Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_spec/254/lection2.pdf Дата изменения: Wed Sep 14 22:08:40 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:55:59 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекция

2

АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА

В данной лекции мы изложим схему А. Н. Колмогорова построения абстрактной меры Лебега.

1. Введение
Построение абстрактной меры Лебега во многом повторяет построение меры Лебега плоских множеств. Поэтому по ходу доказательств тех или иных утверждений мы будем их сравнивать с соответствующими результатами из прошлой лекции.

2.

-

алгебры

Идея построения любой меры и, в частности, меры Лебега заключается в том, чтобы сначала выбрать какойнибудь достаточно широкий класс ?элементарных? множеств, на котором меру как функцию, описывающую ?размер? ?элементарного? множества, можно задать достаточно простым образом, а затем продолжить некоторым способом эту меру на как можно более широкий класс множеств так, чтобы продолженная мера совпадала с исходной мерой на ?элементарных? множествах. На этом пути нами будет построена мера Лебега. Итак, прежде всего нам нужно ввести класс ?элементарных? множеств. С этой целью введем понятия алгебры множеств и множеств. Дадим определение. Определение
ства:

-

алгебры

1 . Семейство подмножеств

A

множества

X

называется алгеброй множеств, если выполнены следующие свой-

(i)

, X A; A\B
принадлежат

(ii) из принадлежности

A, B A A;

вытекает, что

A B, A B

и

В том случае, если выполнено дополнительное свойство

(iii) для любой последовательности множеств
ет, что

{An } A

вытека-

+

An A,
n=1
система множеств

A

называется

-

алгеброй.


22

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега

-алгебр. Действительно, -алгебр является, например, семейство множеств A, состоящее из , X . Другим тривиальным примером является семейство A, состоящее из всех подмножество множества X ,
Давайте приведем некоторые примеры тривиальными примерами который обозначается как 2

X

. Можно несложно доказать, что для лю-

бого семейства подмножеств из множества

X A

существует минимальная
есть

-

алгебра, содержащая это семейство. Дадим определение. Определение 2 . Пара

(A, X ),
,

где

-

алгебра

A

под-

множеств ством.

из

множества

X

называется

измеримым

простран-

Теперь приступим к рассмотрению числовых функций, заданных на алгебрах и определения. Определение
щихся множеств

-

алгебрах подмножеств некоторого множества. Дадим 3 . Числовая функция

ч

называется аддитив-

ной, если для всякого конечного объединения попарно непересекаю-

A1 , ћ ћ ћ, An A
n

имеет место равенство

n

ч
k=
Определение
кающихся множеств
1

A

k

=
k=1

ч(Ak ). ч
называется счетно

4.

Числовая функция

аддитивной, если для любой последовательности попарно непересе-

{An } A

такой, что

+

Ak A
k=
имеет место равенство
1

+

+

ч
k=
Определение
ловая функция ства
1

A

k

=
k=1

ч(Ak ).

5 . Счетноаддитивная неотрицательная чис-

ч, A

заданная на алгебре

A

подмножеств из множе-

X

, называется мерой.

Итак, пусть мера

это алгебра подмножеств из

X

, на котором задана

ч,

т. е. счетноаддитивная числовая функция. Это и есть то

самое ?элементарное? семейство множеств, на котором задана мера Займемся теперь продолжением меры

ч

с алгебры

A

на некоторую

ч. -

-

алгебру

Aч

, содержащую

A.

3. Мера Лебега
С этой целью введем так называемую внешнюю меру. Дадим определение.


3. Мера Лебега

23

Определение
жества

6.

Внешняя мера

ч (A)
+

для каждого подмно-

AX

определяется следующим образом:

+

ч (A) inf
n=
Замечание. любых множеств самом деле, если внешней меры?.)
1

ч(An ) A
n=1

A

n,

An A .

(3.1)

Из данного определения сразу следует, что для

ABX + B n=1 Bn ч
множеств

верно неравенство , то и

A

+ n=1

ч (A)

ч (B )

.В

B

n . (?Монотонность

Теперь мы в состоянии дать определение измеримых по Лебегу относительно меры подмножеств множества

X.

