Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_gen/217/OMM_Task02.pdf Дата изменения: Thu Feb 25 16:01:01 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:06:37 2012 Кодировка: Windows-1251

Метод решения второго практического задания
Рассмотрим задачу

u u +u = 0, 0 < x 1, t x 4 u(x, 0) = arctg(x - 2) + 2, 4 u(0, t) = 2 - arctg 2 e-t .
Введем разностную сетку

(1) (2) (3)

= xi = ihx , i = 0, . . . , N , hx =

1 ; N

tj = j ,

где N число узлов вдоль оси x, шаг по времени. Перепишем уравнение (1):

u u2 + =0 t x 2
нения (4) в точке xi + 1 hx , tj + 2
2

(4)

Введем сеточную функцию yij = u (xi , tj ). Разностная аппроксимация урав~ выглядит следующим образом:

yi - yi + yi+1 - y ^ ^ 2

i+1

+

y

2 i+1

2 - yi + yi+1 - yi ^2 ^2 = 0. 4hx

(5)

а для граничных и начальных условий:

y y

i0

0j

4 arctg (xi - 2) + 2, 4 = 2 - arctg 2 e-tj . =

(6) (7)

Полученную разностную задачу (5)-(7) будем решать при помощи схемы бегущего счета. Пусть известно значение сеточной функции для некоторого

tj , вычислим значение функции для tj +1 . Выписывая уравнение (5) при i = 0
и учитывая, что y определения y
1j +1 0j +1

известно из (7), получим квадратное уравнение для

. Будем решать данное уравнение итерационным методом

(предположим, что мы не можем аналитически решить это уравнение).
2 2 12 y0 - y0 - y1 y1 - y0 - y0 ^ ^2 1 f (y1 ) = ^ y + y1 + ^ ^ + =0 4hx 1 2 2 4hx

1


1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4 0.3

0.15

0.1 0.05 0 0 0.2

0.4

Рис. 1: Результаты решения задачи (1)-(3)
(s)

Пусть известно некоторое приближение y1 к корню y1 , тогда уравнение при^ ^ мет вид f y1 + y1 ^ ^
(s) (s)

= 0, где y1 = y1 - y1 . Раскладывая в ряд данное ^ ^ ^
(s) (s) (s)

(s)

уравнение и линеаризуя его, получим:

f
Следовательно,

y1 ^

y1 = -f y1 ^ ^ f y1 ^ f
(s) (s)

.

y1 ^

(s+1)

= y1 - ^

( s)

y1 ^

.
( s)

Процесс останавливается по достижении заданной точности : y1 ^

Последовательно вычисляя y1 , y2 , . . . yN , получим значение функции для ^^ ^

tj +1 .
Результаты расчетов приведены на рисунке. Выбор шагов hx и осуществляется с учетом условий устойчивости используемых методов (см., например, Н.Н. Калиткин "Численные методы").
2

?
0.6


0.2

0.25

1 0.8

< .