Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_spec/254/lections13--15.pdf Дата изменения: Wed Sep 14 22:13:45 2011 Дата индексирования: Tue Oct 2 01:19:14 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекция

13

ПРОСТРАНСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

P

И

E

1. Введение
В этой лекции мы рассмотрим три класса основных или, как иначе говорят, пробных функций

D, P

и

E.

При этом мы будем интен-

сивно пользоваться языком теории локально выпуклых пространств, развитый в предыдущей лекции. Затем, мы перейдем к рассмотрению соответствующих сопряженных пространств

D

,

P

и

E

классов

распределений или, иначе, обобщенных функций. Для понимания этой лекции достаточно владеть основами теории локально выпуклых пространств, развитой в предыдущей лекции.

2. Пространство распределений

P
P
, которые

Перейдем к исследованию пространства распределений Дадим следующее определение. О п р е д е л е н и е 1 5 . Обозначим через

еще называют пространством обобщенных функций умеренного роста.

P

или

PR

N

простран-

ство линейных и непрерывных функционалов над пространством

(P, ).
С одной стороны, из первого результата теоремы 3 следует, что пространство основных функций

P

является борнологическим. Заметим,

что пространство вещественных чисел другой стороны, линейный функционал ных функционалов над

C1 f


является тоже борнологи-

ческим, как метрическое относительно расстояния между точками. С из

P

#

(пространство линей-

P

) отображает борнологическое пространство

( P, )

в борнологическое пространство

C1 :

f : ( P, ) C 1 .
Поэтому из результата теоремы 8 четвертой лекции приходим к выводу о справедливости следующей теоремы.
необходимо и достаточно, чтобы из условия в топологии

Т е о р е м а 1. Для непрерывности линейного функционала



f P# , {n } (P, ) и n
,

вытекало, что

f



,



n



0

при

n +


2. Пространство распределений

P

167

где символом

P

#

ћ, ћ

обозначены скобки двойственности между

P

и

.

Поскольку пространство теорема.

P

является пространством Фреше, то оно

является борнологическим, поэтому имеет место следующая полезная Т е о р е м а 2. Следующие два условия эквивалентны: (i) (ii)

f P ; f P#

и функция

f



,



ограничена на ограниченных множе-

ствах из

P

.

Доказательство Действительно, если

f P

, то полунорма

p() | f
непрерывна. Но полунорма пространстве



,

|

(2.1)

p()

это полунорма на борнологическом

P

. Поэтому из теоремы 6 четвертой лекции вытекает, что

она ограничена на ограниченных множествах из Пусть теперь ных множествах

f P# из P. Но f

и функция

f



P

.

,



ограничена на ограничен-

тогда опять из теоремы 6 четвертой лекции

вытекает непрерывность полунормы (2.1). А значит и непрерывность линейного функционала Те о р е м а



.

доказана.

Напомним, что топология



пространства Фреше

(P, )

порождена

следующим счетным семейством полунорм:

f

n

pn (f ) max sup

|| n xRN

1

+ |x|

2

n

| f (x)| .

(2.2)

Важным следствием теоремы 15 является следующая лемма. Л е м м а 1. Линейный функционал
когда найдется такая полунорма

Mn >

f P pn ()

тогда и только тогда, вида (2.2) и постоянная

0, что имеет место неравенство:

|f
для всех



,

|

Mn max sup
|| n xR

1

+ |x|

2

n

| (x)|

(2.3)

N

( P, ) . {k (x)} (P, )
и

Доказательство.
Достаточность. Из (2.3) получаем, что если

k ,

то и

f



,

k


0

при

k +. f P
.

Следовательно, в силу теоремы 14 приходим к выводу, что
Необходимость. Пусть

f P

, тогда полунорма

p() = | f



,

|


168

Лекция 13. Пространства распределений

непрерывна над всем дется полунорма пространства

(P, ). А это в свою очередь означает, что найpn () из системы полунорм, порождающих топологию (P, ) и постоянная Mn > 0 такие, что |f

,

|

Mn pn ()

для всех

P.

Но полунорма Лемма

pn ()

имеет явный вид (2.2). Формула (2.3) доказана.

доказана.

Теперь мы перейдем к исследованию различных ?естественных? способов ?топологизации? пространства Начнем с построения

P

.

-слабой

топологии в пространстве

P

. Вве-

дем следующее семейство множеств:

A {A}
где

,

(2.4)

A

пробегает все конечные подмножества пространства

(P, ) .

. Те-

перь рассмотрим семейство множеств в пространстве

P:
1 (2.5)

B {A : A A}

,

A

f P : sup | f
A



,

|

Если принять семейство

P

, то мы получим

B за базу окрестностей -слабую ?топологизацию? P

нуля в пространстве этого пространства.

Дадим следующее определение. О п р е д е л е н и е 1 6 . Обозначим через

w , w



векторное то-

пологическое пространство, полученное при снабжении векторного пространства

P

топологии

-

слабой сходимости.

Поступим теперь аналогичным способом наделения пространства щее семейство множеств

P

топологией сильной сходимости. Действительно, рассмотрим следую-

A {A}

,

(2.6)

где

A

пробегает все ограниченные подмножества пространства

(P, )

.

Теперь рассмотрим семейство множеств в пространстве

P:
1

B {A : A A}

,

A B

f P : sup | f
A



,

|

.

(2.7)

Если принять семейство

за базу окрестностей нуля в пространстве

P

, то мы получим сильную ?топологизацию? этого пространства. Определение 1 7.
Обозначим через

Ps , s

векторное то-

пологическое пространство, полученное при снабжении векторного пространства

P

топологии сильной сходимости.

Естественно, что имеет место следующее утверждение: Л е м м а 2. Топология

s

сильнее

топологии

w



и

имеет

место

топологическое вложение:

Ps , s P

w , w



.


2. Пространство распределений

P

169

Доказательство. Лемма вытекает из общего результата 5 параграфа четвертой лекции. Лемма доказана. В нашей работе [21] доказано следующее утверждение. Т е о р е м а 3. Справедливы следующие утверждения: (i) Пространство (ii) Пространство

Ps , s

полно;


P

w , w

секвенциально полно.

С л е д с т в и е . Пусть задана последовательность
кая, что для каждого ность сходится

P

{fn } P

та-

следующая числовая последователь-

fn , f , = lim

,

тогда функционал определенный равенством

n+

fn ,

принадлежит

P

.

Доказательство. Это утверждение вытекает из пункта (ii) теоремы 16. Действительно, поскольку числовая последовательность ся фундаментальной в она фундаментальна. Следовательно, последовательность

-слабой
, т. е.

топологии пространства

тогда из утверждения (i) вытекает, что эта

{fn } являетP = Pw . Но последовательность {fn } P

fn ,

сходится, то

-

слабо сходится в

P

f , = lim
и

n+

fn ,

для всех

f P

. доказано.

Следствие

Над пространством основных функций пространств

P

и пространством

P

име-

ют место некоторые из тех операций, которые были введены для

D

и

D.

Действительно, можно опять рассмотреть для

произвольного линейного отображения

T:PP
определить линейный транспонированный оператор

Tt : P P
определенный соотношением

,

Tt f



,

f



,

T

для всех

f P

и

P.

И далее ввести операции неособеннной замены и дифференцирования. Заметим, что операция умножения на бесконечно дифференцируемую функцию

a(x) C RN

может вывести нас за рамки пространства

P

.


170

Лекция 13. Пространства распределений

Действительно, достаточно взять в качестве функции функцию:

a(x)

следующую

a(x) = exp{|x|2 } C RN .

Кроме того, имеет место следующее утверждение. Л е м м а 3. Имеет место плотное вложение:

Ps ,
Доказательство.

s

ds

Ds ,

s

.

Это утверждение вытекает из того факта, что

(D, ) (P, )
и теоремы 12 четвертой лекции. Лемма странства доказана. Пространство основных функций

ds

,

C R

N

P

строилось как пополнение про-

по счетной системе полунорм (2.2). Тем не менее,

имеет место следующий результат о плотности. Л е м м а 4. Имеет место плотное вложение:

C
Пусть функция


0

RN P RN
и

ds

,

.

0

Доказательство.

f (x) P RN

(x) C

RN
N

такая, что

(x)



1 при

|x|

1. Рассмотрим теперь функцию

f (x) f (x)(x) C R 0
Докажем, что

.
по каждой полунорме

f (x)

сходится к функции

f (x)

(2.2), т. е., иначе говоря, сходится в топологии пространства ствительно, имеет место следующая цепочка равенств

P

. Дей-

[f (x) - f (x)(x)] =
| | ||

c

-

f (x) [1 - (x)] = c
1

= c0 f (x) [1 - (x)] +
| | ||

-

f (x)

| | y

(y ).

Теперь понятно, что для каждой полунормы (2.2) имеет место следующая цепочка неравенств:

pn (f (x) - f (x)) = = max sup
|| n xRN
1

+ |x|
xRN

2

n

[f (x) - f (x)(x)]
0 при

c1 (n) sup |1 - (x)| + c2 (n)
Лемма доказана.

0.


2. Пространство распределений

P

171

Замечание

9 . Утверждение леммы 6 означает, что при попол-

нении пространства

C RN 0

по счетной системе полунорм (2.2) мы

все равно получим тоже самое пространство пространства

P RN P P

. Поэтому ника-

кого разночтения нет, хотя используются эти два способа построения

P

. и вызвана в осо-

Необходимость во введении пространств

бенности применения к ним оператора преобразования Фурье. К исследованию данной операции мы и приступаем. Дадим следующие определения. Определение 18.
Назовем прямым преобразованием Фурье следующий линейный оператор на

P:
N

(y ) F [] (y ) =

1

(2 )

N/

2

e
RN

-i(x,y )

(x) dx

,

(x, y ) =
k=1

xk yk .

(2.8)

О п р е д е л е н и е 1 9 . Назовем обратным преобразованием Фурье
следующий линейный оператор на

P:
N

(x) F

-1

[] (x) =

1

(2 )

N/

2

ei
RN

(x,y )

(y ) dy

,

(x, y ) =
k=
1

xk yk .

(2.9)

Справедлива следующая теорема: Т е о р е м а 4. Операции прямого и обратного преобразования Фурье
являются линейными и непрерывными:

F : (P, ) (P, )
Доказательство.

и

F

-

1

: (P, ) (P, ) .

Докажем утверждение теоремы для прямого преобразования Фурье, поскольку доказательство для обратного преобразования Фурье аналогичное. Прежде всего заметим, что поскольку пространство

(P, )

является

пространством Фреше, то оно является и борнологическим. Поэтому в силу теоремы 8 четвертой лекции нам достаточно доказать, что для любой последовательности

{m } (P, )
в

такой, что

m
вытекает, что

( P, ) ( P, )

при

m +

,

F [m ]

в

при

m +.

Прежде всего заметим, что имеют место следующие равенства:

y F [] (y ) =

1

(2 )

N/

2

(-ix) e
RN

-i(x,y )

(x) dx

,

(2.10)


172

Лекция 13. Пространства распределений

1

+ |y |

2

n

F[](y ) =

1

(2 ) =

N/

2

(x) (1 -
RN
1

x

)e

n -i(x,y )

dx =

(2 )

N/

2

e
RN

-i(x,y )

[1 -

x

] (x) dx

n

,

(2.11)

здесь мы воспользовались интегрированием по частям, чтобы ?перекинуть? оператор [1

-

x

]n n N,
2

где

x



2 2 . + +ћћћ+ x2 x2 x2 N 1 2

Таким образом, с учетом (2.10) и (2.11) получим следующую цепочку неравенств:

1

+ |y |
1

2

n

y F[](y )

1

(2 )N

/

2

|[1 -
R
N

x

] (-ix) (x)| dx
1

n

(

2 )N/

2

sup |1 + |x|2 |s | [1 -
xRN

x

] x (x)
R
N

n

[1 + |x| ]
2

s

dx

,

s>

N
2

.

Отсюда сразу же получаем оценку

pn (F[])

c(n, s)p2 nN

n+s

()

,

sN

и

s>

N
2

.
то и

В силу произвольности

мы получаем, что если при

m

,

F[m ]
Те о р е м а доказана.

m +.

Теперь докажем, что прямое преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье действительно являются взаимно обратными операциями. Т е о р е м а 5. Операторы Фурье
ными операторами на

F

и

F

-

1

являются взаимно обрат-

P

.

Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы сначала докажем следующее равенство:

g (y )f (y )e
R
N

i(x,y )

dy =
RN

g (y )f (x + y ) dy .

(2.12)

Действительно, имеет место цепочка равенств:

g (y )f (y )ei
RN

(x,y )

dy =

1

(2 )N

/

2

dy g (y )
R
N

dz e
R
N

-i(z -x,y )

f (z ) =


2. Пространство распределений

P

173

=

1

(2 )N

/

2

dz f (z )
R
N

dy g (y )e
R
N

-i(z -x,y )

= dy f (x + y )g (y ).

=
R
N

dz f (z )g (z - x) =
R
N

Возьмем теперь в качестве функции

g (y )

функцию

g (y ).

Заметим, что

справедлива следующая цепочка равенств:

g (y ) =

1

(2 )N

/

2

dz e
R
N

-i(y ,z )

g (z ) =
1

=

1

(2 )

N/

2



N R
N

dz e

-i(y /,z )

g (z ) =

1



N

g

y .

(2.13)

С учетом равенств (2.12) и (2.13) приходим к следующему равенству:

g (y )f (y )e
RN

i(x,y )

dy =
RN

1

N

g

y f (x + y ) dy = =
R
N

g (y )f (x + y ) dy . g (x) :

(2.14)

Теперь возьмем в равенстве (2.14) в качестве функции

g (x) = e
Тогда переходя к пределу при равенство:

-|x| /

2

2

.



