

(x) - (0) dx - x
|x |< 1 |x |> 1

d (x) >= dx (x) dx = x

- i (x)
x=0

- lim
0 < |x |<

(x) dx = x 1 d((x) - (0)) = x
< |x |<

- i (x)
x=0

- lim
0

- i (x)
x=0

- lim
0 < |x |<

(x) - (0) dx. x2
RPR


СледовательноD

d dx
где распределение P
1 x2

1 x - i0

= i (x) - P

1 x2

,

задается формулойX

P

1 x2

() := lim
0 < |x |<

(x) - (0) dx. x2

RF Найдем производную от EфункцииF ИмеемX

< Dm | >= (-1)|

m|

< | Dm >= (-1)

|m|

Dm (x)
x=0

.

Преобразование Фурье медленно растущих распределений.
Если распределение f S (Rd ) задается функцией f (x) S (Rd )D то преобразование Фурье функции f (x) задает распределение по формуле

( S (Rd )) : F (f )() =

F (f )(x)(x)dx =

exp(-ixy )f (y )dy (x)dx = f (y ) exp(-ixy )(x)dx dy = f (F ()).

Эта формула мотивирует следующее

Определение 6.2.6.

Преобразованием Фурье распределения f S (Rd ) называется распределение F (f ) S (Rd ) D вычисляемое по формуле

( S (Rd )) : F (f )() = f (F ()).

def

@TFRUA

Как и вышеD легко доказыветсяD что это определение корректно и что отображение

S (Rd )
непрерывноF

f F (f ) S (Rd )

RPS


Примеры вычисления преобразований Фурье медленно растущих распределений.
Рассмотрим примерыF IF Найдем преобразование Фурье распределенияD задаваемого функE цией f (x) 1F ИмеемX


F (1)() =
-

F ()( )d =
d

(2 )d (2 )-
СледовательноD

exp(ix )F ()( )d
x=0

= (2 )d (0).

F (1)( ) = (2 )d ( ).
Иногда фраза преобразование Фурье распределенияD задаваемого функE цией f (x) сокращается до фразы преобразование Фурье функции f (x)F Однако обычно нетрудно понятьD о чем идет речь и такая вольность речи не приводит к недоразумениямF PF Найдем преобразование Фурье распределенияD задаваемого функE цией f (x) x , x R1 F ИмеемX

F (x)((x)) = i

x

exp(-ixy )(y )dy dx =

d exp(-ixy ) (y )dy dx = dy d (exp(-ixy ) -i (y )dy dx = -2 i (0). dy F (x) = 2 i (x).
QF Найдем преобразование Фурье распределенияD задаваемого функцией (x)F Это распределение есть предел распределенийD задаваемых функE цией (x) exp(- x) , 0F СледовательноD преобразование Фурье расE пределенияD задаваемого функцией (x)D есть предел распределений заE даваемых функцией (x) exp(- x) , 0F Преобразование Фурье расE пределенияD задаваемого функцией (x) exp(- x)D задается преобразоваE нием Фурье функции (x) exp(- x)X


(x) exp(- x - i x)dx = -i( - i )-1 .
-

RPT


СледовательноD преобразование Фурье распределенияD задаваемого функE 1 цией (x)D есть распределение -i -i0 X

F ((x))( ) = -i

1 . - i0

1 RF Найдем преобразование Фурье распределения P x F Это распредеE ление есть предел распределенияD задаваемого функцией (|x|- )/x , 1 0F СледовательноD преобразование Фурье распределения P x задается функциейD которая есть предел преобразований Фурье

lim
0 - -

-i

(|x| - ) exp(-ix )dx = x sin(x ) dx = -i sign( ). x

Случай пространства

D (Rd )

.

Определение операции дифференцирования в пространстве D (Rd ) и свойE ства этой операции совпадают с определением и свойствами операции дифференцирования в пространстве медленно растущих распределенийF Мы не определяем преобразования Фурье распределений из D (Rd )F
6.2.6 Действие аффинной группы на распределения.

НапомнимD что аффинной группой называется группа преобразований пространства Rd D которая действует по правилу

(x Rd ) : x = Ax + a , det(A) = 0 , a Rd .

@TFRVA

Аффинную группу можно отождествить с множеством пар {(A , a)}D где A Eневырожденная матрицаD a Rd F Закон композиции в аффинной группе задается равенством

(A1 , a1 ) ћ (A2 , a2 ) = (A1 A2 , A1 a2 + a1 ).
Формула @TFRVA определяет левое действие аффинной группы в Rd D коE торое порождает левое действие аффинной группы на заданных в Rd функцияхX (A , a)(x) = (Ax + a). RPU


Если функция x f (x) порождает распределение f ()D то функция x f (Ax + a) порождает распределение



f (Ax + a)(x)dx = |det(A)|-1

f (x)(A-1 (x - a))dx =
@TFRWA

|det(A)|-1 fx ((A-1 (x - a))).

Формула @TFRWA порождает правое действие аффинной группы на расE пределенияX

(f (A , a))() = |det(A)|-1 fx ((A-1 (x - a))).

@TFSHA

Эта формула и принимается за правило замены переменных в распреE деленияхF Приведем примерF

( (A , a))() = |det(A)|-1 x ((A-1 (x - a)) = |det(A)|-1 (-A-1 a).
Некоторые авторы считают естественным сопоставить левому действию аффиной группы на точки пространства правое действие группы на функцииF В таком случае для сохранения связи между функциями и поE рождаемыми ими распределениями на распределения аффинная группа должна действовать слеваF
6.2.7 Свертка рспределения и функции.

В этом пункте формулировки утверждений и доказательства не зависят от тогоD какие пространства рассматриваютсяX S или DF НапомнимD что сверткой f функций f и называется функция

Rd

x f (x) :=

f (y )(x - y )dy .

Свертку распределения и основной функции естественно определить форE мулой f (x) = lim fn (x),
n

где fn Eтакая последовательность фукнцийD что

( S (Rd )) : f () = lim

n

fn (y )(y )dy .

Однако при этом возникают проблемы с обоснованием некоторых преE дельных переходов и удобно поступить иначеF RPV


Введем операторы инверсии основной функцииX inv(x) := (-x), сдвига основной функцииX

(z Rd ) : t(z )(x) := (x - z )
и сдвига распределенияX

(t(z )f )() := fy ((y + z )).
Эти операции непрерывны в соответствующих пространствахF

Определение 6.2.7.
называется функция

Сверткой распределения f и основной функции @TFSIA

Rd

x f (x) := f (t(x)inv) = fy ((x - y )).

Корректность данного определения следует из непрерывности операE ции инверсии и сдвигаF Нужные нам свойства свертки распределения и основной функции перечислены в

Теорема 6.2.8.

1. Свертка коммутирует со сдвигами:

t(z )(f (x)) = (t(z )f ) (x) = f (t(z ))(x).
2. Свертка коммутирует с дифференцированиями:
m m Dx (f (x)) = (Dm f ) (x) = f (Dx )(x).

@TFSPA @TFSQA

Доказательство первого утверждения проводится прямым вычислеE ниемF ИмеемX

t(z )(f (x)) = t(z )fy ((x - y )) = fy ((x - z - y )), (t(z )f ) (x) = (t(z )f )y ((x - y )) = fy ((x - (y + z ))) = fy ((x - z - y )), f (t(z ))(x) = f (t(x)inv(t(z ))) = fy (t(x)(-y - z )) = fy ((x - y - z )).
Переходим к доказательству второго утвержденияF Введем оператор

lj ( x) : lj ( x)(x) = 1 ((x1 , . . . xj + x, . . . , xd ) - (x1 , . . . , xd )) = x
1

(xj )(x1 , . . . , xj +
0

x, . . . , xd )d .

Из непрерывности оператора сдвига в простанствах S (Rd ) и D(Rd ) слеE дует RPW


ливо утверждение:

Лемма 6.2.6.

В пространстве

S (Rd )

и в пространстве

D(Rd )

справед-

lj ( x)(x) xj (x1 , . . . , xj , . . . , xd ) ,

x 0.

Используя коммутативность оператора свертки со сдвигом и лемму TFPFTD мы получаемX

xj (f )(x) = lim lj ( x)(f )(x)
x 0

lim f lj ( x)(x) = (f xj )(x).
x 0

Далее замечаемD что
m (Dm f ) (x) = (Dm f )y ((x - y )) = (-1)|m| fy (Dy (x - y ))

= fy ((Dm )(x - y )).
Теорема доказанаF
6.2.8 Прямое произведение распределений.

В этом пункте в качестве пространства основных функций и пространE ства распределений мы будем рассматривать пространства D(Rd ) и D (Rd )F Очевидна

Лемма 6.2.7.
то функции

Если

z = x y , x Rp , y Rq , (z ) D(Rp+q ), x (x y ) , y (x y )
принадлежат пространствам

Лемма 6.2.8.
то

D(Rp )

и

D(Rq )

соответственно.

Если

x Rp , y Rq , z = x y , (z ) D(Rp+q ) , g D (Rq ), gy ( (x y )) D(Rp ).
ДоказательствоF Без ограничения общности мы будем считатьD что supp K1 K2 , K1 = {x | x Rp , |xj | a , 1 j p}, K2 = {x | x Rq , |xj | a , 1 j q }. RQH


Из леммы TFPFT следуетD что
m m Dx gy ( (x y )) = gy (Dx (x y )),

поэтому

gy ( (x y )) | (N , D(Rp ) , K1 ) =
m sup{|Dx gy ( (x y ))|x K1 } = 0|m|N m sup{|gy (Dx (x y ))|x K1 } 0|m|N

В силу теоремы TFPFT существуют такие не зависящие от и поэтому не зависящие от x константыD что
m m |gy (Dx (x y ))| C (K2 ) Dx (x y ) | (M (K2 ) , D(Rq ) , K2 ) =

C (K2 )
0|n|M (K2 )

nm sup{|Dy Dx (x y )|y K2 } < ,

СледовательноD

(K Rp , N ) , (C (K , N ) , K0 Rp+q , M (K , N ) < ) : gy ( (x y )) | (N , D(Rp ) , K ) < C (K , N ) | M , D(Rp+q ) , K

0

< . @TFSRA

Лемма доказанаF Из леммы TFPFV следуетD что корректно определено линейное отобраE жение

(g D (Rq ) , r D (Rp )) : D(Rp+q ) (x y ) rx (gy ( (x y ))).
Из оценки @TFSRA следуетD что отбражение @TFSSA непрерывноF

@TFSSA

Определение 6.2.8.

Определенное формулой @TFSSA отображение назыE вается прямым произведением распределений g D (Rq ) и r D (Rp )X

r g : D(Rp+q )

(x y ) r g ( ) := rx (gy ( (x y ))).

Теорема 6.2.9.

Аналогом теоремы Фубини для распределений является
Прямое произведение распределений коммутативно:

(g D (Rq ) , r D (Rp ) , D(Rp+q )) : rx (gy ( (x y ))) = gy (rx ( (x y ))).
RQI

@TFSTA


Для доказательства этой теоремы докажем имеющую самостоятельE ный интерес леммуF

Лемма 6.2.9.
c
|j |
Множество всех функций вида

N (x1 . . . , xd ) =
1,...,d 1

(x1 ) . . . d (xd ) ,

j

D(R1 ) , N = 1 . . .

@TFSUA

плотно в

D(Rd ). D(Rd ) , supp K , K = {x | x Rd , |xj | a}.

ДоказательствоF Пусть В кубе K0 = {x | x Rd , |xj | 2a} разложим функцию в ряд Фурье по ортонормированной системе

en (x) = (4a)-
ПолучимX

d/2

exp(i (n , x)/2a) , n Zd , x Rd . cn exp(i (n , x)/2a),
|n|<

(x) =

@TFSVA

причем ряд @TFSVA сходится абсолютноD равномерно и его можно диффеE ренцировать почленно любое число разF Пусть (t) Eфункция типа гриб и

(t) =
Положим

1 , |t| < (4/3)a 0 , (5/3)a < |t| 2a.
@TFSWA

N (x1 . . . , xd ) = (x1 ) . . . (xd )
|n|
cn exp(i (n , x)/2a).

Функция N есть функция вида @TFSUA и

N , N .

D

@TFTHA

Лемма TFPFW доказанаF Теорема TFPFW следует из леммы TFPFWD так как на функциях вида @TFSUA равенство @TFSTA верноF Пример прямого произведения распределений E EфункцияX

(x) = (x1 ) . . . (xd ).
Из @TFSWA следуетD что

(f D , supp

K ) : f (N ) f ( ).
RQP


TFPFI. Подставляя в @TFTHA выражения для коэффициентов ФурьеD мы получимD что для любого компакта K и любого функционала f D существует такая последовательность функций {fN C (Rd )D что (supp K ) : f ( ) = lim fN (x) (x)dx.
Замечание
N K

В качестве последовательности f

N

можно взять последовательность

fN (x) = (4a)

-d |n|N

fy ( (y1 ) . . . (yd ) exp(-i (n , y )/2a)) exp(i (n , x)/2a).

ОтметимD что отсюда легко следует теорема TFPFPF
6.3 Фундаментальные решения дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.

Дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами назыE вается оператор вида

P (D) =
0|m|N

m a(m)Dx ,

@TFTIA

где

m = (m1 , . . . , md ) Zd , |m| = m1 + ћ ћ ћ md , a(m) C1 , m Dx = (-ix1 )m1 ћ ћ ћ (-ixd )md .
Оператор @TFTIA имеет порядок N D если

A(P )2 :=
|m|=N

|a(m)|2 = 0.

@TFTPA

В дальнешем мы будем предполагать это условие выполненнымF

Определение 6.3.1.

Распределение E называется фундаментальным решением для оператора P (D)D если

P (D)E = .
RQQ

@TFTQA


Часто вместо термина фундаментальное решеие для оператора P (D) используют термин фундаментальное решеие для уравнения

P (D)w = u.

