Студенческий форум Физфака МГУ > Парадокс Белла и преобразования Лоренца-Фока

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: Парадокс Белла и преобразования Лоренца-Фока

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Проверка теорий на прочность

Страницы: 1, 2, 3

Котофеич

4.2.2008, 14:19

Цитата(Котофеич @ 5.1.2008, 8:56)

3. Динамика точечной частицы в пространстве Фока.

Для построения лагранжиана точечной частицы в пространстве Фока, мы будем использовать следующий инвариант:

$3.1. \Delta s^{2}_{F}=[c^{2} \Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}]/(1-c R^{-1} \Delta t)^{2}=inv$

Как обычно предполагаем, что движение точечной массивной частицы, описывается 4-вектором

$3.2.x_ {\mu} (\tau) , \mu= 0,1,2,3$ где параметр $\tau$ не обязательно интерпретируется как "время".
Инвариант $(3.1)$ перепишем в следующем виде

$3.3. \Delta s^{2}_{F}(\tau)=[c^{2} \Delta x_{0} ^{2}(\tau)-\Delta x_{1}^{2}(\tau)-\Delta x_{2}^{2}(\tau)-\Delta x_{3}^{2}(\tau)^{2}]/(1-c R^{-1} \Delta x_{0}(\tau))^{2}=inv$

Пусть $\tau_{P} -$ некоторый достаточно малый временной масштаб, физический смысл которого, будет ясен из дальнейших построений.
Конечные разности в $(3.3)$ вычислим на решетке с шагом $\tau_{P}:$

$\Delta x_{\mu}(\tau) =x_{\mu}(\tau+\tau_{P})- x_{\mu}(\tau), \mu= 0,1,2,3$

Разлагая функцию $x_{\mu}(\tau)$ в ряд Тейлора, в малой окрестности точки $\tau$ имеем:

$3.4.x_{\mu}(\tau+\tau_{P})- x_{\mu}(\tau) = \tau_{P} [ dx_{\mu} (\tau) /d\tau ] +O(\tau_{P}^{2}), \mu= 0,1,2,3$

Подстановка равенств $(3.4)$ в $(3.3)$ дает:

$3.5. \Delta s^{2}_{F}(\tau)=[c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)]\tau_{P}^{2}/(1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau))^{2}+O(\tau_{P}^{2}),$ где

$v_{\mu}(\tau)=dx_{\mu} (\tau)/d\tau, \mu= 0,1,2,3$

В силу $(3.5)$ для действия свободной частицы $S,$ мы имеем

$3.6.S \approx-mc\int ds_{F}(\tau) = \int \sqrt {[c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)]}d\tau /(1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau))$

Таким образом лагранжиан точечной частицы имеет следующий вид:

$3.7. \mathfrak{L} _{F} =-mc^{2}\sqrt{ c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)} /(1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau))$

4-импульс частицы $p_{\mu}, \mu =0,1,2,3$ определяется каноническим способом:

$3.8. p _{\mu}= \mathfrak{d} \mathfrak{L} _{F}/ \mathfrak{d}v_{\mu},\mu =0,1,2,3$

Для особо тупых типа дровосека и неуча перегудова, специально подчеркиваю, что пеобразования фока, применяются к отрезкам, а не к точкам, поскольку эти преобразования нелинейны
http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=378612

Предупреждение:
Личные выпады, балл штрафа.

Котофеич

13.2.2008, 5:43

Нажмите для просмотра прикрепленного файла
формула Эйлера-Маклорена

Для приближенного преобразования конечной инвариантной суммы

$3.9. \Sigma _{i=1}^{i=N}\Delta s_{F} (\tau_{i}) = \Sigma_{i=1}^{i=N}\left[\frac{\sqrt{c^{2} \Delta x_{0} ^{2}(\tau_{i})-\Delta x_{1}^{2}( \tau_{i} )-\Delta x_{2}^{2}(\tau_{i})-\Delta x_{3}^{2}(\tau_{i})^{2}}}{1-c R^{-1} \Delta x_{0}(\tau_{i})}\right] =inv$

$\tau_{i+1}- \tau_{i} =\tau_{p}, \tau_{p}<<1$

$\tau_{0}=a, \tau_{N}=b,$

в интеграл:

$3.10.\Sigma_{i=1}^{i=N}\Delta s_{F} (\tau_{i})\approx \int _{a}^{b} ds_{F}(\tau) = \int_{a}^{b}\frac{ \sqrt {c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)}d\tau }{1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau)} +O(\tau_{p})$

$\frac {|b-a|}{N}=\tau_{p}$

используется самая обычная формула Эйлера-Маклорена, так что в первом приближении лагранжиан свободной частицы имеет следующий вид

$3.7. \mathfrak{L} _{F}\approx-mc^{2}\frac{\sqrt{ c^{2} v_{0}^{2}(\tau)-v_{1}^{2}(\tau)-v_{2}^{2}(\tau)-v_{3}^{2}(\tau)}}{1-c R^{-1}\tau_{P}v_{0}(\tau)}$

Котофеич

13.2.2008, 17:50

4-вектор скорости точечной частицы $u_{i},i=0,1,2,3,$ мы определим как предел

$3.9.u_{i}=Lim_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta x_{i}} { \Delta s_{F}}$