0 в (2.14), получим следующее

f (y )e
RN

i(x,y )

dy = f (x)
R
N

g (y ) dy . g (x) : e
RN -|z |2 /
2

(2.15)

Справедливы следующие свойства введенной функции

g (z ) =

1

(2 )

N/

2

e
RN

-

|y |2
2

e

-i(z ,y )

dy = e

-|z | /

2

2

,

1

(2 )N/

2

dz = 1.

С учетом этого из равенства (2.15) приходим к следующему равенству: 1

(2 )N

/

2

f (y )e
RN

i(x,y )

dy = f (x).

Которое иначе можно переписать как

F-1 [F[f ]] = f FF
-1

для всех

f (x) P RN . f (x) P R
N

Аналогично доказывается и равенство

[f ] = f

для всех

.


174

Лекция 13. Пространства распределений

Те о р е м а

доказана.

Рассмотрим теперь преобразование Фурье свертки двух функций из

P

. Действительно, сначала докажем, что операция свертки (которая,

очевидно, является нелинейной операцией) не выводит нас за рамки пространства

P

. Итак, пусть

(x), (x) P
21

, тогда воспользуемся сле-

дующим легко проверяемым неравенством: 1 поскольку

+ |x|2

+ |x - y |2

1

+ |y |

2

,

|x|

|x - y | + |y |.

Тогда справедлива следующая цепочка равенств:

1

+ |x|2

n

( ) (x) =
RN

1

+ |x|2
1

n

x (x - y ) (y ) dy = n

=
R
N

+ |x|2 dy n nЧ [1 + |x - y |2 ] [1 + |y |2 ]
n

Ч
2

1

+ |x - y |2
1


n

x-y

(x - y )

1

+ |y |
1

2

n

(y )
n

n

sup
z RN
2

+ |z |

2

|z (z )| RN

dy
2

+ |y |

2

(y ) dw
1

2

n

sup
z RN

1

+ |z |

n

|z (z )| sup y R

1

+ |y |

n+m

| (y )|
RN

N

[1 + |w|2 ]

m

при

mN

и

m > N/2. + |x|
2

Тогда из этой цепочки приходим к следующему

неравенству:

|| n xR

max sup
N

n

1

|( ) (x)| + |z |
2

c max sup

n

|| n z RN

1

|z (z )| sup y R

1

+ |y |

2

n+m

| (y )|
,

N

cpn ()pn+m ( )
и получаем в результате неравенство:

pn ( )
Стало быть,

c(m, n)pn ()pn+m ( )
для всех

при

m N, m >

N
2

.

P
1

(x), (x) P

. Теперь применим

оператор преобразования Фурье к свертке двух функций:

F [ ] ( y ) =

(2 )N

/

2

dx e
R
N

-i(x,y ) R
N

dz (x - z ) (z ) =


2. Пространство распределений

P

175

= =

1

(2 )N
1

/

2

dz (z )
RN RN

dx(x - z )e- (z )
R
N

i(y ,x-z ) -i(y ,z )

e

= =
2

(2 )N

/

2

dz e
RN

-i(y ,z )

dx(x - z )e

-i(y ,x-z )

= (2 )
Докажем теперь равенство

N/

(y )(y ).

F[f (x)g (x)] =

1

(2 )N

/

2

f g.

(2.16)

Ранее мы доказали следующее равенство

F [f g ] = (2 )N/2 f g .
Возьмем в этой формуле в качестве функция

(2.17)

f

и

g, f

и

g

, соответ-

ственно. Тогда из формулы (2.17) получим следующее равенство:

F f g = (2 )N/2 f ћ g = (2 )N/2 f g .
Но

F f g =F

-1

f g . F
t
к опера-

И в результате приходим к равенству (2.16). Теперь мы приступим к изучению транспонированного тору Фурье

F


:

Ft : P P

,

,

F [f ] , f P , т. е. такой, f (x) L1oc RN l
ставление:

t

F[]

для всех

P, f P .

(2.18)

Рассмотрим для начала случай регулярной обобщенной функции из что найдется такая локально интегрируемая функция , что для скобок двойственности имеет явное пред-

f



,

=
R
N

dxf (x)(x).

Тогда правая часть равенства (2.18) примет следующий вид:

f



,

F[] =

1

( 2 )

N/

2

dx f (x)
R
N

dy e
R
N

-i(x,y )

(y ) = f (x) = F [f ] , . P

=
RN

dy (y )

1

(2 )N

/

2

dxe-
R
N

i(x,y )

(2.19)

Так что для случая регулярных обобщенных функций из к выводу, что оператор

Ft F.

мы пришли

Тем самым и для всех элементов из

P

за


176

Лекция 13. Пространства распределений

определение транспонированного оператора (2.18), в котором следует положить
ций

F F

t

Ft

нужно взять равенство

. Дадим определение.

О п р е д е л е н и е 2 0 . Преобразованием Фурье обобщенных функ-

f P

называется линейный оператор

F:P P
определенный следующей формулой:

,

F [f ] , f



,

F[]

для всех

P, f P .

(2.20)

Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 6. Оператор преобразования Фурье обобщенных функций (2.20) является линейным и секвенциально непрерывным в
топологии:

-

слабой

F: P

w , w



P

w , w



.

(2.21)

Доказательство. Прежде всего отметим то, что мы понимаем под секвенциальной непрерывностью в

-

слабой топологии. Но для начала напомним, что

такое непрерывность оператора

T


в

-слабой P

топологии:


T: P
в топологии w
нуля

w , w

w , w

. U

Действительно, это означает, что для всякой окрестности нуля


пространства

P

w , w



найдется такая окрестность

V

из той же топологии, что имеет место вложение

T (V) U.
Тогда под секвенциальной непрерывностью того же оператора понимается следующее свойство: из последовательности

{f } P

n

w ,

-слабой сходимости w к нулю P
w , w


произвольной

f
вытекает, что

n

-

слабо в

Tf
Пусть

n



и

-

слабо в

P

w , w



.

{fm } P

w , w

f
Тогда имеем

m



-
m,

слабо в

Pw ,

w



.

F [fm ] , = f
для всех

F[]
.

0

при

m +

P

, поскольку

F[] P


3. Пространство распределений

E

177

Те о р е м а

доказана.

Большое количество примеров применения преобразования Фурье к обобщенным функциям из

P

приведено в работе [6]. На этом мы

закончим рассмотрение пространства

P

.

3. Пространство распределений
Дадим следующее определение. Определение
векторное над

E
мы обозначим функционалов

21.

Символом линейных

E
и

или

ER

N

пространство

непрерывных

(E, )

.

С одной стороны, из первого результата теоремы 6 следует, что пространство основных функций

E

является борнологическим. Заметим,

что пространство вещественных чисел другой стороны, линейный функционал ных функционалов над

C1 f


является тоже борнологи-

ческим как метрическое относительно расстояния между точками. С из

E

#

(пространство линей-

E

) отображает борнологическое пространство

(E, )

в борнологическое пространство

C1 :

f : (E , ) C 1 .
Поэтому из результата теоремы 8 четвертой лекции приходим к выводу о справедливости следующей теоремы. Т е о р е м а 7. Для непрерывности линейного функционала
необходимо и достаточно, чтобы из условия в топологии



{n } (E, )
,

и

f E# , n

вытекало, что

f
где символом



,



n



0

при

n +

E

#

ћ, ћ

обозначены скобки двойственности между

E

и

.

Поскольку пространство теорема.

E

является пространством Фреше, то оно

является борнологическим, поэтому имеет место следующая полезная Т е о р е м а 8. Следующие два условия эквивалентны: (i) (ii)

f E ; f E#

и функция

f



,



ограничена на ограниченных множе-

ствах из

E

.

Доказательство. Действительно, если

f E

, то полунорма

p() | f
непрерывна. Но полунорма пространстве



,

|

(3.1)

p()

это полунорма на борнологическом

E

. Поэтому из теоремы 6 четвертой лекции вытекает, что

она ограничена на ограниченных множествах из Пусть теперь ных множествах

f E# из E. Но

и функция

f



E

.

,



ограничена на ограничен-

тогда опять из теоремы 6 четвертой лекции


178

Лекция 13. Пространства распределений

вытекает непрерывность полунормы (3.1). А значит и непрерывность линейного функционала Те о р е м а

f



.

доказана.

Напомним, что топология



пространства Фреше

(E, )

порождена

следующим счетным семейством полунорм:

pn (f ) max sup | f (x)|
|| n xKn
где

,

(3.2)

{Kn }

последовательность компактов, исчерпывающих все

RN

.

Важным следствием теоремы 21 является следующая лемма. Л е м м а 5. Линейный функционал
когда найдется такая полунорма

Mn >

f E pn ()

тогда и только тогда, вида (3.2) и постоянная

0, что имеет место неравенство:

|f
для всех



,

|

Mn max sup | (x)|
|| n xKn

(3.3)

(E, ) . {k (x)} (E, )
и

Доказательство.
Достаточность. Из (3.3) получаем, что если

k ,

то и

f



,

k


0

при

k +. f E
.

Следовательно, в силу теоремы 20 приходим к выводу, что
Необходимость. Пусть

f E

, тогда полунорма

p() = | f
непрерывна над всем дется полунорма пространства



,

|

(E, ). А это в свою очередь означает, что найpn () из системы полунорм, порождающих топологию (E, ) и постоянная Mn > 0 такие, что |f

,

|

Mn pn ()

для всех

E.

Но полунорма Лемма

pn ()

имеет явный вид (3.2). Формула (3.3) доказана.

доказана.

Теперь мы перейдем к исследованию различных ?естественных? способах ?топологизации? пространства Начнем с построения

E

.

-

слабой топологии в пространстве

E

. Вве-

дем следующее семейство множеств:

A {A}
где

,

(3.4)

A

пробегает все конечные подмножества пространства

(E, ).

Те-

перь рассмотрим семейство множеств в пространстве

E:
1

B {A : A A}

,

A

f E : sup | f
A



,

|

.

(3.5)


3. Пространство распределений

E

179

Если принять семейство

B

за базу окрестностей нуля в пространстве

E

, то мы получим

-

слабую ?топологизацию? этого пространства.

Дадим следующее определение. О п р е д е л е н и е 2 2 . Обозначим через

Ew ,

w



векторное то-

пологическое пространство, полученное при снабжении векторного пространства

E

топологии

-

слабой сходимости.

Поступим теперь аналогичным способом наделения пространства щее семейство множнеств

E

топологией сильной сходимости. Действительно, рассмотрим следую-

A {A}
где

,

(3.6)

A

пробегает все ограниченные подмножества пространства

(E, )

.

Теперь рассмотрим семейство множеств в пространстве

E:
1

B { A : A A }

,

A B

f E : sup | f
A



,

|

.

(3.7)

Если принять семейство

за базу окрестностей нуля в пространстве

E

, то мы получим сильную ?топологизацию? этого пространства. Определение 23.
Обозначим через

Es , s

векторное то-

пологическое пространство, полученное при снабжении векторного пространства

E

топологией сильной сходимости.

Естественно, что имеет место следующее утверждение: Л е м м а 6. Топология

s

сильнее

топологии

w



и

имеет

место

топологическое вложение:

Es , s E

w , w



.
является пространством

В силу того, что пространство

Es , s

Фреше справедливо следующее утверждение. Т е о р е м а 9. Пространство
ским.

Es ,

является полным борнологиче-

В нашей работе [21] доказано следующее утверждение. Т е о р е м а 10. Справедливы следующие утверждения: (i) Пространство (ii) Пространство

E

w , w



секвенциально полно;

Es ,


является полным борнологическим;

(iii) Всякий линейный ограниченный оператор, действующий из

Es ,



в

Es ,


, непрерывен;

(iv) Для непрерывности оператора
на все

T,

действующего из

Es ,



Es ,

, необходимо и достаточно, чтобы для каждой


180

Лекция 13. Пространства распределений

последовательности

{fn } Es ,



и

fn

вытекало

Tfn



в

Es ,



.

С л е д с т в и е . Пусть задана последовательность
кая, что для каждого ность сходится

E

{fn } E

та-

следующая числовая последователь-

fn , f , = lim

,

тогда функционал определенный равенством

n+

fn ,

принадлежит

E

.

Доказательство. Это утверждение вытекает из пункта (i) теоремы 23. Действительно, поскольку числовая последовательность ся фундаментальной в она фундаментальна. Следовательно, последовательность

-

слабой топологии пространства

тогда из утверждения (i) вытекает, что эта

{fn } являетE = Ew . Но последовательность {fn } E

fn ,

сходится, то

-

слабо сходится в

E

, т. е.

f , = lim
и

n+

fn ,

для всех

f E

. доказано.

Следствие

Напомним, определение транспонированного оператора. Пусть это линейный оператор, действующий из

T



E

в ,

E:

T : (E, ) (E, )
ратор

тогда транспонированным к нему оператором является следующий опе-

Tt : Es , Tt f


s

Es , s

,

удовлетворяющий следующему равенству ,

f

,

T

для всех

f Es , s

,

(E, ) .

Справедлива следующая важная теорема. Т е о р е м а 11. Пусть
действующий из

T это (E, ) в (E, ) .

линейный ограниченный оператор, Тогда транспонированный оператор

Tt : Es , s Es , s
является линейным непрерывным оператором.

Доказательство. Доказательство в точности повторяет доказательство теоремы 10. Те о р е м а доказана. Наконец, справедлив следующий результат.


4. Литературные указания.

181

Т е о р е м а 12. Имеют место вложения:

E P D.
Доказательство. Это утверждение вытекает из того факта, что

(D, ) (P, ) (E, )
и теоремы 37 третьей главы. Те о р е м а доказана. Здесь мы закончим обсуждение пространств распределений и перейдем к рассмотрению общих свойств банаховых пространств с приложением к специальным подпространствам распределений соболевских пространств.

ds

ds

4. Литературные указания.
В данной лекции мы использовали материал, изложенный в работах [3], [6], [11], [12], [17], [18], [26], [28], [29], [30] и [32].


