Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://master.cmc.msu.ru/files/selezn-odm.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Tue Jul 3 17:25:28 2012 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Thu Feb 27 20:10:40 2014 Êîäèðîâêà:

..

..

, 2010


510.52:519.712(075.8) 22.18.73 29 - .. : .. ­ ..-.., .. ­ ..-.., .. C 29 : . ­ .: .. ( N 05899 24.09.2001 .); , 2010. ­ 60 . ISBN 978-5-89407-416-0 ISBN 978-5-317-03239-5 " , " .. " " . : , , , . , . , . . 510.52:519.712(075.8) 22.1873 ISBN 978-5-89407-416-0 ISBN 978-5-317-03239-5 c .. , 2010 c .. , 2010
2



, " " , .. " (1- " ). : , , , . , , , . , . . . , . . . , - . .... . .... . . . 5 2010 .

3


1
1.1




­ , ( 1 ). . , . - , , , . : a A ­ a ­ A; b A ­ b A. / , - , " . " , , , . , , , . , - . : A = {1, 2, 3} ­ A 1, 2 3. . A = {x | x - } ­ A . , . , , . . , . . 1.1. A B , . : A = B ­ A B .
1

(Cantor) ­ XIX-XX .

4


1.2. A B , A B . : A B ­ A B . A , A A A. 1.3. A B , A B , B A. : A B ­ A B . , A B , A B A = B . 1.4. A B , , A, B . A B A B . : A B = {x | x A x B } ­ A B . 1.5. A B , , A, B . A B A B . : A B = {x | x A, x B } ­ A B . 1.6. A B , A, B . A B A \ B . : A \ B = {x | x A, x B } ­ A B . /
5


1.7. A , , A. , U . A A. : A = {x | x U, x A} ­ A. / 1.8. , 2 A B , , A, ­ B . A B A â B . : A â B = {(x, y ) | x A, y B } ­ A B . 1.1. , , . . 1.9. n- A ( n 2 ­ ) , n , A. n- A An . : An = {(x1 , . . . , xn ) | xi A, i = 1, . . . , n} ­ n- A. 1.10. A , A. A P (A) ( 2A ). : P (A) = {B | B A} ­ A. A , P (A) A P (A).
2 (Descartes) ­ , , XVI-XVII .

6


1.11. A A1 , . . . , Am , A. , A A1 , . . . , Am . A1 , . . . , Am , Ai = , i = 1, . . . , m, ­ A, 1) A1 . . . Am = A; 2) Ai Aj = i = j . 1.1. D A, B , C , D = A B \ C . . x U . A, B , C . 1 0 . D: A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C AB AB C 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 D 0 1 0 1 0 1 0 0

, x D, x A, B , x C , x A, / / x B , C , x A, C , x B . / : D = A B \ C , C A B . 1.2. , (A \ B ) \ C = A \ (B \ C ) A, B , C . , A, B , C . . x U . A, B , C . 7


1 0 . : A B C A \ B (A \ B ) \ C B \ C A \ (B \ C ) 000 0 0 0 0 001 0 0 0 0 010 0 0 1 0 011 0 0 0 0 100 1 1 0 1 101 1 0 0 1 110 0 0 1 0 111 0 0 0 1 , x, x A, C , x B x A, B , C . / ( A C = ), . : (A \ B ) \ C = A \ (B \ C ) ( ) . A, B , C , A C ( A C = ). 1.2

1.1. , : 1) : 2) : 3) : 4) : AA=AA AB =BA AB =BA (A B ) C = (A B ) C = (A B ) C = (A B ) C = = A; ; ; A (B A (B (A B (A B

C ); C ); ) (B C ); ) (B C ).

1.2. : 1) 2) 3) 4) A A A A = A B B A ; = A B; = A B; = U , A A = .
8


1.3. \: 1) 2) 3) 4) A A A A \ \ \ A = ; B = A \ (A B ); (B \ A) = A B ; (A \ B ) = A B ; 5) 6) 7) 8) (A \ B ) (B \ A) = (A B ) \ (A B ); U \ A = A; A \ B = A B; (A \ B ) \ C = A \ (B C ).

1.4. D A, B , C : 1) 2) 3) 4) D D D D = = = = A A A A \ \ B B B B C; C; C; C; 5) 6) 7) 8) D D D D = = = = A\B A\B (A B ) (A B ) C C \ ; ; C; C.

1.5. , A, B , C : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) A A B B A B; A B A A B B; A \ B A (A \ B ) B = ; A B , A B = B A B = A; A B , A \ B = ; A B , B \ A = A \ B = ; A B B C , A C ; A (B \ C ) = (A B ) \ (A C ).

1.6. , A, B , C . ( 1)-5)) , A, B , C ( 6)-8)): 1) 2) 3) 4) A B = A, B A B = A, B A \ B = A, B A \ B = C , A \ = ; = A; = ; C = B; 5) 6) 7) 8) A\B A (B \ C ) A \ (B C ) A \ (B C ) = = = = C , A = B C ; (A B ) \ (A C ); (A \ B ) (A \ C ); (A \ B ) (A \ C ).

1.7. U ­ . : A ­ , " , B , , C ­ "
9


, , D ­ , . A, B , C , D : 1) , ; 2) , ; 3) , , ; 4) -, ; 5) , , , ; 6) , , ; 7) -, " " , ; 8) , , . 1.8. â: 1) 2) 3) 4) (A B ) â C (A B ) â C (A \ B ) â C A â (B \ C ) = = = = (A (A (A (A â â â â C) C) C) B) (B â C ); (B â C ); \ (B â C ); \ (A â C ).

1.9. 1. A B , A â B = B â A. 2. A B , (A â B ) (B â A) = ? 3. , A B , A â B = B â A , A = B . 4. N , R ­ , [a; b] = {x R | a x b} ­ a b (a, b R, a b). , A â B , 1) A = B = N; 2) A = B = R; 3) A = {0}, B = R; 4) A = R, B = [0; 1].
10


1.10. 1. A â B , 1) A = , B = {1}; 2) A = B = {1}; 1) A = ; 2) A = {1}; 3) A = B = {0, 1}; 4) A = {1, 2, 3}, B = {a, b}.

