Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_spec/254/lection6.pdf Дата изменения: Wed Sep 14 22:10:39 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:57:24 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекция

6

ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА

1. Введение
В этой лекции мы рассмотрим формализм линейных функционалов и ряд существенных свойств общих топологических пространств. Для понимания этой лекции достаточно владеть основами курсов "Линейная алгебра"и "Вещественный анализ".

2. Линейные функционалы
Рассмотрим линейное пространство Рассмотрим все линейные функции

f

, что для всех

x, y L

и всех

L, возможно бесконечномерное. f : L C, т. е. такие функции , C выполняется следующее

равенство:

f (x + y ) = f (x) + f (f ). L


Обозначим множество всех таких скалярных функций символом Докажем, что пространство определим новый элемент из тельно, для произвольных функций

L



.

можно сделать линейным. Действи-

f, g L



и произвольных

, C

L

следующим образом:

h(x) = f (x) + g (x).
Ясно, что функция

h(x)

является линейной функцией на

принадлежит пространству

L



. Стало быть, пространство

L L



и поэтому является

тоже линейным. И это пространство называется пространством линейных функционалов на линейным пространством

L.

В дальнейшем

как в математике, так и в теоретической физике очень удобным является следующее обозначение действия линейного функционала на элементе

f L



x L:

f, x . f, x
по переменным

Это обозначение удобно в первую очередь, что оно подчеркивает билинейность выражения

f , x является переменной x L :
функция

линейной как по

(f , x) L L, переменной f L ,

т. е. что так и по

f , x : L L C.


3. Пространства линейных функционалов над пространствами Лебега 55

С другой стороны, это обозначение очень удобно при определении слабого решения некоторого дифференциального оператора. Например, как мы далее покажем, слабое решение следующего дифференциального уравнения

dx = f (x, t) dt dx , dt

можно будет записать в следующем виде

= f (x, t),

для всех

L. f
на элементе

(2.1)

Согласитесь, что писать действие функционала



как

f ()

вынудило бы нас писать также следующее не вполне понятное

выражение вместо (2.1), а именно следующую ?билиберду?:

dx () = f () dt

для всех

L.

3. Пространства линейных функционалов над пространствами Лебега
Теперь зададимся следующим вопросом: какой явный вид имеет скобка двойственности между сопряженными банаховыми пространствами

Lp (, ч)

и

(Lp (, ч))



? Ответ на этот вопрос дает следующая

важная теорема Рисса.

Т е о р е м а 1. Сопряженным к банахову пространству

p [1, +) + q -1 = 1, g , f

является причем

банахово

пространство явное

Lp (, ч) при L (, ч), где p-1 +
q
для скобок

имеет

место

представление

двойственности:

p




f (x)g (x) ч(dx), f (x) Lp (, ч), g (x) Lq (, ч). g g

(3.1)

Отображение

является изометрическим изоморфизмом.

Доказательство. Сначала покажем, что формула (3.1) при каждом на

g (x) Lq (, ч)

,

действительно задает некоторый линейный и непрерывный функционал

Lp (, ч)

. И имеет место равенство норм

g

p

=g

q . Действи-

тельно, по определению (I.2.3) нормы сопряженного к банахову пространству справедлива цепочка выражений:



g p

= sup | g , f | =
f
p

=

1

= sup
f
p

f (x)g (x) ч(dx)
1

f

p

g

q

g

q,

(3.2)

=




56

Лекция 6. Топологические пространства

из которой, в частности, вытекает, что на самом деле имеет место равенство

g (Lp (, ч)) .



Докажем, что

g
рассмотрим сначала случай

p

= g q. g = . .
Пусть

Это равенство, очевидно, выполнено если

g

p>

q

>

0и

1. Возьмем в формуле (3.1) функцию

f (x) =
Тогда имеет место равенство

sign(g )|g | g
q /p q

q /p

g , f =


g (x)f (x) ч(dx) =


|g (x)| g
1

q /p+ p/q q

1

ч(dx) = |g (x)| ч(dx) =
q

=
Откуда сразу же получаем, что

g g

g

p/q q



q q p/q q

= g q.



g

= sup | g , f |
f =1

g q.

Значит, отсюда и из (3.2), действительно, приходим к следующему равенству:

g p=



= g q. q = +.

Из представления (3.1)

Рассмотрим теперь случай

1, тогда

вытекает в силу неравенства Гельдера оценка

g ч-
измеримое множество

g

. >
0 найдется такое

С другой стороны, для любого достаточно малого

A g

с положительной мерой

ч(A ) >

0, что

имеет место неравенство

|g (x)|
введем функцию



-

для всех

x A . ч(A ) < +
. Теперь

Без ограничения общности можно считать, что

f (x) L1 (, ч) f (x) =
1

следующим образом:

A (x),
0,

ч(A )

x A ; x \A

,

где

A (x)

характеристическая функция множества

A

. Но тогда

имеет место неравенство

f (x) sign(g )(x)g (x) ч(dx)


1

ч(A )

|g (x)| ч(dx)
A



3. Пространства линейных функционалов над пространствами Лебега 57

1

ч(A )
Отсюда в силу произвольности

[g



- ] ч(A ) = g



- .

>


0 приходим к выводу, что

g

g



. g g Lq (, ч) в

Тем самым на этом этапе мы доказали, что отображение является изометрической инъекцией всего пространства пространство

(Lp (, ч))



при

p [1, +)

. Во второй части докажем, характеристическая

что это отображение является сюръекцией. Итак, пусть функция

(Lp (, ч)) . Пусть A (x) это множества A M. Введем обозначение (A) , A .



(3.3)

Докажем, что относительно случай

(A) ч мера.