@TFTRA

так как если E Eфундаментальное решение для оператора P (D)D то функE ция w =Eu есть решение уравнения @TFTRAX

P (D)(E u) = (P (D)E ) u = u = u.
6.3.1 Существование фундаментального решения для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами.

В этом параграфе мы будем считатьD что пространство основных функE ций есть D(Rd ) и пространство распределений есть D (Rd ). Мы докажемD что уравнение @TFTQA имеет решение в пространстве D (Rd ). ДоказательE ству мы предпошлем несколько леммF Сначала мы напомним известное в теории функций комплексной пеE ременной неравенствоF

Лемма 6.3.1.
рывна при

Если функция

f (z ) 1 2

аналитична в круге
2

|z | < 1

и непре-

|z | 1,

то справедливо неравенство

|f (0)|

|f (exp(i)|d.
0

@TFTSA

Напомним доказателство этого неравенстваF Из формулы Коши слеE дуетD что

f (0) =

1 2 i

|z |=1

f (z ) 1 dz = z 2

2

f (exp(i))d.
0

Теперь осталось вспомнитьD что модуль интеграла меньше или равен инE тегралу от модуля интегрируемой функцииF

Лемма 6.3.2.

Если

Q() , C1

-полином степени
-1

n

со старшим ко-

эффициентом c:

Q() = cn + an
то существует такой полином

+ ћћћ n
, что

Q0 ()

степени

Q0 (0) = c , |Q0 (exp(i0 ))| |Q(exp(i0 ))| , 0 0 < 2 .
RQR


ДоказательствоF Пусть

Q() = c
1j n

( - aj ).

Тогда полином

Q0 () = c
удовлетворяет условиям леммыF Положим

(1 - a ) j
1j n

T = { | = (1 , . . . d ) Rd , 0 j < 2 }, c() =
|m |= N

@TFTTA @TFTUA

a(m) exp(i( , m)) , m Zd ,

Лемма 6.3.3.
где

d = d1 . . . dd .
Если выполнено условие

@TFTPA, то @TFTVA

|c()|d
T

A(P ) , C0 (N , d) N
и

C0 (N , d)

-зависящая только от

d

константа.

ДоказательствоF Справедливо неравенство

|c()|
|m|=N

|a(m)| C0 (N , d)A(P ),

где C0 (N , d) Eчисло размещений N неразличимых предметов по d ящиE камD N C0 (N , d) = CN +d+1 . Отсюда следутD что

|c()|d = C0 (N , d)A(P )
T T

|c()| d C0 (N , d)A(P )
2

C0 (N , d)A(P )
T

|c()| C0 (N , d)A(P )

d > A(P )/C0 (N , d).

Лемма доказанаF Дифференциальному оператору @TFTIA поставим в соответствие полиE ном

P (z ) =
0|m|N

a(m)z m
@TFTWA

m m a(m1 , . . . md )z1 1 . . . zd d . 0mN

RQS


Определим функцию

( T ) : w() = {exp(i1 ), . . . , exp(id )} Cd .

Лемма 6.3.4.
нома

Для любой целой функции

F (z ) , z Cd

и любого поли-

P (z )

справедливо неравенство

|F (z )|

C0 (N , d) A(P )

|F (z + w())P (z + w())|d.
T

@TFUHA

ДоказательствоF Положим

f () = F (z + w()) , Q() = P (z + w()) , C1 .
ЗаметимD что старший коэффициент многочлена Q() @коэффициент при N A равен определяемой равенством @TFTUA функции c()F Пусть многочлен Q0 () удовлетворяет условиямX

Q0 (0) = c() , |Q0 (exp(i0 )| |Q(exp(i0 ))| , 0 0 < 2 .
Существование такого многочлена гарантировано леммой TFQFPF В силу леммы TFQFI справедливо неравенство
2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 |F (z )||c

|F (z + exp(i0 )w())P (z + exp(i0 )w())|d0 = |f (exp(i0 ))Q(exp(i0 )|d0 = |f (exp(i0 ))Q0 (exp(i0 )|d0 |f (0)||Q0 (0)| = ()|.

Проинтегрируем это неравенство по d и учтемD что в силу периодичноE сти функции w() интеграл

1 2

|F (z + exp(i0 )w())P (z + exp(i0 )w())|d
T

не зависит от 0 F Далее воспользуемся леммой TFQFQF Лемма доказанаF Пусть

z Cd , z = Re z + iI m z , Re z Rd , I m z Rd .
RQT


Лемма 6.3.5.
( D ,

Преобразование Фурье функции

D

есть целая функ-

ция, которая удовлетворяет оценке supp



K , N ) , (C1 (K , N ) , C2 (K , N )) : |F ()(z )|
N

C1 (K , N ) exp(C2 (K , N )|I m z |)(1 + |Re z |2 )-
где константы

| (2N , D(Rd ) , K ) , @TFUIA

C1 (K , N ) , C2 (K , N ) зависят только от N и компакта K = {x | x R , |xi | a}, содержащего носитель функции .
d

ДоказательствоF ИмеемX

F ()(z ) =
K

exp(-i(z , x))(x)dx =

exp(-i(Re z , x)) exp((I m z , x))(x)dx,
K

(1 + |Re z |2 )N F ()(z ) = ((1 - x )N exp(-i(Re z , x))) exp((I m z , x))(x)dx =
K

exp(-i(Re z , x))((1 - x )N exp((I m z , x))(x))dx,
K

|(1 + |Re z |2 )N F ()(z )|
K

|((1 - x )N exp((I m z , x))(x))|dx

C1 (K , N ) exp(C2 (K , N )|I m z |) | (2N , D(Rd ) , K ) .
Лемма доказанаF Из оценки @TFUIA вытекает

Лемма 6.3.6.
D

На пространстве

D

корректно определен функционал

| B (D) :=
R d ЧT

|F ()( + w())|d d,

который удовлетворяет условиям нормы, причем

n | B (D) 0

при

n 0.

D

@TFUPA

Пусть B (D) Eпополнение пространства D по норме пространстве B (D) рассмотрим линейное многообразие

| B (D) F В
@TFUQA

L(P ) := { | = P (D) , D}.
RQU


нейный функционал

Лемма 6.3.7.

На линейном многообразии

L(P )

корректно определен ли-

( D) : l0 (P (D)) = (0),
и этот функционал на многообразии

@TFURA

L(P )

удовлетворяет оценке

( L(P )) : |l0 ( )| C (P ) | B (D) ,
где

@TFUSA
.

C (P )

-константа, зависящая толко от полинома

P

ДоказательствоF Для тогоD чтобы доказатьD что функционал @TFURA определен корректноD нам достаточно доказатьD что из

P (D)1 P (D)2 , j D
следуетD что

@TFUTA @TFUUA

1 2 .

Возьмем преобразование Фурье от обеих частей равенства @TFUTA и расE смотрим это преобразование в комплексной плоскостиF ПолучимX

(z Cd ) : P (z )F (1 )(z ) P (z )F (2 )(z ).
Так как преобразование Фурье функции из пространства D есть целая функцияD то из этого равенства следуетD что

F (1 )(z ) F (2 )(z ),
а отсюда следует @TFUUAF Теперь докажем оценку @TFUSAF Пусть

= P (D) , D.
ИмеемX

l0 ( ) = l(P (D)) = (0), (0) = (2 )- |l0 ( )|
Rd d R
d

F ()( )d ,

|F ()( )|d .

RQV


Далее мы воспользуемся леммой TFQFR и неравенством @TFUHAF ПолучимX

|l0 ( )|
R
d

|F ()( )|d |F ()( + w())P ( + w())|d d =
T

C (P )
Rd



|F ( )( + w())|d d = C (P ) | B (D) ,
T

C (P )
Rd



где C (P ) Eнекотрорая константаD зависящая только от полинома P F Лемма доказанаF ЗамечаниеF При доказательстве корректности определения функциE онала l0 следует иметь ввидуD что множество нетривиальных решений уравнения P (D) = 0 не пустоD ноD как показывает доказательство леммы TFQFUD это множество не содержит функций из D.

Лемма 6.3.8.
лом l0 .

На пространстве

D

существует линейный непрерывный

функционал l, который на многообразии

L(P )

совпадает с функциона-

ДоказательствоF Из теоремы ХанаEБанаха и леммы TFQFU следуетD что на пространстве B (D) существует линейный функционал lD который на многообразии L(P ) совпадает с функционалом l0 и на всем пространстве B (D) удовлетворяет оценке

( B (D)) : |l( )| C (P ) | B (D) .

@TFUVA

Так как D B (D) то функционал l определен на всем пространстве DF Из оценки @TFUVA и леммы TFQFT @ соотношение @TFUPAA следуетD что функционал l непрерывен на DF Следующая теорема называется теоремой МальгранжаEЭренпрайсаF

постоянными коэффициентами в пространстве ментальное решение.

Теорема 6.3.1.

У любого ненулевого дифференциального оператора с

D

существет фунда-

RQW


ДоказательствоF ДокажемD что таким фудаментальным решением явE ляется функционал E := l ћ inv, @TFUWA где l EфункционалD существование которого гарантировано леммой TFQFV и inv оператор инверсииX inv(x) = (-x). Имеем

( D) : P (D)E () = E (P (-D)) = l(invP (-D)) = l(P (D)inv) = inv(0) = (0) = ().
Теорема доказанаF В пространстве D фундаментальное решение не единственноF Пусть

NP = {z | z Cd , P (z ) = 0}
Пусть ч(dz ) Eмера с компакным носителемD которая сосредоточена на многообразии NP X suppч(dz ) NP . Положим

w(x) =

exp(-i(x , z ))ч(dz ).

Функция w(x) удовлетворяет уравнению

P (D)w = 0.
Пусть E Eфундаментальное решение и Ew EраспределениеD которое поE рождено функцией w(x)F Тогда распределение E + Ew Eфундаментальное решениеF
6.3.2 Примеры вычисления фундаментальных решений.

Можно доказатьD что любое дифференциальное уравнение с постоянныE ми коэффициентами имеет фундаментальное решениеD которое является медленно растущим распределениемF Именно такие фундаментальные решение мы рассматриваем нижеF Фразу функция задает распределениеD которое есть фундаментальE ное решение мы будем сокращать до фразы функция есть фундаменE тальное решениеF К недоразумениям это привести не можетF RRH


Обыкновенные дифференциальные операторы.
Пусть

L

d dt

=

d dt

n

+a

(n-1)

d dt

n-1

+ ћ ћ ћ + a0 , t R1 .

@TFVHA

Дифференциальному оператору @TFVHA мы поставим в соответствие поE лином L() = n + a(n-1) n-1 + ћ ћ ћ + a0 . Напомним Функцией Коши K (t) для оператора @TFVHA назыE вается решение уравнения

Определение 6.3.2.
K
(n-1)

LK (t) = 0, (0) = 1 , K
(n-2)

(0) = ћ ћ ћ = K (0) = 0.

Простое вычисление показываетD что функция Коши может быть выE числена по формуле

K (t) =

1 2 i
||=R

exp(t) d, L()

@TFVIA

где радиус R больше модуля всех корней многочлена L()F

Утверждение 6.3.1.

Решение уравнения

L
дается формулой

d dt

E (t) = (t)

@TFVPA @TFVQA

E (t) = (t)K (t).

Это утверждение можно проверить непосредстеннным вычислениемF Делается это такF По определению производной от распределенияD раE венство @TFVQA означаетD что
+

( D(R)) :
- +

E (t)L - d dt

d dt

dt =

K (t)L -
0

dt = (0).

Для доказательства последнего равенства перебрасываем оператор L на K (t) и учитываем подстановку в нулеF Можно заметитьD что формула @TFVQA фактически есть лишь другая запись формулы Дюамеля @QFPUSAF RRI


Волновое уравнение в размерности 1+1.
Найдем решение уравнения

2 2 -2 t2 x

E (x , t) = (t) (x).

@TFVRA

Беря от @TFVRA преобразование Фурье по переменной x @преобразование Фурье функции f (x) мы будем обозначать символом f ( )AD мы получаем уравнение d2 E ( , t) + 2 E ( , t) = (t). dt2 Из формулы @TFVRA следуетD что

E ( , t) = (t)
СледовательноD

sin( t) , R1 .



(t) E (x , t) = 2
-

exp(i x)

sin( t) d .

При вычислении этого интеграла полезно заметитьD что


exp(-i( , x))(a - |x|)dx = 2
-

sin(a ) ,

поэтому

F
Мы получаем

-1

sin( t)

1 = (t - |x|). 2
@TFVRA дается формулой @TFVSA

Утверждение 6.3.2.

Решение уравнения

1 E (x , t) = (t - |x|). 2

Волновое уравнение в размерности 1+3.
Найдем решение уравнения

2 - x E (x , t) = (t) (x) , t R1 , x R3 . t2
RRP

@TFVTA


Беря от @TFVTA преобразование Фурье по переменной xD мы получаем уравнение

d2 E ( , t) + 2 E ( , t) = (t) , t R1 , R3 . dt2
СледовательноD

E ( , t) = (t)

sin(| |t) , t R1 , R3 . | |

Применяя формулу обращения преобразования ФурьеDполучаемX

(t > 0) : E (x , t) =
3 R

1 2


3 R | |R

lim

exp(i( x))

sin(| |t) d = | |


0

exp(ir|x| cos()) sin()d sin(rt)rdr =

1 2 1 2

2 lim
2

R 0

R

1 lim |x| R
0

2 sin(r|x|) sin(rt)dr = sin((t - |x|)R) sin((t + |x|)R) - (t - |x|) (t + |x|)

1 1 lim 2 |x| R 1 (|x| - t). 4 |x|

2

=

Таким образомD справедливо

Утверждение 6.3.3.