Лекция

14

ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА

1. Введение
Пространства С. Л. Соболева занимают, пожалуй, главное место в теории пространств распределений, поскольку именно они возникают зачастую при исследовании краевых задач для нелинейных уравнений, понимаемых в слабом смысле. В этой лекции мы рассмотрим как гильбертовы соболевские пространства, так и банаховы пространства, но только целого порядка производной. Случай соболевских пространств нецелого порядка, на наш взгляд, естественно рассмотреть в теории интерполяции гильбертовых и банаховых пространств. Для понимания этой лекции достаточно знать язык локально выпуклых пространств. Отметим, что лекция о пространствах С. Л. Соболева появилась в этом курсе лекций совершенно неслучайно, поскольку по построению теории обобщенных функций или распределений у нас имеются пары пространств, например, такая пара

D(), D ()
т. е. пространство функций странство лов над

,

D()

с определенной топологией и про-

D () D(). Но в

пространство линейных и непрерывных функционатеории пространств С. Л. Соболева тоже возникает

аналогичная пара, например, следующая пара

W
причем пространство С.

k,p
0

(), W

-k,p

()

, отрицательного порядка

Л.

Соболева

W

-k,p

()

и есть пространство линейных и непрерывных функцио-

налов над пространством функций

k W0 ,p ()

. Заметим также, что в

теории нелинейных краевых, как мы покажем в следующей лекции, пространства отрицательного порядка играют очень важную роль.

2. Слабая и сильная производные
С одной стороны, мы уже встречались с понятием производной от обобщенной функции, при котором все обобщенные функции у


2. Слабая и сильная производная

183

нас оказались бесконечное число раз дифференцируемыми. Но это слишком общее определение производной, которое нам надо немного усилить. Ведь изучать дифференцируемость бесконечно дифференцируемых функций занятие бестолковое. С другой стороны, многие уравнения математической физики могут быть записаны как в локальной (поточечной) форме, так и в интегральной форме. Так могут быть записаны классические уравнения электромагнитного поля Максвелла. Поэтому введем понятие слабой производной. Сначала введем используемые в дальнейшем обозначения. Симво-

= (1 , 2 , ..., N ) , k Z+ при k = 1, N обозначим мульти|| = 1 + 2 + ... + N обозначим длину этого N мультииндекса . Символом обозначим область в R . Обозначим через Cc () обозначим класс непрерывно бесконечное число раз диф ференцируемых функций (x) C() при любом || N и имеющих N компактный носитель в R . p Пусть u(x), v (x) L () при p 1. Дадим определение. О п р е д е л е н и е 1 . Функция v (x) называется слабой частной производной функции u(x) и пишем
лом индекс. Символом

v (x) = u(x),
если для всякой функции

(x) C () 0

имеет место равенство

(-1)|

|

u(x) (x) dx =


v (x)(x) dx.

(2.1)

Попробуем дать обоснование введенного понятия. Если в формуле (2.1) функция

u(x)

принадлежит к классу

ций непрерывно дифференцируемых

Ck (), т. е. к классу u(x) C() при || k ,


функто при

| |

k

мы можем интегрированием по частям (поскольку функция

(x)

вместе со всеми своими производными обращается в нуль на границе области

)

прийти к следующему равенству:

u(x)(x) dx =


v (x)(x) dx

Отсюда получаем следующее выражение:

[v (x) - u(x)] (x) dx =


0

для всех

(x) C


0

() .

Воспользовавшись основной леммой вариационного исчисления, доказанной во второй лекции, получим, что

v (x) = u(x)
т. е. функция ции

для всех

x ,

v (x)

является классической частной производной функ-

u(x).

В общем же случае такого вывода мы сделать не сможем,


184

Лекция 14. Пространства С. Л. Соболева

поскольку в определении слабой производной функция из пространства

Lp ().

u(x)

всего лишь

Естественно, возникает вопрос о единственности слабой производной. По этому поводу справедлива следующая лемма. Л е м м а 1. Слабая частная производная порядка
множества меры нуль.



функции

u,

если

существует, определяется единственным образом с точностью до

Доказательство. Пусть

v1 , v2 Lp ()

такие, что

u dx = (-1)|

для всех

|

v1 dx = (-1)

||

v2 dx

C0 ().



Тогда

(v1 - v2 ) (x) dx =

для всех

0

C0 (),



откуда

v1 - v2 =

0 почти всюду.

Лемма

доказана. 1 . Пусть

Рассмотрим теперь некоторые примеры. ПРИМЕР

= (0, 2) x,
1, 0 1

u(x) =
Определим

< x 1, x < 2. < x 1, x < 2.
в этом, выбе-

v (x) =
Покажем, что

1, 0,

0 1

рем произвольно

u = v в слабом смысле. Чтобы убедиться C (). Надо показать, что 0
2 2

u dx = - v dx.
0 0

Легко вычислить, что
2 1 2 1 2

u dx =
0 0

x dx + dx = - dx + (1) - (1) = - v dx.
1 0 0

ПРИМЕР

2 . Пусть

= (0, 2). x,
2, 0 1

u(x) =

< x 1, x < 2.


2. Слабая и сильная производная

185

Мы покажем, что производная

u

не существует в слабом смысле. Для

этого надо показать, что не существует функции
2 2

vL

1

loc

()

такой, что

u dx = - v dx
0 0

(2.2)

для всех

C (). 0
2

Предположим противное. Пусть (2.2) выполняется

для некоторой функции
2

v

и всех функций
1 2

.

Тогда
1

- v dx =
0 0

u dx =
0

x dx + {

2
1

dx = - dx - (1).
0

(2.3)

Выберем последовательность 0 Заменив

m }= m
1,

1

гладких функций таких, что 0 для всех



m

1,

m ( 1) =

m

x = 1.

на



m в (2.3) и полагая

m +,
2

получаем предельное

равенство


1

1


0,

=

m+

lim m (1) =

m+

lim v m dx - m dx =
0 0

которое противоречиво. Помимо определения 1 существует такое же употребительное обобщение понятия классической производной, которое мы будем называть
сильной производной. Дадим следующее определение.

О п р е д е л е н и е 2 . Функция
сильной производной

v (x) Lp ()

-го

порядка от функции

найдется такая последовательность

p 1 называется u(x) Lp (), если {un (x)} C|| (), что
при сильно в

un u

сильно в

Lp (),

un v

Lp ().

(2.4)

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между понятиями слабой и сильной производных. Т е о р е м а 1. Пусть граница Доказательство. Пусть



области

RN

достаточно глад-

кая. Тогда понятия слабой и сильной производной равносильны.

v (x)

это сильная производная функции

существует такая последовательность

{un (x)} C|| ()
сильно в

u(x).
, что

Значит,

un u
ство:

сильно в

Lp ()

,

un v

Lp ().

Заметим, что для каждой функции

un (x) C|| ()

справедливо равен(2.5)

(-1)

||

un (x) (x) dx =


un (x)(x) dx


186

Лекция 14. Пространства С. Л. Соболева

для всех

(x) C (). 0

Поскольку из сильной сходимости в

Lp ()

вытекает слабая сходимость в этом же пространстве, то переходя к пределу в равенстве (2.5) при ство:

n

мы получим следующее равен-

(-1)|

|

u(x) (x) dx =


v (x)(x) dx

для всех

(x) C () 0

,

т. е. пришли к определению слабой производной функции определение сильной производной. Пусть производная функции

u(x) Lp ()

.

Теперь докажем, что из определения слабой производной вытекает

u(x) Lp () :

v (x) Lp ()

это слабая

(-1)|

|

u(x) (x) dx =


v (x)(x) dx u(x)

для всех

(x) C (). 0
(2.6)

Рассмотрим срезку функции

с параметром срезки

= 1/n

. По

поводу определения срезки и ее свойств смотри первую лекцию. Итак,

un (x) = n

N

(n|x - y |)u(y ) dy C ().

Теперь заметим, что имеет место следующая цепочка равенств:

un (x) = n

N

x (n|x - y |)u(y ) dy =

= (-1)|| n = (-1)
| | N

N

y (n|x - y |)u(y ) dy =

n (-1)

||

(n|x - y |)v (y ) dy

при

n

n0 N .

Важный момент!!! При переходе к последнему равенству мы воспользовались формулой (2.6), поскольку функция достаточно большом

nN

(n|z |) C () 0

при

. Теперь осталось воспользоваться теоремой

10 первой лекции и получить, что

un (x) u(x)
Те о р е м а

сильно в

Lp ()

,

un (x) v (x)

сильно в

Lp ()

,

т. е. мы пришли к определению сильной производной. доказана. 1. Эквивалентность определений 1 и 2 при достаЗамечание

точной гладкости области



открывают широкие возможности. По-

скольку удобнее определять обобщенную производную определением 1, а доказывать существование слабой производной исходя из определения 2 сильной производной.


2. Слабая и сильная производная

187





З а м е ч а н и е 2 . В дальнейшем для удобства слабую производную функции

u(x) Lp ()

будем обозначать также, как и классическую

производную, т. е. символом

u(x)

.

Рассмотрим свойства слабой производной. Прежде всего докажем формулу дифференцирования произведения двух функций. Справедлива следующая лемма.
водные

Л е м м а 2. Пусть функции

u(x), v (x) Lp () имеют слабые произ u(x), v (x) Lp () и граница области достаточно (uv ) = u v + v u
,
любой функции

гладкая, тогда справедлива следующая формула

(2.7)

C () : 0

понимаемая

в

слабом

смысле,

т. е.

для

(x)

(u(x)v (x))(x) dx =

Доказательство. Пусть сначала производную получим, что

u(x) v (x)(x) dx + v (x) u(x)(x) dx.


Lp (),

v (x) C1 (), а функция u(x) Lp () имеет слабую u(x) Lp (). Тогда из теоремы 1 и определения 2 мы 1 существует такая последовательность {un (x)} C ()
сильно в

причем имеет место следующие свойства:

un u

Lp ()

и

un u

сильно в

Lp ().

Тогда справедлива классическая формула дифференцирования произведения двух функций. Действительно,

(un v ) = un v + v un .
У множим это равенство на произвольную функцию проинтегрируем по области



(x) C () 0

и

, тогда получим равенство

(un (x)v (x))(x) dx =


un (x) v (x)(x) dx + v (x) un (x)(x) dx.

(2.8)

Рассмотрим отдельно два слагаемых в правой части равенства (2.8). Действительно,

un (x) v (x)(x) dx =


[un (x) - u(x)] v (x)(x) dx+ + u(x) v (x)(x) dx = I1 + I2 .


Рассмотрим интеграл

I

1

. Справедлива следующая оценка:


188

Лекция 14. Пространства С. Л. Соболева

|I1 |


|un (x) - u(x)| | v (x)(x)| dx
p



1/p

| v (x)(x)|
p

dx

1/p

|un (x) - u(x)| dx



p

1

/p

[meas()]

1/p

xK

sup | v (x)(x)| |un (x) - u(x)| dx


Отметим здесь следующий тонкий момент. Функция в окрестности границы пактный носитель

v (x) C()

и,

естественно, функции из этого класса могут быть неограниченными

K

, и |I1 |

области

поэтому

заметить, что из сильной сходимости цепочки неравенств для

, но функция (x) имеет ком v (x) Cb (K). Теперь осталось un u в Lp () интеграл в конце u(x) v (x)(x) dx.


стремится к нулю. Следовательно,

n+

lim

un (x) v (x)(x) dx =

Аналогичным образом, доказывается, что

n+
и

lim

v (x) un (x)(x) dx =


v (x) u(x)(x) dx.

n+

lim

(un (x)v (x))(x) dx = - lim

n+

un (x)v (x) (x) dx = = - u(x)v (x) (x) dx.


Таким образом, из (2.8) предельным переходом при чим равенство:

n +

мы полу-

- u(x)v (x) (x) dx =


[u(x) v (x) + v (x) u(x)] (x) dx,

т.е. имеет место равенство в слабом смысле

(u(x)v (x)) = u(x) v (x) + v (x) u(x)
для функции

(2.9)

u(x) Lp (), u(x) Lp ()

чтобы распространить формулу (2.9) на

v (x) C1 (). Для того p случай v (x) L (), v (x)
и


2. Слабая и сильная производная

189

Lp ()

надо снова взять существующую в силу теоремы 1 последова-

тельность

{vn (x)} C1 () Lp ()
сильно в

такую, что

vn v
этой леммы. Лемма

L ()

p

и

vn v

сильно в

Lp ().

И далее воспользоваться той же схемой, что и ранее в доказательстве доказана.

Теперь мы докажем важную формулу о слабой производной сложной функции. Справедлива следующая лемма. Л е м м а 3. Пусть функция

u(x) L ()
ции:

p

f (t) C1 R1
произво

и

имеет

слабую

f (t) L R1 и функция p дную u(x) L (). Тогда
и

справедлива следующая формула слабой производной сложной функ-

f (u)(x) = f (u) u(x). {um (x)} C1 () Lp ()
сильно в и

(2.10)

Доказательство. Пусть

um u

Lp (),

u

m

u

сильно в

Lp ().

Тогда для каждой функции

um (x) C1 ()

справедлива формула про-

изводной (классической) сложной функции

f (um )(x) = f (um ) um (x).
Умножим обе части этого равенства на функцию проинтегрируем по области



(x) C () 0

и

, тогда получим равенство

f (um )(x)(x) dx =


f (um ) um (x)(x) dx.

Рассмотрим отдельно эти два интеграла. Имеет место следующая цепочка равенств:

f (um )(x)(x) dx = - f (um )(x) (x) dx =


= - [f (um )(x) - f (u)(x)] (x) dx - f (u)(x) (x) dx.

Заметим, что справедливо следующее неравенство:

(2.11)

|f (um )(x) - f (u)(x)|
поскольку

c |um (x) - u(x)|

,

f (t) L (R1 ).

