Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_gen/247/common_zachet_2sem_09-10.pdf Дата изменения: Fri Dec 3 01:07:35 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:05:06 2012 Кодировка:

..

, II .

I.
1. 2.


.

{(

{( )

x , y ) : x 2 + y 2 < 1} ,

x, y : x 2 + y 2 = 1 ,

}

3.

{

cos , sin , n N n n

}

4. 5. 6. 7. u ( x , y ) = xy, y u (x, y ) = , x y u (x, y ) = 2 x u (x, y ) = x 2 , 9. 10.
u (x, y ) = x 2 + y2 , 2x 2xy u x, y = 2 , x + y2

8.

()

+ 2xy + y 2 ,

u x, y =

()

x 2 - y2 . x 2 + y2

II.

. .
.

x 2 - y2 2 2 x 2 + y 2 , x + y 0, 11. u ( x , y ) = 0, x 2 + y2 = 0 ( 0; 0 ) , x 3 + y 3 2 2 x 2 + y 2 , x + y 0, 12. u ( x , y ) = 0, x 2 + y2 = 0 ( 0; 0 ) ,
15.

sin ( xy ) , xy 0, 13. u ( x , y ) = xy 1, xy = 0 ( 0; 0 ) ( 0;1) ,

sin ( xy ) , x 0, 14. u ( x , y ) = x 1, x =0 ( 0; 0 ) , (1; 0 ) , ( 0;1) ,

xy ln x 2 + y 2 , x 2 + y 2 > 0, ( 0; 0 ) . ,y = ux 0, x =y =0

()

(

)

20092010

1


..

III.


z = u(x , y ) , , . z = u(x , y ) N 0 (x 0 , y 0 , u(x 0 , y 0 )) , . L M 0 (x 0 , y 0 ) .

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

u ( x , y ) = 2x + 3y, M 0 = (3; 2) , L = (3; -2) , u ( x , y ) = 8x 2 + 2y 2 - x 4 - y 4 , M 0 = (2; 1) , L = (-1; -1) , u ( x , y ) = xy(3 - x - y ) , M 0 = (1; 1) , L = (-1; -1) ,

u ( x , y ) = x 2y 3(6 - 2x - 3y ) , M 0 = (1; 1) , L = (-1; -1) , u ( x , y ) = x 3 + y 3 - 3xy M 0 = (1; 1) , L = (-1; -1) , y u ( x , y ) = arctg , M 0 = ( 3, 1) , L1 = (1; - 3 ) , L 2 = x y u ( x , y ) = x - y x , M 0 = (e;e) , M 1 = (1; 1) , L = (1; -1) ,

(

3; 1) ,

u x , y = x 3 - x 2y + y 3 - 1 , L =
u ( x , y, z ) = e
x 2 +y 2 + z
2

()

(

3; 1 .
3u , x 2 y 3u . x y z

)



25. 26. 27.

u = f ( , ), = sin t, = cos t ,
u = f ( , ), = x 2 + y 2 , = x 2 - y 2 ,

u = f ( ,, ), = xy, = x - y, = x + y ,
u x , y ( 0; 0 ) ? , .

()

28. 29. 30. 31.

u ( x, y ) = 3 xy ( x + y ) , u ( x, y ) = 3 x y , u ( x, y ) = 3 xy ,
2

32. 33.

u x, y = 3 x 3 + y 3 , u ( x, y ) = 3 x 5 - y 5 ,

()

u ( x, y ) = 3 xy ( x + y
2

2

)

34. ,

u ( x, y ) = 3 yx 4 + xy

4

IV.


n M 0

, y 35. u = arctg , M 0 ( 2, 3 ) , n = 2 x , 20092010

36. 37.

u = x y , M 0 (e, e ) , n = 2 , u = e x sin y, M 0 ( 0, 0 ) , n = 3
2


..

38. 39.

u = ln(1 + x + y ), M 0 ( 0, 0 ) , n = 3 u = x 3 + y 3 - 3xy, M 0 (1; 1) , n = 2

40.

u = x 3 + x + y + xyz, M 0 ( 0; 0 ) , n = 3.

41. 42. 43. 44. 45. 49.

u ( x , y ) = x 2 + xy + y 2 , u ( x , y ) = x + y - 3xy , 88 u ( x , y ) = xy + + , xy
3 3

u (x , y, z ) = xyz (4 - x - y - z ) x > 0 y > 0 z > 0 , y2 z 2 2 + +. 47. u ( x , y, z ) = x + 4x y z
46.
x 2 -y

u ( x , y ) = ( 5 - 2x + y ) e
u (x , y, z ) = xy + xz + yz ,
48.

