Задачки по действительному анализу - Public forum of MSU united student networks

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.snto-msu.net/showflat.php?Number=7586106&src=arc&showlite=
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Wed Apr 13 11:51:58 2016
Кодировка: Windows-1251

Задачки по действительному анализу - Public forum of MSU united student networks

Root \| Google \| Yandex \| Mail.ru \| Kommersant \| Afisha \| LAN Support

Список форумов | Поиск | Новый пользователь | Вход | Кто в онлайне | FAQ | Пользователи

General Discussion >> Study (Archive)

Страницы: 1

Sheldon Cooper

Рег.: 06.09.2004

Сообщений: 16228

Рейтинг: 2138

Задачки по действительному анализу
04.06.2008 21:43

2

Подскажите, как решать, а то забылось уже все

$[math]1. $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ --- измеримые функции из $(\mathbb{R},\mathcal{L})$ в $(\mathbb{R},\mathcal{B})$, $h$ --- борелевская функция из $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)$ в $(\mathbb{R},\mathcal{B})$. Доказать, что $h(f_1,\ldots,f_n)(x)$ --- измеримая функция из $(\mathbb{R},\mathcal{L})$ в $(\mathbb{R},\mathcal{B})$. ($\mathcal{B}$ --- борелевские множества, $\mathcal{L}$ --- измеримые по Лебегу).[/math]$

$[math]2. Мера $\mu$ определена на кольце $S$ с единицей $X$. Доказать, что подмножество $A\subset X$ измерима тогда и только тогда, когда $\mu^*(A)+\mu^*(X\backslash A)=\mu(X)$ (где $\mu^*$ --- внешняя мера множества).[/math]$

Münchhausen's Trilemma. Either the reason is predicated on a series of sub-reasons leading to an infinite regression, or it tracks back to arbitrary axiomatic statements, or it's ultimately circular, i.e. I'm moving out because I'm moving out.

Don't Quixote

Рег.: 20.11.2004

Сообщений: 28501

Рейтинг: 9798

Re: Задачки по действительному анализу [re: Robin]
05.06.2008 17:30

2

1. Надо доказать - для любого борелевского B множество:
$[math]$$C=\{x:h(f_1(x),f_2(x),..,f_n(x)) \in B\}=\{x:(f_1(x),f_2(x),..,f_n(x)) \in h^{-1}(B)\}$$ [/math]$ измеримо. Достаточно проверить это для $[math]$B=(-\infty,x)$[/math]$ , т.к. если прообраз сигма-алгебры - сигма-алгебра и прообраз порождающих элементов сигма-алгебры есть ее порождающие элементы прообраза. Но для него такого B $[math]$h^{-1}(B)$[/math]$ открытое, как прообраз открытого при непрерывном. Значит достаточно доказать, что $[math]$C_1=\{x:(f_1(x),f_2(x),..,f_n(x)) \in A\} $[/math]$ измеримо, где А - n-мерное борелевское множество. Аналогично можно смотреть только A, являющиеся произведениями открытых лучей. $[math]$$C_2=\{x:(f_1(x),f_2(x),..,f_n(x)) \in (-\infty,x_1)*(-\infty,x_2)*...*(-\infty,x_n)\}=\bigcap\limits_{i=1}^{n} \{x:f_i(x) \in (-\infty,x_i)\} $$[/math]$
Но последние множества измеримы по определению измеримой функции, значит и их пересечения измеримы

How much wood would woodchuck chuck, if a woodchuck could chuck wood

remember

Рег.: 28.12.2004

Сообщений: 7905

Рейтинг: 6784

Re: Задачки по действительному анализу [re: FrauSoboleva]
05.06.2008 17:42

В ответ на:

открытое, как прообраз открытого при непрерывном

вот это непонятно откуда. Но вроде это ни на что не влияет.