Поэтому имеет место неравенство

[f (um )(x) - f (u)(x)] (x) dx


c |um (x) - u(x)| (x) dx



190

Лекция 14. Пространства С. Л. Соболева

cK
при
1/p

1
p

/p

|um (x) - u(x)| dx
K



0,

supp{} K
. Поэтому из

m + lim

по построению последовательности

{um }

(2.11) вытекает, что

m+

f (um )(x)(x) dx = - f (u)(x) (x) dx.


(2.12)

Рассмотрим теперь интеграл

f (um ) um (x)(x) dx =


=


f (um ) um (x) - f (u) u(x) (x) dx + f (u) u(x)(x) dx.

(2.13)

Справедлива следующая цепочка неравенств:

f (um ) um (x) - f (u) u(x) (x) dx


c1
K

f (um ) - f (u) | um (x)| dx+
,

+ c1 | um (x) - u(x)| f (u)(x) dx = I1 + I
K

2

c1 = sup |(x)|.
xK
(2.14)

Справедлива следующая цепочка неравенств для

I2 :
/p

I
p
2

1

/p


K

1 f (u) 1
p

c1 | um (x) - u(x)| dx
K




/p

/p

c1 c2 K1

| um (x) - u(x)|p dx
K



0

при

m +.
для

Теперь заметим, что последовательность

L (K).

любого компакта

K I1



имеем

{um } C1 () и, поэтому {um } C1 (K) и, в частности, u

m



В следующих оценках мы будем использовать этот факт. из (2.14)

Рассмотрим теперь


3. Пространства

W

k,p

(RN )

и

W-

k,p

(RN )

191

I1 = c1
K

f (um ) - f (u) | um (x)| dx c1 c3 K
1

1 f (um ) - f (u) u
в

/p

/p


K

p

dx
c

Поскольку последовательность

[1, +]

um
mn

сильно сходится к

Lp ()

p

, то в силу результата второй лекции вытекает, что найдется

такая подпоследовательность почти всюду к выводу, что

{u

u(x)

на



. Поскольку

} {um (x)} , что umn (x) сходится f (t) C R1 , то приходим к
для почти всех

f (u

mn

) (x) f (u)(x)

при

n +

x .

Следовательно, по теореме Лебега приходим к выводу, что

n+

lim I1 (umn ) = 0.

Таким образом, из (2.13) вытекает, что

n+

lim

f (umn ) u

m

n

(x)(x) dx =


f (u) u(x)(x) dx.

Значит, пришли к следующему равенству

- f (u)(x) (x) dx =


f (u) u(x)(x) dx.

А отсюда и вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.

3. Пространства

Wk,p (RN )
С. Л.

и

W

-k,p
с

(RN )
пространства

W

k ,p

Начнем

= RN . Дадим определение. k,p О п р е д е л е н и е 3 . Посредством W (RN ) мы обозначим N торное подпространство в D (R ) :
в силе. Достаточно положить везде

(RN ).

изучение

пространств

Соболева

Наши результаты из первого параграфа остаются, конечно,
век-

W
при

k,p

(RN ) = u(x) D (RN ) : u(x) Lp (RN ), ||
В нашем определении пространства

k
k,p

(3.1)

p [1, +].

W

(RN )

оно

является векторным подпространством, кстати говоря, пока тоже лишь векторного пространства

D (RN ). Возникает вопрос: как можно ?топоk ,p логизировать? пространство W (RN ) и как эта топология связана с сильной топологией пространства Ds , s ?


192

Лекция 14. Пространства С. Л. Соболева

Напомним, что согласно определению 1 слабой производной у нас имеются следующие равенства:

(-1)|
Пусть

| RN

u(x) (x) dx =
RN

v (x)(x) dx

при

| |

k.

(3.2)

ћ, ћ

это скобки двойственности между локально выпуклыми

пространствами

D

и

D

. Тогда равенство (3.2) можно переписать в

следующем виде:

v
где

,

=
RN

v (x)(x) dx

для любой

D(RN ),

(3.3)

v (x) = u(x) Lp (RN ) v (x) Lp (RN ) (RN ) L1oc (RN ) l

слабая частная производная в смыс-

ле определения 1, а распределения ция поскольку при

v D
место

является регулярным, очевидное вложение

причем его локально интегрируемым представителем является функ-

L

p loc

имеет

p

1. Действительно, равенство (3.2) мож-

но продолжить на функции из

C (RN ) 0

D,

поскольку векторное пространство

плотно в локально выпуклом пространстве

(D, )

, где





есть топология строгого индуктивного предела (см. лекцию 5). Теперь заметим, что имеет место плотное вложение

D RN

,

Lp RN D

ds

при

p (1, +),

p=

p . p-1

(3.4)

Из четвертой лекции нам известно, что сильная топология в векторном пространстве задается, несчетным числом полунорм вида

p(f ) = sup | f
B
где



,

|

,

(3.5)

B

это произвольное ограниченное множество в

D.

Докажем,

что всякое множество ниченным в

B

ограниченное в

D

является тем более огра-

Lp (RN )

в сильной топологии этого пространства (т. е. по

норме). Действительно, это следствие простейших рассуждений. Пусть

B

это ограниченное множество в

D,

2 (III) четвертой лекции найдется такой компакт натуральное число неравенство

nN

, что множество

является ограниченным в пространстве

K RN и такое B принадлежит D(K ) и (D(K), K ), т. е. имеет место
для всех

следовательно, из теоремы

pn () = max sup | (x)|
|| n xK
где

Mn < +

B

,

Mn

не зависит от

B

. Но тогда для всех

B

имеет место цепочка

следующих выражений:


3. Пространства

W

k,p

(RN )

и

W-

k,p

(RN )
/p

193


p

|(x)|
N

1/p



1


R

p

dx K
1/p

p = |(x)| dx K

sup |(x)|
xK

pn () B,

Mn

для всех

B.

Таким образом, каждое множество ограниченным в

ограниченное в

D,

является

L (R ).

p

N

С другой стороны, из плотного вложения

(3.4) из теоремы 12 четвертой лекции вытекает вложение

Lp (RN ) Ds ,
Поэтому, если банаховом ства). Рассмотрим скольку стве

ds

s

.

(3.6)

f Lp (RN ), то формула (3.5) определяет полунорму на p N пространстве L (R ) (в сильной топологии этого пространпостроенные , то функционалы из формулы (3.3). Попо-

v Lp (RN )

следующее

выражение

представляет

доказанному полунорму в сильной топологии на банаховом простран-

Lp (RN ):

p(v ) = sup | v B

,

| = sup
B RN

v (x)(x) dx .

(3.7)

Теперь заметим, что по доказанному множество

B

является огра-

ниченным в сильной топологии банахова пространства всякое ограниченное множество в множеству:

Lp (RN ),

но

L (R )

p

N

принадлежит следующему

B Lp (RN ) |(x)|p dx RN

1/p

M.

Поэтому без ограничения общности можно считать, что для ограниченного множества

B имеет место вложение: B D |(x)|p dx RN

1/p


1



.

7

М. О. Корпусов, А. А. Панин


194

Лекция 14. Пространства С. Л. Соболева

Следовательно, отсюда и из (3.4) заключаем, что для полунормы (3.7) имеет место неравенство

p(v ) = sup

B

v (x)(x) dx
R
N

sup

p
1

v (x)(x) dx .
R
N

(3.8)

Но правая часть последнего выражения по теореме 27 второй лекции является нормой на пространстве выводу, что

Lp (RN ) v
p

. Тем самым мы пришли к (3.9)

p(v )

.

Рассмотрим теперь полунорму на пространстве тельной сильной топологии например, такая



s пространства

Wk,p (RN ) в относи Ds , s . Действительно,

p( u) = sup
B
для всех ство

u(x)(x) dx
RN

при

||

k

(3.10)

u(x) W

k,p

(R ),

N

причем из формулы (3.9) вытекает неравен-

p( u)
|| k

v

p

. (RN )

(3.11)

Теперь если топологию на пространстве

W v

k,p

задать нормой (3.12)

u

k,p


| | k

p,

то из неравенства (3.11) вытекает неравенство

p( u)

u

k,p

для всех

u(x) W

k,p

(RN )

,

||

k

,

из которого в силу произвольности полунормы ния

p(f ), W
k,p

определенной (в относи-

формулой (3.5), в частности, вытекает, что оператор дифференцирова-





является непрерывным отображением из

(RN )

тельной топологии пространства Замечание

3 . Отметим, что на пространстве

Ds , s ) в пространство k ,p

W

Ds , s . (RN ) может

быть задана другая норма, эквивалентная норме (3.12):

u
k,p

v
|| k p p

1/p





.

(3.13)

Докажем теперь полноту пространства Т е о р е м а 2. Пространство Доказательство.

W

k,p

(RN )

относительно введен-

ной нормы (3.12). Справедлива следующая теорема.

W

k ,p

(RN )

является банаховым.


3. Пространства

W

k,p

(RN )

и

W-

k,p

(RN )

195

Прежде всего отметим, что поскольку пространство

W

k ,p

(RN )

явля-

ется метризуемым, поэтому нам можно рассматривать не произвольные направленности Коши, а произвольные последовательности Коши. Итак, пусть натуральное неравенство:

{un } W

k,p

(RN )

фундаментальная последовательность

относительно нормы (3.12). Тогда для каждого

n0 N

, что для всех натуральных

> n, m

0 найдется такое

n

0

имеет место (3.14)

un - um un (x) - um (x)

k,p

. | | k.

Но тогда из явного вида нормы (3.12) вытекают неравенства

p



для всех

{ un (x)} Lp (RN ) являются p N фундаментальными, тогда из полноты L (R ) вытекает, что для каждого при || k найдется такой элемент v (x) Lp (RN ), что
Следовательно, последовательности

un v
Положим теперь



сильно в

Lp (RN ). Lp (RN ).
p N

(3.15)

v

{0,...,0}

(x) u(x).

Тогда из (3.15) вытекает, что (3.16) регулярные распре-

un u
деления из

сильно в

Сопоставим последовательности

D (RN )

{un (x)} L (R )

по следующей формуле:

un ,
R
N

un (x)(x) dx

для всех

(x) D(RN ).
1

Заметим, что имеет место вложение (3.16) вытекает, что

Lpoc (RN ) L l

loc

(RN ).

Тогда из

un un
выводу, что

u

-

слабо в

Dw (RN ). D (RN ).


С другой стороны, из (3.15) вытекает, что

v



-

слабо в

w



Значит, в силу отделимости пространства

Dw (RN ), w

приходим к

v = u(x) Lp (RN )
Те о р е м а доказана.

для всех

| |

k.

Важным вопросом в теории соболевских пространств являются теоремы о плотности, вложений и интерполяции. Сейчас мы перейдем к исследованию вопросов о плотности. Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 3. Имеет место плотное вложение:

(D, ) W
7*

ds

k,p

RN

при

p [1, +).


196

Лекция 14. Пространства С. Л. Соболева

Доказательство. Действительно, рассмотрим следующую срезку:

u (x) =
Но если функция

1

N
RN k,p



|x - y |

u(y ) dy .

u(x) W

слабые частные производные

(RN ), то у этой функции существуют все u(x) при || k . Поэтому имеет место

следующая цепочка равенств:

u (x) =

1

N
RN

x

|x - y |
| 1 N RN

u(y ) dy =
y

= (-1)|

|x - y | =
1

u(y ) dy =
R
N

N

|x - y |

u(y ) dy

,

где мы воспользовались интегрированием по частям. Теперь из теоремы 39 второй лекции получим, что

u (x) C RN 0

,

u u
ds

сильно в

Lp (RN )

||

k.

Тем самым доказано, что имеет место плотное вложение

C


0

RN W
ds

k,p

R

N

,

но, с другой стороны, имеет место плотное вложение

C RN (D, ) 0
и, кроме того, вложение

(D, ) W
Следовательно,

k ,p

R

N

. .

(D, ) W
Те о р е м а доказана.

ds

k ,p

R

N

Получать новые пространства С. Л. Соболева можно получать из уже имеющихся двумя способами: методом двойственности и интерполяции. К настоящему моменту у нас имеется пространство ние. О п р е д е л е н и е 4 . Через
странством

W

k,p

(RN )

.

Сейчас мы воспользуемся методом двойственности. Дадим определе-

W

-k,p

RN

мы обозначили простран-

ство линейных и непрерывных функционалов над банаховым про-

W

k,p

R

N

при

kN

и

p (1, +).

Справедлива следующая теорема.


3. Пространства

W

k,p

(RN )

и

W-

k,p

(RN )

197

Т е о р е м а 4. Функционал
когда найдутся такие

f W-k,p RN тогда и p функции g (x) L RN для f (x) =
|| k

только тогда, всех

: | |

k

,

что имеет место представление:

g (x).

(3.17)

Доказательство.
Необходимость.

Необходимость доказана в работе [3]. Это до-

статочно трудоемкое и технически сложное доказательство. Заметим, только, что если относительно

f



известно, что оно имеет компактный

носитель, то имеет место представление (3.17).
Достаточность. Пусть имеет место представление (3.17). Тогда

для всех

D

имеет место следующая цепочка неравенств:

|f



,

|
| | k

| g (x), (x) |
| | k

| g (x), (x) | = 1 |g (x)|
N

/p

=
|| k RN

|g (x)| | (x)| dx
| | k



1
R /p

p

dx

Ч

Ч
RN

p | (x)| dx | | k

c p . p W
k,p

(3.18)

Теперь отметим, что банахово пространство

(RN )

является бор-

нологическим в силу очевидной метризуемости этого пространства Следовательно, из борнологичности пространства жение

C1

линейное отобра-

f : W

k ,p

(RN ) C1 { n } W
k ,p

является непрерывным тогда и только тогда, когда из сильной сходимости к нулю произвольной последовательности вытекает, что

(RN )

f




,

n

0

при

n +.

