Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matan.math.msu.su/files/zorich/2%20Uchebnye%20materialy/4%20LegendreTransform.pdf Дата изменения: Sun Dec 13 16:13:32 2009 Дата индексирования: Sun Apr 10 21:25:06 2016 Кодировка: Windows-1251

В. А. ЗОРИЧ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА

(Материал к лекциям по анализу первого семестра)

1


2

Содержание

Начальное определение преобразования Лежандра и общее неравенство Юнга. Конкретизация определения в случае выпуклых функций. Инволютивность преобразования Лежандра выпуклой функции. Заключительные замечания и комментарий.


3

Начальное определение преобразования Лежандра и общее неравенство Юнга.

Преобразованием Лежандра функции f переменной x называется новая функция f новой переменной x , определяемая соотношением
(1)

f (x ) := sup(x x - f (x)),
x

где верхняя грань берется по переменной x при фиксированном значении x . 1. Проверьте, что функция f выпукла на своей области определения. 2. Нарисуйте график функции f , прямую x x и укажите геометрический смысл величины f (x ). 3. Найдите f (x ), когда f (x) = |x| и когда f (x) = x2 . 4. Заметьте, что из (1), очевидно, следует, что (2)

Упражнения.

x x f (x ) + f (x)

при любых значениях аргументов x , x из областей определения функций f и f соответственно. Соотношение (2) обычно называется общим неравенством Юнга или неравенством Юнга-Фенхеля, а функцию f , например, в выпуклом анализе часто называют двойственной по Юнгу к функции f .
Конкретизация определения в случае выпуклых функций.

Если бы верхняя грань, фигурирующая в определении (1), достигалась в некоторой внутренней точке x области определения функции f , а сама эта функция была бы гладкой (или по крайней мере дифференцируемой), то мы нашли бы, что (3) и при этом (4)

x = f (x) f (x ) = x x - f (x) = xf (x) - f (x).

Тем самым в этом случае преобразование Лежандра конкретизируется в виде равенств (3),(4), из которых первое дает аргумент x , а второе значение f (x ) функции f преобразования Лежандра


4

функции f . (Заметим, что оператор xf (x) - f (x) встречался уже у Эйлера.) Если функция f к тому же еще и выпукла, то, во-первых, условие (3) выделит не просто локальный экстремум, а локальный максимум (проверьте!), который в этом случае, очевидно, будет и абсолютным максимумом; во-вторых, ввиду монотонного возрастания производной строго выпуклой функции, уравнение (3), для такой функции однозначно разрешимо относительно x. Если уравнение (3) допускает явное решение x = x(x ), то, подставляя его в (4), получим явное выражение f (x ).
1 1. Найдите преобразование Лежандра функции x при > 1 и получите классическое неравенство Юнга

Упражнения.

(5)

ab

1 1 a + b,

1 1 где + = 1. 2. Какова область определения преобразования Лежандра гладкой строго выпуклой функции f , имеющей асимптотами прямые ax и bx при x - и x + соответственно? 3. Найдите преобразование Лежандра функции еx и докажите неравенство

(6)

xt ex + t ln

t . e

Инволютивность преобразования Лежандра выпуклой функции.

Как уже было отмечено, соотношение (2) или эквивалентное ему неравенство (7)

f (x) xx - f (x )

выполнено при любых значениях аргументов x, x из областей определения функций f и f соответственно. Вместе с тем, как показывают формулы (3), (4), если x и x связаны соотношением (3), то последнее неравенство (7) обращается в равенство, по крайней мере в случае гладкой строго выпуклой функции f . Вспоминая определение (1) преобразования Лежандра, заключаем, что в этом случае (8)

(f ) = f .


5

Итак, преобразование Лежандра гладкой строго выпуклой функции инволютивно, т.е. повторное его применение приводит к исходной функции. 1. Верно ли, что f = f для любой гладкой функции f ? 2. Верно ли, что f = f для любой гладкой функции f ? 3. Дифференцируя соотношение (4), с учетом (3) и при условии, что f (x) = 0, покажите, что x = f (x ) и, следовательно, f (x) = xx - f (x ) (инволютивность). 4. Проверьте, что в соответствующих точках x, x , связанных равенством (3), f (x) = 1/(f ) (x ) и f (3) (x) = -(f )(3) (x )/((f ) )2 (x ). 5. Семейство прямых px + p4 , зависящих от параметра p, является семейством касательных к некоторой кривой (огибающей этого семейства). Найдите уравнение этой кривой.
Заключительные замечания и комментарий.

Упражнения.

В рамках разговора о выпуклых функциях мы дали начальные представления о преобразовании Лежандра на уровне функций одной переменной. Однако уже они облегчат восприятие этого преобразования и работу с ним в ряде важных более общих случаях применения преобразования Лежандра в теоретической механике, термодинамике, уравнениях математической физики, вариационном исчислении, выпуклом анализе, контактной геометрии,... с которыми многим еще предстоит иметь дело. Там будут проанализированы различные детали и возможные развития самого понятия преобразования Лежандра. Здесь же добавим только следующее. Как показывает равенство (3) аргументом преобразования Лежандра является производная или, равносильно тому, дифференциал исходной функции. Если бы аргумент x был, например, вектором линейного пространства X со скалярным произведением <, >, то обобщением определения (1), естественно, было бы соотношение (9)

f (x ) := sup(< x , x > -f (x)).
x

Если под x вообще понимать линейную функцию на пространстве X , т.е. считать, что x элемент двойственного X пространства X и действие x на вектор x, т.е. x (x), по-прежнему обозначать через < x , x >, то определение (9) сохранится и будет совсем ясно, что если функция f была определена на области пространства X , то ее преобразование Лежандра f оказывается определенным в области пространства X , двойственного пространству X .