Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.philol.msu.ru/~lex/khmelev/proceedings/thpr/thpr1999.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Fri Feb 28 19:11:24 2014
Кодировка: koi8-r
Большие транспортные сети с конечномерным пространством состояний. Асимптотический подход.
KOI WIN LATEX PS PDF

Большие транспортные сети с конечномерным пространством состояний. Асимптотический подход.

Л.Г. Афанасьева, Д.В. Хмелёв

1999

Рассмотрим сеть из N узлов (станций), которые делятся на n районов. При увеличении N количество районов остается неизменным. Количество станций в районе j равно dNj N, Еj = 1n dNj = 1, dNjN - целое число для всякого j и N. Существуют такие dj > 0, что жN(djN-dj)[( N®Ґ) || (® )]0 для j = [`1,n]. Далее j и v обозначают номер района и могут принимать значения от 1 до n. На станцию в j-м районе требования поступают пуассоновским потоком с интенсивностью lj. Если на станции есть обслуживающий прибор, то, в соответствии со стохастической матрицей P = {pjv}j,v = [`1,n], требование вместе с прибором направляется на станцию в v-го района, которая он выбирает равновероятно среди всех станций v-го района. Обслуживание требования состоит в его перемещении с одной станции до другой.

В [1] рассмотрена полностью симметричная сеть. Наша модель является обобщением [1] в сторону асимметрии. Время перемещения от станции j-го района до станции v-го района распределено экспоненциально с параметром mjv. Время движения между станциями внутри j-го района также экспоненциально распределено с параметром mjj. Если на станции нет ни одного прибора и есть места ожидания, то требовование встает в очередь, иначе требование теряется для системы. Все станции v-го района однотипны - на каждой из них может базироваться не более mv автомобилей и на каждой kv мест для пассажиров. Если прибор, который прибыл в v-тый район, не находит свободной стоянки, то он направляется (без требования) в район l в соответствии со стохастической матрицей [P\tilde] = {[p\tilde]vl}v,l = [`1,n]; станция l-го района выбирается равновероятно среди dNlN станций района. Первоначально на всех станциях в j-м районе находится rj автомобилей, где rj - целые числа от 1 до mj. Потребуем, чтобы матрица P[P\tilde] обладала единственной инвариантной мерой p = (p1, ..., pn)T: pTP[P\tilde] = pT, p1+јpn = 1, p Ё 0.

Обозначим через xj,i(t) долю узлов в состоянии i в районе j среди всех N станций, Еi = -kjmjxj,i(t) = dNj; через [M\tilde]jv(t) количество приборов, которые покинули j-тый район и в момент t направляются на станцию в v-м районе. Определим процесс Mjv(t) = [M\tilde]jv(t)/N. Запишем состояние системы как вектор x н Ra длиной a = n2+Еv = 1n (kv+mv+1): x = (M11, M12, ј, M1n, M21, ј, Mnn, x1,-k1, x1,-k1+1, ј, x1,m1, x2,-k2, ј, xn,mn). Для фиксированного N случайный процесс XNt = x(t) является эргодичной цепью Маркова.

Пусть xt(x) - решение следующей системы дифференциальных уравнений с начальным условием x0(x) = x: для j, v = [`1,n]
.
x
 

j,-kj 
=
(lj dj xj,-kj+1 - Mj xj,-kj )/dj,
.
x
 

j,i 
=
(lj dj xj,i+1- (lj dj + Mj )xj,i + Mj xj,i-1)/dj,
(1)
.
x
 

j,mj 
=
(-lj dj xj,mj + Mj xj,mj-1 )/dj,
.
M
 

jv 
=
pjv Ф
Х
lj dj Sj++ Mj Sj- Ж
Ь
-mjvMjv+ dj Mj xj,mj ~
p
 

jv 
,
(2)
где Sj+ є djЕi = 1mj xj,i, Sj- є djЕi = -kj-1xj,i, Mj = Еl = 1n mlj Mlj. Обозначим через ex распределение, сосредоточенное в точке x н Ra.

Теорема 1. Пусть X0N ® ex слабо. Справедливы утверждения

(i) sups ё t |XNs-xs(x)|[ P || (® )] 0 для всех t Ё 0 при N®Ґ.

(ii) Процессы жN(XNt-xt(x)) сходятся по распределению к непрерывному процессу с независимыми приращениями Y с ковариационной функцией [^C](x), где [^C](x) = Р0t [^c](xs(x))ds, а c: Ra®Ra2 - некоторая явная матричная функция.

Полученные результаты позволяют изучать характеристики XNt посредством изучения нелинейной динамической системы xt(x), которая, как показывает имитационное моделирование, является хорошим приближением.

[1] L.G. Afanassieva, G. Fayolle, S.Yu. Popov. Models for transportation networks.


Last modified Fri May 24 19:47:01 BST 2002