Но из (3.18) мы пришли к неравенству

|f
Тем самым,

,

n |
| | k -k,p

c n

p p



0

при

n +.

f W

RN

. 3 . Из четвертой лекции

Те о р е м а

доказана. теоремы

Следствие из

(D, )

вы-

текает плотное вложение

W

-k,p

RN Ds ,

ds



p=

p p-

1

,

p (1, +),


198

Лекция 14. Пространства С. Л. Соболева

где пространство

W

-k,p

RN

, введенное в определении 4, наделено

сильной относительной топологией





пространства

Ds , s

.

Давайте попробуем охарактеризовать сильную относительную топологию





пространства

W

-k,p

локально выпуклого пространства

RN как Ds , s . W
k,p

плотного подмножества

Прежде всего докажем, что произвольное ограниченное множество из

(D, ) BDи K RN

является ограниченным и в ограничено в топологии

RN

. Действительно, пусть



пространства

(D, ).

Следовательно,

из теоремы 2 (III) пятой лекции вытекает, что найдется такой компакт , что

B (D(K), K )

и полунорма

pk () = max sup (x)
| | k xK
для всех

Mk < +

B

и постоянная

B.

Mn

равномерно ограничена для всех

Справедлива следующая цепочка неравенств:


| | k

(x)
p

1/p

=
| | k

(x)
p

1/p

dx



K
1/p

dx
для всех

K

1

RN /p | | k

sup (x)
xK

K

k pk ()

Mpk (), Wk
,

B.

Значит, множество

B

ограничено и в

p

R }.

N

. Без ограничения

общности можно считать, что имеет место следующее вложение:

B { D :



k,p

1

(3.19)

Общий вид полунормы из несчетного семейства полунорм, порождающих сильную топологию пространства

Ds , s
,

, следующий: (3.20)

p(f ) = sup | f
B

|

,

B произвольное ограниченное W-k,p RN , то в силу теоремы 4
где

множество из

(D, ).

Но если

f

имеет место представление

f (x) =
|| k

g (x).

(3.21)

Подставим (3.21) в (3.20), воспользуемся (3.19), а также результатом теоремы 3 и получим следующую цепочку неравенств:

p(f ) = sup | f
B



,

|

sup

k,p
1

|f



,

|


3. Пространства

W

k,p

(RN )

и

W-

k,p

(RN )


199

sup
|| k
k ,p
1

g (x) (x) dx f
R
N

-k,p ,

т. е. мы пришли к следующему неравенству

p(f )
где

cf



-k,p ,

(3.22)

c>

0 зависит лишь от выбора полунормы

p

на

Ds , s

. Отме-

тим, что отсюда мы сразу же получаем, что если на пространстве

W

-k,p

R

N

выбрать норму следующим образом

f



-k,p


| | k

sup

k,p
1

g (x) (x) dx
RN

,

(3.23)

то из (3.22) вытекает, что оператор вложения

J
(3.23), ния является
,p

k,p

:W

-k,p

RN Ds , s

является непрерывным. Более того, топология, порожденная нормой наименее сильной, при которой оператор вложе-

Jk

непрерывен. Причем эта норма порождает на пространстве

W

-k,p

R

N

тужу топологию, что и относительная топология





, как

подмножества локально выпуклого пространства

D

s , s .

Справедлива следующая теорема, доказательство которой имеется в работе [21]. Т е о р е м а 5. Пространство
сительно нормы (3.23).

W

-k,p

RN

является банаховым отно-

Дадим следующие определения сильной, слабой и рассмотрены в шестой лекции. Определение

-

слабой схо-

димостей, определения которых и общие свойства которых нами были 6 . Сильной сходимостью последовательности
пространстве

{un }

в

банаховом

некоторому

элементу

uW

k,p

W RN

k ,p

R

N

,

k Z, p [1, +]
сходимость

к по

называется

норме следующей числовой последовательности:

un - u

k,p



0

при

n +

для

uW

k,p

R

N

.
,

(3.24)

Определение

7 . Последовательность

Z, p [1, +) называется слабо схо k,p менту u W RN , если для любого
имеем

{un } Wk

p

R

N

,

k R
N

дящейся к некоторому элеэлемента

f W-

k,p

f , un f , u . R
N
8.
слабо Последовательность сходится к элементов

(3.25)

Определение

W

-k,

-

некоторому

{f n } элементу f


200

Лекция 14. Пространства С. Л. Соболева

W

-k,

RN

,

если

для

любого

uW
при

k

,1

R

N

имеет

место

предельное равенство

| fn , u - f , u |

0

n +.

(3.26)

Справедливы следующие результаты, доказательство которых в общем виде имеются в шестой лекции. Т е о р е м а 6. Справедливы следующие два утверждения: (i) Всякая слабо сходящаяся последовательность
ва пространства

W

k,p

RN

{un }
,

из банахо-

ограничена, причем

если то

un u при n + u k,p lim inf un k,p ;
n+

(ii) Всякая

-

слабо сходящаяся последовательность

нахова пространства если то

W

-k,

RN

{f n }

из ба-

ограничена, причем

fn f

f



-k,

n +, lim inf fn -k, .
при

n+

Сравни с теоремой 2 шестой лекции.

Wk +) и k Z. Тогда из {un } можно выделить Wk,p RN подпоследовательность {unn } :
ность элементов банахова пространства

Т е о р е м а 7. Пусть

{un }

ограниченная по норме последователь,p

RN

при

p (1, +

слабо сходящуюся в

un

n

u

слабо в

W

k,p

RN

при

n +.

Сравни с теоремой 4 шестой лекции. Т е о р е м а 8. Пусть
ность элементов

{fn } -

ограниченная по норме последовательпространства

банахова

{fn }

можно выделить

слабо сходящуюся в

W-k, RN W-k, RN
при

.

Тогда

из

подпосле-

довательность

{fnn } : -
слабо в

fn


n

f

W

-k,

RN

n +.

Сравни с теоремой 5 шестой лекции.

W

k ,p

Можно доказать равномерную выпуклость банаховых пространств при

kN

и

p (1, +). k Z+
и

Поэтому в силу теоремы 3 шестой
то из того условия, что

лекции имеет место следующая теорема. Т е о р е м а 9.
Пусть

p (1, +), W
k,p

u
и

n

u

слабо в

R

N

при

n +,

un un u

k,p

u RN

k,p

вытекает, что сильно в

W

k,p

при

n +.


4. Литературные указания

201

На этом мы закончим изучение пространства

Wk

,p

RN

.

4. Литературные указания
В данной лекции мы использовали материал, изложенный в работах [3], [7], [9], [10], [17], [25], [33] и [34].


Лекция

15

ВЛОЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ С. Л. СОБОЛЕВА

1. Теоремы вложения
произвольных областях

W
W

k,p

()

и

W

k,p
0

()

Теперь мы переходим к изучению пространств С. Л. Соболева в

RN

. Дадим определение.

О п р е д е л е н и е 9 . Посредством
ное подпространство в

k,p

()

мы обозначим вектор-

D () : k.
все (1.1)

W

k ,p

() = u(x) D () : u(x) Lp (), ||
5. Отметим, что далеко для не

Замечание предыдущего и

результаты

параграфа, ,

полученные

пространств с заменой

W

k,p

R

N

RN пространства R W

-k,p

остаются

справедливыми

евклидова . Поэтому

N

на произвольную область

R

N

. Дело заключается

в том, что пространство

(D(), )
на

не плотно в

Wk,p ()

надо быть достаточно осторожным. Прежде всего надо заменить везде пространство на

D(RN ),

. ,

(D(), ), D
w


пространство


D (RN ),



D (),
w


пространство

(RN ), w

на

пространство

Dw (),

Так что в этой части лекции мы введем еще один тип пространств С. Л. Соболева банахово пространство

W

k,p
0

()

, а также займемся

вопросами теории вложения соболевских пространств и некоторыми результатами теории интерполяции соболевских пространств. Дадим определение. Определение
торное странства

10.

Посредством полученное

k W0 ,p ()

мы обозначим веквекторного

пространство,

C () 0

пополнением

по норме

ћ

По своему построению пространство

k,p пространства k,p

W

k,p

про-

().

W0 ()

является банаховым

относительно нормы (3.12). Заметим, что множество

W

k,p

()\W

k ,p
0

() = .

Рассмотрим теперь одну из самых важных теорем вложения соболевских пространств. Справедлива следующая теорема.


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

203

Т е о р е м а 10. Имеют место вложения:

W

1, 0

p

() Lp () W
1, 0



при

N > p,
при

p = N < p.

Np N -p

,

p

() C

Причем имеют место следующие неравенства:

u sup |u(x)|
x

p



c | u|
N
1

p -
p
1

при

N >p
p

;

(1.2)

c (meas )

| u|

при

N < p.

(1.3)

Доказательство. Докажем неравенство (1.2) для функций Прежде всего справедливо неравенство

u(x) C1 () 0

. Заметим,

что эту функцию можно продолжить нулем вне области

RN .

xi

|u(x)|
-

dyi |i u(y )| .

N-

раз перемножим это неравенство и получим следующее

N

xi

N

|u(x)|

N i=1 -

dyi |i u(y )|
i=
1

dyi |i u(y )| .
R
1

Теперь возведем обе части этого неравенства в степень получим неравенство

( N - 1)

-1

и

|u(x)|
N/(N -1)

N i=1

dyi |i u(y )|
R
1

1/

(N -1)



. x1

(1.4)

Проинтегрируем обе части этого неравенства по переменной получим следующее неравенство:

и тогда

|u(x)|
R
1

N i=

1 dyi |i u(y )|

/(N -1)

N/(N -1)

dx

1

dx1
R
1

.

(1.5)

1

R

1

Сейчас воспользуемся обобщенным неравенством Гельдера. Напомним, как оно выглядит для наших целей:

|f2 (x) ћ ћ ћ fN (x)| dx
G

f2

p2

f3

p3

ћћћ f

N pN ,

1

p2

+

1

p3

+ћћћ

1

pN

= 1.
(1.6)


204

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

Теперь

воспользуемся

этим

неравенством

для

того

чтобы

оценить

правую часть неравенства (1.5), положив в обобщенном неравенстве Гельдера (1.6)

p2 = N -

1,

..., pN = N - fk (x)

1,

1

N-

1

+

1

N-

1

+ћћћ

1

N-

1

=

1,

а в качестве функций

возьмем следующие интегралы: ,

fk (x) =
R
1

dxk |k u(y )| dy

1

k=

2,

N - 1.

Из выражения (1.5) и обобщенного неравенства Гельдера вытекает цепочка неравенств:

|u(x)|
R
1

N/(N -1)

dx

1



1

/(N -1)

|1 u(x)| dx1
R1

f2 (x)f3 (x) ћ ћ ћ fN (x) dx
R
1

1



1

/(N -1)

1

/(N -1)

|1 u(x)| dx1
R
1

|2 u(x)| dx1 dx2
R2

Ч ћ ћ ћЧ 1
/(N -1)
(1.7)



Ч |2 u(x)| dx1 dxN
R
2

Теперь проинтегрируем неравенство (1.7) по переменной следующее неравенство:

x2

и получим

|u(x)|
R2 N/(N -1)



1/

(N -1)

dx1 dx

2

dx1 dx2 |2 u(x)| dx1 dx2
R
2

Ч

1

/(N -1)

Ч
R
1

dx2 |1 u(x)| dx1
R
1

Ч ћ ћ ћЧ
1/

(N -1)

Ч |2 u(x)| dx1 dxN
R
2

Воспользовавшись опять обобщенным неравенством Гельдера получим отсюда неравенство


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

205

|u(x)|
R2 N/(N -1)



1/

(N -1)

dx1 dx

2

|2 u(x)| dx1 dx2
1/

Ч 1
/(N -1)





R2 (N -1)



Ч |1 u(x)| dx1 dx2
R
2

Ч |3 u(x)| dx1 dx2 dx3
R
3

Ч ћ ћ ћЧ
1/



(N -1)

Ч |N u(x)| dx1 dx2 dxN
R
2

Продолжая дальше интегрирование по следующей переменной с последующим применением обобщенного неравенства Гельдера мы в итоге получим следующее неравенство:

N



1 dx |i u(x)|

/(N -1)

|u(x)|
RN

N/(N -1)

dx
i=
1

.

RN

Отсюда приходим к следующему неравенству:

u
N/(N -1)

1 |1 u(x)| dx Ч ћ ћ ћ Ч
N

/N


R

|N u(x)| dx
R
N

.

(1.8)

Теперь воспользуемся тем, что среднее арифметическое всегда больше среднего геометрического неотрицательных чисел:

(a1 a2 ћ ћ ћ aN )

1

/N

a1 + a2 + ћ ћ ћ + aN . N
N

Тогда из неравенства (1.8) получим, что 1

u

N/(N -1)

N

|i u(x)| dx.
i=1

(1.9)

Теперь можно воспользоваться легко проверяемым неравенством для неотрицательных чисел: 1

N

N

a
i=1

i



1

N

1 /2

N

a
i=1

2

i

.

Отсюда и из (1.9) получим следующее неравенство:

u

N/(N -1)

N

1

| u| dx.


(1.10)


206

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

Следовательно, неравенство (1.2) при ства этого неравенства при подставить функцию

p=

1 доказано. Для доказатель-

|u|



p>

1 вместо функции

u

в (1.10) надо

. Тогда получим неравенство

|u|



N/(N -1)

N

|u|
RN

-

1

| u| dx |u|
-
1

N
Относительно

p

| u|

p,

p=

p . p-1

(1.11)

>

1 потребуем, чтобы

N N-

1

= ( - 1) p> p p-

p p-

1

=

p(N - 1) . N -p
1. Кроме того, имеет

Можно доказать, что при место выражения:

1 величина

>



N N-

1

= ( - 1)

1

= p

Np N -p

при

N > p.