2. P (A), 3) A = {0, 1}; 4) A = {1, 2, a}.

1.11. , A1 , . . . , Am A, 1) A1 = {0}, A2 = {1, 3 2) A1 = {0, 1}, A2 = {1 3) A1 = {0, 2}, A2 = {1 4) A1 = {0, 1}, A2 = {2 , . 1.3 }, A3 = {2}, A , 2}, A3 = {2, 3 , 3}, A = {0, 1, , 3}, A3 = {4, 5 = {0, 1, 2, 3}; }, A = {0, 1, 2, 3}; 2, 3, 4}; }, A = {0, 1, 2, 3, 4}.

.

1.12. A , . . : |A| ­ A. 1.13. A B , , . : |A| = |B | ­ A B ­ . 1.14. - x A y B , A B . : f : A B ­ f ­ A B .

11


f : A B x A y B , y = f (x) y x f . x ( ) y . A f f (A). A () C = f (A) B f . : f (A) = {y B | 3 x A : f (x) = y } ­ A f : A B . 1.2. f : A B A â B . f A â B , x A (x, y ) f , , , x A y B ( (x, y ) f ) f . 1.3. " " ­ . " " . f : A B , A , f (A) B ­ ( ) f . x A ( ), y = f (x) B ­ x. 1.15. f : A B y B x A, y = f (x), f A B . 1.16. f A B -, y B x A, y = f (x).
3

­ ­ " , " . " "

12


- A B - A B . 1.17. f : A B ­ - , y B x A, y = f (x). , B A, f f -1 . : f -1 : B A ­ f -1 ­ - f : A B . 1.1. A B , - A B . 1.4. 1.1 . A B ( ) , - A B . 1.2. 1. |A| = k |B | = m, |A â B | = k · m. 2. |A| = k n 2, |An | = k n . 3. |A| = k , |P (A)| = 2k . 1.3. A = {0, 1}. n A An , n 2. n, 1. . = (1, a2 , . . . , an-1 , 1) An ­ n. a2 , . . . , an-1 : 0 1. 2n-2 . : 2n-2 . 1.4. X Y = C, X Y ­ , C ­ , |C | = k .
13


. , X, Y C . x C . X Y . 1 0 . X Y : X 0 0 1 1 Y X Y 0 0 1 1 0 1 1 1

, x X , x Y , x X Y . / / / X Y = C . , x C 3 X Y : x X , x Y , x X , x Y , x X, Y . / / C c1 , . . . , ck . A = {0, 1, 2} k - Ak . (a1 , . . . , ak ) Ak - (X, Y ) : ai = 0, ci X , ci Y ; / ai = 1, ci X , ci Y ; / ai = 2, ci X , ci Y , i = 1, . . . , k . Ak (X, Y ), , , (X, Y ) Ak . - Ak . , ( 1.1). 3k . : 3k . 1.4

1.12. ? ( ).
14


1.13. 4- . " ? ( " , " " ). 1.14. A = {·, -}. , ? 1.15. A = {0, 1}. n A An , n 1. n, 1) 2) 3) 4) 5) ( ); 1; 00; 0 1; ( ); 6) ; 7) ; 8) , . : 1) X 2) X 1.16. X, Y ­ , X, Y C , C ­ , |C | = k . Y = ; \ Y = ; 3) X Y = X Y ; 4) X Y = X \ Y .

1.17. X, Y , Z ­ , X, Y , Z C , C ­ , |C | = k . : 1) 2) 3) 4) X Y X Y (X Y (X Y = C \ (X Y ); = C \ (X \ Y ); ) Z = X Z; ) \ Z = X \ Z; 5) 6) 7) 8) (X (X (X (X Y Y Y Y ) ) ) ) \ \ \ Z Z Z Z = = = = X Y; Y Z; X (Y Z ); (X Y ) \ Z .

15


1.18. X, Y ­ , C, D ­ , C D, |C | = k , |D| = m, k m. : 1) X Y =C ; X, Y D 2) X \Y =C . X, Y D

1.19. 1. A B , ? , A B , , : 1) |(A â B ) (B â A)| = k , k = 0, 1, 2, 3; 2) |(A â B ) (B â A)| = k , k = 0, 1, 2, 3; 3) |(A â B ) \ (B â A)| = k , k = 0, 1, 2, 3; 4) |((A â B ) \ (B â A)) ((B â A) \ (A â B ))| = k , k = 0, 1, 2, 3. 2. 1)-4) . 1, k , A B ­ . A B , . 1.20. 1. , A B |(A â B ) \ (B â A)| = |(B â A) \ (A â B )|. 2. , |((A â B ) \ (B â A)) ((B â A) \ (A â B ))| ­ A B . 1.21. k m , 1. n (n) , n . (n) 4 . n = pm1 · . . . · pmk , p1 , . . . , pk ­ 1 k (. 1.26, . 6), m1 , . . . , mk 1, ­ n . , n , (n).
(Euler) ­ , , XVIII , .
4

16


1.5

-

1.3. A1 , . . . , An ­ , n 2.
n

|A1 . . . An | =
k =1 1i1 <...
(-1)k-1 |Ai1 . . . Aik |.

1.3 -. 1.5. , 7. . A1 7bc, A2 a7c A3 ab7, a {1, 2, . . . , 9}, b, c {0, 1, . . . , 9}. 7, A1 , A2 A3 . - |A1 A2 A3 | = |A1 |+|A2 |+|A3 |-|A1 A2 |-|A1 A3 |-|A2 A3 |+|A1 A2 A3 |. |A1 | = 100, |A2 | = |A3 | = 90, |A1 A2 | = |A1 A3 | = 10, |A2 A3 | = 9, |A1 A2 A3 | = 1. |A1 A2 A3 | = 100 + 90 + 90 - 10 - 10 - 9 + 1 = 252. : 252 . 1.6

1.22. 1. , A B : 1) |A B | = |A| + |B | - |A B |; 2) |A \ B | = |A| - |A B |. 2. , . 1, , A, B C : 1) |A B C | = |A| + |B | + |C | - |A B | - |A C | - |B C | + |A B C |; 2) |A \ (B C )| = |A| - |A B | - |A C | + |A B C |.
17


1.23. 20 15 . , 4 , . 1.24. . , ? (, 773, 122). 1.25. A = {0, 1}. n A An , n 1. An : B ­ , C ­ , 0, D ­ , 11. : 1) 2) 3) 4) B B B B \ C; D; C D; (C D); 5) 6) 7) 8) B B C D \ \ \ (C (C (B (B D); D); D); \ C ).

