Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_spec/254/lection4.pdf Дата изменения: Wed Sep 14 22:09:50 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:56:38 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекция

4

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, ПРОДОЛЖЕНИЕ

В данной лекции мы завершимим изложение схемы А. Н. Колмогорова построения интеграла Лебега. При этом нумерация пунктов, начатая в предыдущей лекции, будет продолжена.

1. Дальнейшие свойства интеграла Лебега
4. бега.



-аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла ЛеУ ановим теперь некоторые свойства интеграла Лебега как ст

функции множества. Т е о р е м а 15. Если

A= A

n

A

n конечное или счетное объединение

непересекающихся измеримых множеств и функция руема по множеству , то верно равенство

f (x)

интегри-

f (x) dч =
A n A
n

f (x) dч,

причем из существования интеграла в левой части следует существование всех интегралов в правой части и сходимость ряда.

Доказательство.

1) Для простой функции

f

со значениями

y1 , y2 , . . . , yk . . .

положим

Bk = {x A | f (x) = yk }, Bnk = {x An | f (x) = yk }.
Тогда

f (x) dч =
A k

yk ч(Bk ) =
k n

ч(Bnk ) =
n A
n

f (x) dч. f g
, а меры

Поскольку ряд справа сходится в силу интегрируемости 2) Для произвольной функции следует, что для любого руемая по

неотрицательны, то сходятся все ряды в цепочке равенств (4).

f

в силу ее интегрируемости на

A

>

0 найдется простая фунцкция

, интегри-

A

, что

|f (x) - g (x)| < .


46

Лекция 4. Интеграл Лебега, продолжение

Для нее по только что доказанному имеем:

g (x) dч =
A
причем

g (x) dч,
n A
n

(1.1)

g

интегрируема по каждому из множеств

A

n и ряд в правой

части абсолютно сходится. Но тогда в силу свойств 3 и 4 интеграла Лебега функция

f

также интегрируема на

A

n и верны оценки

f (x) dч -
n A
n

g (x) dч
A
n

ч(An ) = epsilonч(A)
n

,

f (x) dч - g (x) dч
A
откуда в силу (1.1)

= epsilonч(A)
абсолютная

,

A
следует сходимость ряда

n

A

n

f (x) dч

и оценка

f (x) dч - f (x) dч
n A
n

2

ч(A).

A

В силу произвольности



делаем вывод, что

f (x) dч =
n
Те о р е м а

f (x) dч.
A

A

n

доказана.

С л е д с т в и е . Если функция Т е о р е м а 16. Если

f

интегрируема на множестве

A

, то

она интегрируема и на любом измеримом подмножестве

A A

.

A=

n

A

n конечное или счетное объединение

непересекающихся измеримых множеств, функция ема по каждому из множеств

f (x)

интегриру-

A

n и ряд

|f (x)| dч
n
сходится, то

(1.2)

A

n

f

интегрируема на

A

и верно равенство

f (x) dч =
A
Доказательство.

f (x) dч.
n A
n

С учетом предыдущей теоремы надо проверить лишь тот факт, что сходимость ряда (1.2) влечет интегрируемость

f

на множестве

A

.


1. Дальнейшие свойства интеграла Лебега

47

1) В случае простой функции, принимающей значения жим

{f i }

, поло-

Bi = {x A | f (x) = fi }

,

A

ni

=A

n

Bi .

Tогда имеем

A
n

ni

= Bi

,

|f (x)| dч =
A
n

|fi |ч(Ani ).
i

Из сходимости ряда (1.2) следует сходимость рядов

|fi |ч(Ani ) =
n
при каждом

|fi |ч(Bi )
i

i

n

. Но сходимость повторного ряда в левой части послед-

него равенства и означает, что существует интеграл

f (x) dч =
A
2) В общем случае приблизим точностью

fi ч(Bi ).
i
простой функцией

f

f

равномерно с (1.3)



:

|f (x) - f (x)| < . |f (x)| dч
A
n

Тогда

|f (x)| dч + ч(An );
A
n

поэтому из сходимости ряда (1.2) и равенства дует сходимость ряда

n

ч(An ) = ч(A)

сле-

|f (x)| dч
n A
n

,

т. е., по только что доказанному, интегрируемость простой функции на

f

A

. Но тогда в силу (1.3) и свойств 3 и 4 интеграла Лебега получаем

интегрируемость функции Те о р е м а

f

.

доказана.

Итак, мы доказали два свойства, которые вместе можно назвать счетной аддитивностью интеграла Лебега как функции множества. Теперь перейдем к доказательству его абсолютной непрерывности. Для этого нам понадобится неравенство Чебышева, важное и само по себе. Итак, пусть

(x)

0 суммируемая на

A

функция,

c>

0

произвольное положительное число. Тогда

ч{x A | (x)
Для доказательства обозначим следует заметить, что

c}

1

c
A

(x) dч. c}
. Прежде всего

A = {x A | (x) множество A измеримо в

силу измеримости


48

Лекция 4. Интеграл Лебега, продолжение

функции

f

, которая, напоминаем, является необходимым условием

интегрируемости. Теперь в силу только что установленных свойств аддитивности интеграла Лебега имеем

(x) dч =
A A

(x) dч +
A\A

(x) dч
A

(x) dч

cч(A ).