В силу равенства (3.1) мы имеем

$3.10.\Delta s_{F}=\sqrt{c^{2} \Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}} / (1-c R^{-1} \Delta t)$

Таким образом

$3.11.\frac {\Delta x_{i}}{ \Delta s_{F}}=\frac {\Delta x_{i} (1-c R^{-1} \Delta t ) }{\sqrt{c^{2} \Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}}}$

Или что эквивалентно

$3.12.\frac {\Delta x_{i}}{ \Delta s_{F}}=\frac {\frac{\Delta x_{i}}{\Delta t} (1-c R^{-1} \Delta t) }{c\sqrt{1-(\frac {\Delta x^{2}}{c^{2}\Delta t^{2}})- (\frac {\Delta y^{2}} {c^{2}\Delta t^{2}})- (\frac {\Delta z^{2}}{c^{2} \Delta t^{2}})}}$

Переходя к пределу получаем

$3.13. u_{0}=\frac {1}{\sqrt{1- v_{1}^{2} -v_{2}^{2}-v_{3}^{2}}}$

$3.14. u_{j}=\frac {v_{j}}{c\sqrt{1- v_{1}^{2} -v_{2}^{2}-v_{3}^{2}}};j=1,2,3$

Котофеич

16.2.2008, 4:43

Покажем, что действие точечной частицы в пространстве Фока, совпадает с действием точечной частицы в пространстве Минковского. Для этого перейдем к пределу $N\to \infty$ , [что эквивалентно
$\tau_{i+1}- \tau_{i} =\tau_{p}\to 0$

$\tau_{0}=a, \tau_{N}=b ]$

в выражении (3.9)

$Lim_{N\to \infty } \Sigma _{i=1}^{i=N}\Delta s_{F} (\tau_{i}) = Lim_{N\to \infty } \Sigma_{i=1}^{i=N} \left[ \frac{\sqrt{c^{2} \Delta x_{0} ^{2}(\tau_{i})-\Delta x_{1}^{2}( \tau_{i} )-\Delta x_{2}^{2}(\tau _{i} )-\Delta x_{3}^{2}(\tau_{i})^{2}}}{1-c R^{-1} \Delta x_{0}(\tau_{i})} \right]=$

$= Lim_{N\to \infty } \tau_{P} \Sigma_{i=1}^{i=N}\left[\frac{ \sqrt {c^{2} v_{0} ^{2}(\tau_{i})- v_{1}^{2}(\tau_{i}) -v_{2}^{2}(\tau_{i})- v_{3}^{2}(\tau_{i})}}{1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau_{i})}\right]=$

$=\int_{a}^{b} \sqrt {c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)}d\tau }$

Котофеич

16.2.2008, 5:26

Намедни один дилетант, задал вопрос, откуда берется свободный параметр $\tau_{p}$ и что оно такое???

http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=362679

Простейшим неточечным релятивистским объектом, являеся т.н. релятивистская струна, которая движется в пространстве Минковского $(D=4).$ Для релятивистской точечной частицы, действие пропорционально длине траектории. Для струны действие пропорционально площади некоторой поверхности, которая определена следующим образом.
Пусть точки вдоль струны, параметризуются переменной $\sigma$ и пусть вектор
$X_ {\nu} ( \sigma,\tau ); {\nu}=1,2,3,4$ задает пространственно-временные координаты струны, параметризованные двумя переменными $\sigma,\tau$ , вторая из которых обозначает время. В процессе движения, струна заметает двумерную поверхность $\Sigma( \sigma,\tau)$ в пространстве Минковского. Эта поверхность называется мировым листом струны. Поверхность $\Sigma$ параметризуется с помощью переменных $\sigma,\tau$ . Касательные векторы к этой поверхности, задаются производными от координаты:

$\frac{\partial X_ {\nu}}{\partial \tau},$ $\frac{\partial X_ {\nu}}{\partial \sigma}$

Свертка двух касательных векторов задает метрический тензор поверхности $\Sigma( \sigma,\tau)$

$g_{ab}= \partial_{a} X_ {\nu} \partial_{b} X^{\nu}$

Для стандартной релятивистской струны действие пропорционально площади поверхности, заметаемой струной в процессе движения.

Ушла на перекур.

morozov

11.8.2010, 8:08

Цитата(peregoudov @ 13.12.2007, 23:34)

Вычислим, чему равна скорость ракеты B в штрихованной ИСО в момент времени $t'=0$ (то есть в тот момент времени, когда скорость ракеты A в штрихованной ИСО равна нулю). Законы движения ракет в ИСО Земли (нештрихованной) имеют вид
$x_A^2-t^2=1,\quad (x_B-1)^2-t^2=1$
Чтобы пересчитать это в штрихованную ИСО, движущуюся относительно Земли со скоростью $v$ , воспользуемся преобразованиями Лоренца

однако это не имеет отношения к СТО. Правильно
$x_A^2-t_1^2=1,\quad (x_B-1)^2-t_2^2=1$

Марсианин

11.8.2010, 11:43

Теме, между прочим, два года. Полагаю, ее обсуждение следует считать закрытым.

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.