Решение уравнения

@TFVTA есть функция @TFVUA

E (x , t) =

1 (|x| - t) , x R3 . 4 |x|

Волновое уравнение в размерности 1+2.
Найдем решение уравнения

2 - x E (x , t) = (t) (x) , t R1 , x R2 . t2
Применяя формулу @TFVUA к основной функции вида

@TFVVA

(x1 , x2 , x3 , t) = (x1 , x2 , t) (x3 , 0 , R , 1) , R ,
RRQ


где функция (x3 , 0 , R , 1) задается формулой @TFIVAD мы получаемD что решение уравнения есть функция


(t) E (x , t) = 4
-

( x2 + z 2 - t) dz = x2 + z 2 (t - |x|) 2 t2 - |x |2 , x = (x1 , x2 ) R2 .

(t) 2
|x |

( - t) -x
2 2

d =

Таким образомD справедливо

Утверждение 6.3.4.

Решение уравнения

@TFVVA есть функция

E (x , t) =

(t - |x|) 2 t2 - |x|2

, x R2 .

@TFVWA

Уравнение теплопроводности.
Найдем решение уравнения

- x E (x , t) = (t) (x) , t R1 , x Rd . t
Совершая преобразование Фурье по xD мы получаем уравнение

@TFWHA

dE ( , t) + 2 E ( , t) = (t), dt E ( , t) = (t) exp(- 2 t).
Совершая обратное преобразование ФурьеD мы получаем @TFWIA

Утверждение 6.3.5.

Решение уравнения
d/2

@TFWHA есть функция @TFWPA

E (x , t) = (t)(4 t)-

exp(-x2 /4t).

Уравнение Лапласа.
Нам нужно найти решение уравнения

(-x )E (x) = (x) , x Rd , d 2.
RRR

@TFWQA


Сначала приведем фомальные выкладкиD аналогичные темD которые деE лаются в аналогичных случаях физикамиF ИмеемX

2 E ( ) = 1 , (d 3) : E (x) = F


-1

(| |-2 )(x) =

F

-1

(
0

exp(-t )dt)(x) =
0 d/2

2

F

-1

(exp(-t 2 )(x)dt = 1
d/2



(4 t)-
0

exp(-|x|2 /4t)dt =


1 4

1 |x|

d-2

(d/2 - 1),

d = 2 : E (x) - E (y ) =
0

1 exp(-|x|2 /4t) - exp(-|y |2 /4t) dt = 4 t

1 - (ln |x| - ln |y |). 2
Для обоснования этих выкладок используем теорию полугруппF В пространстве L2 (Rd , d ) функция

T (t) : ( ) exp(- 2 t) ( )

@TFWRA

есть полугруппа класса C0 @проверку этого утверждения мы оставляем читателю в качестве упражненияAF Так как преобразование Фурье F есть взаимно однозначное унитарное @с точностью до множителя (2 )-d A преE образование пространства L2 (Rd , dx) в пространство L2 (Rd , d )D функE ция T (t) := F -1 T (t)F @TFWSA в пространстве L2 (Rd , dx) есть полугруппа класса C0 F В пространстве L2 (Rd , dx) оператор T (t) есть интегральный оператор

T (t) (x) =

G(t , x , y ) (y )dy ,
d/2

@TFWTA @TFWUA

G(t , x , y ) = (4 t)-

exp(-(x - y )2 /4t).

Инфинитезимальный оператор полугруппы T (t) в пространстве L2 (Rd , dx) есть оператор ЛапласаX

x = F

-1

(- 2 )F.

Пусть g (x , y ) Eинтегральное ядро оператора (-x )-1 F Из формулы @QFIHFVA RRS


и @TFWTA следуетD что


g (x , y ) =
0

(4 t)- 1 |x - y |

d/2

exp(-(x - y )2 /4t)dt =
@TFWVA

1 4

1

d/2

d-2

(d/2 - 1) , d 3.

При d = 2 необходима регуляризация интегралаX

g (x , y ) - g (x , z ) =


1 lim 4 +0
0

exp(-t)

exp(-(x - y )2 /4t) - exp(-(x - z )2 /4t) t

dt =
@TFWWA

1 (ln |x - z | - ln |x - y |) , x , y , z R2 . 2
Мы доказали

Утверждение 6.3.6.
E (x) =
1 4

Решение уравнения

@TFWQA дается формулой @TFIHHA

-
6.3.3

d-2 1 d/2 1 (d/2 |x| 1 ln |x| , d = 2. 2

- 1) , d 3,

Уравнение Гельмгольца

Найдем фундаментальное решение уравнения

(- + c2 )E (x) = (x) , c > 0.
ИмеемX


@TFIHIA

E ( ) = ( 2 + c2 )-1 =
0

exp(-( 2 + c2 )t)dt; exp(-x2 /4t - c2 t)dt =

E (x) = (4 )- (t (|x|/2c) exp z )

d/2 0



2(4 )

-d/2

(|x|/2c)1

-d/2 0

exp(-|x|c ch z )(ch(d/2 - 1)z )dz =
RRT


@ИFМFРыжикD ИFСFГрадштейнD формула QFSRU@RAA

2(4 )

-d/2

(|x|/2c)

1-d/2

K

(d/2-1)

(c|x|).

При d = 3 получаемX

K

1/2

(z ) =

1 exp(-z ) , E (x) = exp(-c|x|). 2z 4 |x|

Случай d = 3 рассмотрим отдельноF ИмеемX

(- + c2 )E (x) = (x) , ( 2 + c2 )E ( ) = 1,
R 0 0 R 2

E (x) = (2 ) E (x) = (2 )

-3

R -3

lim

exp(i|x||xi| cos())(| |2 + c2 )-1 | |2 sin()d| |dd;
0

R

lim (2 )|x|-1 2
0 +

z (z 2 + c2 )

-1

sin(|x|z )dz ;

E (x) = (2 )-2 |x|-1 I m
-

z exp(i|x|z ) dz ; z 2 + c2

Интеграл считаем с помощью вычетовF ПолучаемX

E (x) =

1 exp(-c|x|). 4 |x|
Пространства Соболева.
Преобразование Фурье-Планшереля.

6.4
6.4.1

Напомним определение преобразования Фурье функций из пространства ШварцаX

( S (Rd )) : F ()( ) =

exp(-i(x , ))(x)dx,

@TFIHPA

формулу обратного преобразования ФурьеX

( S (Rd )) : (x) = (2 )
и равенство ПарсеваляX

-d

exp(i(x , ))F ()( )d ,

@TFIHQA

( S (Rd )) :

|(x)|2 dx = (2 )-
RRU

d

|F ()( )|2 d .

@TFIHRA


Интегрирование везде ведется по пространству Rd F В дальнешем нам будет удобно использовать введенное ранее обознаE чение ( ) := F ()( ). @TFIHSA ЯсноD что формулой @TFIHPA можно определить преобразование Фурье только для тех функций D для которых интеграл в @TFIHPA сходитсяF Наша ближайшая цель состоит в томD чтобы распространить определеE ние преобразования Фурье на все функции из L2 (Rd , dx)F

Лемма 6.4.1.

Пространство Шварца

S (Rd )

плотно в

L2 (Rd , dx)

по

метрике пространства

L (R , dx): Cl(S (Rd )) = L2 (Rd , dx).

2

d

ДоказательствоF Пусть

L2 (Rd , dx) = Cl(S (Rd )) H0 .
ДокажемD что

H0 = 0.
Если f0 H0 D то функция f0 ортогональна любой функции из S (Rd )F В частностиD функция f0 ортогональна любой функции типа грибD поE этому функция f0 ортогональна характеристической функции любого параллеллипипеда K Rd X

K :
K

f0 (x)dx = 0.

СледовательноD функция f0 ортогональна любой ступенчатой функции и поэтому равна нулю почти всюдуF Лемма доказанаF

Следствие 6.4.1.
довательность

L2 (Rd , dx), n S (R ), что
Если
d

то существует такая после-

- n | L2 (Rd , dx) 0 , n .

@TFIHTA

Если последовательность {n } удовлетворяет условию @TFIHTAD то она фундаметальна в L2 (Rd , dx)F Из равенства Парсеваля следуетD что послеE довательность преобразований Фурье {n } фудаментальна в L2 (Rd , d )F СледовательноD

( ) : - n | L2 (Rd , d ) 0 , n .
RRV

@TFIHUA


Определение 6.4.1.

Если функции L2 (Rd , dx) и L2 (Rd , d ) связаны равенствами @TFIHTAE@TFIHUAD то мы говоримD что функция L2 (Rd , d ) есть преобразование ФурьеEПланшереля функции L2 (Rd , dx)X

( ) := lim n ( ),
n

@TFIHVA

где последовательность {n } удовлетворяет условию @TFIHTAF ЯсноD что преобразование ФурьеEПланшереля определено на всем проE странстве L2 (Rd , dx)D оно преобразует пространство L2 (Rd , dx) в себяD для него справедлива @соответственно обобщеннаяA формула обращения и формула ПарсеваляF В дальнешем мы не будем делать различия межE ду заданным формулой @TFIHPA преобразованием Фурье и определенным формулой @TFIHVA преобразованием ФурьеEПланшереляF
6.4.2 Определение и основные свойства пространств Соболева.

НапомнимD что заданная в Rd функция f (x) называется локально интеE грируемойX f Lloc (Rd ), если для любого компакта K Rd справедливо включениеX

Определение 6.4.2.

f L1 (K ).

Распределение f S (Rd ) принадлежит пространE ству Соболева H s (Rd )D если IF Преобразование Фурье распределения f задается локально интеE грируемой функциейX

(f ( ) Lloc (Rd )) , ( S (Rd )) : F (f )() = f (F ()) = f ( )( )d .
@TFIHWA

PF Задающая преобразование Фурье функция удовлетворяет условиюX

f | H s (Rd )
Замечание

2 def

=

|f ( )|2 (1 + | |2 )s d < .

@TFIIHA

формулой

TFRFI. Иногда норма в пространстве Соболева определяется

f | H s (Rd )

2 def

= (2 )

-d

|f ( )|2 (1 + | |2 )s d ,

которая отличается множителем (2 )-d . RRW


Если распределение f задается функцией f (x) S (Rd )D то входящая в @TFIHWA функция f ( ) есть преобразование Фурье функции f (x)D но в общем случае в определении не требуетсяD чтобы функция f ( ) обязаE тельно была бы преобразованием Фурье некоторой функцииF Входящй в определние пространства Соболева H s (Rd ) параметр s моE жет принимать любое значениеX

- < s < .

Определение 6.4.3.

Заданная в пространстве Rd функция f (x) приE надлежит пространству Соболева H s (Rd )D если порожденное функцией f (x) распределение

f :

f (x)(x)dx

принадлежит пространству Соболева H s (Rd )F ЯсноD что

(s 0) : H s (Rd ) L2 (Rd , d ),

а так как преобразование Фурье переводит пространство L2 (Rd ) в себяD пространство H s (Rd ) при s 0 может быть отождествлено с подпроE странством пространства L2 (Rd )F Приведем примерыF IF Пусть f = EфункцияF Преобразование Фурье распределения f заE дается функцией f ( ) 1F ИмеемX

(1 + | |2 )s ћ 1d < , если s < -d/2.
СледовательноD

(x) H s (Rd ) при s < -d/2.

PF Пусть f (x) = (1 - |x|) , x R1 F Преобразование Фурье функции f (x) есть функция


exp(-ix )(1 - |x|)dx = 2
-

sin .

ИмеемX

(1 + | |2 )s 4
СледовательноD

sin

2

d < , если s < 1/2.

(1 - |x|) H s (R1 ) при s < 1/2.
RSH


пространство со скалярным произведением

Теорема 6.4.1.

1. Пространство Соболева

H s (Rd )

есть гильбертово

< f , g >=

f ( ) g ( )(1 + | |2 )s d . f (x) S (Rd )
, плотны в

@TFIIIA

2. Распределения, задаваемые функциями по метрике пространства

H s (Rd )

H s (Rd )

.

ДоказательствоF Для доказательства первого утверждения нам доE статочно доказатьD что каждая функция f ( ) L2 (Rd , (1 + | |2 )s d ) есть преобразование Фурье распределения из f S (Rd ) F Для доказательства этого утверждения заметимD чтоD как следует из @TFIHWAD распределение f H s (Rd ) действует на основную функцию по правилуX

f () =
откуда следуетD что

f ( )F

-1

()( )d ,

@TFIIPA

(f H s (Rd ) , S (Rd )) : |f ()|
1/2 1/2

|f ( )|2 (1 + | |2 )s d 0 , 0.
S

|F

-1

()( )|2 (1 + | |2 )-s d
@TFIIQA

Из этого неравенства следуют два утвержденияX воEпервыхD что каждая функция f ( ) L2 (Rd , (1 + | |2 )s d ) задает по правилу @TFIIPA линейE ный непрерывный функционал на пространстве S (Rd )D воEвторыхD что из сходимости последовательности распределений в метрике пространE ства H s (Rd ) следует сходимость в топологии пространства S (Rd ) F Переходим к доказательству второго утверждения теоремыF Пусть f ( ) L2 (Rd , (1 + | |2 )s d ) и fn S (Rd ) такая последовательE ностьD что fn - f | L2 (Rd , (1 + | |2 )s d ) 0. Тогда

F (fn )() =

fn ( )( )d

f ( )( )d ,

а так как в силу непрерывности преобразования Фурье
n

lim F (fn )() = F ( lim fn )(),
n n

то функция f ( ) есть преобразование Фурье распределения lim fn F RSI


Теорема доказанаF Из теоремы @TFRFIA следуетD что при s 0 пространство H s (Rd ) можE но отождествить с пополнением пространства S (Rd ) по метрике @TFIIHAD где f ( ) Eпреобразование ФурьеEПланшереля функции f D и справедливо включение L2 (Rd , dx) H s (Rd ) , s 0. При s < 0 пространство H s (Rd ) есть пространство распределенийD котоE рые действуют по правилу @TFIIPAF На пространстве S (Rd ) определим норму

(f S (Rd )) : f | H n (Rd )

2

=


0|m|n

m |Dx f (x)|2 dx.