,

u ( x , y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy - 2xz - 2yz .
2

u = x cos y + z cos x M ;0; 1 .

V.


, , y = f (x ) , F ( x , y ) = 0 , 50. 51. 52.

F ( x , y ) = x 3 + y 3 - 3xy = 0 , F ( x , y ) = 8x 2y - x 4 - y 4 = 0, x > 0, y > 0 ,

F ( x , y ) = y 2 - ay - sin x = 0, 0 x 2 .
z = z (x , y ),

53.

54. x 2 + zx + z 2 + y = 0 . 55. z cos x + y cos z + x cos y = 3 ; z = f (x , y ) F ( x, y, z ) = 0 .

xyz = x 2 + y 2 + z 2 ;

. 56. 57. 58.

z z 2z , , . x y x 2 z z 2z z F x , y, z = arctg - z + x + y , , , . x y x 2 x z z 2z 2 2 2 F x , y, z = ln(xy + yz ) - z + x + y - 2 , , , . x y x y F x , y, z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 ,

(

)

( (

) )

(

)

(

)

20092010

3


..

59. u(x,y) v(x,y),

dy = 0, y = tx , y = y(t ) ; dx 2 dy 2d y 61. x + 3x + y = 0, x = et , y = y(t ) . 2 dx dx
60.

xu + yv = 1, x + y + u + v = 0. , .

y 2 + (x 2 - xy )

v v(x,y), 62.

2u u u + + = -u, u = ve x y x y

- x -y

.

u v , w u v, 63. 64.

z z + = 4x , u = x x y z 1 2z 1 +x =,u x 2 x 2 y

, v = x - y,

w = x -y +z;

=

y , v = y, x

w = zy - x .

u v , 65.

2z 2z 1 z + y2 2 + = 0, 2 y x 2 y

u = x , v = 2 y , (y > 0) .

VI.


, .

66. 67. 68. 69. 70. 71. 72.

u ( x , y ) = x 2 + y 2 x + y = 2 , u ( x , y ) = x + y x 2 + y 2 = 2 , u ( x , y ) = x + y xy = 1 , u ( x , y ) = xy x 3 + y 3 - 2xy = 0 x > 0 y > 0 . u ( x , y, z ) = x + y + z xyz = 1 , u ( x , y, z ) = x 2y 3z 4 2x + 3y + 4z = 9 , u ( x , y, z ) = xyz x 2 + y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 0 .

VII.


. .


73.


0

sin x

dx


0

2ydy ,

74.

dx
0 x

1

x

2ydy ,

2

20092010

4


..
1

75.


0

/2

dx

arcsin x



cos ydy ,

76.


0

1

dy xydx .
y

1

77.
D = {(x , y ) : x + y 1} ;


D

f (x , y )dxdy :

78.

D = (x , y ) : y 2 x + 2, y x

{

}

79. ( x 2 + y 2 ) dxdy, D = {x 2 + y 2 6} ;
G

80.

(
G

x 2 - y 2 ) dxdy, D = {1 x 2 + y 2 4}

{6

arctg

y x > 0. x4

}

81. (u, v ) ( x , y ) , D (x,y), y 2 = 16x , y 2 = 9x , x = 2y, x = 4y , 82. (u,v). D, . (u, v ) ( x , y ) , D

(x,y), xe y = 1, xe y = 2, x = e y , x = 2e y , (u, v ) . D, . m = dxdy , M x = ydxdy ,
G

G

My =


G

xdxdy I x =


G

y dxdy , I y =
2


G

x dxdy

2

= 1 , :

83. 84.

0 x 2, 0 y x ;
0 x 4, 0 y x (4 - x );

85. 86.

0 x , 0 y sin x ; 10
1
-3

x 1, 0 y x -1 .
3 - 2y

87. (x,y) D,
:


D

f ( x , y ) dx dy = dy
-1


y

f ( x , y ) dx .

. 88. (x,y) D, :


D

f ( x , y ) dx dy = dy
-1

1

1-y

-2y



f ( x , y ) dx .

f(x,y) = y. 89. , x = 1, x = 2, y = 0, y = x ; 1 . 90. , y = cos x , y = sin x ( / 4 x 5 / 4 ) ; 1 .

20092010

5


..