1.26. 1. , , p n, n .5 p 2. , 100, 3, 5. 3. , 1000, 10, 15, 24. 4. , 100, 7, 11. 5. , 1000, 15, 20, 36. 6. , : 1 . , , . 1 , . , 100. 7. -, . 1, , p1 , . . . , pk n.
5

x , x

18


8. p1 , . . . , pk ­ , n. -, . 1, , n. 1.27. . , 15 , ­ 10 , ­ 3 , ­ 5 , ­ 2 , ­ 1 . . . 1.28. , 60 % , 50 % ­ , 50 % ­ , 30 % ­ , 50 % ­ , 20 % ­ , 20 % ­ , . 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1.29. A B A B = {x | x A, x B x A, x B }. / / 1. : 1) : A B = B A; 2) : (A B ) C = A (B C ). 2. , A1 . . . An , x , A1 , . . . , An . 3. , A B : |A B | = |A| + |B | - 2 · |A B |. 4. , . 3, A1 , . . . , An ­ ,
n

|A

1

...

An | =
k =1 1i1 <...
(-1)k

-1

· 2k

-1

· |Ai1 . . . Aik |.

19


1.7



6 : n , , (n + 1) n , , . , : : n (n + 1) , , " , , " . 1.6. 21 . , 1) ; 2) . . 1. , . , 30 - 21 = 9, . . 9, , 10, . 11 . 2. . , . , 10, - , - 20 . 21 . , . 1.8

1.30. 1. 2 . , ? 2. 2 . , ?
6

e (Dirichlet) ­ XIX . ¨

20


3. 3 . , ? 4. 4 . , ? 1.31. 10 , 10 10 . , 1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

1.32. 1. 9 . , - , - . 2. 8 . ? 1.33. 60 . , . 1.34. 60 , . 40 , 10 . , . 1.35. , n , n 2, , . 1.36. 1. , 100. , 50 50. 2. a1 , . . . , an , M . , 1 n · M 1 n · M .

21


1.37. 200 1 . . 1 ? 1.38. , 25 , 5 . , , . 25 , ? , .

22


2
2.1




A = {a1 , . . . , an } ­ n . , . . ­ , . . 2.1. n k k n . n k Ak . n 2.1. n k Ak = (n)k = n(n - 1) · n . . . · (n - k + 1). (n)k n k . : Ak = n(n - 1) . . . (n - k + 1) n k 1; n A0 = 1; n Ak = 0 n < k ; n Ak = n · Ak-1 . n n -1 2.2. n . k = n. n Pn . 2.2. n Pn = An = n! = n n(n - 1) · . . . · 1. n! n. k = n: n! = (n)n .
23


: Pn = n(n - 1) . . . 1 n 1; P0 = 1; Pn = n · Pn -1 . 2.3. n k k n . ¯n n k Ak . ¯n 2.3. n k Ak = nk . 2.4. n k k n .
k n k Cn . k 2.4. n k Cn = n k

=

(n)k k!

.

: n! k Cn = (n)k = k!(n-k)! n k 1; k! 0 Cn = 1; k Cn = 0 n < k ; k -1 k k C n = C n -1 + C n -1 . 2.5. (x + y )n =
n n k =0 k Cn xn-k y k .

2.5.1.
k =0 n

k Cn = 2n .

2.5.2.

k (-1)k Cn = 0.

k =0

2.5 7 . n . k 2.5. n k k n .
7

(Newton) ­ , , XVII-XVIII .

24


¯k n k Cn . ¯k 2.6. n k Cn = k C n +k -1 . 2.1. 10 . ? . , . 10 . 10 3: A3 = (10)3 = 10 10 · 9 · 8 = 720 . : 720 . 2.2. 10 . , , . ? . , . 10 . ·9 3 10 3: C10 = 103! ·8 = 120 . : 120 . 2.2

2.1. 1) 2 4- A = {1, 2, 3, 4}; 2) 3- A = {1, 2, 3}; 3) 3 5- A = {a, b, c, d, e}; 4) 2 4- A = {a, b, c, d}. 2.2. 35 , . ? 2.3. A, B , C , D E . A E - ? , , , , .
25


2.4. 20 , 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ? . 2.5. 4 , 5 . , ? . 7 25

2.6. 1. n . ? , . 2. n . ? , . 2.7. . , 300 , 1) ; 2) ? 2.8. . , . 1) n (n 2) ? 2) n n (n 1), ?
26


2.9. A1 , . . . , An ­ . , m A1 , . . . , An , N (n, m), m 1. 1. , 1) N (2, 1) = |A1 | + |A2 | - 2 · |A1 A2 |; 2) N (2, 2) = |A1 A2 |. 2. n, . 1, 1 m n,
n -m

N (n, m) =
k =0 1i1 <... +k

(-1)k · C
n

m m+k

· |Ai1 . . . Ai

m+k

|.

2.10. 1. - ( 1.3), . 2. . 2 2.9, . 2.11. 1. n , i i- ( " ) " i = 1, . . . , n. - ( 1.3) n . 2. . 2 2.9 n , m, 0 m n, " . " 2.12. , . , . 2.13. . , , , k , 0 k 4, . 2.14. . . , , . , " " , " , " " " " , " ( " " " " ).
27


1. k n (1 k n)? 2. n ? 2.15. , (x + y )n , n 2? 2.16. 1. , (x1 + . . . + xk )n , k 2, n 2? 2. , , : 1) (x + y + z )2 ; 3) (x + y + z + u)2 ; 2) (x + y + z )3 ; 4) (x + y + z + u)5 ? 2.3

k -1 k k 2.3. , Cn = Cn-1 + Cn-1 . . n k k 1) n- ­ Cn-1 ; k -1 2) n- ­ Cn-1 . n k k , . Cn = k -1 k C n -1 + C n -1 . n

2.4. ,
k =0

k k · Cn = n · 2n-1 .

