Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций

Next: 3 изоморфизм евклидовых пространств Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 1 Линейное (аффинное) -мерное

Subsections

2 Евклидово пространство

1 Определение евклидова пространства.

В предыдущем параграфе линейное (аффинное) пространство было определено как множество элементов (векторов) с заданными в нем операциями умножения на числа и сложения.

С помощью этих операций можно сформулировать, что такое прямая, плоскость, число измерений пространства, что такое параллельные прямые и т.д.

Однако этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие фактов, составляющих содержание так называемой евклидовой геометрии. Например, в одних терминах сложения и умножения на число мы не сможем дать определение длины вектора, угла между векторами, скалярного произведения векторов и т.д. Ввести эти понятия проще всего следующим образом.

Выберем в качестве основного понятие скалярного произведения, которое определим аксиоматически.

В терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения векторов мы сможем развить всю евклидову геометрию.

Определение 2.1 Будем говорить, что в вещественном пространстве определено скалярное произведение, если каждой паре векторов $x, y\in R$ поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим через причем это соответствие обладает следующими свойствами (удовлетворяет следующим аксиомам): 1 $^{\circ}$ , т.е. скалярное произведение симметрично.

2 $^{\circ}$ $(\lambda x,y)=\lambda(x,y)$ , где $\lambda$ -- действительное число.

3 $^{\circ}$ (дистрибутивность скалярного произведения).

4 $^{\circ}$ Скалярное произведение вектора с самим собой неотрицательно: $(x,x)\geqslant 0$ , и обращается в нуль, лишь если .

Аффинное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1 $^\circ$ -4 $^\circ$ , мы называем евклидовым.

Примеры 1. Под векторами пространства мы будем понимать векторы изучаемого в элементарной геометрии трехмерного пространства (пример 1 1). Скалярное произведение векторов определим как произведение их длин на косинус угла между ними. Можно проверить, что аксиомы 1 $^\circ$ -4 $^\circ$ действительно выполнены. Мы предоставляем эту проверку читателю.

2. Векторами пространства мы назовем всякую систему действительных чисел $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ . Сложение векторов и умножение их на число определим так (пример 2 1):

$\begin{displaymath} \begin{gathered} x+y=(\xi_1+\eta_1,\xi_2+\eta_2,\dots,\xi_n+... ...lambda \xi_1,\lambda \xi_2,\dots,\lambda \xi_n), \end{gathered}\end{displaymath}$

где

$\displaystyle x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n),\quad y=(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_n).$

Скалярное произведение векторов

определим формулой

$\displaystyle (x,y)=\xi_1\eta_1+ \xi_2\eta_2+\ldots+\xi_n\eta_n.$

Легко проверить, что аксиомы 1 $^\circ$ -3 $^\circ$ действительно выполнены. Аксиома 4 $^\circ$ также справедлива, так как $(x,x)=\sum\xi_i^2\geqslant 0$ и $(x,x)=\sum \xi_i^2=0$ только при $\xi_1=\xi_2=\ldots=\xi_n=0$ .

3. Рассмотрим пример более общий, чем пример 2.

Вектор по-прежнему определим как совокупность действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на числа определим так же, как в примере 2.

Зададимся некоторой матрицей $\Vert a_{ik}\Vert$ . Скалярное произведение векторов и определим формулой

$\begin{displaymath}\begin{aligned}[b](x,y)&= a_{11}\xi_1\eta_1+a_{12}\xi_1\eta_2... ...ta_1+a_{n2}\xi_n\eta_2+\ldots+ a_{nn}\xi_n\eta_n. \end{aligned}\end{displaymath}$

Посмотрим, какие условия нужно наложить на матрицу $\Vert a_{ik}\Vert$ , чтобы выражение, определяемое формулой (1), действительно удовлетворяло всем аксиомам скалярного произведения.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что аксиомы 2 $^\circ$ и 3 $^\circ$ выполнены для всякой матрицы $\Vert a_{ik}\Vert$ . Для того чтобы была выполнена аксиома 1 $^\circ$ , т.е. чтобы выражение было симметричным относительно и , необходимо и достаточно, чтобы

$\displaystyle a_{ik}=a_{ki},$

(2)

т.е. чтобы матрица $\Vert a_{ik}\Vert$ была симметричной.

Аксиома 4 $^\circ$ требует, чтобы выражение

$\displaystyle (x,x)=\sum_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\xi_k$

(3)

было неотрицательно для любых $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ и обращалось в нуль, лишь если $\xi_1=\xi_2=\ldots=\xi_n=0$ .