Из равенства Парсеваля следуетD что

| m |2 f ( )|2 d .
@TFIIRA

f | H n (Rd )
Так как

2

= (2 )-d


0|m|n

(C1 , C2 ) : C1 (1 + | |2 )n
0|m|n

| m |2 C2 (1 + | |2 )n ,

то нормы

| H n (Rd ) и

| H n (Rd ) эквивалентныX | H n (Rd ) .

| H n (Rd )

В случае s = n + , 0 < < 1 положим

( S (Rd )) :

|H

n,

(Rd )

2 def

=

m |Dx (x)|2 dx+ 0|m|n

|x - y |-(d
|m |= n

+2)

m m |Dx (x) - Dy (y )|2 dxdy . , 0 < < 1 , n = 0 , 1 . . .

@TFIISA

Теорема 6.4.2.
лентна норме

На пространстве

S (Rd )

норма

|H

n+

(Rd )

эквива-

|H

n,

(R )
n+

d

:

|H

(Rd )
RSP

|H

n,

(Rd ) .

@TFIITA


ДоказательствоF Сначала докажем теорему для n = 0F ИмеемX

|H

0,

(Rd )

2

= |x - y |-( |y |-(
d+2)

|(x)|2 dx + |(x)|2 dx + (2 ) (2 )
-d

|(x) - (y )|2 dxdy =

d+2)

|(x + y ) - (x)|2 dxdy = | exp(i( , y )) - 1|2 |y |-(d | |2 |( )|2 d .
+2)

|( )|2 d + |( )|2 d + C0 (d)

dy |( )|2 d

=

-d

Так как

(C1 , C2 ) : C1 (1 + | |2 ) (1 + | |2 ) C2 (1 + | |2 ) ,
то из полученного равенства вытекает утверждение теоремы для n = 0F Для доказательства теоремы в общем случае заменим в полученном равенстве m (x) Dx (x), и учтемD что
m F (Dx (x))( ) = m F ((x))( ),

(C1 , C2 ) : C1 (1 + | |2 )k 1 +
|m|k

( m )2 C2 (1 + | |2 )k .

Теорема доказанаF
Замечание
s

TFRFP. Из (x) H (Rd ) , s денное отображение D то функция x

доказанной теоремы следуетD что если 0 и функция x y (x) есть такое гладкое невырожE пространства Rd Rd D что y (x) x , |x| R0 , R0 < (y (x)) принадлежит пространству H s (Rd )F
-s

На декартовом произведении пространств H s (Rd ) и H лим билинейную форму BH (f , g )X

(Rd ) опредеE
@TFIIUA

H s (Rd ) Ч H -s (Rd )

f Ч g BH (f , g ) =

def

f ( )g ( )d .

Теорема 6.4.3.

@TFIIUA определена корректно: интеграл в @TFIIUA сходится для всех f Ч g H s (Rd ) Ч H -s (Rd ).
1. Билинейная форма 2. Справедливо равенство

f | H s (Rd ) = sup{|BH (f , g )| | g | H -s (Rd ) 1}.
RSQ

@TFIIVA


3. Для любого линейного функционала элемент

gl H (R ),

-s

l H s (Rd )

существует такой

d

что

f H s (Rd ) : l(f ) = BH (f , gl ).

@TFIIWA

ДоказательствоF Первое утверждение следует из неравенства КошиE БуняковскогоX

|

f ( )g ( )d |2

|f ( )|2 (1 + | |2 )s d

|g ( )|2 (1 + | |2 )-s d .

Для доказательства второго утверждения заметимD что

f | H s (Rd ) = sup{| < sup{| g0 ( ) f ( )(1 + | |2 )s d | | f ( )g ( )d | | |g0 ( )|2 (1 + | |2 )s d 1} =

|g ( )|2 (1 + | |2 )-s d 1}.

Мы сделали замену

g0 ( ) g ( ) (1 + | |2 )-s .

@TFIPHA

Для доказательства третьего утверждения теоремы заметимD что в силу теоремы Рисса

(g0 H s (Rd )) : l(f ) =< g0 , f >=
Далее мы делаем замену @TFIPHAF Теорема доказанаF
6.4.3 Теоремы вложения.

g0 ( )f ( )(1 + | |2 )s d .

Положим

(f S (Rd ) , 0 < < 1) : f | C
m sup{|Dx |m|=n

n, 0

(Rd ) =
-

def
0|m|n

m sup{|Dx f (x)|x Rd }+

f (x + y ) -

m Dx

f (x)||y |

| x Rd , |y | 1}.
n, 0

@TFIPIA

Определение 6.4.4.

Пространство C d ства S (R ) по норме @TFIPIAF RSR

(Rd ) Eэто пополнение пространE


ОтметимD что если f C

n, 0

(Rd )D то
|x|

m (m , |m| n) : lim |Dx f (x)| = 0.

ДействительноD если f C

n, 0

(Rd )D то
n, 0

( > 0) , f S (Rd ) : f - f | C
поэтому

(Rd ) < ,

(m , |m| n ,

m > 0) : lim sup |Dx f (x)| . |x|

Следующая теорема называется теоремой вложения Соболева @он ее авE торAF

Теорема 6.4.4.

Если распределение

f H
то оно задается функцией

d/2+n+

(Rd ) , 0 < < 1,

f (x) C

n, 0

(Rd ), f
константа

причем существует такая не зависящая от

C (d , )

, что

(f H

d/2+n+

(Rd )) : f | C

n, 0

(Rd ) C (d , ) f | H

d/2+n+

(Rd ) . @TFIPPA

ДоказательствоF В силу формулы обращения преобразования Фурье имеемX
m m (m , |m| n , f S (Rd )) : |Dx f (x + y ) - Dx f (x)| =

(2 )-

d

m f ( )[exp(i( , y )) - 1] exp(i( , x))d (1 + 2 )n/2 |f ( )|| exp(i( , y )) - 1|d
1/2

const. const.

(1 + 2 )

n+d/2+

|f ( )|2 d
-(d/2+)

Ч
1/2

| exp(i( , y )) - 1|2 (1 + 2 ) const. f | H
d/2+n+

d


1/2 2 -(d+2)

(R )

d

| exp(i( , y )) - 1| | |

d

=
@TFIPQA

C (d , ) f | H

d/2+n+

(Rd ) |y | .
RSS


Поэтому

(x Rd , y Rd , |m| n , f S (Rd )) :
m m |Dx f (x + y ) - Dx f (x)||y |- C (d , ) f | H d/2+n+

(Rd ) .

Аналогично доказывается неравенство

(m , |m| n , f S (Rd )) : f |C
n, 0

(Rd ) C (d , ) f | H

d/2+n+

(Rd ) ,

@TFIPRA

Окончательно получаемX

(f S (Rd )) : f | C
Пусть распределение

n, 0

(Rd ) C (d , ) f | H f H
d/2+n+

d/2+n+

(Rd ) .

@TFIPSA

(Rd ),

и последовательность функций fn (x) S (Rd ) задает распределения fn D которые удовлетворяют условиюX

f - fn | H

d/2+n+

(Rd ) 0 , n .

Так как последовательность fn сходится в метрике пространства H d/2+n+ (Rd )D она фундаментальна в метрике этого пространстваF Из неравенства

fn - fm | C

n, 0

(Rd ) C (d , ) fn - fm | H

d/2+n+

(Rd )

следуетD что последовательность функций fn (x) фундаментальна в метE n рике пространства C0 , (Rd ) и поэтому в метрике этого пространства n сходится к функции f0 (x) C0 , (Rd )F ЯсноD что функция f0 (x) задает распределение f F Теорема доказанаF Если 0 |m| sD то обобщенной производной порядка m функE ции f H s (Rd ) называется рассматриваемая как элемент пространства L2 (Rd ) функция

Dm f (x) = (2 )-d lim

def

R | |
exp(i(x , )) m f ( )d

@TFIPTA

m = (m1 , m2 , . . . md) , = ( 1 , 2 , . . .)
md m Dm = Dx11 . . . Dxd ,

m = 1m1 . . . d

md

.
RST


Предел в @TFIPTA понимается в смысле метрики пространства L2 (Rd , d )F Из доказанной теоремы следуетD что если f H s (Rd ) , s > d/2 + |m| + , 0 < < 1D то обобщенная производная Dm f (x) совпадает с классическойF Из доказанной теоремы и теоремы TFRFQ следуетD что любое медленно растущее распределение с компактным носителем принадлежит некотоE рому пространству H s (Rd )F ДействительноD если f S (Rd )D то

(C , N ) , ( S (Rd )) : |f ()| C | (N , S ) .
Если K Rd EкомпактD то существует такая константа C (K )D что

( S (Rd ) , supp C (K ) | C
N , 0 d

K ) : | | (N , S )
d/2+N +

(R ) C (d , s) | H

(Rd ) .

СледовательноD любое медленно растущее распределение с компактным носителем задает линейный непрерывный функционал на некотором проE странстве H s (Rd ) и поэтому может быть отождествлено с элементом проE странства H -s (Rd )F НапомнимD что следом функции f (x) , x Rd на многообразии M Rd называется функция f (x)D рассматриваемая как функция точки x M F Распределение не есть функция точкиD поэтому понятие следа расE пределения на многообразии M Rd нуждается в отдельном определеE нииF Так как свойство задаваемого функцией f (x) распределения приE надлежать пространству H s (Rd ) , s 0, инвариантно относительно гладE ких замен переменных x y (x)D то достаточно определить понятие слеE да на гиперплоскостиD что и будет сделано нижеF Пусть f (x) H s (Rd ) , s 0F Тогда существует такая последовательE ность fn (x) S (Rd )D что

f - fn | H s (Rd ) 0 , n .

@TFIPUA

На функциях из S (Rd ) корректно определена операция S взятия следаX

S : S (Rd ) S (R

d-1)

) , S f (x1 , . . . x

d-1

) = f (x1 , . . . , x

d-1

, 0).

@TFIPVA

Теорема 6.4.5.
то

Если

f H s (Rd ) , s > 1/2 , fn (x) S (Rd ) , f - fn | H s (Rd ) 0 , n , @TFIPWA
RSU


1. Последовательность

S fn (x1 , . . . , x
сходится в пространстве

d-1

) = fn (x1 . . . , xd-1 , 0)
d-1

H

s-1/2

(R

)

и ее предел H f :
n

H f := lim S f
n

зависит только от распределения аппроксимируещей 2. Справедливо неравенство

f H s (Rd ) и не последовательности fn в @TFIPWA
s-1/2

зависит от выбора .

H f | H

(Rd-1 ) C (d , s) f | H s (Rd ) .

@TFIQHA

Описанную в теореме ситуацию можно пояснить на диаграммеX

S (Rd )

f n ( x1 , . . . , x S

d-1

, xd ) - - -
n

f H

S (Rd-1 )

fn (x1 , . . . , x

d-1

, 0) - - H f -
n s-1/2

f H s (Rd ) , H f H

(Rd-1 ).

Теорема утверждаетD что если справедливо обозначенное верхней гориE зонтальной стрелкой предельное соотношениеD то справедливо обознаE ченное нижней горизонтальной стрелкой предельное соотношение и корE ректно определено отображение

H : H s (Rd ) H

s-1/2

(Rd-1 ),

которое не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности fn F Распределение H f H s-1/2 (Rd-1 ) называется следом распределения f H s (Rd ) на гиперплоскости xd = 0F ДоказательствоF Пусть


f S (Rd ) , Fd f (x1 , . . . , x
Тогда

d-1

|d ) =
-

f (x1 , . . . , xd ) exp(-i(d , xd ))dxd .

S f (x1 , . . . , x


d-1

) = f ( x1 , . . . , x
d-1

d-1

, 0) =

1 2
-

Fd f (x1 , . . . , x

|d )dd .

RSV


СледовательноD


S f (1 , . . . ,
Далее имеемX

d-1

1 )= 2
-

f (1 , . . . ,

d-1

, d )dd .

|S f (1 , . . . ,


d-1

)|2
2 -s

const.
-

(1 + | | ) dn Ч

|f (1 , . . . ,
-

d-1

, d )|2 (1 + | |2 )s dn =

2 2 const.(1 + 1 + . . . d-1 )

1/2-s

Ч
-

|f (1 , . . . ,
-1/2

d-1

, d )|2 (1 + | |2 )s dn ,

|S f (1 , . . . ,


d-1

2 2 )|2 (1 + 1 + . . . d-1 )s



const.
-

|f (1 , . . . ,

d-1

, d )|2 (1 + | |2 )s dd ,
-1/2

|S f (1 , . . . , const.

d-1

2 2 )|2 (1 + 1 + . . . d-1 )s

d1 . . . dd-1

|f (1 , . . . ,

d-1

, d )|2 (1 + | |2 )s d1 . . . d .

Мы доказали неравенство @TFIQHA для функций из f S (Rd )F Из этого неравенства следуетD что если последовательность fn S (Rd ) фундаменE тальна в метрике H s (Rd )D то последовательность H fn фундаментальна в метрике H s-1/2 (Rd-1 )F Так как это справедливо для любой сходящейся в метрике H s (Rd ) к распределению f последовательности fn S (Rd )D то предел последовательности H fn не зависит от выбора аппроксимиE рующей последовательности fn D а зависит только от распределения f F Теорема доказанаF
6.4.4 Пространства

њ H p (D).
D }.