Следовательно, из (1.11) приходим к неравенству:

|u(x)|
p


( dx

N -1)/N




(

p-1)/p

|u(x)|p dx N


| u|

p,

из которого сразу же вытекает неравенство (1.2). Приступим теперь к доказательству неравенства (1.3). Область (1.11), в котором сделаем замену функций



будем считать ограниченной. С этой целью рассмотрим неравенство

u(x) =

N |u| | u| p

,

После подстановки получим следующее неравенство: 1

/

2

N
где

| u|

p

|u|



N

| u| N N N N-

-1

1

2

p

N
,

| u|

- p

1

|u|

-

1

p,

1

откуда сразу же приходим к неравенству

|u|



N

|u|

-1

p,

(1.12)


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

207

которое ?расшифруем?:

|u|
N

1 dx

/N

|u|
p ( -1)

1 dx

/p

.

Следовательно получим следующее неравенство:

u

N

u

-1 p ( -1)

u

N



1/

u

1-1/

p ( -1)

.

(1.13)

Теперь сделаем важное предположение, от которого мы затем в конце доказательства избавимся пусть

meas{} = 1.
Полезность этого предположения заключается в том, что если то справедливо неравенство

p1 > p

2

,

v
p2

p

2

v

p

1

для всех

v (x) Lp ().
1

Действительно, справедлива цепочка неравенств:



1

/p2

=

1

ћ |u| dx
p
2

1/p

2

|u| dx





1


q



где

1/q


p
1

p

2

/p1

1

/p

2


p1



1/p

1

dx

|u| dx


|u| dx


,

q=

q q-

1

,

q=

p1 . p2

С учетом этого предположения из неравенства (1.13) получим

u

N



1

/

u

1

-1/ , p

(1.14)

здесь мы воспользовались неравенством обозначение:

p ( - 1)

p .

Теперь введем

=
поскольку

N > p

1,

= m .

p>N

и учтем, что

p = m
m

-1

N.

Тогда из (1.14) получим неравенство:

u

m N

m/

u

1-1/

m

m

-1

N

при

m=

1, 2,

...

(1.15)


208

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

Возьмем в этом неравенстве

m=

1 и получим

u meas{} =

N

1/ u

1-1/

N

.

(1.16)

С другой стороны, из неравенства (1.10) и нашего предположения, что 1, получим неравенство

u

N



1

N

| u|

1



1

N

| u| p .

Отсюда сразу же приходим к неравенству

u u

N

1

. . m=
2

Значит из (1.16) приходим к неравенству:

N



1/

(1.17) 2 получим

Тогда после подстановки этого неравенства в (1.15) при

u

N 2

2

/2



1/

1

-1/

2

/2 +1/

. m= .
3 получим

Тогда после подстановки этого неравенства в (1.15) при

u

N 3

3 m- u

/3



2/

2

+1/

1

-1/2

3

/3 +2/2 +1/

Следовательно, на

том шаге мы получим неравенство
m

N m

k

k/

k

+

=1

a

k/

k

k=

1

Из теоремы 6 первой лекции перейдя к пределу при неравенство

m +

, получим

u



a.
неравенство:

Отсюда с учетом определения функции

sup |u(x)|
x
Теперь избавимся от требования менной

u(x) получим a | u| p . N xi i= N.

supp{} =
1/N

1. Сделаем замену пере1,

yi = meas() 1

Справедлива следующая цепочка выражений:

/p

sup |u(x)|
x

a | u|p dx = N p/N a (meas()) = | meas() N


1
y p u| dy

/p

=


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()
1

209

a = [meas()] N
Теперь нужно продолжить эти результаты для вается аналогичным образом. Пусть последовательность

/N -1/p

| u| p .
. .

Мы доказали наши неравенства для случая функции

u(x) C1 () 0 1,p функций из W () 0

Рассмотрим неравенство (1.2), поскольку неравенство (1.3) рассматри-

{um } C1 () 0
такова, что она сходится сильно в

W

1,p 0

применим неравенство (1.2) к разности

(). Возьмем m1 , m2 N um - um и получим
1 2

и

um - um
1

2

p



c | um -
1

um |
2

p

p=



Np . N -p
1, 0

(1.18)

Поскольку последовательность

{um }

сходится в

W

p

()

, то она фун-

даментальна в этом пространстве, следовательно, из неравенства (1.18) вытекает, что эта последовательность фундаментальна и в элементу
1,p

Lp ()



и

в силу полноты этого пространства сходится сильно к некоторому

u(x) Lp ().



С другой стороны, этот же элемент

u(x)

W0 (), 1,p (), вW 0

поскольку по условию последовательность сходится сильно а норма этого пространства имеет вид

u

1,p

=u

p

+ | u| p . m1 +
p
в неравен-

Следовательно, мы можем перейти к пределу при стве (1.18) и получить следующее неравенство:

u - um u um

2

p

c | u-

um |
2

. um |
2

(1.19)

Тем самым, отсюда вытекает неравенство

p



2

p



+ u - um

2

p



c | um |
2

p

+c | u-

p,

в котором можно перейти к пределу при неравенством

m2 + | u- u

и воспользовавшись

| | um |
2

p

- | u| p |

m2

|

p

прийти к следующему неравенству:

u
ции из

p



c | u|

p

для всех

u(x) W1,p (). 0

Как мы уже говорили, неравенство (1.3) распространяется на функ-

W

1, 0

p

()

аналогичным образом.

Те о р е м а

доказана.

Непосредственным следствием этой теоремы является следующая важная теорема о вложении. Т е о р е м а 11. Имеют место вложения:

W

k ,p
0

() L

N p/(N -kp)

()

при

N > kp

;

(1.20)


210

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

W

k ,p
0

() Cm ()

при

0

m

k-

N . p

(1.21)

Доказательство. Докажем сначала вложение (1.20). Пусть 13 у нас имеется вложение

N > kp

. Итак, из теоремы

W
ные

1, 0

p

() L W

N p/(N -p)

(). W
1, 0

(1.22)

По определению пространства

k,p

()

все слабые частные производ-

u

при

| |

k-


1 принадлежат пространству

p

().

Следова-

тельно, в силу (1.22) имеет место вложение:

u(x) Lp ()
Значит,

при

| |
1, 0

k-
p


1

и

p =

Np . N -p

u(x) W

k-1,p
0

() W

()

при

k > 1.

Теперь снова воспользуемся вложением (1.22) и получим новое вложение:

W

1, 0

p



() L

N p /(N -p )

().

(1.23)

Займемся арифметикой.

Np N p N 2p 1 N 2p = = =2 . N - p N - p N - N p/(N - p) N - 2p N - 2N p
Теперь воспользуемся методом математической индукции. Предположим, что мы доказали вложение (1.20) при отсюда вытекает вложение (1.20) при предположения индукции имеем вложение:

k = m - 1. Докажем, что k = m. Действительно, в силу ().

W

m-1,p
0

() L

N p/(N -(m-1)p)

Докажем, что отсюда вытекает вложение

m W0 ,p () L

N p/(N -mp)

(). () | | .

Действительно, имеет место вложение

u(x) W
Следовательно,

m-1,p
0

() L


N p/(N -(m-1)p)

при

1

u(x) W

1,pm- 0

1

()

p

m-

1

=

Np . N - (m - 1)p
m-1

Опять воспользуемся вложением (1.22) и получим вложение:

W

1,pm- 0



1

() L

Np

m-1

/(N -p

)

().

Опять займемся арифметикой.


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

211

N p - 1 1 N 2p m = = N - pm-1 N - (m - 1)p N - N p/(N - (m - 1)p) = N 2p N 2p Np =2 = . N - mp N 2 - N (m - 1)p - N p N - mN p N > kp
каждая функция

Итак, мы доказали, что при

u(x) W
принадлежит пространству

k,p
0

()

L

N p/(N -kp)

()

,

т. е. имеет место вложение (1.20). Перейдем к доказательству вложения (1.21). Прежде всего заметим, что из результата теоремы 10 у нас имеется вложение (1.21) при

m=

=

0:

W

1, 0

p

() C(

m)

()

при

0

m<

1

-

N p

,

N < p.

(1.24)

Действительно, решением неравенства 0 в целых числах есть

m<

1

-

N p k =n-

m=

0. Воспользуемся опять методом матема-

тической индукции. Пусть мы доказали вложение (1.21) при

-

1. Докажем, что отсюда вытекает вложение при

k = n. N . p

Итак, по

предположению индукции у нас имеется вложение:

W
Пусть

n-1,p
0

() C

(m)

()

при

0

m

n-1-

n u(x) W0 ,p ()

, тогда

i u W
Следовательно,

n-1,p
0

() C(m) ().
m+1)

u(x) C(

(). N . p N . p

Стало быть, имеет место вложение

n W0 ,p () C(m
Переобозначив

+1)

()

при

0

m
m+

1 на при

m,
0

получим вложение

W

n,p
0

() C(m) ()

m-

1


N p

0

m
Следовательно, методом математической индукции доказаны оба утверждения этой теоремы. Те о р е м а доказана.


212

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

Замечание пространств

W

k,p

6 . Первый результат теоремы 11 справедлив и для

()

.

Наконец, мы можем доказать общую теорему вложения. Т е о р е м а 12. Пусть

k

m

и

k , m Z+
и

и выполнены неравенства:

N > (k - m)p
тогда имеет место вложение:

q=

Np N - (k - m)p

,

(1.25)

W
Доказательство.

k,p
0

m () W0 ,q ().

(1.26)

Итак, доказательство проведем методом математической индукции. Действительно, сначала докажем, что при условиях

q=
имеет место вложение

Np N -p

и

N >p

W
Пусть

m+1,p
0

() W

m,q
0

().

(1.27)

u(x) W

m+1,p
0

(),
p

тогда из теоремы 10 вытекает, что


u W

1, 0

() Lp () u(x) W
m,q
0 0

для всех

: | |

m

Следовательно, поскольку

m+1,p

(), q=

то получим, что

u(x) W

()

при

Np N -p

и поэтому имеет вложение (1.27). Теперь предположим, что мы уже доказали вложение

W
при условиях

m+n-1,p
0

() W

m,q
0

()

(1.28)

q=

Np N - (n - 1)p
m W0 +n,p

при

N > (n - 1)p.

Докажем, что отсюда вытекает вложение

() W

m,q
0

()

(1.29)

при условиях

q=
Пусть

Np N - np
n,p

при

N > np.
m+n-1,p
0

m u(x) W0 +

() W

().


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

213

Следовательно, поскольку (1.28) верно при указанных условиях, то отсюда получаем, что

u W
щее вложение:

m+n-1,p
0

() W

m,q
0

()

при

| |

1

.

Значит, из этой цепочки вложений вытекает, что имеет место следую-

u(x) W

m+1,q
0

(). Nq . N -q

Но мы уже доказали вложение (1.27), поэтому имеем

u(x) W
Напомним, что

m+1,q
0

() W

m,q
0



()

при

q =

q=
Займемся арифметикой.

Np . N - (n - 1)p

q =

N 2p 1 = N - (n - 1)p N - N p/(N - (n - 1)p) Np N 2p = =2 N - np N - (n - 1)pN - N p
доказана. 7. .
Пусть область

при

N > np.

Те о р е м а странств

Замечание

W

k ,p

Результат теоремы 12 справедлив и для про-

()

Следствие.



является ограниченной в

RN

.

Тогда при условиях

N > (k - m)p

и

1

q

Np N - (k - m)p

при

k

m,

имеет место вложение:

W
Приступим в теперь к

k,p
0

m () W0 ,q ().

доказательству

классического

результата

РеллихаКондрашова о компактности вложения пространства

L ()

q

W

1, 0

p

()

для случая ограниченной области

. p
Т е о р е м а 13. Имеет место компактное вложение:

W
для всех

1, 0

p

() Lq ()

при

(1.30)

q [1, p )

.

Доказательство. Достаточно доказать, что для всякой последовательности ограниченной в

W

1, 0

p

сходящаяся сильно в

(), найдется Lq ().

подпоследовательность

{um (x)}, {umm (x)},


214

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

Итак, пусть последовательность

{um (x)}

ограничена в

W1,p () 0

.В

частности, можно предположить, что

sup um
m

1,p

c < +. {um (x)} : um (y ) dy
, (1.31)

Рассмотрим срезку последовательности

u (x) = m
где

1

N


dy

|x - y |

(z )

это ?шапочка?. Без ограничения общности будем предпо-

лагать, что область начале координат. Докажем, что



содержит шар единичного радиуса с центром в

u - u m
и от

mq

c,

где

c>

0 не зависит от

m

. Для удобства сделаем в (1.31)

замену переменной

zi =

xi - yi

i=

1,

N.

После этой подстановки мы придем к следующему равенству:

u (x) = m

Теперь учтем, что

J(|z |)um (x - z ) dz .

J(z ) dz = 1.

Тогда сразу же получим следующая цепочка равенств:

u (x) - um (x) = m


J(z ) [um (x - z ) - um (x)] dz =
1 1

=


dz J(z ) dt um (x - tz ) = - dz J(z ) dt (z
0

,

) um (x - z t).



0

Следовательно, справедлива следующая оценка:

|u (x) - um (x)| dx m

1

dz J(z ) dt dx |x| |

0

x um

(x)|
1



c | um |

c | um |

p

c

,


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

215

где

c>

0 не зависит от

m.

1

Теперь воспользуемся интерполяционным

неравенством из леммы 6 второй лекции. Справедливо неравенство,

u - um m

q

u - um m

u - um m

- p ,
1

1

q

=+

1

- , (0, 1]. p
(1.32)

Здесь остановимся. У ловие, что с (случай

>

0 нам нужно для дальнейшего

=
p


0 нам не подходит). Но это означает, что

q [1, p )!!!

Теперь воспользуемся неравенством (1.2) и получим неравенства

u - um m

| u - um | p m c max{ | u | p , | um | p } m c | u | p c sup | u | m m
m

p

c < +.

Тогда из (1.32) получим неравенство

u - um m
где

q

c u - um m m
.


