Обучение, специальные курсы

Элементы функционального анализа и математической теории рассеяния

Лекторы: проф. Арсеньев А.А.

Отчетность: устный экзамен.

Курс состоит из двух частей. Первая часть курса есть введение в линейный функцио- нальный анализ, которое рассчитано на начинающих специалистов по математической физике. Строится интеграл Лебега по схеме Даниэля, вводятся понятия метрического, нормированного, гильбертова пространств. Доказываются основные теоремы линей- ного функционального анализа. Строится операторное исчисление в банаховых про- странствах на основе интеграла Данфорда и борелевское операторное исчисление в гильбертовых пространствах на основе спектральной теоремы. Излагается теория возмущения дискретного спектра, разобрана модель Фридерихса в теории возмущения непрерывного спектра. Сообщаются начальные сведения о теории полугрупп. Излагаются элементарная теория обобщенных функций и методы построения фундаментальных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Сообщаются простейшие сведения о пространствах Соболева. Вторая часть курса посвящена изложению начал математической теории рассеяния. Излагаются вспомогательные сведения об абсолютно непрерывных функциях и ядерных операторах. Вводятся понятия волновых операторов и матрицы рассеяния. Доказываются основные теоремы о существовании волновых операторов. Доказывается принцип инвариантности. Выводятся формулы для матрицы рассеяния в стационарной теории рассеяния. Разобрана модель Фридерихса. Выводятся формулы для матрицы рассеяния в теории потенциального рассеяния, теории дифракции и теории рассеяния в волноводах. Приведены примеры применения теории рассеяния в физике твердого тела (теория Ландауэра-Бутикера).

Литература:

Основная.

1. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл мера, производная. М.: Наука, 1964.
2. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: , Наука, 1977.
3. Канторович Л.В, Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Наука, 1982.
5. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976
6. П.Н.Князев. Фукциональный анализ. УРРС, 2003г
7. Ж.Дьедоне. Основы современного анализа. Москва. Мир. 1964г.
8. А.А.Кирилов. Теоремы и задачи функционального анализа. Москва. 'Наука'. 1988г
9. В.А.Треногин, Б.М.Писаревский, Т.С.Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Москва. 'Наука'.1984г.
10. В.А.Треногин. Функциональный анализ. Москва. 'Наука'. 1993г.
11. У.Рудин. Функциональный анализ. Издательство 'Лань', 2005г.
12. Д.Р.Яфаев. Математическая теория рассеяния. Санкт-Петербург. Издательство С.-Пе- тербургского университета. 1994 г.

Дополнительная.

1. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. Т.1-3. М.:Издательство иностранной литературы. 1962-1974.
2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1-4. М., Мир, 1977-1982.
3. В.И.Богачев. Основы теории меры. Тома 1-2. Научно-издательский центр 'Регулярная и хаотическая динамика'. Москва-Ижевск, 2003г.
4. С.С.Кутателадзе. Основы функционального анализа. Издательство 'Наука', Сибирское отделение. 1983г.
5. П.Халмош. Гильбертово пространство в задачах. ИО НФМИ. 2000г.
6. К.Иосида. Функциональный анализ. Издательство 'Мир', 1967г.
7. А.Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. МЦНМОБ 2004г.
8. В.М. Федоров. Курс функционального анализа. 'Лань'. 2005г.

Доступные материалы:

1. Программа курса
2. А.А. Арсеньев. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. //2МБ 12.04.2010//
3. С.С. Кутателадзе. Основы функционального анализа. //1,86МБ 10.12.2009//
4. K. Saxe. Beginning functional analysis. //1,87МБ 10.12.2009//