Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://master.math.msu.ru/wp-content/uploads/2015/07/variant-2014-07-21-3-solutions.pdf Дата изменения: Mon Jul 13 10:19:16 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:39:53 2016 Кодировка: Windows-1251

Вступительный экзамен по математике для поступающих в магистратуру механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова по направлениям ?Математика?, ?Математика и компьютерные науки?, ?Механика и математическое моделирование? 2014 год Вариант 21-07-2014-3 с решениями

1. Что можно сказать о дифференцируемости функции F (x) = f (g(x)) в точке x0 , если функция не имеет производной в точке g(x0 ) и функция g(x) не имеет производной в точке x0 ? Решение Функция F (x) рассмотрим: Тогда F (x) Полагая получим
= f (g (x))

f (y )

может как иметь производную в точке x0 , так и не иметь ее. Полагая
f ( y ) = 2 y + |y |, g (x) = 2x - |x|. x0 = 0

x0 = 0

,

= 3x

и функция дифференцируема в точке
{ f (y ) = 2y + |y |, 0, 2x, 0, x < 0.

.

g (x) = x - |x|, x0 = 0

при x при 2. Найдите предел функции
F (x) =

Ясно, что эта функция не дифференцируема в точке
(
x 0

.

lim

) 1 2 - ctg x . x2

Решение Преобразуем функцию
1 sin2 x - x2 cos2 x sin x + x cos x sin x - x cos x - ctg2 x = = . 2 2 sin2 x x sin x x2 sin x x

Предел первого сомножителя находится непосредственно:
x 0

lim

( ) x sin x + x cos x = lim 1 + cos x = 2. x 0 sin x sin x

Предел второго сомножителя находится с помощью правила Лопиталя:
x 0

lim

sin x - x cos x x sin x = lim = lim x 0 2x sin x + x2 cos x x 0 x2 sin x 2+ (
x 0

1 1 =. x 3 cos x sin x

Таким образом
lim

) 2 1 2 - ctg x = . x2 3 f (z ) = ctg(z 2 )

3. Найдите вычет функции комплексного переменного Решение Это особая точка второго порядка. И тогда для

в точке

z=0

.

n=2

получаем

1 dn-1 lim (z - a)n ctg(z 2 ) = 0. (n - 1)! z a dz n-1


4. Найдите все положения равновесия системы
{ x = (x - 1)(y - 1), y = xy - 2

и исследуйте их на устойчивость. Решение Найдем положения равновесия из решений системы:
{ x y 0 = (x - 1)(y - 1), { 0 = xy - 2, x y { = 1, = 2, = 2, = 1. (x, y )

Проведем линеаризацию около положения равновесию, введя отклонения равновесия (x0 , y0 ): x = x - x0 , y = y - y0 . 1. Случай (x0 , y0 ) = (1, 2). Тогда уравнение в отклонениях имеет вид
{ x = x(y + 1), y = (x + 1)(y + 2) - 2. {

от положения

После линеаризации получаем

x = x, y = 2x + y .

Характеристическое уравнение имеет вид
|A - E | = 1- 0 = ( - 1)2 . 2 1-

Так как характеристическое уравнение второго порядка имеет положительные корни, то положение равновесия неустойчиво. 2. Случай (x0 , y0 ) = (2, 1). Тогда уравнение в отклонениях имеет вид
{ x = (x + 1)y , y = (x + 2)(y + 1) - 2. {

После линеаризации получаем

x = y , y = x + 2y .

Характеристическое уравнение имеет вид
|A - E | = - 1 = 2 - 2 - 1. 1 2-

Так как характеристическое уравнение имеет отрицательные коэффициенты, то положение равновесия неустойчиво. Ответ: (1, 2), (2, 1) неустойчивы. 5. Определите область сходимости ряда
1 sin n . n x 2 n=1


Решение

Обозначим

un (x) =

1 sin n n x 2

. Тогда

xn 11 un (x) 1 2n 1 = lim sin n+1 = lim = lim = < 1. n+1 n+1 x n x n 2 n 2x un+1 (x) 2 sin 2n 2 |x|

При

|x| >

1 2

ряд сходится абсолютно по признаку Даламбера, а при
n

|x| =

1 2

ряд расходится, так как .

lim un = = 0. 1 1 I = (-; - ) ( ; ) 2 2

Таким образом, область сходимости ряда (притом абсолютной) 6. Составьте уравнения касательных к гиперболе
x2 - y2 = 1, 4

проходящих через точку Решение

M (1; 4)

.
M0 (x0 ; y0 )

Найдем уравнение касательной, проходящей через точку уравнение гиперболы, при x = x0 получаем:

на гиперболе. Дифференцируя , уравнение касательной

4x0 - y (x0 )y (x0 ) = 0.

С учетом того, что касательная проходит через точку гиперболы имеет вид: 2 2 Так как точка
M y0 = x0 - 1.

M0 (x0 ; y0 )

принадлежит этой прямой, ее координаты удовлетворяют этому уравнению и
M
0

y y0 = y0 + 4xx0 - 4x0 = 4xx0 - 4.

В силу того, что точка

лежит на гиперболе, получаем
3x2 + 2x0 - 5 = 0 0 (3x0 + 5)(x0 - 1) = 0. (1; 0)

4x2 - (x0 - 1)2 - 4 = 0 0

Следовательно уравнение одной касательной имеет вид: x-1 = 0 с точк) касания ой ( 58 другой касательной имеет вид: 5x - 2y + 3 с точкой касания - 3 ; - 3 . 7. Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению
log2 (a2 x3 - 5a2 x2 + 6 - x) = log
a2 +2

. А уравнение

(3 -

x - 1)

при любом значении параметра a. Решение При
a=0

уравнение примет вид
log
2

6 - x = log2 (3 - x - 1).

Решением данного уравнения являются x = 2 и x = 5. Подставляя x = 2 в исходное уравнение, в левой части уравнения получим log2 (2 - 12a2 ), которое определено только при тех значениях a, для которых 2 - 12a2 > 0. Подставляя x = 5 в исходное уравнение, получим тождество. Таким образом, ответом является x = 5.


8. Решите в целых числах уравнение
Решение

1 + x + x2 + x3 = 2y .

Если

y=0

, то уравнение принимает вид
x(x2 + x + 1) = 0.

Это уравнение имеет единственное решение x = 0. Если y = 0, преобразуя левую часть уравнения, получим
(x + 1)(x2 + 1) = 2y . n N {0}

Отсюда видно, что x положительное и нечетное число. Представим его в виде . Тогда 2 y
(2n + 2)(4n + 4n + 2) = 2 . 2
2

x = 2n + 1

, где

разделив обе части уравнения на

получаем:
y -2

(n + 1)(2n2 + 2n + 1) = 2

. 2n2 + 2n + 1

Если n = 0, то x = 1, y = 2. Если n = 0, то отличное от единицы, что невозможно. Ответ: {(0; 0), (1; 2)}.

2

y -2

должно делиться на нечетное число

,