. , k 1
k k · Cn = k ·

n! n! = = k !(n - k )! (k - 1)!(n - k )!

(n - 1)! k -1 = n · Cn-1 . (k - 1)!((n - 1) - (k - 1))! k = 0 . , 2.5, =n·
n n n n -1

k·C =
k =0 k =1

k n

k·C =
k =1

k n

n·C

k -1 n-1

=n·
l=0

C

l n-1

=n·2

n -1

.

28


2.4


k 1) Cn = C n-k n k l 2) Cn · Ck = C k -l n-l l · Cn .

2.17. 1. , n 1 0 l k n ;
k -1 k k 2.18. 1. , Cn = Cn-1 + Cn-1 . 2. , . 1,

1) C =
l=0

k n

n

C

k -l n -l -1

;

2) C

k +1 n+1

n

=
l =k

Clk .

k k 2.19. 1. , Cn+1 > Cn ( k {Cn } n k ). k -(l+1) k- k- 2. , Cn-(l+1) < Cn-ll ( {Cn-ll } l n k ). k k k k 3. , Cn +1 > Cn k < n-1 Cn +1 < Cn k > n-1 ( 2 2 k {Cn } k k < n-1 2 k k > n-1 n). 2 4. , k 1) n ­ , Cn n k = n-1 k = n+1 ; 2 2 k 2) n ­ , Cn n k = n . 2

2.20. , p ­ (. 1.26, k . 6), Cp p k = 1, . . . , (p - 1). 2.21. , (. 2.5), n 1
n

1)
k =0 n

C =2 ;
k (-1)k · Cn = 0; k k · Cn = n · 2 n -1

k n

n

n

5) 6)

k (2k + 1) · Cn = (n + 1) · 2n ; 1 k +1 k · Cn = 1 n+1

k =0 n k =0 n

2)
k =0 n

· (2n ;

+1

- 1);

3)
k =0 n

;

7)
k =0 n k =1

(-1)k k +1 (-1) k

k · Cn =

1 n+1

4)
k =0

k k (k - 1)Cn = n(n - 1)2n-2 ; 8)

k-1

1 k · Cn = 1 + 1 + . . . + n . 2

2.22. 1. , n 1 k 0 1 2 2 Cn k = Cnk+1 = · 2n . 2
k k

29


2. , n 1 k 0 C
k 3k n

=

1 n · 2n + 2 cos . 3 3

2.23. 1. , , n 1 r < n , 2
r k Cn k =0

n-r r · Cn . n - 2r

2. , , n 1 r > n , 2
n k Cn k =r

r r · Cn . 2r - n

2.24. n, 1n 1 + n , nn Ck k · (n - k )n
k n -k

n 1, 0 k n (, 00 = 1). 2.25. , n 1 r < n , 2
r

k =0

nn Cr . r · (n - r)n-r
k n

2.26. k1 , . . . , km , n k1 + . . . + km = n, Cn (k1 , . . . , km ) = k1 !·...!·km ! . 1. , Cn (k1 , . . . , km ) = C
k1 n

·C

k2 n-k1

· ... · C

km n-k1 -...-k

m-1

.

k 2. , Cn Cn (k1 , k2 ) k2 = n - k1 .

30


3. m , (x1 + . . . + xm )n =
k1 , . . . , km 0 : k1 + . . . + km = n

Cn (k1 , . . . , km ) · xk1 · . . . · xkm . m 1

4. , . 3, Cn (k1 , . . . , km ) = k n .
k1 , . . . , km 0 : k1 + . . . + km = n

31


3
3.1




3.1. h 1. h- ( h-) A Ah . : R(h) Ah ­ R ­ h- A. (a1 , . . . , ah ) R(h) , , a1 , . . . , ah A R, R ( ) a1 , . . . , ah , R(a1 , . . . , ah ). (a1 , . . . , ah ) R(h) , , a1 , . . . , ah / A R, R ( ) a1 , . . . , ah , R(a1 , . . . , ah ). h = 1 ­ h- , . A , . h = 2 ­ h- . A , . , , . : R ­ h- A. 3.2. R(2) A2 - , (x, x) x, 8 x A R(x, x); - , (x, x) x, x A R(x, x); - , (x, y ) (y , x), x, y A R(x, y ) R(y , x); - , (x, y ) (y , x) x y , x, y A R(x, y ) R(y , x) x = y ;
8 9

9

­ ­ " , " . " " ­ ­ " . "

32


- , (x, y ) (y , z ) (x, z ), x, y , z A R(x, y ) R(y , z ) R(x, z ). 3.3. n- h- R(h) Ah ( n 2 ­ ) h- An , h- An , R. : (Rn )(h) = {((a1 , . . . , a1 ), . . . , (ah , . . . , ah )) | R(a1 , . . . , ah ), i = 1, . . . , n} n 1 n 1 i i nh (h) (A ) ­ n- R , h- An . 3.2

3.1. A ­ . . 1. A 1) ; 3) ; 2) ; 4) ? 2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

3.2. : 1) 2) 3) 4) " ; " , ; , ; , .

3.3. : 1) 2) 3) 4) ; ; , ; .
33


3.4. ; ; ; ; ? 1. A ­ - , R(2) A2 ­ A, R ­ , 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 2. A ­ , R(2) A2 ­ A, R ­ , 1) 2) 3) 4) ; , ; ; ­ , ­ .

3.5. R A n- ­ Rn An : 1) A = {0, 1}, R(2) A2 R(2) = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)}. 2) A ­ , R ­ A, , , . , . 3.6. , R A , , . 3.7. A ­ k . 1) A; 2) A.