Однородный многочлен (``квадратичная форма''), определяемый формулой (3), называется положительно определенным, если он принимает лишь неотрицательные значения и обращается в нуль, лишь когда все $\xi_i$ равны нулю. Аксиома 4 $^\circ$ требует, следовательно, чтобы квадратичная форма (3) была положительно определенной.

Итак, всякая матрица $\Vert a_{ik}\Vert$ задает скалярное произведение, определяемое формулой (1), если только эта матрица симметрична [условие (2)] и соответствующая ей квадратичная форма -- положительно определенная.

Если в качестве матрицы $\Vert a_{ik}\Vert$ взять единичную матрицу, т.е. положить $a_{ii}=1$ и $a_{ik}=0 (i\ne k)$ , то скалярное произведение примет вид

$\displaystyle (x,y)=\sum_{i=1}^n\xi_i\eta_i$

и мы получим евклидово пространство, определенное в примере 2.

Упражнение Показать, что матрица $\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$ непригодна для построения скалярного произведения (соответствующая ей квадратичная форма не является положительно определенной), а матрица $\begin{pmatrix}1&1 1&2 \end{pmatrix}$ определяет скалярное произведение, удовлетворяющее аксиомам 1 $^\circ$ -4 $^\circ$ .

В дальнейшем ( 6) будут указаны простые условия, дающие возможность проверить, будет ли данная квадратичная форма положительно определенной.

4. Векторами пространства мы будем называть непрерывные функции, заданные на интервале ; скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения

$\displaystyle \int\limits_a^b f(t)g(t) dt.$

Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы 1 $^\circ$ -4 $^\circ$ выполнены.

5. Будем считать векторами многочлены от степени не выше . Скалярное произведение двух многочленов определим как и в предыдущем примере:

$\displaystyle (P,Q)=\int\limits_a^b P(t)Q(t) dt.$

Аксиомы 1 $^\circ$ -4 $^\circ$ проверяются как и в примере 4.

2 Длина вектора. Угол между векторами.

Определим с помощью введенного понятия скалярного произведения длину вектора и угол между векторами.

Определение 2.2 Длиной вектора в евклидовом пространстве называется число

$\displaystyle \sqrt{(x,x)}.$

(4)

Длину вектора

будем обозначать через $\vert x\vert$ .

Естественно пожелать, чтобы угол между векторами, длина вектора и скалярное произведение были связаны обычным соотношением: скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как в этой фразе смысл всех слов, кроме слов ``угол между векторами'', нам уже известен, то этим предписывается следующее

Определение 2.3 Углом между векторами и мы назовем число

$\displaystyle \phi=\arccos\frac{(x,y)}{\vert x\vert \vert y\vert},$

т.е. положим

$\displaystyle \cos \phi=\frac{(x,y)}{\vert x\vert \vert y\vert},\quad 0\leqslant\phi\leqslant\pi.$

(5)

Векторы

называются ортогональными, если угол между ними равен $\frac{\pi}{2}$ , т.е. если

$\displaystyle (x,y)=0.$

С помощью введенных понятий можно перенести на евклидовы пространства ряд теорем элементарной геометрии 2.4.

Рассмотрим один пример. Если и -- ортогональные векторы, то естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами и . Докажем, что

$\displaystyle \vert x+y\vert^2=\vert x\vert^2+\vert y\vert^2,$

т.е. квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельных сторон (теорема Пифагора).

Доказательство. По определению квадрата длины вектора

$\displaystyle \vert x+y\vert^2=(x+y,x+y).$

В силу дистрибутивности скалярного произведения (аксиома 3 $^{\circ}$ )

$\displaystyle (x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y).$

В силу ортогональности векторов

$\displaystyle (x,y)=(y,x)=0.$

Следовательно,

$\displaystyle \vert x+y\vert^2=(x,x)+(y,y)=\vert x\vert^2+\vert y\vert^2,$

что и требовалось доказать. $\qedsymbol$

Эту теорему можно обобщить: если векторы $x,y,z,\dots$ попарно ортогональны, то

$\displaystyle \vert x+y+z+\dots\vert^2=\vert x\vert^2+\vert y\vert^2+\vert z\vert^2+\dots$

3 Неравенство Коши-Буняковского.

В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол $\phi$ между векторами

формулой

$\displaystyle \cos \phi=\frac{(x,y)}{\vert x\vert \vert y\vert}.$

Для того чтобы можно было определить $\phi$ из этого равенства, нужно доказать, что

$\displaystyle -1\leqslant\frac{(x,y)}{\vert x\vert \vert y\vert}\leqslant1$

или, что то же самое, что

$\displaystyle \frac{(x,y)^2}{\vert x\vert^2\vert y\vert^2}\leqslant1,$

т.е.