Пусть D Eотркрытая ограниченная область в Rd D

Определение 6.4.5.
00

C00 (D) = { | C (Rd ) , supp

њ Пространство H p (D) Eэто замыкание множества p d C (D) в метрике пространства H (R )X
њ H p (D) := Cl(C00 (D)).

RSW


њ Пространство H p (D) мы рассматриваем как подпространство проE странства H p (Rd ) вместе с индуцированной из пространства H p (Rd ) метE рикойD скалярным произведением и нормойX њ H p (D) H p (Rd ).
Если p > 1/2 и граница D области D достаточно гладкаяD то проE њ странство H p (D) можно расматривать как множество тех распределений s d f H (R )D которые равны нулю на границе области DF ЯсноD что

њ њ њ (q > p) : H q (D) H p (D) , (p 0) : H p (D) L2 (D).

Теорема 6.4.6.
компактно.

При

q>p

вложение

њ њ H q (D) H p (D)

Утверждение теоремы означаетD что множество

њ Bq = { | H q (D) , | H q (Rd ) 1}
компактно в метрике пространства H p (Rd )F ДоказательствоF Для простоты мы рассмотрим только случай p 0F В этом случае распределения можно отождествить с функциямиD котоE рые задают эти распределенияF Доказательству теоремы мы предпошлем несколько леммF

Лемма 6.4.2.

Справедлива оценка:

( Bq , q > p) :
| |>R

|( )|2 (1 + | |2 )p d (1 + R2 )p-q .

ДоказательствоF ИмеемX

|( )|2 (1 + | |2 )p d =
| |>R | |>R p-q

|( )|2 (1 + | |2 )p-q (1 + | |2 )q d

(1 + R2 )

|( )|2 (1 + | |2 )q d (1 + R2 )p-q . { | | | R}
множество

Лемма 6.4.3.
функций ограничено.

В любом фиксированом шаре

{( ) | ( ) Bq }

равностепенно непрерывно и равномерно

RTH


ДоказательствоF Пусть (x) Eфункция типа гриб и

(x) 1 , x D.
Тогда

( Bq ) : (x) = (x)(x), ( ) = |( )|2 ( - )( )d , |( - )|2 (1 + | |2 )-q d Ч |( )|2 (1 + | |2 )q d

|( - )|2 d = const. |(1 ) - (2 )|2 |(1 - ) - (2 - )|2 (1 + | |2 )-q d |( )|2 | exp(1 - 2 , ) - 1|2 d .
Лемма доказанаF

Лемма 6.4.4.
{n }

Если

{n } Bq

содержит такую

> 0 последовательность подпоследовательность {n }: {n } {n },

, то для любого

что выполнено условие

N , (n > N , m > N ) : n - m | H p (Rd ) < .
ДоказательствоF ИмеемX

n - m | H p (Rd )

2

= |n ( ) - m ( )|2 (1 + | |2 )p d

|n ( ) - m ( )|2 (1 + | |2 )p d +
| |R -q

4(1 + R2 )p

+
| |
|n ( ) - m ( )|2 (1 + | |2 )p d .

Теперь мы поступаем такX сначала мы выбираем R достаточно большимD а потом при фиксированном R мы выбираем из последовательности {n } такую подпоследовательность {n }D которая равномерно сходится в шаре RTI


{ | | | R}F Полученная подпоследовательность удовлетворяет условиE ям леммыF Перейдем к доказательству теоремыF Нам нужно доказатьD что любая последовательность {n } Bq содержит подпоследовательностьD котоE рая сходится в метрике пространства H p (Rd )F Пусть (m) 0 , m , {n(m
+1)

} {

(m) n

} {n }

EпоследовательностиD существование которых гарантировано предыдуE (n) щей леммойF Последовательность n EискомаяF Теорема доказанаF

RTP


6.5

Коментарии и литературные указания.


6.5.1 Преобразование Фурье.

Приведем вывод относящихся к преобразованию Фурье формулF Ниже символ . . . dx означает интеграл по пространству Rd F ИмеемX

exp(-ax2 )dx = ( /a)d/2 , exp(-ax2 + x )dx = exp(-a(x - /2a)2 + 2 /4a)dx) = ( /a)d/2 exp( 2 /4a) ,

аналитическое продолжениеX

exp(-ax2 + ix )dx = ( /a) exp(- 2 /4a) = (a/ )d/
2

d/2

exp(- 2 /4a),

exp(-ax2 + ix )dx , exp(-tz 2 + iz (x - y ))dz ,
-d

(4 t)-d/2 exp(-(x - y )2 /4t) = (2 )-d (4 t)-d/ ( )
-d/2 2

exp(-(x - y )2 /4t)f (y )dy = (2 ) exp(-z 2 )f (x + 2 tz )dz = (2 )-
d

(

exp(-tz 2 + iz (x - y ))f (y )dy )dz ,

exp(-tz 2 + ixz )F (f )(z )dz .

Переходя в последнем неравенстве к пределу t +0D получаем формулу обращенияX

f (x) = (2 )-

d

exp(iz x)F (f )(z )dz .

Отсюда следует равенство ПарсеваляX

f (x) g (x)dx = (2 )- (2 )-
d

d

f (x) (

exp(-ixz )F (g )(z )dz )dx =

F (f ) (z )F (g )(z )dz .

RTQ


6.5.2

Литературные комментарии

С математической точки зрения теория распределений Eэто специальный раздел теории линейных топологических пространствD в рамках которой результаты теории распределений приобретают естественный и законE ченный видF Введение в теорию линейных топологических пространств есть в книгах QHD RIDRHF Доступное для начинающих учебное пособие по теории распределений Eкнига QWF

RTR


Приложение A Приложение

A.1

Преобразование Вейля.

Преобразование Вейля @по другой терминологии Eотображение Вейля или вейлевское квантованиеA было введено в ранних работах по кванE товой механике как алгоритмD который функции на фазовом прстранE стве @классической наблюдаемойA ставит в соответствие оператор в гильE бертовом пространстве @квантовую наблюдаемуюAF Вейлевское квантоваE ние обратимоX каждый оператор ГильбертаEШмидта в гильбертовом проE странстве есть преобразование Вейля функции на фазовом пространстве @эта функция обычно называется вейлевским символом оператораAF Это обстоятельство лежит в основе метода фазового пространства в квантоE вой механикеD при котором операторные уравнения движения в форме Гейзенберга заменяются уравнениями @обычно интегродифференциальE нымиA для вейлевских символов операторовF Метод фазового пространE ства и его модификации широко используются в задачах статистической физикиD физике твердого телаD квантовой оптикеD теории столкновений и тF дF Связанный с преобразованием Вейля математический аппарат получил применения в теории представлений группD теории вейвлет преE образованияD теории дифференциальных уравнений и вычислительной математикеF В теории преобразование Вейля исходным объектом является фазоE вое пространствоD которое в простейшем случае есть прямая сумма лиE нейного пространства L и его сопряженного L F Мы рассмотрим случайD когда линейное пространство есть Rd и его сопряженное отождествлено с Rd F Таким образомD в рассматриваемом нами случае фазовое пространE ство есть пространство

R2d = Rd Rd .
RTS

@eFIA


Второе слагаемое в @eFIA рассматривается как пространствоD сопряженE ное к первому слагаемомуD поэтому в рассматриваемом нами случае пеE реход от одного ортонормированного базиса к другому в фазовом проE странстве пространстве осуществляется с помощью матрицы вида

=

d 0 , 0 d

@eFPA

где d Eортогональная матрица размера d Ч dF Скалярное произведение в пространстве Rd мы обозначим символом

aћb=
1j d

aj b j .

Пусть

: R
Eбилинейная форма вида

2d

R1
@eFQA

(q1 p1 , q2 p2 ) = q1 ћ p2 - q2 ћ p1 .
Форма @eFQA кососимметричнаX

(q1 p1 , q2 p2 ) = - (q2 p2 , q1 p1 ),
невырожденаX

@eFRA

(q1 p1 : (q1 p1 , q2 p2 ) = 0) (q2 p2 = 0)
и инвариантна относительно преобразований вида @eFPAX

@eFSA

((q1 p1 ) , (q2 p2 )) (q1 p1 , q2 p2 ).
Удовлетворяющая условиям @eFRAE@eFSA билинейная форма называется симплектической формойF Можно доказатьD что при соответствующем выборе базиса в линейном пространстве L любая симплектическая форE ма на пространстве L L в координатах имеет вид @eFQAF На функциях из пространства Шварца S (Rd Rd ) определим симE плектическое преобразование ФурьеX

F ()( ) = (2 )-

d

exp(-i ( , q p))(q p) dq dp.

Обратное симплектическое преобразование Фурье вычисляется по форE муле

F

-1

: (q p) = (2 )

-d

exp(i ( , q p))F ()( ) d d .
RTT


Равенство Парсеваля для симплектического преобразования Фурье имеE ет видX

|(q p)|2 dq dp =

|F ()( )|2 d d .

Следует отметитьD что в теории преобразования Вейля возможен иной выбор знаков у множителей i в экспонентах и степеней множителя 2 перед интеграламиF Вейлевское квантование состоит в томD что по аналогии с формуE лой обращения преобразования Фурье каждой функции на фазовом проE странстве ставится в соответствие оператор в гильбертовом пространстве L2 (Rd )X

(Q , P ) = (2 )

-d

exp(i( ћ P - ћ Q))F ()( ) d d ,

где Q , P Eоператоры координаты и импульса @математически строгое определение оператора ( ћ P - ћ Q) дано нижеAF Переходим к построению отображения @квантованияA ВейляF В пространстве L2 (Rd ) определим операторы

(p Rd ) : V (p) (x) = exp(-ip ћ x) (x),

Лемма A.1.1.
F

(q Rd ) : U (q ) (x) = (x - q ).
Операторы

-преобразование Фурье в

V (p) и U (p) L2 (Rd ), то

унитарно эквивалентны: если

F U (p) = V (p)F.
Доказательство проводится прямой выкладкойF ИмеемX

F U (p) ( ) = V (p)F ( ).

exp(-i ћ x) (x - p) dx = exp(-i ћ p)

exp(-i ћ x) (x) dx =

Лемма A.1.2.

1. Справедливы соотношения:

(p1 Rd , p2 Rd ) : V (p1 )V (p2 ) = V (p1 + p2 ), (q1 Rd , q2 Rd ) : U (q1 )U (q2 ) = U (q1 + q2 ), U (q )V (p) = exp(iq ћ p)V (p)U (q ).
2. Для любого элемента

@eFTA @eFUA @eFVA

L2 (Rd )

функции

Rd Rd

q V (p) L2 (Rd ), q U (q )) L2 (Rd )
RTU


непрерывны в метрике пространства 3. Операторы

L2 (Rd ).
@eFWA

V (p)

и

U (q )

унитарны и справедливы равенства:

V (p) = V (-p) , U (q ) = U (-q ).
ДоказательствоF Равенства @eFTAE@eFUA очевидныF Далее имеемX

U (q )V (p) (x) = U (q )(exp(-ip ћ x) (x)) = exp(-ip ћ (x - q )) (x - q ) = exp(iq ћ p) exp(-ip ћ x) (x - q ) = exp(iq ћ p)V (p)U (q ) (x).
Соотношение @eFVA доказаноF Сотношения @eFTAE@eFVA называются каноническими перестановочныE ми соотношениями в форме ВейляF Для доказательства второго утверждения леммы силу равенства @eFTA и леммы eFIFI достаточно доказать непрерывность функции p V (p) L2 (Rd ) в точке p = 0F ИмемX

- V (p)

2

=

|1 - exp(-ip ћ x)|2 | (x)|2 dx 0 , |p| 0.

Второе утверждение леммы доказаноF Третье утверждение очевидноF

Следствие A.1.1.

В пространстве

L2 (Rd )

функции

t V (tp) , t U (tq )
образуют полугруппу унитарных операторов класса

C

0.

Из теоремы Стоуна следуетD что операторы

p ћ Q := it V (tp)
самосопряженыF На функции из C
0

t=0

, q ћ P := it U (tq )

t=0

@eFIHA

эти операторы действуют по формуламX

(p ћ Q) (x) = (p ћ x) (x) , (q ћ P ) (x) = -iq ћ x (x).
Следует помнитьD что область оперделения суммы двух неораниченных операторов может отличаться от области определения слагаемыхF Определим оператор

i def W (q , p) = exp( q ћ p)U (-q )V (p). 2
RTV

@eFIIA


Лемма A.1.3.

1. Справедливы равенства

i @eFIPA W (q , p) = exp(- q ћ p)V (p)U (-q ). 2 i W (q , p) (x) = exp(- q ћ p - ip ћ x) (x + q ). @eFIQA 2 i W (q1 , p1 )W (q2 , p2 ) = exp(- (q1 p1 , q2 p2 ))W (q1 + q2 , p1 + p2 ). 2 @eFIRA W (q , p) = W (-q , -p).
2. В пространстве

@eFISA
функция

L2 (Rd )

t W (tq , tp)
есть полугруппа унитарных операторов класса

C

0.

ДоказательствоF Для доказательства превого равенства мы испольE зуем равенство @eFVAи получаемX

i W (q , p) = exp( q ћ p - iq ћ p)V (p)U (-q ) = 2 i exp(-i q ћ p)V (p)U (-q ). 2
Второе равенство доказывается вычислением на основе равенства @eFIPA и определений операторов V (p) и U (q )F Для доказательства третьего равенства мы используем равенство @eFIPAX

i W (q1 , p1 )W (q2 , p2 ) = exp( (q1 ћ p1 - q2 ћ p2 ))U (-q1 )V (p1 )V (p2 )U (-q2 ) = 2 i exp( (q1 ћ p1 - q2 ћ p2 ))U (-q1 )V (p1 + p2 )U (-q2 ) = 2 i i exp( (q1 ћ p1 - q2 ћ p2 ) - iq1 (p1 + p2 ) + (p1 + p2 )(q1 + q2 ))W (q1 + q2 , p1 + p2 ) = 2 2 i exp(- (q1 ћ p2 - q2 ћ p1 ))W (q1 + q2 , p1 + p2 ). 2 Остальные утверждения леммы очевидныF Пусть L = it W (tq , tp) t=0
Eинфинитезимальный оператор полугруппы t W (tq , tp)F Из теоремы Стоуна следуетD что оператор L самосопряженF На финитные функции оператор L действует по формуле

L (x) = it V (tp)

t=0

+ it U (-tq )
RTW

t=0

= (p ћ x) (x) + iq ћ x (x),


поэтому

W (q , p) = exp(i(q ћ P - p ћ Q)).
Положим
-d/2

Z ( , | , ) = (2 )

< , W ( , ) > .