34


3.3



3.4. R(2) A2 ( A), , . 3.1. R ­ A, n- Rn ­ An , n 2. 3.5. R, a, A, R a. : [a]R = {b A | R(a, b)} ­ R, a A. 3.2. 1. , . 2. . 3.2.1. , , . 3.6. - A R . : A/R = {[a]R | a A} ­ - A R. , " . " ­ A. x y x y" . "

35


3.4



3.8. A ­ . R A ? " , - " . 1) R ­ , ; 2) R ­ , ; 3) R ­ ; 4) R ­ . 3.9. A ­ . R A ? " , " - . 1) R ­ ; 2) R ­ . 3.10. A ­ . R A ? " , - " . 1) R ­ ; 2) R ­ , , . 3.11. 1) 2) 3) 4) ; ; ; ?

3.12. A ­ . R A ? " , - " . 1) R ­ ; 2) R ­ ?
36


3.13. R A ? " , - " . 1) A ­ , R ­ , ; 2) A ­ , R ­ , m, m 1 ­ . 3.14. A = {1, 2, 3, 4, 5} ­ . R A2 ? " , " - . 1) R = {((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) (A2 )2 | x1 = x2 , y1 = y2 }; 2) R = {((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) (A2 )2 | x1 + y1 = x2 + y2 }; 3) R = {((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) (A2 )2 | x1 + y1 = x2 + y2 }; 4) R = {((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) (A2 )2 | |y1 - x1 | = |y2 - x2 |}. 3.15. R ­ A. , 1) R A; 2) A - R; 3) A, R; 4) R , A ? 3.5

3.7. R(2) A2 ( A), , . : (A; R) ­ A R. 3.8. A R .
37


3.3. R ­ A, n- Rn ­ An , n 2. 3.9. x y (A; R) , R(x, y ), R(y , x). x y A , . 3.10. R(2) A2 , A . 3.11. A R . , " " . : (A; ) ­ A . x y x y " " . x < y x () " y" , , x y x y . x y x " y" , , x < y z , x < z < y . x y , , y x " . x < y x y () " " . " " 3.12. a , x A, x < a. , , . . 3.13. a , x A a x.
38


, . , . , . . 3.14. 10 (A; ) , , 1) x A px , ; 2) x y A , x y , px py . 3.15. C (A; ) , . , . . 3.16. , . - 1. 3.1. - , . - 0. 3.17. . 3.18. D (A; ) , .
10

(Hasse) ­ XX .

39


3.19. - , . 1. 3.20. . 3.4 (11 ). , . 3.6

3.16. A ­ . R A ? " , ? " 1) R ­ , ; 2) R ­ , . 3.17. A ­ . R A ? " , " ? 1) R ­ , ; 2) R ­ . 3.18. 1) 2) 3) 4) ; ; ; ?

3.19. A ­ . R A ? " , ? "
11

(Dilworth) ­ XX .

40


1) R ­ , ; 2) R ­ , . 3.20. R A ? " , ? " 1) A ­ , R ­ , ; 2) A ­ , R ­ , m, m 1 ­ . 3.21. A = {1, 2, 3} ­ . R A2 ? " , ? " 1) R = {((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) (A2 )2 | x1 x2 , y1 y2 }; 2) R = {((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) (A2 )2 | x1 + y1 x2 + y2 }; 3) R = {((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) (A2 )2 | (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) x1 + y1 < x2 + y2 }; 4) R = {((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) (A2 )2 | (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) |y1 - x1 | < |y2 - x2 |}. , , , ( ) . 3.22. A ­ . , P (A) . . 3.23. 1. , () , . 2. , () , () .

41


3.24. , R(2) A2 ­ A, R = R {(x, x) | x A} A. 3.25. R(2) , R , R 3.7 A2 ­ A. A, = {(x, x) | x A}.

3.21. 12 B = {0, 1}. B : 0 < 1. 3.22. n- ( n 1 ­ ) B n n . : B n = {(a1 , . . . , an ) | ai B , i = 1, . . . , n} ­ n- . (B n ; ) ­ n- B n ­ . = (a1 , . . . , an ), = (b1 , . . . , bn ) B n , , ai bi i = 1, . . . , n. (B n ; ) : (0, . . . , 0) B n , : (1, . . . , 1) B n . 3.23. B n n- . 3.24. = (a1 , . . . , an ) B n . : n || = ai ­ B n .
i=1
12

(Boole) ­ XIX .

42


3.25. k - B n (0 k n) k . : n Bk = { B n | || = k } ­ k - B n .
k 3.5. k - (0 k n) B n Cn , k n |Bk | = Cn .

3.26. = (a1 , . . . , an ) B n , a1 a2 . . . an . : n () = ai · 2
i=1 n -i

­ B n .

3.27. ( 13 ) = (a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ) B n , . : n d(, ) = |ai - bi | ­ B n .
i=1

3.28. ( i- ) , (i-) . , B n ­ , d(, ) = 1. . , B n ­ , . 3.29. , . , B n ­ , d(, ) = n. 3.6. B n (n + 1). 3.7. B n C
n
n 2

.

3.8. B n 1) n B n ; n 2 2) n B n-1 B n+1 . n n
2 13 2

(Hamming) ­ XX .

43


3.8

1) = (110) B 3 ; 2) = (111) B 3 ;
3 1) B0 ; 3 2) B2 ; 4 3) B2 ; 5 4) B4 .

3.26. 1. B n : 3) = (0101) B 4 ; 4) = (10111) B 5 .

2. ,

3.27. 1. B n : 1) = (010) B 3 ; 2) = (111) B 3 ; 1) B 3 , () = 5; 2) B 4 , () = 5; 3) = (1001) B 4 ; 4) = (10110) B 5 . 3) B 4 , () = 12; 4) B 5 , () = 21.

2. B n ():

3.28. 1. B n : 1) = (000) B 3 ; 2) = (010) B 3 ; 3) = (1110) B 4 ; 4) = (00110) B 5 .

2. , d B n : 1) = (100) B 3 , d = 1; 2) = (111) B 3 , d = 2; 3) = (0101) B 4 , d = 2; 4) = (10011) B 5 , d = 5.