91. Oy , x = 0, x = 1, y = 0, y = arcsin x ; ( x ) 1 . 92.
2 2


G

(x 2 + y 2 )dxdydz , G

x + y = 2z , z = 2. 93.


G

f ( x , y, z ) dxdydz , G - ,

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 2 . 94. ( x , y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 = z 2 ( z 0 ) . G ­ , x 2 + y 2 + z 2 = 4, z = 1 ( z 1) . m0 , .

95.

VIII.
96. 97. 98.




L

x2 ds , L ­ y = , 0 x 1, 2
yds , L ­ y = e x , 0 x 2 , xydl, L ­


L


L

x + y = 1, x - y = -1, -1 x 1, 0 y 1 .

99.


L

x 2ydl, L = (x , y ) : x = 4 cos t, y = sin 2t, 0 t

{


2

}

.

100. y =

2 x x , 0 x 3. 3 2 101. y = x x , 0 x 3 3 (x ) = 2 1 + x .

102. x - x = cos t , y = sin t , 0 t


2

,

. 103. Ox x = cos t , y = sin t , 0 t , 1 . 104. Ox x = cos t , y = sin t , 0 t ; (t ) = sin t . 105. m M R; . 20092010 6


..

IX.

:
AB

106. 107.



xdx + ydy , AB y = x 2 , A ( 0, 0 ) , B (1, 1) .


L

(2 - y )dx + xdy , L

x = t - sin t, y = 1 - cos t, 0 t 2

t. 108.
L



xdy + 2ydx , L y = x,
0y x.

y = 0, y = 1 - x 2 ,
109.


L

xydx - x 3y 3dy , L ­ ,

x - y + x + y = 1.
110.


L

ydx + zdy + xdz , L ­ x = cos t, y = sin t, z = t , 0 t 2 ,

t. , : 111. x = a sin t, y = b cos t, 0 t 2 , a > 0, b > 0 ; 112. (x + y )2 = 2ax
2 2 2

(a > 0 ) Ox .

113. x 3 + y 3 = a 3 . 114. , 2x 2 + y 2 - z 2 = -1 z = x + 1 . 115. F = {x - y,2x + y 2 } x = y 2 , A(1, -1) B(1, 1). 116. F = {y, x } , 3x 2 + y 2 + z 2 = 4 z = x - 2 , , (0,0,-3).

X.

.

S : 114. S : z = x 2 + y 2 ; M (3,4,25) . 115. S : x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 2 ; M (1,1, 0) . 116. S : x = 2uv , y = u + v , z = u 2 + v 2 , M ( x (u0 , v0 ), y (u0 , v0 ), z (u0 , v0 )), u0 = 1, v0 = -1.

XI.

. . .
:

114. z = 3x + 4y , x 2 + y 2 1 .
20092010 7


..

115. z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 1 . 116. 2z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 1 . 117. z = xy , x 2 + y 2 a 2 . 118. z = x 2 + y 2 , (x 2 + y
22

)

xy , x 0 , y 0 .

119. x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 , x 2 + y 2 1 . 120. x = u cos v, y = u sin v, z = v,0 u a,0 v 2 .

XII.

I .

121. 122. 123. 124.
125.

(
S

S

dS , S : x + y + z = 1 , x [-1; 1] , y [-1; 1] . (x + y + z )dS , S : x + y + z = 1 , x [-1; 1] , y [-1; 1] . (x + y + z )dS , S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 z 0 .

S S

x 2 + y 2 )ds , S ­ V ={(x, y, z ): x 2 + y 2 z 1} .


S

1 ( x 2 + y 2 + z - )ds , S ­ 2 z = 2 - x 2 - y 2 , z 0 . 2

126. x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x 0, y 0, z 0 . 127. Oz

z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 2 x .
= x.
128. Oz x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z 0 , y 0 , x 2 + y 2 = 2 x . = zy .

XIII.
129.

. .



S

xdydz + ydzdx + zdxdy , S ­ x + y + z = 1 ,

x [-1; 1] , y [-1; 1] , Oz. 130. ( y 2 + z 2 )dxdy , S -
S

z = a2 - x2 , 0 y b

131.


S

( x 2 + y 2 + z 2 )dxdy , S -

z = x 2 + y 2 , 0 z c ( Oz). 132.


S
2

x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy , S -

x + y 2 - z 2 = 1, 0 z 3 . 133.



S

x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy , S ­ x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

20092010

8