Лемма A.1.4.

Справедливо равенство

Z (1 , 1 | , ) Z (2 , 2 | , )d d =< 2 , 1 >< 1 , 2 > .
ДоказательствоF ИмеемX

< , W ( , ) >=

i (x) exp(- ћ - i ћ x) (x + )dx = 2 1 1 (x - ) exp(-i ћ x) (x + )dx. 2 2 Z (1 , 1 | , ) Z (2 , 2 | , )d d =

(2 )-

Следствие A.1.2.

1 1 exp(i ћ (x - y ))1 (x - )1 (x + 2 2 1 Ч 2 (y + )dxdy d d = 2 1 1 1 1 (x - )1 (x + ) 2 (x - ) 2 (x + 2 2 2 < 1 , 2 >< 2 , 1 > .
d

1 ) 2 (y - ) Ч 2

1 )dxd = 2

Если функции
-d/2

ортонормированную систему в

ej (x) , 1 j < образуют полную пространстве L2 (Rd ), то функции

zi , j ( , ) := (2 )

< ei , W ( , )ej > 1 i < , 1 j < L2 (R2d , d d ).

образуют полную ортонормированную систему в пространстве

ДоказательствоF Докажем полноту системы zi , j ( , )F ИмеемX

zi , j ( , ) h( , )d d = (2 )
-d/2

1 1 ei (x - )ej (x + ) exp(i ћ x)h( , )dxd d . 2 2

1 Функции ei (x - 1 )ej (x + 2 ) образуют полную ортонормированную сиE 2 2 стему в пространстве L (R2d , dxd )D поэтому из равенства

(i , j ) :

zi , j ( , ) h( , )d d = 0
RUH


следует равенство

exp(i ћ x)h( , )d 0,
и

h( , ) 0.
Полнота системы zi , j ( , ) доказанаF Ортонормированность системы zi , j ( , ) следует из предыдущей леммыF

Определение A.1.1.

На функциях из пространства Шварца S (Rd Rd ) преобразование Вейля определено как отображениеD которое функции a(q , p) S (Rd Rd ) ставит в соответствие оператор Tw (a) на пространE стве L2 (Rd )X

(a S (Rd Rd )) : Tw (a) = (2 )-d
где

F (a)( )W ( , )d d , @eFITA

F (a)( ) = (2 )-d

exp(-i ( , q p))a(q p) dq dp.
@eFIUA

Интеграл в формуле @eFITA понимается как интеграл Бохнера в баE наховом пространстве L(L2 (Rd ) L2 (Rd ))F В формуле @eFITA

F (a)( ) S (Rd Rd ) , W ( , ) | L(L2 (Rd ) L2 (Rd )) 1,
поэтому сходимость интеграла сомнений не вызываетF

Теорема A.1.1.

На функциях из пространства Шварца

S (Rd Rd )

пре-

образование Вейля удовлетворяет условиям:

1. Tw (a) = Tw (a ). 2. (a S (Rd Rd )) : Tw (a) H S , Tw (a) | H S 3. ( S (Rd )) : Tw (a) (x) = (2 )-
ДоказательствоF ИмеемX
d 2

@eFIVA

= (2 )

-d

exp(ip ћ (x - ))a

a | L2 (Rd Rd ) 2 . @eFIWA x+ , p ( )dpd . 2 @eFPHA

Tw (a) = (2 ) (2 )
-d

F (a)( , ) W ( , ) d d = (2 )-

d

F (a)( , ) W (- , - )d d =
d

-d

F (a)(- , - ) W ( , )d d = (2 )-
RUI

F (a )( , )W ( , )d d .


Первое утверждение теоремы доказаноF Докажем второе утверждениеF Пусть ej (x) , 1 j < Eпроизвольная полная ортонормированная сиE стема в пространстве L2 (Rd )F С учетом следствия eFIFP и равенства ПарE севаляD мы имеемX

Tw (a) | H S (2 )
i,j -2d

2

=
i,j

| < ei , Tw (a)ej > |2 =

|

F (a)( , ) < ei , W ( , )ej > d d |2 =
2

(2 )

-d

F (a) | L2 (Rd Rd )

= (2 )-d a | L2 (Rd Rd ) 2 .

Докажем третье утверждение теоремыF Воспользовавшись равенством @eFIQAD мы имеемX

Tw (a) (x) = (2 )- (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )
-2d

-2d

-2d

-d

-d

i F (a)( , ) exp - ћ - i ћ x (x + )d d = 2 i a(q , p) exp - ћ - i ћ x - i ћ p + i ћ q (x + )dq dpd d = 2 i exp - ћ ( - x) - i ћ x - i( - x) ћ p + i ћ q a(q , p) ( )dq dpd d = 2 x+ exp i ћ q - + ip ћ (x - ) a(q , p) ( )dq dpd d = 2 x+ exp(ip ћ (x - ))a(q , p) ( )dq dpd = q- 2 x+ , p ( )dpd . exp(ip ћ (x - ))a 2
d

Теорема доказанаF Так как пространство S (Rd Rd ) плотно в L2 (Rd Rd )D то из @eFIWA вытекает

Следствие A.1.3.

Отображение

S (Rd Rd )

a Tw (a) H S

продолжается по непрерывности до отображения

L2 (Rd Rd )
Отображение

a Tw (a) H S.

L2 (Rd Rd )

a (2 )d/2 Tw (a) H S
RUP


унитарно:

(a L2 (Rd Rd ) , b L2 (Rd Rd )) : < a , b >= (2 )d < Tw (a) , Tw (b) >= (2 )d
1j <

@eFPIA @eFPPA

< Tw (a)ej , Tw (b)ej > .

В левой части равенства @eFPIA стоит скалярное поизведение в проE странстве L2 (Rd Rd )D в левой части равенства @eFPPA стоит скалярное произведение в пространстве операторов ГильбертаEШмидта H S D в праE вой части равенства @eFPPA стоит скалярное произведение в пространстве L2 (Rd ) и ej (x) , 1 j < Eпроизвольная полная ортонормированная сиE стема в пространстве L2 (Rd )F Формула @eFIWA позволяет оснащение пространства L2 (Rd Rd ) переE носить на оснащение пространства операторов ГильбертаEШмидта H S и расширять преобразование Вейля на функцииD которые не принадлежат пространству L2 (Rd Rd )F Операторы Tw (a) вида @eFPHA в теории дифференциальных уравнеE ний называются псевдодифферециальными операторамиD а функция a в @eFPHA Eназывается вейлевским символом оператора Tw (a)F Можно докаE затьD что формула @eFPHA корректно определяет оператор на пространE стве C0 в том случаеD если функция a растет не быстрее полиномаF В качестве примера вычислим оператор с вейлевским символом

1 a(q , p) = p2 + v (q ) , v (q ) C0 . 2
ИмеемX

Tw (a) (x) = (2 )-d

exp(ip ћ (x - )) x+ 2

12 p +v 2

x+ 2

( )d dp =

1 - x (x) + (x - )v 2 1 - x (x) + v (x) (x). 2

( )d =

Мы видим что в рассматриваемом случае отображение Вейля совпдает с вейлевским квантованиемF ДокажемD что отображение Вейля обратимоF

Теорема A.1.2.
стве
2 d

Пусть

T

-оператор Гильберта-Шмидта в пространчто

L (R ). Тогда существует такая функция a L2 (Rd Rd ), T = Tw (a). Эта функция оперделена равенствами @eFPQA-@eFPRA.
RUQ


ДоказательствоF Пусть ej (x) , 1 j < Eпроизвольная полная орE тонормированная система в пространстве L2 (Rd )F Согласно следствию eFIFP функции

zi, j ( , ) = (2 )-

d/2

< ei , W ( , )ej >

образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2 (Rd Rd )F Так как T Eоператор ГильбертаEШмидтаD то

| < ei , T ej > |2 < ,
i,j

поэтому ряд

( , ) := (2 )

d/2 i,j

< ei , T ej > zi, j ( , )

@eFPQA

сходится в пространстве L2 (Rd Rd ) и функция

a(q , p) := F

-1

( )(q , p)

@eFPRA

принадлежит пространству L2 (Rd Rd )F ИмеемX

(i , j ) : < ei , Tw (a)ej >= (2 )-d (2 )
-d/2

( , ) < ei , W ( , )ej > d d =

< zi, j , >=< ei , T ej > . T = Tw (a).

СледовательноD Теорема доказанаF Если оператор T ядерныйD то формулы @eFPQAE@eFPRA можно преобраE зовать к более привычному для физика видуF ИмеемX

a(q , p) := (2 )d/2 F
-1 i,j

-1 i,j

< ei , T ej > zi, j ( , ) (q , p) =

F

< ei , T ej >< W ( , )ej , ei > (q , p) = < W ( , )ej , T ej > (q , p) =
j

F

-1

F

-1 j

< ej , W ( , ) T ej > (q , p) = F

-1

(S p(W ( , )T ))(q , p).

RUR


Изучим связь между композицией операторов ГильбертаEШмидта и их вейлевскими символамиF Пусть

a S (Rd Rd ) , b S (Rd Rd ).
Вычислим

@eFPSA

Tw (a) ћ Tw (b) = F (a)(1 1 )F (b)(2 2 )W (1 , 1 )W (2 , 2 )d1 d1 d2 d2 = 1 F (a)(1 1 )F (b)(2 2 ) exp(-i (1 1 , 2 2 ))Ч 2 W (1 + 2 , 1 + 2 )d1 d1 d2 d2 = 1 F (a)(1 1 )F (b)(2 - 1 2 - 1 ) exp(-i (1 1 , 2 2 ))Ч 2 W (2 , 2 )d1 d1 d2 d2 = Tw (a b),
где
- a b(q , p) := F 1 (F (a) F (b))(q , p), F (a) F (b)( ) =

1 F (a)(1 1 )F (b)( - 1 - 1 ) exp(-i (1 1 , ))d1 d1 . 2
Если выполнено условие @eFPSAD то a

b S (Rd Rd )F Из равенства b)

Tw (a) ћ Tw (b) = Tw (a
следуетD что бинарная операция

(a ; b) a

b

ассоциативна @что можно проверить и прямой выкладкойA и линейна по каждому аргументуD а линейное пространство S (Rd Rd ) вместе с бинарной операцией есть @некоммутативнаяA алгебраF Отображение

a Tw (a)
есть представление этой алгебры операторами ГильбертаEШмидтаF RUS


A.2

Теорема Дж. фон Неймана о единственности представления КПС в форме Вейля

Мы задали операторы U (q ) , V (p) явными формулами и потом доказаE лиD что построенный на их основе оператор W (q , p) унитарен и удовлеE творяет соотношениям @eFIRAE@eFISAD которыеD очевидноD эквивалентны каноническим перестановочным соотношениями в форме Вейля @eFTAE @eFVAF ОказываетсяD что соотношения @eFIRAE@eFISA определяют операE торную функцию W (q , p) @а потому и операторы U (q ) , V (p)A с точноE стью до унитарной эквивалентностиF Соответствующее утверждение доE казано ДжF фон Нейманом в IWQI году @tohnn von xeumnn @IWHQEIWSUAD современное произношение этой фамилии на русском язые EНойманD амеE риканское написание имениX tohn onAF В математическом фольклоре соответствующая теорема называется теоремой ДжF фон Неймана @НойE манаA о единственности шредингеровсого представления КПС @канониE ческих перестновочных соотношенийA в форме ВейляF Приведем одну из редакций этого утвержденияF

Теорема A.2.1.

Пусть в гильбертовом пространстве

H

задана опера-

торная функция

W : Rd R
1. Операторы

d

q p W (q , p) L(H H ),
унитарны и

которая удовлетворяет условиям:

W (q , p)

W (q , p) = W (-q , -p).
2. Операторная функция топологии. Это означает,

W (q , p) непрерывна в сильно что ( H ) функция q p W (q , p) H H
.

й операторной

Rd R

d

непрерывна в норме пространства 3. Выполнено тождество:

(q1 p1 Rd Rd , , q2 p2 Rd Rd ) : i W (q1 , p1 )W (q2 , p2 ) = exp(- (q1 p1 , q2 p2 ))W (q1 + q2 , p1 + p2 ). 2
4. Пространство

H

-наименьшее нетривиальное пространство, ко-

торое инвариантно относительно всех операторов

W (q , p).

RUT


Тогда существует такой унитарный оператор

U

:

U : H L2 (Rd , dx),
что

(q , p) : W (q , p)U = U W (q , p).
Доказательство этой теоремы потребует от нас только умения вычисE лять гауссовы интегралы и основано на следующей лемме НейманаF

Лемма A.2.1.

Если выполнены условия теоремы, то оператор
d

P := (2 )-

exp(-( 2 + 2 )/4)W ( , )d d

удовлетворяет условиям:

1. P = P. 2.P = 0. 3. (q , p) : P W (q , p)P = exp(-(q 2 + p2 )/4)P. 4. P 2 = P.

@eFPTA @eFPUA @eFPVA @eFPWA

Доказательство леммы проводится прямой выкадкойF Доказываем первое утверждениеF ИмеемX

P = (2 ) (2 ) (2 )
-d

-d

exp(-( 2 + 2 )/4)W ( , ) d d =

exp(-( 2 + 2 )/4)W (- , - )d d = exp(-( 2 + 2 )/4)W ( , )d d = P.