$\displaystyle (x,y)^2\leqslant(x,x)(y,y).$

(6)

Это неравенство называется неравенством Коши--Буняковского.

Итак, для того чтобы иметь право определить угол между двумя векторами формулой (5), мы должны доказать неравенство Коши-Буняковского 2.5.

Чтобы доказать его, рассмотрим вектор , где -- произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4 $^\circ$ скалярного произведения

$\displaystyle (x-ty,x-ty)\geqslant0,$

т.е. для любого

$\displaystyle t^2(y,y)-2t(x,y)+(x,x)\geqslant 0.$

Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискриминант уравнения

$\displaystyle t^2(y,y)-2t(x,y)+(x,x)=0$

не может быть положительным, т.е.

$\displaystyle (x,y)^2-(x,x)(y,y)\leqslant0,$

что и требовалось доказать.

Упражнение Доказать, что знак равенства в (6) имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы.

Примеры Мы доказали неравенство (6) для аксиоматически заданного евклидова пространства. Разберем, как выглядит это неравенство в приведенных выше (п.1) примерах евклидовых пространств.

1. В примере 1 неравенство (6) не означает ничего нового (см. сноску).

2. Так как в примере 2 скалярное произведение задается формулой

$\displaystyle (x,y)=\sum_{i=1}^n\xi_i\eta_i,$

то

$\displaystyle (x,x)=\sum_{i=1}^n\xi_i^2,\quad(y,y)=\sum_{i=1}^n\eta_i^2;$

поэтому неравенство (6) имеет здесь вид:

$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n\xi_i\eta_i\right)^2\leqslant \left(\sum_{i=1}^n\xi_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n\eta_i^2\right).$

3. В примере 3 скалярное произведение имеет вид:

$\displaystyle (x,y)=\sum_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\eta_k,$

где

$\displaystyle a_{ik}=a_{ki}$

(2)

$\displaystyle \sum_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\xi_k\geqslant 0$

(3)

для любых $\xi_i$ . Поэтому неравенство (6) означает:

Если числа $a_{ik}$ удовлетворяют условиям (2) и (3), то имеем место неравенство

$\displaystyle \Biggl(\sum_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\eta_k\Biggr)^2 \leqslant \Biggl... ...=1}^n a_{ik}\xi_i\xi_k\Biggr) \Biggl(\sum_{i,k=1}^n a_{ik}\eta_i\eta_k\Biggr).$

Упражнение Показать, что если числа $a_{ik}$ удовлетворяют условиям (2) и (3), то $a_{ik}^2\leqslant a_{ii}a_{kk}$ . (Указание. Выбрать в только что выведенном неравенстве специальным образом числа $\xi_1, \dots, \xi_n$ и $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ .)

4. В примере 4 скалярное произведение задается интегралом $\displaystyle\int\limits_a^b f(t)g(t) dt$ , поэтому неравенство (6) имеет вид:

$\displaystyle \left(\int\limits_a^b f(t)g(t) dt\right)^2\leqslant \int\limits_a^b f^2(t) dt\cdot\int\limits_a^b g^2(t) dt.$

Это неравенство играет важную роль в разных вопросах анализа.

Приведем пример неравенства, являющегося следствием неравенства Коши-Буняковского.

Для любых векторов и в евклидовом пространстве имеет место неравенство

$\displaystyle \vert x+y\vert\leqslant\vert x\vert+\vert y\vert.$

(7)

Доказательство.

$\displaystyle \vert x+y\vert^2=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y);$

так как (в силу неравенства Коши-Буняковского) $2(x,y)\leqslant2\vert x\vert \vert y\vert$ , то

$\displaystyle \vert x+y\vert^2=(x+y,x+y) \leqslant(x,x)+2\vert x\vert \vert y\vert+(y,y)=(\vert x\vert+\vert y\vert)^2,$

т.е. $\vert x+y\vert\leqslant\vert x\vert+\vert y\vert$ , что и требовалось доказать. (См. также 3, стр.

.) $\qedsymbol$

Упражнение Написать неравенство (7) в каждом из примеров евклидовых пространств, разобранных в начале этого параграфа.

В геометрии расстояние между двумя точками и 2.6определяется как длина вектора . В общем случае -мерного евклидова пространства определим расстояние между и формулой

$\displaystyle d=\vert x-y\vert.$

Next: 3 изоморфизм евклидовых пространств Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 1 Линейное (аффинное) -мерное Vadim Yu. Radionov
2000-08-30

МЦНМО

Посмотреть комментарии[2]