это счетноаддитивная и абсолютно непрерывная Рассмотрим случай конечной меры

ч,

поскольку

из доказательства видно, что все результаты распространяются и на

-

конечной меры

Действительно, пусть

ч. {An } M

это система попарно непересе-

кающихся множеств, исчерпывающая

A

. Тогда имеем

N

N

(An ) =
n=
Поскольку
1

,
n=
1

A

n

.

N

An (x) A (x)
n=1
и, кроме того, имеет место оценка

поточечно

xA

N


n=1

A

n

(x)

1,

то в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега получаем

N

N

+

(An ) =
n=1
т. е.



,

A
n=1

n




+

,

A
n=1

n

= , A = (A),

(A) =
n=1

(An ).

Тем самым, доказали счетную аддитивность.


58

Лекция 6. Топологические пространства

Докажем теперь абсолютную непрерывность меры меры



относительно

ч.

Действительно, имеет место цепочка соотношений.

| (A)| = | , A |


1

/p

A

p

=



1 ч(dx)
A

=



[ч(A)]

1

/p

.

Теперь напомним одну важную теорему теории меры и интеграла Лебега: Т е о р е м а Р а д о н а Н и к о д и м а . Пусть
на измеримом пространстве относительно меры

ч

и



конечные меры

(, M) .

Мера



абсолютно непрерывна

ч

в точности тогда, когда существует такая

ч-

интегрируемая функция

g

, что имеет место представление:
для всех

(A) =
A

g (x) ч(dx)

A M.

(3.4)

Тем самым для введенной меры функция что



выполнены все условия теоремы

РадонаНикодима. Таким образом, найдется такая

ч-

интегрируемая

g (x), что имеет место представление (3.4). g (x) Lq (, ч). Значит, имеет место равенство , A =


Осталось доказать,

g (x)A (x) ч(dx).

(3.5)

Пусть

f (x)

это простая функция, тогда из (3.5) получим

, f =


g (x)f (x) ч(dx).

(3.6)

В силу плотности множества простых функций во множестве измеримых и ограниченных функций

B()

приходим к выводу, что (3.6)

Lq (, ч)

справедливо для .

f (x) B()

. Теперь осталось доказать, что

g (x) B()
.

С этой целью введем специально выбранную функцию из Именно, пусть

fn (x) = |g (x)|

q /p



A

n

(x) sign(g ),

An = {x : |g (x)|
измеримым. Тогда

n} .

Понятно, что множество

A

n является q /p

ч-

, fn =
A
поскольку
n

|g |

|g | ч(dx) =
A
n

|g (x)|q ч(dx),

1 С другой стороны,

+

q = q. p


| , fn |

f

np

.


3. Пространства линейных функционалов над пространствами Лебега 59

Так что имеет место неравенство

|g (x)|q ч(dx)
A
Значит,
n

|g (x)|q ч(dx)
n

1/p






A

.


q



1/q

|g (x)| An (x) ч(dx)


.

В силу уже озвученной здесь теоремы Фату приходим к выводу, что

g (x) Lq (, ч). L (, ч)
Рассмотрим теперь случай

p=

1. Докажем, что функция

g (x)

. С этой целью рассмотрим множество

A {x : |g (x)| > } .
Докажем, что эти множества имеют нулевую тельно, предположим, что

ч-

меру Лебега. Действи-

ч(A) >

0. Тогда 1

,

A sign(g ) ч(A)

=

1

ч(A)


|g (x)|A (x) ч(dx) >

ч(A)

ч(A)



= .

С другой стороны, имеет место неравенство


Значит,



= sup | , f |
f
1

,

1

A sign(g ) ч(A)

> .





> . ч(A) = 0. И значит, g (x) L (, ч).

почти

Полученное противоречие доказывает, что всюду

|g (x)|

. Тем самым доказано, что

Стало быть, мы получили следующий результат. Для произвольного линейного, непрерывного функционала найдется такая функция место равенство

(Lp (, ч)) при p [1, +) g (x) L (, ч) с q = p/(p - 1), что имеет
q

, f =


g (x)f (x) ч(dx), f (x),
но, как известно, мно-

справедливое для всех простых функций при

жество простых функций в случае конечной меры

ч

плотно в

Lp (, ч)

p [1, +).

Стало быть, приходим к утверждению теоремы. 1 . Случай, который не отражен в теореме Рисса

Те о р е м а

доказана.

Замечание это случай, когда ное к

L (, ч)

p = +

, т. е. вопрос о том, как выглядит сопряжен-

остался открытым.


60

Лекция 6. Топологические пространства

4. Сильная, слабая и
странствах

-

слабая сходимости

Перейдем теперь к изучению различных типов сходимостей в про-

Lp (, ч)

при

p [1, +]

. Одним типом сходимости мы

уже неоднократно пользовались это сходимость по норме. Дадим определение. Определение 1.
Будем говорить, что последовательность сходится сильно к некоторому элеместо предельное равенство при

{fn } Lp (, ч) при p [1, +] p менту f L (, ч), если имеет f -f
np



0

n +.

(4.1)

Относительно сильной сходимости мы из результата теоремы 18 знаем, что пространства при

Lp (, ч)

при

p [1, +]

полны.

Дадим определение слабой сходимости в пространствах

Lp (, ч)

p [1, +).

В силу теоремы 27 (Рисса) оправдано следующее 2.
Будем говорить, что последовательность

определение.

{fn } Lp (, ч) при p [1, +) сходится слабо к некоторому элеp q менту f L (, ч), если для любой функции g (x) L (, ч) при q = = p/(p - 1) выполнено предельное равенство [fn (x) - f (x)]g (x) ч(dx)

0
при

Определение

n +.

(4.2)

5. Литературные указания
В данной лекции мы использовали материал, изложенный в работах [2], [5], [16], [18] и [21].