-d

Доказываем второе утверждениеF ИмеемX

W (q , p)P = (2 )- (2 )-
d

d

exp(-( 2 + 2 )/4)W (q , p)W ( , )d d =

exp(-( 2 + 2 )/4 - i (q p , )/2)W ( + q , + p)d d .

Делаем замену переменных в интеграле и учитываем кососимметричE ность билинейной формы X

-q, -p (q p , ) (q p , - q - p) = (q p , ).
RUU


ПолучаемX

W (q , p)P = (2 )-
где

d

exp(-Q)W ( , )d d

@eFQHA

Q = (( - q )2 + ( - p)2 )/4 + i (q p , )/2).
Если

@eFQIA

P = 0,
то

(q p , , H ) : < , W (q , p)P > 0
и

J (q , p) := (2 )-
Преобразуем интеграл

d

exp(-Q) < , W ( , ) > d d 0.

1 J (q , p) = (2 )-d exp(- (q 2 + p2 ))Ч 4 2 2 + 1 1 exp(- + (q - ip) + (p - iq )) < , W ( , ) > d d 4 2 2 @eFQPA
Так как функция

( , ) < , W ( , ) >

@eFQQA

непрерывна и оганиченаD то интеграл J (q , p) сходится при всех комE плексных q Cd , p Cd D в частности и на многообразии

(q - ip) Rd , (p - iq )) Rd .
Отсюда следуетD что преобразование Фурье функции

( , ) exp(-

2 + 2 ) < , W ( , ) > 4

тождественно равно нулю и поэтому функция @eFQQA тождественно равна нулю ( , H )D чего быть не можетD если оператор W ( , ) не есть оператор умножения на 0F Утверждение P доказаноF RUV


Переходим к доказательству третьего утвержденияF ИмемX

P W (q , p)P = (2 )-
где
2d

exp(-Q)W ( , )W ( , )d d d d

Q = (( - q )2 + ( - p)2 )/4 + i (q p , )/2) + ( 2 + 2 )/4.
Но

W ( , )W ( , ) = exp(-i ( , )/2)W ( + , + ),
поэтому

P W (q , p)P = (2 )-
где

2d

exp(-Q)d d W ( , )d d ,

Q = (( - q )2 + ( - p)2 ))/4 + i (q p , )/2)+ (( - )2 + ( - )2 )/4 + i ( , )/2.
В квадратичной форме Q собираем слагаемые с одинаковыми степенямиF ПолучаемX

1 1 1 2 : 2 + 2 = 2, 4 4 2 1 1 1 1 : - q - - i p - i 2 2 2 2 1 1 (-q - - ip - i ) = a , 2 2 12 12 12 2 : + = , 4 4 2 1 1 : - p - + i + i q = 2 2 12 Q( = 0 , = 0) = (q + p2 + 2 + 2 ). 4
ЗамечаемD что в полученых равенствах

= a = (-q - - ip - i );

1 b , b = -p - + i + iq , 2

a2 = -b2 .
RUW


Вычисляем интеграл по d d F ПолучаемX

exp(-Q)d d = (2 )d exp(-Q(0 , 0)) = 1 (2 )d exp(- (q 2 + p2 + 2 + 2 )). 4
Третье утверждение доказаноF Положив в нем q = 0 , p = 0D получаем последнее утверждениеF Лемма доказанаF Положим e0 (x) = ( )-d/4 exp(-x2 /2) , x Rd . @eFQRA Пусть операторы W (q , p) определены формулой @eFIIAF Справедлива
1. Для любого набора точек векторы

Лемма A.2.2.

W (qj , pj )e0 , qj pj Rd Rd , 1 j N
линейно независимы в

L2 (Rd , dx)

.

2. Справедливы равенства

< e0 , W (q , p)e0 >= exp(-(q 2 + p2 )/4); < W (qk , pk )e0 , W (qj , pj )e0 >= exp(-((qj - qk )2 + (pj - pk )2 )/4 - i (qj pj , qk pk )/2).
3. Если

@eFQSA @eFQTA

|j |2 > 0 , qj pj = qk pk j = k
1j N

@eFQUA

то
k j exp(-((qj - qk )2 + (pj - pk )2 )/4 - i (qj pj , qk pk )/2) > 0. 1j , kN

@eFQVA ДоказательствоF Первое утверждение очевидноF Второе утворждение следует из формулы @eFIQA и формулы

< W (qk , pk )e0 , W (qj , pj )e0 >=< e0 , W (qk , pk ) W (qj , pj )e0 >= < e0 , W (-qk , -pk )W (qj , pj )e0 >= exp(-i (qj pj , qk pk )/2) < e0 , W (qj - qk , pj - pk )e0 > .
RVH


Третье утверждение леммы следует из перого утверждения и равества

j W (qj , pj )e0
1j , kN

2

=

k j exp(-((qj - qk )2 + (pj - pk )2 )/4 - i (qj pj , qk pk )/2).

Лемма доказанаF Переходим к доказательству теоремыF Пусть a0 H Eтакой векторD что

a0 = P a 0 , a

0

= 1.

Такой вектор обязательно существуетD так как P Eне равный нулю проекE торF Пусть L Eмножество всех конечных линейных комбинаций векторов W (qj , pj )a0 F Множество L Eэто линейное подпространство в H D которое инвариантно относительно операторов W (q , p) и состоит из векторов виE да a= j W (qj , pj )a0 . @eFQWA
j

В силу утверждения Q предыдущей леммы векторы W (qj , pj )a0 линейно независимы и для каждого вектора a L представление @eFQWA единE ственноF Определим линейный оператор

U : L L2 (Rd , dx)
равенством

U W (qj , pj )a0 = W (qj , pj )e0 .

@eFRHA

Это определение корректно в силу линейной независимости векторов W ( q j , p j ) a0 F Прямой выкладкой проверяетсяD что отображение U удовлетворяет условиямX

(a L) : U a | L2 (Rd , dx) = a | H , U W (q , p)a = W (q , p)U a , Cl(U L) = L2 (Rd , dx).
Пусть

H0 = Cl(L).
RVI


Пространство H0 Eнетривиальное подпространство в H D которое удовлеE творяет условиюX

(q p) : W (q , p)H0 = H0 ,
поэтому

H0 = H.
Пусть U Eпродолжение по непрерывности на пространство H оператораD заданного формулой @eFRHA н пространстве LF Это Eискомое отображениеF Теорема доказанаF Если не делать предположения RD но предположитьD что пространство H сепарабельноD то тогда предыдущая конструкция приведет к разложеE нию пространства H в прямую суммуX

H=
0j

Hj .

В пространстве H0 оператор W (q , p) есть оператор аннулированияD а в постранствах Hj , j > 1 оператор W (q , p) унитарно эквивалентен операE тору W (q , p)F

RVP


A.3

Указатель обозначений.

Обозначения, связанные с теорией множеств.
Мы предполагаемD что читатель знаком с основными понятиями теории множеств в объеме первых глав книг ID PF Символ A B обозначает пересечение множеств A и B F Символ A B обозначает объединение множеств A и B F Если A X D то дополнение множества A в X мы обозначаем символм

C(A) := X \ A.
Формулы де Моргана в этих обозначениях имеют вид

C(

A ) =

C(A ) , C(

A ) =

C(A ).

@eFRIA

Символ {x} означает множествоD общий элемент которого обозначен символом xF Символ {x | b1(x) , b2(x) . . .}, где b1(x) , b2(x) . . . Eбулевские выраженияD означает множество всех xD для которых булевские выражения b1(x) , b2(x) . . . принимают значение 4истина4F Символ {f (x) | b1(x) , b2(x), . . .} обозначает множество всех тех значений функции f (x)D которые она приE нимает при тех xD для которых все булевские выражения b1(x) , b2(x), . . . принимают значения истинаF Символ a = sup{f (x) | b1(x) , b2(x) , . . .} означаетD что точная верхняя грань вычисляется по тем значениям переE менной xD для которых булевские выражения b1(x) , b2(x) , . . . принимаE ют значения истинаF Аналогичное правило применяется при указании области изменения переменных при вычислении точной нижней грани и тFдF Характеристическую функцию множества A мы обозначаем симвоE лом 1 , x A; I(A | x) = 0 , x A. RVQ


Мы исползуем это же обозначение для того случаяD когда множество A задано булевским выражением b1(x)X

I(b1(x) | x) =

1 , b1(x) = truth; 0 , b1(x) = f alse.

Если A и B Eбулевские выраженияD то выражение

AB
используется для обозначения утвержденияX из A следует B D а выражеE ние A B используется для обозначения утвержденияX A истино в том и только том случаеD если истино B F def Символы := , = обозначают равенство по определениюF При написании формул мы старались придерживаться следующей схемыX выписанные через запятую кванторы и булевские выраженияD коE торые определяют область изменения переменных в высказыванииD знак X D высказываниеF Строка (a , b , . . .) , (c , d , . . .) : читается такX для всех a , b , . . . существуют такие c , d , . . .D что FFFF Строка (b1(x) , b2(y ) , . . .) , (c , d , . . .) : читается такX для всех тех значений переменных x , y , . . .D при которых булевские выражения b1 , b2 , . . . принимают значение истинаD сущеE ствуют такие c , d , . . .D что FFF Символы и использованы для обозначения логического или и логического иXA B истино в том и только том случаеD если хотя бы одно из значений A или B истиноD A B истино в том и только том случаеD если истины оба значенияX A и B F Символ f (x) в зависимости от контекста означает имя функции или значение функции в точкеF

Обозначения, связанные с теорией меры и интеграла.
L0 (X ) Eпространство элементарных функцийD смF стрF QF L+ (X ) Eпополнение пространства элементарных функцийD смF стрF IWF L(X ) Eпространство интегрируемых функцийD смF стрF PRF
RVR


RIF

Lp (X ) Eпространство функцийD интегрируемых со степенью pD смF стрF

I0 (f ) Eэлементарный интегралD смF стрF RF I+ (f ) Eрасширение элементарного интегралаD смF стрF PIF I (f ) Eинтеграл ДаниэляD смF стрF PTF mes(Z ) = 0 Eутверждение о томD что мера множества Z равна нулюD смF стрF IID стрF THF пFвFEсокращение для утверждения 4почти всюду смF стрF IQD стрF IRD стрF THF ч(A) Eмера множества AD смF стрF RUF f (x) ч(dx) Eинтеграл по мере чD смF стрF SPF

Обозначения, связанные с теорией метрических и топологических пространств.
d(x , y ) Eрасстояние между точками x и y метрического пространстваD смF стрF IHIF dist Eрасстояние между множествами A и B D смF стрF IHPF b(x , ) := {y | d(x , y ) < }D Eоткрытый шар в метрическом пространE ствеD смF стрF IHPF Cl(A) Eзамыкание множества AD смF стрF IISF B (X ) Eалгебра борелевских множеств пространства X F

Обозначения, связанные с теорией банаховых пространств.
spn{e1 , e2 . . . , en } = {f | f = 1j n j ej , j C1 } Eлинейная оболочE ка векторов ej F | D | B Eнорма в банаховом пространствеD смF стрF ISIF L(B1 B2 ) Eбанахово пространство всех линейных непрерывных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2 D смF стрF ISWF K(B1 B2 ) Eпространство всех компактных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2 D смF стрF PPWF Gr(T ) Eграфик оператора T D смF стрF IUIF Dom(T ) Eобласть определения оператора T F Im(T ) = {y | y = T x , x Dom(T )} Eобласть значений отображения TF Ker(T ) = {x | x Dom(T ) , T x = 0} Eядро отображения T F B Eбанахово пространствоD сопряженное банахову пространству B D смFстрF IUSF N (A) Eаннулятор множества AD смFстрF IVQF RVS


id Eединичное @тождественное отображениеAD единица алгебрыD смFстрF IVRF def R( , a) = ( ћ id - a)-1 Eрезольвента элемента @оператораA aD смFстрF IWHF Opa Eопределяемый интегралом Данфорда гомоморфизм алгебры анаE литических функций в алгебру операторовD смFстрF IWSF

Обозначения, связанные с теорией гильбертовых пространств.
< , > Eскалярное произведение в гильбертовом пространствеD смF стрF PTWF A = {y |< y , x >= 0} Eортогональное дополнение множества AD
смF стрF PVHF A операторD гильбертово сопряженный оператору AD смF стрF PVU D QQSF | H S Eнорма ГильбертаEШмидта D смF стрF QHPF H S (A , B ) Eскалярное произведение в пространстве опрераторов ГильбертаE ШмидтаD смF стрF QHSF sj (A) Eхарактеристические числа оператора AD смF стрF PWVF xl Eбанахово пространство ядерных операторовD смF стрF QHVF A | N cl Eядерная норма оператора AD смF стрF QHVF E ( , A) Eспектральная функция оператора AD смF стрF QPIF OpbA Eгомоморфизм измеримых по Борелю функций на спектре саE мосопряженного оператора A в алгебру операторов L(H H )D смF стрF QPIF OpU Eопределяемый унитарным оператором U гомоморфизм алгебE ры измеримых по Борелю функций B or([0 , 2 ]) в алгебру операторов L(H H )D смF стрF QQQF W+ (B , A) Eволновые операторыD смF стрF QUWF S (B , A) Eоператор рассеянияD смF стрF QVQF M(A) используемое в теории рассеяния подпространство абсолютно непрерывного подпространства оператора AD смF стрF QUVF Eun ( , U ) Eспектральная функция унитарного оператора U F S (Rd ) Eпространство ШварцаD смF стрF RHQF D(Rd ) Eпространство бесконечно дифференцируемых в области D функE цийD смF стрF RHUF H s (Rd ) Eпространство СоболеваD смF стрF RRWF њ H p (D) Eпространство Соболева функцийD заданных в области DD смF стрF RSWF
xA