Aч .

Пусть мера

ч

задана на алгебре

A

Дадим определение.

О п р е д е л е н и е 7 . Скажем, что множество
Лебегу относительно меры множество

ч,

если для всякого

A X измеримо по > 0 найдется такое

A A

, что имеет место следующее неравенство:

ч (A A )
обозначается как

. X

Множество всех измеримых по Лебегу подмножеств множества

A

ч.

Напомним, что

A B = (A B ) \ (A B ) .
Итак, мы предъявили способ продолжения меры более широкое семейство множеств ляется числовая функция себя множество теорема. Т е о р е м а 6. Пусть

ч

с алгебры

ч

Aч

, где продолжением меры

A ч

на яв-

внешняя мера. Но для дальнейшего нам

необходимо ответить на ряд вопросов. Вопервых, что представляет из

A

ч ? Вовторых, является ли внешняя мера

ч

мерой

на семействе множеств

A

ч ? На все эти вопросы отвечает следующая

ч

это конечная (

ч(X ) < +)

и неотрица-

тельная мера на алгебре

A

подмножеств из множества

X

. Тогда

имеют место следующие утверждения:

(i)

A Aч
алгебре

, причем внешняя мера

ч

совпадает

с

мерой

ч

на

A; ч A A
на

(ii) семейство множеств
ничение

(iii) мера

ч

на

ние меры

ч

Aч

Aч

ч является

-

алгеброй, причем огра-

является мерой:

есть единственное неотрицательное продолжена

с алгебры

-алгебру Aч . AA
и всякого

Доказательство. (i) Ясно, что можно взять

AA A = A и

ч , поскольку для каждого
тогда

>

0

ч(A A ) =

0

< .


24

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега

Докажем теперь, что внешняя мера

ч

совпадает с мерой

A

. Действительно, по построению мера

ч

ч

на алгебре

имеет место неравенство

ч (A)
Пусть

ч(A) ч(A)

для всех

A A.

A A.

Докажем, что имеет место неравенство

ч (A).
+

Действительно, пусть

{An } A

такая последовательность, что

A
n=1
но тогда

A

n,

+

A=
n=1

A An . ч
имеет

Прежде всего, в силу неотрицательности и аддитивности меры место неравенство

ч(A An )

ч(An ).

1)

Можно доказать, что из счетной аддитивности и положительности 2 меры ч вытекает счетная субаддитивность ) , т. е. имеет место неравенство

+

+

ч(A)
n=1

ч(A An )
n=1

ч(An ).

И, значит, имеет место неравенство

ч(A)
Таким образом,

ч (A).

ч(A) = ч (A). Aч
является ал0 найдется

(ii). Сначала докажем, что семейство множеств множества измеримо. Пусть такое

геброй. Действительно, сначала докажем, что дополнение измеримого

A A,

A Aч

. Тогда для всякого

>

что

ч (A A ) X \ A A



,

но тогда поскольку

и имеет место равенство множеств

(X \ A ) (X \ A) = A
1



A

,

) Оно следует из тождества

ч(An ) = ч(An \ (A An )) + ч(A An ), A

где

в виде объединения непересекающихся множеств Cn , где C1 = B1 , Cn = = Bn \ n-1 Bl при n 2, а ч(Cn ) ч(Bn ). Теперь можно воспользоваться l=2 определением счетной аддитивности.

все входящие в него множества принадлежат A. 2 ) Действительно, если A = + Bn , то множество n=1

можно представить


3. Мера Лебега

25

то

ч ((X \ A ) (X \ A)) = ч (A X \ A Aч . > A, B Aч .
2 ,



A)

.

Значит,

Теперь докажем, что объединение двух измеримых множеств измеримо. Действительно, пусть ванного Значит, для всякого фиксиро0 найдутся такие множества

A , B A
2

, что (3.2)

ч (A A )

ч (B B )

.