1

c

,

(1.33)

c>

0 не зависит от



и от

Докажем теперь, что последовательность сированного

>
1

{u } m

для каждого фик-

0 является равномерно ограниченной и равностепенно

непрерывной. Действительно, имеют место следующие неравенства:

|u (x)| m | u | m


1

N

dy dy

|x - y | |x - y |

|um (y )| | um |
1

1

N N

(z )



um

1

c N

,

N


(z )



| um |

1

c . N

Из этих неравенств вытекают следующие свойства последовательности

{u } m
x
где

:

sup |u (x)| m c>

c N

,

|u (x) - u (y )| m m m. >

x

sup | u | |x - y | m

c |x - y | N

,

(1.34) 0 не зависит от Неравенства (1.34) означают, что для каж0 последовательность дого фиксированного

ограничена и равностепенно непрерывна в пространстве

{u (x)} равномерно m C(), следо-

вательно, согласно теореме АсколиАрцела существует равномерно на



сходящаяся подпоследовательность Пусть теперь

>

u n (x) m

.

0 это произвольное фиксированное число. Тогда

подберем

>

0 настолько малым, чтобы в неравенстве (1.33)

c <
т. е. чтобы имело место неравенство


3

,

u n - um m


n

q

3

.

(1.35)


216

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

В силу равномерной сходимости последовательности эта последовательность равномерно фундаментальна:

{umn (x)}

на





x

sup u i (x) - u j (x) m m i, j N.

1


3

c

при достаточно больших неравенству

Но тогда отсюда мы приходим к

u i (x) - u j (x) m m

q

c sup u i (x) - u j (x) m m
x


3

.

(1.36)

Следовательно, из неравенств (1.35) и (1.36) вытекает цепочка неравенств:

umi - um

j

q

u

mi

- u m

i

q

+u

mj

-u

mj q
j

+
3

+ u i - u m m

q

+


3

+


3

= .

(1.37)

Теперь возьмем в неравенстве (1.37) величину



как

=

1,

1 2

,

1 3

,

...,

1

n

,

...
, что для нее

и выберем такую подпоследовательность

{umm (x)}
q

l,n+

lim

uml - um

n

=

0,

т. е. построим фундаментальную последовательность в в силу полноты этого пространства сходится. Те о р е м а доказана.

Lq ()

, которая

Теперь мы в состоянии доказать результат, обобщающий теорему РеллихаКондрашова. Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 14. Пусть область
дующие условия:

RN

ограничена и выполнены сле-

k>m

,

N > (k - m)p

и

1

q<

Np . N - (k - m)p

(1.38)

Тогда имеет место компактное вложение:

W
Доказательство.

k,p
0

() W

m,q
0

().

(1.39)

Действовать будем опять при помощи метода математической индукции. Сначала докажем, что имеет место следующее компактное вложение:

Wm 0

+1,p

() W

m,q
0

()

при

N >p

,

1

q < p .

(1.40)


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

217

Действительно, заметим, что для всех

u(x) W

m+1,p
0

()

в силу теоре-

мы РеллихаКондрашова имеет место вложение

u(x) W
Пусть

1, 0

p

() Lq ()
длины

для всех

| |
m+1,p
0

m. ()
, тогда для

{un }

ограниченная последовательность в

W

каждого мультииндекса



| |

m

последовательность

un (x)
ограничена в

W

1, 0

компактной в

(). Lq ()

p

Поэтому эта последовательность является предпри 1

q < p .

Следовательно, найдется такая

подпоследовательность

{unn (x)} Lq (), | | m.

такая, что

u

nn

u

сильно в

для всех

Но это означает, что

u

nn

u

сильно в

Wm,q (). 0

Следовательно, (1.40) доказано. Предположим теперь, что мы уже доказали компактность вложения

m W0 +
при условиях

n-1,p

() W

n,q
0

()

(1.41)

N > (m - 1)p,

1

q<

Np . N - (m - 1)p
n,q
0

Докажем, что отсюда вытекает утверждение, что

W
при условиях

m+n,p
0

() W
1

()

N > mp

,

q<

Np . N - mp T ()

Но это следует, из того, что оператор вложения

T : W0

m+n,p

() W

m+n-1,p
0

является ограниченным, а композиция ограниченного и компактного оператора является компактным оператором. Те о р е м а доказана. З а м е ч а н и е 8 . Утверждение теоремы 14 остается в силе для соболевских пространств виях на область Сейчас мы Кондрашова.

W

k,p

()

при некоторых дополнительных усло-



и ее границу еще



(см., например, [9]). обобщение теоремы Реллиха

докажем

одно


218

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

Т е о р е м а 15. Пусть область

RN
1

является ограниченной. Тогда

имеет место компактное вложение:

W
При

k,p
0

() Lq ()

при

q<

Np N - kp

,

N > k p.

(1.42)

Доказательство.

k=

1 вложение (1.42) имеет место в силу теоремы Реллиха

Кондрашова. Воспользуемся методом математической индукции. Предположим, что мы доказали утверждение теоремы при докажем тогда, что оно имеет место и при

k =n-

1

1

k = n.

Действительно, пусть

{um (x)}
это ограниченная последовательность пространства поскольку оператор дифференцирования

Wn,p () 0

. Но

n : W0 ,p () W

n-1,p
0

()

при

| |

1

является ограниченным, то последовательность

un (x)
является ограниченной в
n-

W

n-1,p
0

() Lq

1

(),

q

n-

1

=

Np N - (n - 1)p

,

N > (n - 1)p.

Следовательно, последовательность

{un (x)} =

является ограниченной в

W

1,qn-
0

1

() q Lq ()

n-

1

Np . N - (n - 1)p

Но в силу теоремы РеллихаКондрашова эта последовательность является предкомпактной в 1 Займемся арифметикой. при

q < qn =

N qn-1 . N - qn-1

qn =

N qn-1 N 2p 1 = = N - qn-1 N - (n - 1)p N - N p/(N - (n - 1)p)

= L ()
q

N 2p N 2p Np =2 = . N - np N 2 - N (n - 1)p - N p N - npN
n W0 ,p ()
оказалась предкомпакт-

Значит, произвольная ограниченная в ной в при 1

q<

Np . N - np Wn,p () 0
в

Стало быть, соответствующий оператор вложения является компактным.

Lq ()


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

219

Те о р е м а

доказана.

З а м е ч а н и е 9 . Утверждение теоремы 15 остается в силе для соболевских пространств виях на область

W

k,p

()

при некоторых дополнительных усло-



и ее границу



(см., например, [9]).

Продолжим изучать различные варианты теорем вложения соболевских пространств. И теперь мы займемся случаем принадлежащее Морри. Т е о р е м а 16. Для функций
ство:

N < k p.

Рассмотрим

некоторые вспомогательные результаты. Докажем важное неравенство

u(x) W
при

1,

p

RN
и

имеет место неравен-

u

0,



cu

1,

p

N
=

1

-

N . p

(1.43)

Доказательство. Сначала докажем неравенство Мори для функций из

W

1,p

RN
1

C1 (RN )

. И прежде всего докажем следующее неравенство:

R
где

N B(R,x)

|u(x) - u(y )| dy

c
B(R,x)

| u(y )| dy |x - y |N -1 R.

,

(1.44)

B(R, x) y RN : |y - x|

2

Итак, рассмотрим произвольную точку на границе единичного с

центром в начале координат:

z B(

0, 1

).

Для каждой такой точки справедливо следующее равенство:

r

u(x + rz ) - u(x) =
0

dt

d u(x + tz ), dt

из которого вытекает неравенство

r

r

|u(x + rz ) - u(x)|
0

dt |(z

,

) u(x + tz )|
0

dt | u(x + tz )| .

Теперь проинтегрируем по чим

z B(

0, 1

)

последнее неравенство и полу-

r

|u(x + rz ) - u(x)| dS
B(
0,1) 0

dtdS | u(x + tz )| .
B(
0,1

)
. Справедлива следующая

Введем точку

y = x + tz

, тогда

t = |x - y |

цепочка неравенств:


220

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

r

|u(x + rz ) - u(x)| dS
B(
0,1) 0

dt dS
B(
0,1)

tN tN

- -

1 1

| u(x + tz )|
1

dy
B(x,r )

1

|x - y |

N -1

| u(y )|
B(x,R)

dy

|x - y |

N-

1

| u(y )|

,

(1.45)

где мы сделали замену переменной части последнего неравенства на

r

N-

y = x + tz .
1

Теперь умножим обе

и проинтегрируем его по

r

(0, R),
R

тогда получим неравенство

dr r
0

N -1 B(
0,1)

|u(x + rz ) - u(x)| dS

RN N
B(x,R)

dy

1

|x - y |

N-

1

| u(y )| .

Итак, неравенство (1.44) доказано. Справедливо неравенство

|u(x)|
Проинтегрируем по шару венство

|u(x) - u(y )| + |u(y )|.
это неравенство, тогда получим нера-

B(x, 1)

|u(x)|

c
B(x,1)

| u(y )| dy + |x - y |N -1
B(x,1)

|u(y )| dy .

Теперь заметим, что справедливы следующие неравенства:

|u(y )| dy
B(x,1)

cu

p,

| u(y )| dy |x - y |N -1
B(x,1)

1 p | u(y )| dy Ч

/p


B(x,1)

Ч
1
1/p

B(x,1)
Оценим последний интеграл:
1

|x - y |(

N -1)p

dy

.

1

B(x,1)

|x - y |(

N -1)p

dy

c
0

r r

N -1

(N -1)p

dr =


1. Теоремы вложения
1

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

221

=c
0

1

r



dr < + = (N - 1)(p - 1)

N- p-

1 1

<

1,

поскольку

N
. Следовательно, мы пришли к неравенству

|u(x)|
и отсюда сразу же получаем

cu

1,

p

sup |u(x)|
xRN
Теперь пусть шары радиуса

c | u| p .

(1.46)

x, y RN R = |x - y | с

это произвольные точки и рассмотрим центрами в этих точках: и

B(x, R)

B(y , R).

Очевидно, они пересекаются. Введем множество

U = B(x, R) B(y , R).
Имеет место неравенство треугольника:

|u(x) - u(y )|
по

|u(x) - u(z )| + |u(y ) - u(z )|. [meas{U}]
1

Умножим обе части этого равенства на

-

1

и проинтегрируем

U

. Получим неравенство 1

|u(x) - u(y )|

meas{U}
U

|u(x) - u(z )| dz +

meas{U}
U

|u(y ) - u(z )| dz .
(1.47)

Воспользуемся теперь равенством

meas{U} = cR
где

N

,

c>

0 и не зависит от

R

и, кроме того, от

x, y RN .

И тогда из

(1.47) получим следующее неравенство:

|u(x) - u(y )|

c meas{B(x, R)}
B(x,R)

|u(x) - u(z )| dz + |u(y ) - u(z )| dz .
B(y ,R)

+

c meas{B(y , R)}

(1.48)

Рассмотрим, например, первый интеграл в правой части этого неравенства: 1

meas{B(x, R)}
B(x,R)

|u(x) - u(z )| dz

c RN
B(x,R)

|u(x) - u(z )| dz


222

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

c
B(x,R)

p | u(z )| dz c | u|
p

1/p

| u(z )| dz |x - z |N -1 1
1

c
B(x,R) /p

Ч

Ч
B(x,R)

R

|x - z |(N

-1)p
N p

dz
1


0

r r

N -1

(N -1)p

dr = - N . p

cR

-N +

| u|

p

c|x - y |



| u|

p

1

Таким образом, из (1.48) получим неравенство

|u(x) - u(y )|
т.е.

c|x - y |



| u|

p

=

1

-

N p

,

(1.49)

[u] sup
x,y R

N

|u(x) - u(y )| |x - y |

c | u| p . u(x)
.

C1 (RN ) W
Множество

Отсюда и из (1.46) вытекает утверждение теоремы для функций
1,p

().
N
1,

Продолжим неравенство Морри на функции из класса
1

C (R ) W (R ) плотно в W (R ). Поэтому для лю1,p бого u W (RN ) найдется сходящаяся в W1,p (RN ) последователь1 N ность {um } C (R ) W1,p (RN ). Возьмем произвольные натуральные числа m1 , m2 N и применим неравенство Морри к разности um - - um : um - um 0, c um - um 1,p . (1.50)
1,
1 2 1 2 1 2

p

N

p

N

W1,p (RN )

Отсюда сразу же получаем, что последовательность является фундаментальной в

C

0,



(R ).

N

{um } C0, (RN )

Следовательно,

um u
получим неравенство

сильно в

C

0,

(RN ). m1 +
и

Теперь перейдем в неравенстве (1.50) к пределу при

u - um u u - um

2

0,



c u-u

m2

1,

p

. + c um .

Но тогда имеет место неравенство
0,



2

0,

+ um

2

0,



c u - um

2

1,

p

2

1,

p

Теперь перейдем к пределу при Морри, но уже для функций из Те о р е м а доказана.

W

1,

m 2 + p (RN ).

и получим неравенство

С л е д с т в и е . Из теоремы 16 вытекает, что оно имеет место
для функций из

W

1,p 0

().

Теперь мы можем получить более общий результат о вложении. Справедлива следующая теорема.