RVT


Литература

I ПF СF АлександровF Введене в теорию множеств и общую топологиюF QTU стрF МоскваD Издательство НаукаD IWUUгF P АF НF КолмогоровD СF ВF ФоминF Элемнты теории функций и функE ционального анализаF RWT стрF МоскваD Издательство НаукаD IWUPгF Q КF КуратовскийD АF МостовскийF Теория множествF RIT стрF ИздаE тельство МирD МоскваD IWUHF R ВF ИF БогачевF Основы теории мерыF Том IF SSR стрF МоскваEИжевскX НИЦ Регулярная и хаотическая динамикаD PHHQгF S ВF ИF БогачевF Основы теории мерыF Том PF SUT стрF МоскваEИжевскX НИЦ Регулярная и хаотическая динамикаD PHHQгF T ПF ХалмошF Теория мерыF PST стрF МоскваD Факториал ПрессD PHHQгF U ГF ЕF ШиловD БF ЛF ГуревичF ИнтегралD мера и производнаяF PII стрF Издательство НаукаD МоскваD IWTRгF V МF ИF ДьяченкоD ПF ЛF УльяновF Интеграл и мераF ISW стрF МоскваF Издательство ФакториалD IWWVгF W ЖF НевеF Математические основы теории вероятностейF QHW стрF ИзE дательство МирD МоскваD IWTWгF IH КF ПартасаратиF Введение в теорию вероятностей и теорию мерыF QRQ стрF Издательство МирD МоскваD IWVQгF II ГF ФедерерF Геометрическая теория мерыF UTH стрF МоскваD 4НауE ка Главная редакция физикоEматематической литературыF IWVU гF IP НF БурбакиF Общая топологияF Использование вещественных чиE сел в общей топологииF Функциональные пространстваF Сводка реE зультатовF RHV стрF МоскваF Издательство НаукаD Главная редакция физикоEматематической литературыF IWUS гF RVU


IQ НF БурбакиF Общая топологияF Основные сруктурыF PUP стрF МоскваF Издательство НаукаD Главная редакция физикоE математической литературыF IWTV гF IR РF ЭнгелькингF Общая топологияF URR стрF МоскваF Издательство МирF IWVT гF IS ДжF ЛF КеллиF Общая топологияF RQI стрF МоскваF Издательство НаукаF IWVI гF IT ТF КатоF Теория возмущений линейных операторовF URH стрF МоскваF Издательство МирD IWUP гF IU ФF Рисс и БF СекефальвиEНадьF Лекции по функциональному анаE лизуF SVU стрF МоскваF Издательство МирF IWUW гF IV УF РудинF Функциональный анализF RRQ стрF СанктEПетербургD МоскваD КраснодарF Издательство ЛаньF PHHS гF IW АF ЯF ХелемскийF Лекции по функционаьному анализуF SSP стрF ИзE дательство Московского центра непрерывного математического обE разованияF МоскваF PHHR гF PH ВF ИF БогачевD ОFГFСмоляновF Действительный и функциональный анализF МоскваEИжевскX НИЦ Регулярная и хаотическая динамикаD PHHWгF PI КF ИосидаF Функциональный анализF TPR стрF МоскваF Издательство МирF IWTU гF PP ДFРFЯфаевF Математическая теория рассеянияF СанктEПтербургF Идательство СFEПетербургского университетаF IWWR гF PQ МF РидD БF СаймонF Методы современной математической физикиF ТIF Функциональный анализF QSU стрF МоскваD Издательство МирF IWUU гF PR МF РидD БF СаймонF Методы современной математической физикиF ТPF Гармонический анализF СамосопряженностьF QWS стрF МоскваD Издательство МирF IWUV гF PS МF РидD БF СаймонF Методы современной математической физикиF ТQF Теори рассеянияF RRQ стрF МоскваD Издательство МирF IWVP гF RVV


PT МF РидD БF СаймонF Методы современной математической физикиF ТRF Анализ операторовF RPV стрF МоскваD Издательство МирF IWVP гF PU НF Данфорд и ДжF ШварцF Линейные операторыF Общая теорияF VWS стрF МоскваF Издательство иностранной литературыF IWTP гF PV НF Данфорд и ДжF ШварцF Линейные операторыF Спектральная теорияF Самосопряженные операторы в гильбертовом пространствеF IHTP стрF МоскваF Издательство иностранной литературыF IWTT гF PW НF Данфорд и ДжF ШварцF Линейные операторыF Спектральные операторыF TTI стрF МоскваF Издательство иностранной литератуE рыF IWUR гF QH ЛF ВF КанторовичD ГF ПF АкиловF Функциональный анализF URI стрF МоскваF Издательство НаукаD Главная редакция физикоE математической литературыF IWUU гF QI НF ИF Ахиезер и ИF МF ГлазманF Теория линейных операторов в гильE бертовом пространствеF SRQ стрF МоскваF Издательство НаукаF ГлавE ная редакция физикоEматематической литературыF IWTT гF QP СF СF КутателадзеF Основы функционального анализаF PIV стрF НоE восибирскF Издательство НаукаF Сибирское отделениеF IWVQ гF QQ ВF МF ФедоровF Курс функционального анализаF СанктEПетербургD МоскваD КраснодарF Издательство ЛаньF PHHS гF QR Бирман МF ШFD Соломяк МF ЗF Спектральная теория самосопряженE ных операторов в гильбертовом пространствеF ЛенинградF ИздательE ство Ленинградского университетаF IWVH гF QS ПF ХалмошF Гильбертово пространство в задачахF QSP стрF НовокузE нецкF Издательский отдел Новокузнецкого ФизикоEматематического институтаF PHHH гF QT АF АF КирилловD ФF ДF ГвишианиF Теоремы и задачи функциональE ного анализаF QWT стрF МоскваD Издательство НаукаD Главная реE дакция физикоEматематической литературыF IWVV гF QU УF БрателлиD ДF РобинсонF Операторные алгебры и квантовая стаE тистическая механикаF SII стрF МоскваD Издательство МирD IWVP гF RVW


QV Иоганн фон НейманнF Математические основы квантовой механикиF QTU стрF Издательство НаукаF МоскваF IWTR гF QW ВF СF ВладимировF Обобщенные функции в математической физиE кеFPVH стрF МоскваF Издательство НаукаF IWUT гF RH РFЭдвардсF Функциональный анализF Теория и приложенияF IHUI стрF Издательство Мир F МоскваD IWTW гF RI ПFНFКнязевF Фукциональный анализF PHV стрF Издательство ЕдитоE риал УРССF PHHQ гF МоскваF RP ВFИFСмирновF Курс высшей матнматикиF Том SF Государственное изE датеьство физикоEматематческой литетатурыF МоскваF IWSW гF RQ F o jkn tk ? opis in petrl heoryF siF

http://www.ma.utexas.edu/mp_arc 05-38
RR КF МоренF Методы гильбертова пространстваF SUH стрF Издательство МирD МоскваD IWTS гF RS МFАFНаймаркF Линейные дифференциальные операторыF МоскваD Государственное издательство научноEтехнической литературыD IWSR гF RT endre osilino nd vu imondiF urein9s resolvent formul for selfEdjoint extensions of symmetri seondEorder ellipti di'erentil opertorsF tF hysF eXwthF reorF RP @PHHWAHISPHR @IIppAF RU wF qdell nd pF q? omezF e ni(ed wthemtil pormlism for the hir pormultion of untum wehnisF poundtion of hysisD olF QPD xo TD tune PHHPD pFVISEVTWF RV wF qdell nd pF q?mezF iigenfuntion expnsions nd rnformtion o heoryF rxivXmthFpeFGHTHUSRVF RW F de l wdridD eF fohmD wF qdellF igged rilert pe retment of gontinuous petrumF

http://www.ma.utexas.edu/mp_arc 02-126
SH frry imonF petl nlysis of rnk one perturtins nd pplitionsF RWH


http://www.ma.utexas.edu/mp_arc 94-91
SI Ftk ? urithevskiD nd gFEeFilletF wthemtil heory of the siD ignerEeisskopf etomF

http://www.ma.utexas.edu/mp_arc 05-333

RWI


Предметный указатель

EалгебраD RT интеграл sEчисла компактного оператораD PWR БохнераD IVS ДаниэляD PS Функция ДанфордаD IWQ счетноEаддитивнаяD UU Лебега в Rd D QH ЛебегаEСтильтьесаD SU алгебра РиманаEСтильтьесаD SU банаховаD IVR несобственныйD QH борелевских множествD RU элементарныйD Q множествD RT
аннуляторD IVH база топологииD IHW билинейная формаD IUS компактD IPT композиция операторовD IVP коэффициент ФурьеD PTW критерий ВейляD PQV

волновой оператор лемма полныйD QUQ КуратовскогоEЦорнаD IRU второе резольвентное тождествоD IWH РозенблюмаD QUS второе резольвентное уравнениеD IWH лемма ФейераD QPP график неограниченного оператораD PRH мераD RU абсолютно непрерывнаяD UQ график отображенияD ITV борелевсаяD RV двойственностьD IUS внешняяD RVD WH полнаяD RV единичный операторD IVP сингулярные мерыD UQ метрикаD WW замыкание множество оператораD PRI замкнутоеD IIP замыкание множестваD IIQ измеримоеD SH измеримое относительно интеграE измеримая ла I D SQ функцияD SH измеримое по ЛебегуD RV измеримое отображениеD SH меры нольD II RWP


открытоеD IHV предкомпактноеD IPT модель ФридерихсаD QIV

полюс резольвентыD PHS последовательность ВейляD PQV последовательность КошиD IHP почти всюдуD IQ непрерывная функцияD IIT относительно мерыD TH непрерывное отображениеD IIT предбаза топологииD III неравенство преобразование КеллиD QSR БесселяD PUI признак ВейляD PQV ГельдераD RP признак КукаD QUT КошиEБуняковскогоD PTT принцип минимаксаD PVW МинковскогоD RP принцип открытости отображенияD ЧебышеваD TS ITR ШварцаD PTT принцип равномерной ограниченноE параллелограммаD IHH стиD ISW нормаD IRW проекторD PHH эквивалентнаяD ISH произведение операторовD IVP пространство обобщенная производнаяD RRU Lp (X )D RI окрестность ШварцаD QWS множестваD IHV банаховоD ISI оператор гильбертовоD PTU eEограниченныйD QQV интегрируемых функцийD PR ГильбертаEШмидтаD PWV компактноеD IPT волновойD QUI метрическоеD WW гильбертово сопряженныйD PVPD нормальноеD IPI QPV нормированноеD IRW замкнутыйD PRI полноеD IHP изометрическийD PUQ предгильбертовоD PTU компактныйD PPP регулярноеD IPI неотрицательныйD PVQ сепарабельноеD PUP обратныйD IVP унитарноеD PTS полярное разложениеD PWP хаусдорфовоD IPI рассеянияD QUR элементарных функцийD Q расширение по ФридрихсуD QSQ прямая сумма самосопряженныйD PVQ банаховых пространствD ISI унитарныйD PUQ ядерныйD QHQ равенство ортогональное дополнениеD PUT ПарсеваляD PUP ортонормированная системаD PTW параллелограммаD PTU полнаяD PUI разложение ЛебегаD UT полунормаD IUH RWQ


Лебега для монотонной функE цииD VW ХанаD UU разложение ШмидтаD PWR размерность оператораD PWS расстояниеD WW растояние между множествамиD IHH расширение лебеговсклеD RV резольвентаD IVV неограниченного оператораD PQU резольвентное множествоD IVV резольвентное тождествоD PQW

КуратовскогоEЦорнаD IRU ЛаксаD PVH ЛаксаEМильграмаD PVH ЛаксаEМильграмаEВишикаD PVH ЛебегаD QR ЛевиD PUS Леви о проекцииD PUU МальгранжаEЭренпрайсаD RQI РадонаEНикодимаD UT РелеяD PVT РеллихаEКатоD QQV Рисса о представлении линейноE го функционала в гильберE товом пространствеD PUV РиссаEФишераD QV скалярное произведениеD PTS СтоунаD QRP след оператораD QHT СтоунаEВейштрассаD IQT спектрD IVW ФишераD PVW абсолютно непрерывныйD QTV ФубиниD UH сингулярныйD QTV ХанаEБанахаD IUHD IUP спектральная функцияD QIR ХеллингераEТеплицаD QPW спектральный ШаудераD PPR проекторD PHH о замкнутом графикеD ITW радиусD IWW о полярном разложенииD PWP сплетающее свойствоD QUP об открытом отображенииD ITR сходимость об умножении волновых операE по мереD TQ торовD QUP почти всюдуD IR тождество ГильбертаD IWHD PQV топологияD IHV теорема естественная метрического проE АрцелаEАсколиD IQQ странстваD IHW Банаха об обратном отображеE тихоновскаяD IIP нииD ITV точка прикосновенияD IIQ БанахаEШтейнгаузаD ITH трансфинитная индукцияD IUI Беппо ЛевиD QP БрауэраEТитцеEУрысонаD IPS условие КошиD IHP Бэра о категорияхD IIR факторEпространство ГильбертаEШмидтаD PVV банахового пространстваD ISI ДFЭFАллахвердиеваD PWT форма ДиниD IPV билинейнаяD PUW КатоEРеллихаD QQV RWR


кососимметричнаяD PUW сопряженноEлинейнаяD PUW эрмитоваD PUW фундаментальная последовательностьD IHP фундаментальность по мереD TP функции интегрируемыеD PR функция КантораD TT калибровочнаяD IUH распределенияD ST характеристические числаD PWR эквивалентные метрикиD IHP

RWS