С другой стороны, имеют место вложения

(A B ) (A B ) (A A ) (B B )
поэтому в силу монотонности внешней меры имеют место неравенства:

,

ч

(см. замечание на с. 23)

ч ((A B ) (A B ))
Значит, поскольку

ч (A A ) + ч (B B )
то

.

A B Aч .

A B A,

A B Aч.

Докажем теперь, что

Но это следствие следующего равенства множеств:

A B = X \ ((X \ A) (X \ B )).
Таким образом, ность внешней

Aч

алгебра.

Для дальнейшего нам необходимо доказать счетную субаддитив-

A

+ n=1

меры

ч

,

а

именно,

A

n (в частности, при

верно неравенство

ч (A) <

> 0. Тогда по определению внешней An X найдется система множеств

+ n=1

A = +=1 An ) и n ч (An ). Фиксируем

тот

факт,

что

+ n=1

ч (An ) < + произвольное >

при

условиях

меры для каждого из множеств

{Bnm } A
такая, что

+

An
m=1
и

Bnm

+ ч (Bnm ) m=
1

ч (An ) +
Bnm


2n

.

Тогда, поскольку меры

ч (A)

A

+ n=1



+ m=1

, в силу определения внешней

имеем

+ +

ч (A)
n=1 m=
1



ч (Bnm )

,


26

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега

где в силу свойств сходящихся рядов с неотрицательными членами порядок суммирования не важен, т. е.

+ +

+ ч (Bnm ) =

ч (A)
n=1 m=
1

ч (An ) +
n=1


2n

+

=
n=1

ч (An ) + .

В силу произвольности



имеем требуемое неравенство

+

ч (A)
n=1

ч (An ),

т. е. мы доказали счетную субаддитивность внешней меры. Теперь докажем следующее неравенство:

|ч (A) - ч (B )|
для всех

ч (A B )


(3.3) Действительно,

A, B X

, для которых

ч (A), ч (B ) < +. B A (A B ),
1)



справедливы следующие вложения:

A B (A B ),
венства

поэтому в силу субаддитивности внешней меры

имеет место нера-

ч (A)

ч (B ) + ч (A B ),

ч (B )

ч (A) + ч (A B ).

Стало быть, пришли к (3.3). Приступим теперь к доказательству конечной аддитивности внешней меры на

Aч .

Действительно, пусть

A, B Aч

и

A B = .

Нам

нужно доказать следующую оценку снизу:

ч (A B ) ч (A B )
где

ч (A) + ч (B ).

(3.4)

Теперь заметим, что в силу (3.3) имеет место следующее неравенство:

ч (A B ) - ч ((A B ) (A B )) ч (A A ) + ч (B B ) ч (A B ) - . A
меры

,

(3.5)

A

и

B

удовлетворяют условию (3.2). С другой стороны,

ч ((A B ) (A B )) ч (A B )

.

(3.6)

Таким образом, из (3.5) и (3.6) вытекает оценка снизу (3.7) совпадают. Поэтому

Теперь заметим, что на алгебре равенство:

ч

и

ч

в силу конечной аддитивности меры

ч

на

A

имеет место следующее

ч (A B ) = ч(A B ) = ч(A ) + ч(B ) - ч(A B ).
1

(3.8)

) Эта субаддитивность, очевидно, является частным случаем только что

доказанной счетной субаддитивности.


3. Мера Лебега

27

Заметим, что в силу

AB =

имеет место вложение

A B (A A ) (B B ).
И поэтому верна следующая оценка сверху:

ч (A B )

ч (A A ) + ч (B B ) ч(A ) + ч(B ) - . ч (A ) + ч (B ) - 2. ч (B ) ч (B )

.