Осталось лишь разделить полученное неравенство на положительное число

c.
Если

Следствие. всюду на случае

A

|f (x)| dч = |f (x)|,
1

0, то

f (x)

эквивалентна на

A

функции, тождественно равной нулю (иными словами,

f (x) =

0 почти

A

). В самом деле, из неравенства Чебышева, примененного следует, что в рассматриваемом

к неотрицательной функции

ч{x A | |f (x)| n N.

n

}

n |f (x)| dч =
A

0

при любом

Поэтому

+

ч{x A | f (x) = 0}
n=1

ч{x A | |f (x)| = 0.

Т е о р е м а 17. (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.) Если
функция

f (x)

интегрируема на множестве

A

, то для любого

найдется такое

>

0, что для всякого измеримого множества

>0 e

A

с

ч(e) <

имеет место оценка

f (x) dч < .
e
Доказательство. Легко видеть, что для ограниченной функ-

ции утверждение теоремы тривиально: оно сразу следует из свойства 5 интеграла Лебега. В общем же случае положим

N

An = {x A | n

|f (x)| < n + 1}

,

BN =
n=0

,

C

N

= A \ BN .

В силу теоремы 15 имеем

+

|f (x)| dч =
A n=0 A
n

|f (x)| dч


1. Дальнейшие свойства интеграла Лебега

49

и, в частности, ряд в правой части сходится. Тогда можно выбрать такое число

N

, что

+

|f (x)| dч =
n=N +1 A
Выберем еще
n

|f (x)| dч <
CN


2

.

(1.4)


Тогда при

0;

2

( N + 1)

.

ч(e) < , e A |f (x)| dч =
e

имеем

f (x) dч
e

|f (x)| dч +
e B
N

|f (x)| dч <
eCN


2

+


2

=

,

где первое слагаемое мы оценили в силу

ч(e BN )

ч(e) <

|f (x)|BN < N +
Те о р е м а

2

(N +1) ,

1, а второе в силу условия (1.4). Из утверждений, доказанных в этом пункте, сле-

доказана.

Замечание. меру

дует: интеграл от неотрицательной функции задает некоторую новую



, причем она будет абсолютно непрерывной относительно меры

Лебега, т. е. для всякого

>

0 найдется такое

ч(A) <

будет выполнено неравенство

> (A) < .

0, что при

AX

,

5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.

В этом

пункте мы докажем три важнейших утверждения, известные под названиями теорем Лебега и Беппо Леви и леммы Фату, позволяющие при тех или иных предположениях о свойствах сходящейся функциональной послдедовательности исследовать вопрос об интегрируемости и значении интеграла предельной функции. Т е о р е м а 18. Пусть:

fn A к функции f ; 2) для всех n всюду на множестве A имеет |fn (x)| (x), где 3) функция (x) интегрируема по множеству A
1) последовательность измеримых функций множестве Тогда 1) функции

сходится всюду на

место неравенство

.

f

и

f

n при всех

n

интегрируемы на

A

и

2) имеет место предельное равенство

fn (x) dч
A A

f (x) dч. f

(1.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего отметим, что функции

n ин-

тегрируемы в силу второго условия теоремы и свойства 7 интеграла Лебега. По теореме о предельном переходе в неравенствах то же верно для функции

f

.


50

Лекция 4. Интеграл Лебега, продолжение

Теперь приступим к доказательству предельного соотношения (1.5). Пусть задано произвольное

>

0. В силу абсолютной непрерывности

интеграла Лебега существует такое

BA

с

ч(B ) <

выполняется

B можно выбрать таким образом, чтобы на C A \ B сходимость fn f была равномерной. Тогда мы можем выбрать такое N N, что при любом n > N и при любом x C
Егорова это множество выполнено неравенство

B

> 0, что (x) dч <

для любого множества


4

. но в силу теоремы

|f (x) - fn (x)| <

2

. ч(C ) n>N

Но при этом сразу получаем, что при всех

f (x) dч - fn (x) dч
A A

(f (x) - fn (x)) dч +
C B

f (x) dч +
B

fn (x) dч


4

+


4

+


2

= .
(1.6)

Те о р е м а

доказана.

Из данной теоремы при рассмотрении пространства конечной меры сразу следует, что функция, являющяяся пределом поточечно сходящейся последовательности ограниченных функций, интегрируема и верно предельное соотношение (1.5). Замечание. Оставляем читателю показать, что в условии теоремы сходимость и оценки сверху функций Т е о р е м а 19. (Беппо Леви.) Пусть всюду на
ства

f

n функцией



можно

заменить на аналогичные условия почти всюду.