3.29. 1. B n , B n . 2. B n , B n d, 0 d n. 3.30. 1. , B n n! 2. , B n , n Bk , k ! · (n - k )! n 3. , B n , Cn 2 . 4. , .. 1-2 3.4, B n n , Cn 2 .
44


3.31. , B n 1) n ­ B n ; n 2 2) n ­ B n-1 B n+1 . n n
2 2

3.32. 1) B 1 ; 2) B 2 ; 3) B 3 ; 4) B 4 .

3.33. B n . . B 1 C1 = {(0), (1)}. . B n . B n+1 . C ­ B n = (a1 , . . . , an ) ­ . C C B n+1 : C = { B
n+1

| = (0, b1 , . . . , bn ), (b1 , . . . , bn ) C = (1, a1 , . . . , an )};

C = { B n+1 | = (1, b1 , . . . , bn ), (b1 , . . . , bn ) C } \ \ {(1, a1 , . . . , an )}. B n 14 . 1. 1) B 1 ; 2) B 2 ; 3) B 3 ; 4) B 4 .

2. n, B n n 1) Cn 2 ; p p 2) n - 2 · p + 1 Cn - Cn-1 , p = 0, 1, . . . , n ; 2 3) n - 2 · p + 1, p = 0, 1, . . . , n , 2 (n - p) p p (n - p) ; 4)
14

(Hansel) ­ XX .

45


1 = (a1 , . . . , a 2 = (a1 , . . . , a 3 = (a1 , . . . , a = (a1 , . . . , a

i-1 i-1 i-1

, 0, ai+1 , . . . , a , 0, ai+1 , . . . , a , 1, ai+1 , . . . , a

j -1 j -1 j -1

, 0, aj +1 , . . . , an ), , 1, aj +1 , . . . , an ), , 1, aj +1 , . . . , an ),
n 2

n - 2 · p + 1, p = 0, 1, . . . ,
i-1

,

, 1, ai+1 , . . . , a

j -1

, 0, aj +1 , . . . , an )

n - 2 · p - 1. 3.34. I = {i1 , . . . , ir } {1, . . . , n}, 0 r n. I . B n I = {i1 , . . . , ir } , i1 , . . . , ir 1 , . . . , r B , ­ . , ­ I = {i1 , . . . , ir }, = { = (a1 , . . . , an ) B n | ai1 = 1 , . . . , air = r } 1 , . . . , r B . (n - r) . 1. , (n - r) B n-r . 2. , 1) I B n ; 2) I B n . 3. B n 1) I = {i1 , . . . , ir }, 0 r n; 2) (n - r), 0 r n. 4. B n . 3.35. (n, r) ­ B n (n - r) (. 3.34). , (n, r) - - n r < 2n3 1 r > 2n3 1 . 3.36. , B n (. 3.34) . .

46


4
4.1




4.1. n xn , , {xn }. xn {xn }. : {xn } ­ {xn }. xn ­ , , , , , , , . 4.2. {xn } , xn = f (n), f (n) ­ . 4.3. {xn } , ( k ), xn = f (x f (xn-1 , . . . , x
n-k n-1

,...,x

n -k

),

) ­ , k 1.

{xn } k k x1 , . . . , xk , , x
k +1

= f (xk , . . . , x1 ), xk

+2

= f (x

k +1

, . . . , x2 ), . . .

4.4. ­ , , , n (). , ­ .
47


4.5. x n + p1 x
n-1

+ . . . + pk x

n -k

= 0,

p1 , . . . , pk ­ , k 1. 4.6. x n + p1 x
n-1

+ . . . + pk x

n -k

=0

P (x) = xk + p1 xk
-1

+ ... + p

k -1

x + pk .

4.1. 1 , . . . , s ­ r1 , . . . , rs , r1 + . . . + rs = k .
s

xn =
i=1

(C

i,0

+ Ci,1 n + . . . + C

i,ri -1

nri -1 ) · n , i

Ci,0 , Ci,1 , . . . , C

i,ri -1

­ () , i = 1, . . . , s.

4.7. , - . , - . 4.8. xn + p1 xn
-1

+ . . . + pk x

n-k

= f (n),

p1 , . . . , pk ­ , k 1, f (n) ­ , 0. ( f (n)) 0, .
48


4.2. - . 4.3. xn + p1 x
n-1

+ . . . + pk x

n -k

= (d0 + d1 n + . . . + dm nm ) · n ,

p1 , . . . , pk , d0 , d1 , . . . , dm , ­ , = 0, k 1, 1) xn = (c0 + c1 n + . . . + cm nm ) · n , c0 , c1 , . . . , cm ­ , ; 2) xn = nr · (c0 + c1 n + . . . + cm nm ) · n , c0 , c1 , . . . , cm ­ , ­ r . 4.1. , 4.3, . 4.1. xn - 2x
n -1

- 15x

n-2

= 0, x1 = -1, x2 = 43.

. : P (x) = x2 - 2x - 15. P (x) = x2 - 2x - 15 = 0. x = -3 x = 5 ­ . , : xn = C1 · (-3)n + C2 · 5n , C1 C2 ­ . x1 x2 . C1 C2 : -3C1 + 5C2 = -1, 9C1 + 25C2 = 43. , C1 = 2, C2 = 1. xn = 2 · (-3)n + 5n . : 2 · (-3)n + 5n .
49


4.2. xn - 4x
n-1

+ 4xn

-2

= 2n - 9, x1 = 9, x2 = 31.

. xn - 4xn-1 + 4xn-2 = 0. : P (x) = x2 -4x+4. P (x) = x2 -4x+4 = 0. x = 2 ­ 2. : (C1 + C2 n) · 2n , C1 C2 ­ . . c0 + c1 n, c0 c1 ­ , 1 P (x). (c0 + c1 n) - 4(c0 + c1 (n - 1)) + 4(c0 + c1 (n - 2)) = (c0 - 41 ) + c1 n = -9 + 2n. n, : c0 = -1, c1 = 2. , : xn = (C1 + C2 n) · 2n + (2n - 1), C1 C2 ­ . x1 x2 . C1 C2 : 2C1 + 2C2 + 1 = 9, 4C1 + 8C2 + 3 = 31, C1 + C2 = 4, C1 + 2C2 = 7.