cardinal direction

Рег.: 25.11.2006

Сообщений: 6582

Рейтинг: 9253

Re: Задачки по действительному анализу [re: Dan_Te]
05.06.2008 17:45

Вроде как определение непрерывности

Don't Quixote

Рег.: 20.11.2004

Сообщений: 28501

Рейтинг: 9798

Re: Задачки по действительному анализу [re: Robin]
05.06.2008 18:57

2

2. Пусть множество измеримо. Допустим, величины слева и справа не равны, значит отличаются не менее чем на эпсилон. Из определения измеримости найдутся элементы кольца B, такие, что $[math]$\mu^{*}(B\Delta A)+\mu^{*}((X/B)\Delta (X/A))<\epsilon/2 $[/math]$ Это противоречит тому, что $[math]$\mu^{*}(B)=\mu(B)$, $\mu^{*}(X/B)=\mu(X/B)$, $\mu(X/B)+\mu(B)$[/math]$
Обратно можно доказать так - пусть неизмеримо, тогда найдется эпсилон, что для любого измеримого внешняя мера разности его и А не меньше эпсилон и то же самое можно сказать про X/A, т.к. оно тоже неизмеримо.
Возьмем тогда множество, являющееся не более чем счетным объединением элементов кольца Bn и покрывающее A, дополнение до него будет измеримо и обладать мерой $[math]$\mu(X)-\sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu(B_n)$[/math]$ и будет содержаться в X/A
Тогда мера любого измеримого множества, покрывающего X/A будет не меньше чем $[math]$\mu(X)-\sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu(B_n)+\epsilon$[/math]$ по предположению. Из всего этого мы получаем противоречие с тем, что сумма внешних мер A и X/A равна mu(X)
P.S. Принимал тут экзамен у 205 группы, видел твою подпись в зачетке

)

Редактировал FrauSoboleva (05.06.2008 19:09)

How much wood would woodchuck chuck, if a woodchuck could chuck wood

remember

Рег.: 28.12.2004

Сообщений: 7905

Рейтинг: 6784

Re: Задачки по действительному анализу [re: Noord]
05.06.2008 18:58

2

Я понимаю. Но в условии не сказано, что h - непрерывная, она только борелевская. Если я ничего не путаю, это означает, что прообраз любого борелевского множества будет борелевским.

Don't Quixote

Рег.: 20.11.2004

Сообщений: 28501

Рейтинг: 9798

Re: Задачки по действительному анализу [re: Dan_Te]
05.06.2008 19:08

2

Ой, да, не заметил. Ну тогда вообще по определению борелевской прообраз любой борелевской борелевский

How much wood would woodchuck chuck, if a woodchuck could chuck wood

Sheldon Cooper

Рег.: 06.09.2004

Сообщений: 16228

Рейтинг: 2138

Re: Задачки по действительному анализу [re: FrauSoboleva]
06.06.2008 00:31

1

Спасибо большое, Саш! (И остальным за реплики.)
Вроде все понятно

Может будут мысли по поводу еще одной задачки:

$[math]3. $(X,\mathcal{A},\mu)$ --- измеримое пространство, $A_n\in\mathcal{A}$ ($n=1,2,3,\ldots$) --- бесконечная последовательность измеримых множеств таких, что $\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty$. Доказать, что множество $\limsup\limits_{n\to\infty}A_n$ измеримо и его мера равна 0.[/math]$

Измеримость этого мн-ва, вроде как, следует из того, что
$[math]$$\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n}\bigcap_{k\geqslant n}A_k$$[/math]$
а вот как доказать равенство 0 его меры? По-моему, что-то такое называлось леммой Бореля-Кантелли, но не уверен

Редактировал Robin (06.06.2008 00:43)

Münchhausen's Trilemma. Either the reason is predicated on a series of sub-reasons leading to an infinite regression, or it tracks back to arbitrary axiomatic statements, or it's ultimately circular, i.e. I'm moving out because I'm moving out.

virtual

Рег.: 05.05.2005

Сообщений: 191

Из: Zurich

Рейтинг: 238

Re: Задачки по действительному анализу [re: Robin]
06.06.2008 00:48

2

У тебя в определении \cup и \cap перепутаны местами. Если поставить в правильном порядке, то получится, что мера искомого множества оценивается сверху любым из хвостов сходящегося ряда, поэтому равна 0.

remember

Рег.: 28.12.2004

Сообщений: 7905

Рейтинг: 6784

Re: Задачки по действительному анализу [re: Robin]
06.06.2008 00:51

1

В ответ на:

что-то такое называлось леммой Бореля-Кантелли

именно так

Sheldon Cooper

Рег.: 06.09.2004

Сообщений: 16228

Рейтинг: 2138

Re: Задачки по действительному анализу [re: Skywalker]
06.06.2008 00:56

Точно, \cup и \cap перепутал. Смотрю, что-то не то :grin:

:grin:

Спасибо откликнувшимся. Нашел лемму Бореля-Кантелли в Ширяеве, действительно это утверждение, возьму док-во оттуда

Münchhausen's Trilemma. Either the reason is predicated on a series of sub-reasons leading to an infinite regression, or it tracks back to arbitrary axiomatic statements, or it's ultimately circular, i.e. I'm moving out because I'm moving out.

Страницы: 1

General Discussion >> Study (Archive)

Дополнительная информация
3 зарегистрированных и 2 анонимных пользователей просматривают этот форум. Модераторы: Basilio, The_Nameless_One Печать темы	Права Вы можете создавать новые темы Вы можете отвечать на сообщения HTML отключен UBBCode включен	Рейтинг: Просмотров темы:
		Переход в