A

выполнены неравен-

f1 (x)
причем функции

f2 (2)

...

,

fn (x), n N,

интегрируемы на

A

и

fn (x) dч
a
Тогда 1) почти всюду на

K.

A

существует конечный предел

f (x) lim fn (x)
n+
(в точках, где этот предел бесконечен, можно доопределить функцию

f (x)

нулем),


1. Дальнейшие свойства интеграла Лебега

51

2) функция

f

интегрируема на

A

и

fn (x) dч
A A

f (x) dч. f1 (x)
0, пото-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ограничимся случаем, когда

му что общий случай можно свести к нему введением функций

= fn (x) - f1 (x), n N.
Рассмотрим множество

fn (x) =

= {x A | fn +}
где

. Заметим, что

=
r n

(r) , n

(r) n

= {x A | fn (x) > r}. n, r

Из неравенства Чебышева следует, что при всех

ч(r ) n
откуда с учетом

K r

,

1 2 . . . ч
n

(r )

(r )

имеем



(r ) n

K . r
n

Но при любом доказано.

r

верно включение

n

(r )

, поэтому

ч()

откуда следует, что

ч() =

K r,

0. Тем самым первое утверждение теоремы

Для доказательства предельного соотношения введем прежде всего обозначение

A
и положим

m

{x A | m -
на

1

f (x) < m}

,

m N,
интегрируема на

(x) = m Bl =

A

m . Докажем, что

(x)

A

.

После этого останется лишь воспользоваться предыдущей теоремой. Положим

f

nи

f

ограничены и

Am . Поскольку (x) f (x) + 1, то в
n+ B
l

l m=1

на множествах

B

l функции

силу предыдущей теоремы

(x) dч
B
l

(x) dч + ч(A) = lim
Bl

fn (x) dч + ч(A)

K + ч(A).

Но при всех

l

верно

s

(x) dч =
B
l

mч(Am ).
m=1

Равномерная ограниченность этих сумм означает (абсолютную) сходимость ряда

s

mч(Am ) =
m=1 A

(x) dч

,


52

Лекция 4. Интеграл Лебега, продолжение

т. е. интегрируемость простой функции Те о р е м а всюду на доказана. С л е д с т в и е . Если

(x).
A

A

ряд

+ n=1

n (x) 0 и n (x) сходится
+

+ n=1
и

n (x) dч < +

, то почти

+

n (x)
A n=
1

=
n=1 A

n (x) dч.

Следующее утверждение, которое мы для единообразия включаем в число теорем, известно под названием леммы Фату. Т е о р е м а 20. Если последовательность интегрируемых на множестве

A

неотрицательных функций

f

к функции

f

и при любом

nN fn (x) dч
A

n сходится почти всюду на

A

K

,

то

f

интегрируема на

A

и

f (x) dч
A
Доказательство. функции измеримы, т. к. Положим

K. n = inf
kn

fk (x).

Полученные

{x A | n (x) < c} =
Далее, 0

{x A | fk (x) < c}.
kn

n (x)

fn (x),

поэтому

n

интегрируемы и

n (x) dч
A
С другой стороны,

fn (x) dч
A

K.

(1.7)

n (x) f (x) xA 2 (x) f ... fn (x) f (x)). ...
, Поскольку,

почти всюду (а именно, в тех же точках, где к тому же, при всех

1 (x)
интегрируемость функции

n (x)

то по теореме Б. Леви, примененной к последовательности и предельное соотношение

{n }

, имеем

n (x) dч
A
в условии теоремы. Те о р е м а доказана.

f (x) dч.
A

(1.8)

Наконец, из (1.7) и (1.8) получаем неравенство, которое утверждается


2. Литературные указания

53

6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры. Мы ограничимся случаем так называемой говорить, что на пространстве



-конечной меры. Именно, будем

X

введена

ществует такая последовательность

Xn+

1

и

X=

n

Xn

-конечная мера, если суXn X , что ч(Xn ) < +, Xn
-

. Любая такая последовательность называется

исчерпывающей. (Приведем простой пример меры, не являющейся равной единице.)

конечной: возьмем меру на прямой и положим меру каждой точки Теперь мы готовы дать определение интегрируемости функции по Лебегу на пространстве Определение жестве



-конечной меры.

1 . Измеримая функция

f

, определенная на мно-

X

-конечной меры, называется суммируемой на

X

, если она

суммируема на каждом его измеримом подмножестве конечной меры и если для любой исчерпывающей последовательности

{Xn }

предел

n+ Xn

lim

f (x) dч

существует и не зависит от выбора исчерпывающей последовательности. Этот предел называется интегралом Лебега от функции множеству

f

по

X

и по-прежнему обозначается символом

Для интегралов по множествам бесконечной меры сохраняют справедливость все предыдущие результаты, кроме утверждения об интегрируемости ограниченной измеримой функции.

A

f (x) dч

.

2. Литературные указания
В данной лекции мы использовали материал, изложенный в работах [4], [5], [13], [21] и [34].