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

223

Т е о р е м а 17. Пусть область

RN =

является ограниченной и

N<

< kp

, тогда имеют место вложения:

W

k ,p
0

() Ck W
k,p
0

-[N/p]-1,

(),

N N - + p p (0, 1),

1,

N Z+ / p

;

(1.51)

() Ck

-[N/p]-1,

()

,

N Z+ . p

(1.52)

Доказательство. Докажем сначала (1.51). Пусть

N Z+ . / p
Тогда согласно следствию из теоремы 14 имеет место вложение

Wk,p () W 0
Выберем теперь

k-m,q
0

()

при

N > mp

и

q=

Np . N - mp

(1.53)

m Z+

таким образом, чтобы

m+
Докажем, что при этом неравенств:

1

>

N > m. p

q>N

. Действительно, справедлива цепочка

Np N > N N p > N 2 - mpN p > N - mp < m + 1. N - mp p
Из вложения (1.53) вытекает, что для любого мультииндекса



длины

| |

k-m-

1 имеем

u(x) W
Теперь поскольку вложение:

1, 0

q

().

q>N

можно применить теорему 16 и получить
1, 0

u(x) W =
1

q

() C0, ()
1

,

где

-

N = q

1

-

N +m= p

-

N N + . p p N N + . p p

Стало быть, приходим к выводу, что

u(x) C

k-[N/p]-1,

()

при

=

1

-

Тем самым, вложение (1.51) доказано. Докажем теперь вложение (1.52). Действительно, пусть

N Z+ . p


224

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

Положим

m=
Тогда имеет место вложение

N - p
-m,q

1

=

N - 1. p Np . N - mp

W

k,p
0

() Wk 0

()

при

q=

С другой стороны,

q=

Np Np = = N. N - mp N -N +p
при

Ниже мы докажем, что в этом случае имеет место вложение:

W
Значит, имеем

1, 0

q

() Lr ()

N

r < + N . p

u(x) Lr () u(x) W
1,r 0

при

||
при

k-m- | |

1

=k- N - p
1

()

k-

Теперь можно воспользоваться неравенством Морри и получить, что

u(x) C
Следовательно,

0,

()

при

(

0, 1)

и

| |

k-

N - 1. p

u(x) Ck
Те о р е м а

-

N p

-1,

()

при

(0, 1). N < kp
ре-

доказана.

Перейдем к доказательству соответствующего случаю направлении. Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 18. Пусть область

зультата о компактном вложении. Начнем, с главного результат в этом

RN

является ограниченной и

p>

>N

, тогда имеет место компактное вложение:

W

1,p 0

() C0, ()

при

()

0, 1

-

N p

.

(1.54)

Доказательство. Пусть

{um (x)}

ограниченная в

W
p

1, 0

p

последовательность, т. е. без

ограничения общности можно предположить, что

mN

sup | um |

c < +.

В силу неравенства Морри (теорема 16) получаем следующее неравенство:

mN

sup um

0,



c sup | um |
mN

p

c < +

при

=

1

-

N . p

(1.55)


1. Теоремы вложения

Wk,p ()

и

W

k,p
0

()

225

Кроме того, имеет место цепочка неравенств:

|um (x) - um (y )|

|um (x) - um (y )| |x - y | |x - y | |um (x) - um (y )| Ч | x - y | sup |x - y | x,y [um ] |x - y | um 0, |x - y | c|x - y | x, y
и от



,

(1.56)

где

c>

0 не зависит от

m N.

Следовательно, из (1.55)

и (1.56) приходим к выводу, что последовательность

{um } C()

и

является равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной на некоторая подпоследовательность на



.

Стало быть, в силу теоремы АсколиАрцела приходим к выводу, что

:

{umm } C()

сходится равномерно

umm (x)

u(x) C()

равномерно на

.

Теперь воспользуемся леммой 2 второй лекции, из которой вытекает следующее интерполяционное неравенство:
1

-

[f ]
где



M

sup |f (x)|
x

[f ]

,

=

1

-

N p

,

(1.57)

=

,

[0, 1).

Воспользуемся теперь интерполяционным неравенством (1.57), в котором положим

f (x) = umn (x) - uml (x)
-

,

тогда получим неравенство
1

[umn - u

ml ]

M

x

sup |umn (x) - uml (x)|

Ч
,

Ч [umn (x) - uml (x)]
но в силу неравенства Морри

=

1

-

N p

,

(1.58)

[umn (x) - uml (x)] [umn (x)] + [uml (x)] 2 sup [um ] 2 sup um 0, c sup | um |
mN mN mN
Поэтому из (1.58) приходим к неравенству
1-

p

c < +.



[umn - uml ]
Но последовательность (так как
8



c sup |umn (x) - uml (x)|
x
фундаментальна в

. C()

(1.59)

{umm (x)}

, поскольку

она сильно сходится в этом банаховом пространстве, поэтому из (1.59)

[

0, 1)) приходим к выводу о том, что последовательность

М. О. Корпусов, А. А. Панин


226

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

{umm (x)}
функции ниченная

принадлежит

C0, ()

и фундаментальна в этом гельдеров-

ском банаховом пространстве, следовательно, в силу полноты

C0, ()

приходим к выводу, что она сходится сильно в этом пространстве к

C

0,

()

u(x) C0, () при [0, ). 1,p вW () последовательность 0
доказана.

Следовательно, всякая ограявляется предкомпактной в

.

Те о р е м а

Теперь мы можем доказать более общий результат. Т е о р е м а 19. Пусть область
полнено условие вложения:

R

N

является ограниченной и вы-

N < kp

. Тогда справедливы следующие компактные

W

k ,p
0

() Ck W
k,p
0

-[N/p]-1,

(),

() C

k-[N/p]-1,

N N N +1- , Z+ / p p p N (), [0, 1) , Z+ . p
0,

, (1.60)

(1.61)

Доказательство. При

k=

1 утверждение теоремы следует из теоремы 18. Восполь-

зуемся методом математической индукции. Предположим, что утверждение доказано при

k = m.

Докажем, что оно справедливо и при

k = m + 1.

Действительно, пусть

u(x) W
Следовательно,

m+1,p
0

() W

m,p
0

() Cm ()

-[N/p]-1,

(). .
в

m u(x) W0 ,p () C
Пусть теперь в

m-[N/p]-1,

при

| |

1

W

() при || ность {umm (x)},
0

m,p0

W

m+1,p

{um (x)}
. 1 что

произвольная ограниченная последовательность

()

Следовательно,

.

{ um (x)}

является

ограниченной

Но тогда существует такая подпоследователь-

u(x)mm u(x)
Значит,

сильно в

C

m-[N/p]-1,

()

при

||

1

.

umm (x) u(x) W
m+1,p
0

сильно в

Cm

+1-[N/p]-1,

().

Таким образом, имеет место компактное вложение:

() C

m+1-[N/p]-1,

().

Те о р е м а

доказана.

2. Пространства

W

k ,p
0

()

и

W

-k,p

()

Теперь мы займемся построением пространств с отрицательным целым индексом

W

-k,p

()

. Прежде всего отметим, что мы будем


2. Пространства

W

k,p
0

()

и

W-

k,p

()

227

строить это пространство как сопряженное к

k W0 ,p ()

. Но ведь как мы

уже говорили в начале этого параграфа мы можем построить способом, указанным в первом параграфе, пространства сопряженные к

W

k,p

()



. Разумеется,

W

k,p
0

()

ик

W

k ,p

()

это различные пространства.

Поэтому мы отметим, что далее мы будем заниматься сопряженными именно к пространствам

W

k,p
0

().

По поводу сопряженных к

W

k,p

()

отсылаем читателя к первому параграфу. Теперь по поводу обозначений. Далее символом

W

k ,p
0

W

-k,p

()

мы будем обозначать сопряженное к

().

Кроме того, норму в банаховом пространстве

k W0 ,p ()

будем

обозначать символом:

u
Дадим определение. Определение

k,p;


| | m

u

p;

.

1 1 . Символом

женное к пространству

W

k,p
0

W-k,p () мы обозначим () при k Z+ и p [1, +).
является ограниченной

сопря-

Справедлива следующая теорема о плотных вложениях. Т е о р е м а 20. Пусть

RN
ds

областью,

тогда имеют место плотные вложения:

(D(), ) W W
k,p
0

k,p
0

() k Z+

,

(2.1)

() W W

ds

m,q
0

() k
ds r

m,

1

q r

Np , N > (k - m)p, N - (k - m)p Np N - kp
(2.2) ,

k ,p
0

() L ()

1

N > kp

,

(2.3)

где

p [1, +).
Доказательство. Все утверждения вытекают из теорем вложения С. Л. Соболева и

того, что соболевские пространства

W

k,p
0

()

при

+)
норме

k Z+

и

строятся как пополнение векторного пространства

C () 0

ћ

p [1, + C () по 0 C0 ()

плотно в

k,p . Кроме того, опять по построению, векторное пространство

плотно в

Lr ()

при

(D(), ). Наконец, r [1, +).

векторное пространство

Те о р е м а

доказана.

Теперь заметим, что для пространства теоремы 12 четвертой лекции.

k W0 ,p ()

в силу результата

Т е о р е м а 21. При условиях теоремы 25 имеют место плотные
вложения:

W W
8*

-k,p

() Ds (),
ds -k,p

ds



,

p= q q-

p p-
,

1

,

(2.4)

-m,q

() W

()

,

q=

1

p>

1,

(2.5)


228

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

Lr () W

ds

-k,p

()

,

r=

r r-

1

,

p > 1.

(2.6)

Заметим, что в силу теоремы 22 имеет место плотное вложение

(D(), ) W
вложение

ds

k
0

,1

()

,

но тогда из теоремы 23 приходим к выводу, что имеет место плотное

W
где пространство логией

-k,

() Ds (),

ds



,


k



W

-k,

()

наделено относительной сильной топо-

. Поэтому имеет место равенство скобок двойственности

(смотри теорему 12 из четвертой лекции)

f
где



,



,1;



=f



,



для всех

f W

-k,

() W
k
0

и
,1

W
и

k
0

,1

()

, .

ћ, ћ

k

,1

это скобки двойственности между

()

W

-k,

()

Полунормы на

D (),

порождающие сильную топологию





, имеют вид

p(f ) = sup | f
B
где



,

|

,

B

пробегает все ограниченные множества пространства

(D(), )

.

Нетрудно, как и ранее, доказать, что жеством в

W

k
0

B

является ограниченным мно-

,1

().

Кроме того, имеет место следующее неравенство:

p(f )
где

cf =




-k,; ,

f
-k,



-k,;

sup
k
,1 ;

|f
1



,

|.

(2.7)



Следовательно, мы нашли представление для нормы банахова пространства

W


().

Кроме того, нами показано, что эта норма по-

рождает туже топологию на этом пространстве, что и относительная топология Те о р е м а объемлющего пространства

Ds (),
к



.

Тем самым, мы доказали следующую теорему.

W W

k
0

22.

Сильным

сопряженным

банахову

пространству

,1

-k

() является , ().

банахово относительно нормы (2.7) пространство

Дадим необходимые нам определения сильной, слабой и лекции. Определение
сти

-

слабой

сходимостей и их свойств, рассмотренные нами в общем виде в шестой 12.
Сильной сходимостью последовательнок

{un }

в банаховом пространстве

W

k,p
0

некоторому элементу

uW
при

k,p
0

() , k Z, p [1, +]

()

называется сходимость по норме

следующей числовой последовательности:

un - u

k,p ;



0

n +

для

k u W0 ,p () .

(2.8)


2. Пространства

W

k,p
0

()

и

W-

k,p

()

229

Определение

1 3 . Последовательность

Z, p [1, +) называется k ,p менту u W () , если для 0
Определение 14.

k {un } W0 ,p () , k

слабо сходящейся к некоторому элелюбого элемента

f W-k

,p

()

имеем

f , un f , u . W-k, () -слабо W-k, () , если для
равенство Последовательность сходится любого к элементов некоторому
,1

(2.9)

uW
0

k
0

элементу

{fn } f
(2.10)

()

имеет место предельное

| fn , u - f , u |

при

n +.

Справедливы следующие результаты, доказательство которых в общем виде имеются в шестой лекции. Т е о р е м а 23. Справедливы следующие два утверждения: (i) Всякая слабо сходящаяся последовательность
ва пространства

k W0 ,p ()

{un }
,

из банахо-

ограничена, причем

если то

un u W f
n

u



при

n +

k,p;

lim inf un
n+

k,p; ;

(ii) Всякая

-

слабо сходящаяся последовательность

нахова пространства если то

-k,

()

{f n }

из ба-

ограничена, причем

f



при

n +

,

f

-k, ;

lim inf f
n+

n -k, ;

.

Сравни с теоремой 2 шестой лекции. Т е о р е м а 24. Пусть

{un }

ограниченная по норме последователь-

ность элементов банахова пространства

k Z.

Тогда из

{un } u

k W0 ,p ()

при

можно выделить слабо сходящуюся в

подпоследовательность

{unn } : W
k,p
0

p (1, +) и k W0 ,p ()

un

n

слабо в

()

при

n +.

Сравни с теоремой 4 шестой лекции. Т е о р е м а 25. Пусть
можно выделить тельность

{fn }

ограниченная по норме последователь-

ность элементов банахова пространства

-слабо -

сходящуюся в

W-k, (). W-k, ()
при

Тогда из

{fn }

подпоследова-

{f

nn

}: f W
слабо в

fnn



W

-k,

()

n +.

Сравни с теоремой 5 шестой лекции. Пространство

k,p
0

()

является равномерно выпуклым, поэтому в

силу теоремы 6 имеет место следующий результат.


230

Лекция 15. Пространства С. Л. Соболева

Т е о р е м а 26.

Пусть

k Z+
слабо в

и

p (1, +), W0 () u
k,p

то из того условия, что

un
и

u

при

n +,

u un u

n k,p;

k,p;

вытекает, что сильно в

k W0 ,p ()

при

n +.

Наконец, справедлива следующая теорема о общем представлении функционала из

W

-k,p

()

.

Т е о р е м а 27. Функционал
когда найдутся такие

f W-k,p () тогда и только тогда, p функции g (x) L () для всех : || k , g (x).
|| k

что имеет место представление:

f (x) =

На это мы закончим изучение пространств С. Л. Соболева и приступим к исследованию нелинейных краевых задач, для исследования которых мы широко будем пользоваться теорией пространств С. Л. Соболева.

3. Литературные указания
В данной лекции мы использовали материал, изложенный в работах [3], [7], [9], [10], [17], [25], [33] и [34].