Значит, из (3.8) приходим к оценке снизу

ч(A B ) ч (A B ) ч (A )

(3.9)

Но тогда из (3.7) приходим к такой оценке снизу: (3.10)

С другой стороны, в силу неравенства (3.3) имеют место неравенства

ч (A) - ч (A A ), ч (A ) ч (A) -
2

ч (B ) - ч (B B ). ч (B ) - .
2

Стало быть, отсюда приходим к неравенствам ,

Отсюда и из (3.10) приходим к следующему неравенству:

ч (A B )
В силу произвольности

ч (A) + ч (B ) - 3. ч (A) + ч (B ) A B = . An A

>

0 из последнего имеем (3.11)

ч (A B )
для всех

A, B Aч

при условии

Теперь наша задача доказать, что счетное объединение измеримых множеств измеримо. С этой целью нам достаточно рассмотреть случай попарно непересекающихся множеств. Действительно, пусть тогда вместо счетного объединения

ч,

+

A
n=
можно взять
1

n

+

Bn
n=1
где

,

n-

1

Bn = An \
k=1
Ясно, что равенство

Ak .

{Bn } A

ч и попарно не пересекаются, причем имеет место + +

An =
n=
1

Bn .
n=1


28

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега

В силу конечной аддитивности функции неравенствам:

ч

на

A

ч и ее монотонности

по включению (см. замечание на с. 23) мы приходим к следующим

n

n

+

ч (Ak ) = ч
k=1

k=
1

A

k

ч
k=
1

A

k

ч (X )
k=1

ч(X ) < + ч (Ak )
сходится.

в силу конечности меры

ч.

Таким образом, ряд

Следовательно, для каждого фиксированного

>

0 можно выбрать

n

N

таким образом, чтобы имело место неравенство

+

ч (Ak )
k=n+
1


2

.

(3.12)

В силу измеримости конечных объединений измеримых множеств для данного

>

0 найдется такое множество

BA
2

, что

n

ч

B
k=1

A

k

.

(3.13)

Следовательно, в силу вложения

+

n

+

B
k=
1

Ak

B
k=1

A

k k=n+1

A

k,

конечной аддитивности внешней меры и ее счетной субаддитивности приходим к неравенству

+

n

+

ч

B
k=
1

A

k

ч

B
k=
1

A

k

+
k=n+
1

ч (Ak )

.

Отсюда вытекает измеримость счетного объединения измеримых множеств. Значит,

A

ч это

-

алгебра.

Надо, однако доказать, что действительно

+

ч (A) =
n=1
где

ч (An ),
+

A=
n=1

A

n,

при оговоренных выше условиях. Но это действительно так, потому что, во-первых,

+

+

ч

n=
1

A

n n=
1

ч (An )


4. Литературные указания

29

в силу счетной субаддитивности внешней меры, а во-вторых, в силу ее ?монотонности? и конечной аддитивности

N

N

ч (A)

ч
n=1

A

n

=
n=1

ч (An ),

т. е. можно утверждать, что

N

+

ч (An )
n=
У стремляя меры
1



чA



ч(
n=1



An ).

N

к бесконечности, имеем равенство (3).

(iii). Теперь докажем, что

ч

является единственным продолжением

-алгебру Aч . Пусть нет. Тогда существует другая мера . Пусть A Aч и > 0 являются фиксированными. Тогда найдется такое множество B A, что имеет место неравенство
с алгебры на

ч

A

ч (A B )
множеств

.

В свою очередь это означает, что существует такая последовательность

{Cn } A,

что

+

A B
n=
причем
1

C

n,

+

ч(Cn )
n=
1

.

Имеют место следующие неравенства:

+

+

| (A) - (B )|
поскольку на алгебре

(A B )
n=
1

(Cn ) =
n=1
и

ч(Cn )



,

A

меры

ч, ч



совпадают. Справедливы

следующие неравенства:

|ч (A) - (A)|
Стало быть, меры Те о р е м а

|ч (A) - ч (B )| + | (A) - (B )|
совпадают на на

2

.

ч



и

- Aч

алгебре

Aч .

доказана.

Построенная мера

ч

-

алгебре

и есть искомая мера Лебега.

Теперь мы приступим к построению интеграла Лебега.

4. Литературные указания
В данной лекции мы использовали материал, изложенный в работах [4], [5], [13], [21] и [34].