, C1 = 1, C2 = 3. xn = (1 + 3n) · 2n + (2n - 1). : (1 + 3n) · 2n + (2n - 1).

50


4.2



4.1. : 1) 2) 3) 4) x x x x
n n n n

- - + +

2xn-1 = 0; 2xn-1 + xn-2 = 0; 3xn-1 + 2xn-2 = 0; xn-1 + 12xn-2 = 0;

5) 6) 7) 8)

x x x x

n n n n

- - - -

8xn-3 = 0; x 1 - 2xn-2 + 2xn-3 0 ; = n- 3 3xn-1 + 9xn-2 - 3 3xn-3 = 0; 6xn-1 + 11xn-2 - 6xn-3 = 0.

4.2. : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) x x x x x x x x
n n n n n n n n

- + - - - - - -

3xn- x n -1 4xn- 5xn- xn-1 3xn- 3xn- xn-3

= 0, x1 = 15; - 2xn-2 = 0, x1 = 0, x2 = 3; 1 + 4xn-2 = 0, x1 = 8, x2 = 28; 1 + 6xn-2 = 0, x1 = 2, x2 = 5; 1 - 2xn-2 + 2xn-3 = 0, x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 2; 1 + 3xn-2 + xn-3 = 0, x1 = 1, x2 = 3, x3 = 7; 1 + 4xn-3 = 0, x1 = 5, x2 = 21, x3 = 55; = 0, x1 = 0, x2 = 0, x3 = 2.
1

4.3. : 1) 2) 3) 4) x x x x
n n n n

- - + -

xn-1 = 3; 5xn-1 = 6; 3xn-1 = 3n - 4; 5xn-1 + 6xn-2 = 3 · 2

n-1

5) 6) 7) ; 8)

xn xn xn xn

- - - -

xn-1 3xn- 7xn- x n -1

- 6xn-2 = (2n + 5) · 3n ; n 1 + 3xn-2 - xn-3 = 3 · 2 ; n -1 ; 1 + 15xn-2 - 9xn-3 = 3 - 3xn-2 + 3xn-3 = -10.

4.4. : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) x x x x x x x x
n n n n n n n n

- - - - - - - -

3xn- xn-1 2xn- xn-1 2xn- 6xn- 2xn- xn-3

= 2 · 3n , x1 = 9; = 2n - 2, x1 = 1; n+2 , x1 = 0, x2 = 6; 2 = ( 2) - 12xn-2 = 7 · 4n-1 , x1 = -2, x2 = 50; n -2 , x1 = 5, x2 = 9; 1 + xn-2 = (n - 2) · 2 1 + 12xn-2 - 8xn-3 = 1, x1 = -3, x2 = -5, x3 = 7; 1 - 5xn-2 + 6xn-3 = -4(3n + 8), x1 = 2, x2 = 10, x3 = 15; 1 = n2 - 3n + 1, x1 = 9 , x2 = 8 , x3 = 5. 9
1

51


4.5. 15 {fn }, : f1 = f2 = 1, fn = fn-1 + f n -2 . 4.6. , . , a1 d. 4.7. , . , b1 q . 4.8. 1. , : 1) xn = n; 2) xn = n2 ; 3) xn = n3 ; 4) xn = n4 .

. 2. , xn = nk , k 1 ­ , . .

15

, (Fibonacci) ­ XII-XIII .

52


5



1.2 1.4 1) x A, x B , x C ; 2) x A, B , x C ; 3) x A, / / / / x B , x C ; 4) x A, C x B , x C ; 5) x A, B , C ; / / / 6) x A, B x A, C ; 7) x A, B x C ; 8) x A, x C / / / x B, x C . / 1.6 1) B A; 2) A B ; 3) A B = ; 4) , B A; 5) , B A; 6) , A = ; 7) , B = C ; 8) , B = C . 1.7 1) A C ; 2) A D; 3) D B ; 4) A C D; 5) D (A B )); 6) B A C ; 7) C (A D); 8) B A D C . 1.9 4. 1) ; 2) ; 3) ; 4) y = 0 y = 1, . 1.11 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1.4 1.12 332 .
9

1.13 2 ·
k =1

k 2 + 102 = 670. 2 2 , n ­ , 2 · 2
n n-1 2

1.14 5. 1.15 1) 2n ; 2) 2n-1 ; 3) 2n-2 ; 4) 2n-2 ; 5) n ­ ; 6) 2n-1 ; 7) 2n-1 ; 8) 2n - 2. 1.16 1) 3k ; 2) 3k ; 3) 1; 4) 0. 1.17 1) 2k ; 2) 2k ; 3) 5k ; 4) 1; 5) 3k ; 6) 1; 1.18 1) 3k ; 2) 3k . 1.19 1. 1) , , , ; 2) , , , , ; 2. 1) n, n = 0, 1, . . .; 2)n2 , n = n = 0, 1, . . .. 1.21 n - (m1 + 1)(m2 + 1) . . . (mk + 1).

,

7) 3k ; 8) 1. ; 3) , , , ; 4) , , 0, 1, . . .; 3) n, n = 0, 1, . . .; 4) 2n,

1.6 1.24 190. 1.25 1) 3 · 2n-2 n 2; 2) 2n-3 n 3; 3) 13 · 2n-4 ; 4) 9 · 2 5) 5 · 2n-4 ; 6) 3 · 2n-4 ; 7) 7 · 2n-4 ; 8) 3 · 2n-4 ( 3)-8) n 4).
k

n -4

;

1.26 2. 42; 3. 166; 4. 77; 5. 878; 6. 25; 7.
j =1 1i1 <...
(-1)j

-1

n pi1 ·...·p

ij

;

53


k

8. (k - 1)+
j =0 1i1 <...
(-1)j

n pi1 ·...·p

ij

.

1.27 20. 1.28 1) 20; 2) 80; 3) 60; 4) 40. 1.8 1.30 1. 3; 2. 2; 3. 4; 4. 5. 1.31 1) 4; 2) 11; 3) 22; 4) 12. 1.32 2. . 1.37 . 1.38 . 2.2 3 2.2 C35 = 6545. 2.3 A2 = 6. 3 4 ¯4 ¯20 2.4 1) C20 = 4845; 2) C20 = 8855; 3) A4 = 116280; 4) A4 = 160000. 20 4 5 7 2.5 C25 · C25 · C25 . 2.6 1. n!; 2. (n - 1)! 2.7 1) 300 + 3002 + 3003 ; 2) 300 + 300 · 299 + 300 · 299 · 298. - 2.8 1) (n-1)! ; 2) n!(n2 1)! . 2
n

2.11 1. n! ·
k =0

(-1)k k!

n -m k =0

; 2. n! ·

C

k m+k

·

(-1)k k!

.

2.12 19 (. 2.11). 30 1 2.13 3 , 1 , 1 , 0, 24 (. 2.11). 834
n

2.14 1. (n)k ; 2.

(n)k .
k =1

2.15 n + 1. ¯2 ¯5 ¯3 ¯n ¯2 2.16 1. Ck ; 2. 1) C3 = 6; 2) C3 = 10; 3) C4 = 10; 4) C4 = 56. 3.2 3.1 1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.2 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.3 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.4 1. 1) , , ; 2) , ; 3) , ; 4) , , ; 2. 1) ; 2) , ; 3) , , ; 4) . 3.5 1) (a1 , . . . , an ) (b1 , . . . , bn ), a1 b1 , . . . , an bn ; 2) , n , .
54


3.7 1) 2k ; 2) 2k . 3.4 3.8 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.9 1) ; 2) . 3.10 1) ; 2) . 3.11 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.12 1) ; 2) . 3.13 1) ; 2) . 3.14 1) ; 2) ; 3) , ; 4) . 3.15 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.6 3.16 1) , ; 2) , . 3.17 1) , ; 2) . 3.18 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.19 1) , ; 2) . 3.20 1) , ; 2) . 3.21 1) , (1, 1), (3, 3); 2) , ; 3) , (1, 1), (3, 3); 4) , (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1). 3.26 1. 1) 2; 3.27 1. 1) 4; 3.29 1. n; 2. 3.34 3. 1) 2r 3.8 2) 3; 3) 2; 4) 4. 2) 7; 3) 9; 4) 22; 2. 1) (101); 2) (0101); 3) (1100); 4) (10101). d Cn . r ; 2) Cn · 2r ; 4. 3n .

2

4.2 4.1 1) C1 · 2n ; 2) (C1 + C2 n) · 2n ; 3) C1 · (-1)n + C2 · (-2)n ; 4) C1 · (-4)n + C2 · 3n ; 5) C1 · 2n + C2 , n ­ , C1 · 2n - C2 , n ­ ; 6) C1 + C2 · (- 2)n + C3 · ( 2)n ; 7) (C1 + C2 n + C3 n2 ) · ( 3)n ; 8) C1 + C2 · 2n + C3 · 3n . 4.2 1) 5 · 3n ; 2) (-2)n + 1; 3) (3n + 1) · 2n ; 4) 3n-1 + 2n-1 , 5) 2n-2 + 1 + (-1)n ; 6) n2 - n + 1; 7) (2n + 1) · 2n + (-1)n ; 8) 2, n , 0, n . 3 3 4.3 1) C1 + 3n; 2) C1 · 5n - 2 ; 3) C1 · (-3)n + -1 + 4 n ; 4) (C1 - 3n) · 2n + C2 · 3n ; 5) C1 · (-2)n + C2 + 1 n · 3n ; 6) (C1 + C2 n + C3 n2 ) + 24 · 2n ; 3 7) C1 + (C2 + C3 n + 1 n2 ) · 3n ; 8) C1 · (- 3)n + C2 · ( 3)n + C3 + 5n. 4
55


4.4 1) (2n + 1) · 3n ; 2) n2 - n + 1; 3) (- 2)n + n · ( 2)n ; 4) 2 · (-3)n + n · 4n ; 5) (1 + 2n) + n · 2n ; 6) (1 - 3n + n2 ) · 2n - 1; 7) 1 - (-2)n-1 + 3n-1 + n2 ; 1 8) 2 + 9 n3 , n , 1 n3 , n . 9
1+ 5 1 4.5 5 . - 1-2 5 2 4.6 xn - 2xn-1 + xn-2 = 0, x1 = a1 , x2 = a1 + d. 4.7 xn - q xn-1 = 0, x1 = b1 . 4.8 1. 1) xn - 2xn-1 + xn-2 = 0; 2) xn - 3xn-1 + 3xn-2 - xn-3 = 0; 3) xn - 4xn-1 + 6xn-2 - 4xn-3 + xn-4 = 0; 4) xn - 5xn-1 + 10xn-2 - 10xn-3 + k +1 n n

5xn

-4

-x

n -5

= 0; 2. xn -
j =1

(-1)j -1 C

j k +1 xn-j

= 0.

56


6



1. .., .., .. . 1. . ­ .: , 1995, 172 . 2. .., .. . ­ .: , 2004, 416 . 3. .., . . 1. . ­ .: , 2002, 128 . 4. .., .. , . ­ .: , 1984, 223 . 5. .., .. . ­ .: , , 1997, 219 . 6. .. . ­ ., ., : , 2006, 96 . 7. .. . ­ .: , 2001, 384 .

57



1 1.1 . . . . . . . . 1.2 . . . . . . . . . . . 1.3 . 1.4 . . . . . . . . . . . 1.5 - 1.6 . . . . . . . . . . . 1.7 . . . . . . . . 1.8 . . . . . . . . . . . 2 2.1 2.2 . . . . . . . 2.3 2.4 . . . . . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ... .. ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 8 11 14 17 17 20 20 23 23 25 28 29 32 32 33 35 36 37 40 42 44

... ... ...

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 3.1 . . . . . . . 3.2 . . . . . . . . . . 3.3 . 3.4 . . . . . . . . . . 3.5 3.6 . . . . . . . . . . 3.7 . . . . . . . . . . . . 3.8 . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

4 47 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5 6 53 57

58


: e-mail: selezn@cs.msu.su .. N 05899 24.09.01 . 119992, -2, , , .. , 2-

59