Научная Сеть >> Физические основы строения и эволюции звезд

Наука >> Астрономия >> Астрофизика >> физические процессы | Книги

См. также

Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Астрономия: учебно–методическое пособие для преподавателей астрономии, студентов педагогических вузов и учителей средних учебных заведений.

150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Законы физики в космосе

Солнечно-земная физика

"...И гений - парадоксов друг": 290 лет со дня рождения Михаила Васильевича Ломоносова

Программа молодежной конференции "Современные вопросы геологии", 2-е Яншинские чтения, Институт литосферы окраинных и внутренних морей РАН, 26-29 марта 2002 года

Биогенез: мотивы и феномены возникновения жизни

Проблемы нефрологии детского возраста на рубеже столетий: наследственные нефропатии, дизэмбриогенез почек, гломерулонефрит, эконефропатии

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (1)

XXXVI Тектоническое совещание

А.С. Спирин. Принципы структуры рибосом

Биологическая эволюция и морфогенез: Накопление биологического потенциала на докембрийском этапе эволюции.

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (2)

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Мировая линия Гамова

Радиоактивные газовые зонды в дифузионно-структурном анализе твердых тел и твердофазных процессов: (1)

<< 9.1 Решение Шварцшильда | Оглавление | 9.3 Сферически-симметричное поле ... >>

9.2 Движение частиц в поле Шварцшильда

Теперь рассмотрим движение частиц в этом поле. По ньютоновской теории для частиц, покоящихся на бесконечности, используя закон сохранения энергии, имеем

$\displaystyle -{GMm\over r}+{mv^2\over 2}=0,$

т. е.

$\displaystyle v^2=GM/r.$

Определим наивно

как радиус, где

. Тогда (ср. раздел 1.7)

$\displaystyle r_g={2GM\over{c^2}}$

Этот результат получил еще Лаплас. Подчеркнем, однако, что это не больше чем мнемонический прием. Очевидно, что ньютоновская механика неприменима при $v\sim c$ .

Теперь напишем строго уравнение движения частиц в поле Шварцшильда. В метрике, не зависящей от времени, сохраняется энергия, т. е. компонента (именно с нижним индексом) 4-вектора импульса частицы:

$\displaystyle p_0=-mc^2\,g_{00}{dx^0\over{ds}}.$

В статическом поле

$\displaystyle ds^2=g_{00}dt^2-dl^2$

или

$\displaystyle ds=dt\,\sqrt{g_{00}}\sqrt{1-\frac{dl^2}{g_{00}\,dt^2}}.$

Величина

$\displaystyle {dl\over{\sqrt{g_{00}}dt}}={v\over c}$

это скорость, измеренная локальным наблюдателем. Тогда имеем

$\displaystyle p_0={mc^2\sqrt{g_{00}}\over{\sqrt{1-v^2/c^2}}}=$ const $\displaystyle$

(это соотношение не зависит от направления

Пусть при $r\longrightarrow\infty\;(g_{00}\longrightarrow 1)$ $v\longrightarrow 0$ , т.е. . В этом случае всегда

$\displaystyle 1-v^2/c^2=g_{00}=1-r_g/r\,,\quad v^2=c^2r_g/r\,,$

т.е. в ОТО имеет место связь между

в точности такая, как в ньютоновской механике и теории тяготения. В частности,

-- это как раз тот радиус, где

, если при $r=\infty,\,v=0$ в такой теории. Если $v\ne 0$ на бесконечности, то

$\displaystyle 1-{v^2\over{c^2}}=\left(1-{r_g\over r}\right)\left(1-{v^2_{\infty}\over{c^2}}\right).$

Таким образом, в точной теории в ОТО

только на

независимо9.1 от значения $v=v_{\infty}$ при $r=\infty$ .

Еще раз подчеркнем, что -- это скорость, измеренная локальным наблюдателем.

В дальнейшем положим . При движении по радиусу в случае при $r\longrightarrow\infty$

$\displaystyle v={dl\over{d\tau}}={\sqrt{g_{11}}\over{\sqrt{g_{00}}}}\,{dr\over{dt}}=\sqrt{{r_g\over r}}.$

Тогда, используя выражение для $g_{00}$ и $g_{11}$ ,

$\displaystyle {dr\over{dt}}=\sqrt{{r_g\over r}}\left(1-{r_g\over r}\right),$

$\displaystyle t=\int\limits_R^{r_g}\sqrt{{r\over{r_g}}}\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}\,dr.$

При падении с конечного

этот интеграл логарифмически расходится при $r\longrightarrow r_g$ . Отметим, что

проходит через максимум и стремится к нулю при $r\longrightarrow r_g$ . Конечно, в шварцшильдовском поле нет отталкивания, хотя $dr/dt\longrightarrow0$ при $r\longrightarrow r_g$ , так как

-- это не скорость.

Существует хорошее сравнение. Если мы будем бросать частицы на черную дыру, то мы увидим, что они замедляют движение и скучиваются вблизи . Эта остановка не соответствует положению равновесия. Представим себе, что снимается на кинопленку прыгун, а потом при просмотре замедляется скорость движения пленки, так что в некоторый момент он остановится. То же самое при движении частиц. Если установить часы на частицах, которые действительно останавливаются в положении равновесия, то часы все равно идут. В случае дыры частицы останавливаются, но останавливаются и часы на них. По собственному времени никаких остановок не происходит. Просто с точки зрения удаленного наблюдателя часы замедляются из-за доплер-эффекта и из-за влияния гравитационного потенциала.

Представим себе падение газа, состоящего из отдельных частиц с точки зрения далекого наблюдателя. Оказывается, что газ скапливается вблизи , но не отдает свою кинетическую энергию. Несмотря на то, что количество скопившегося газа неограниченно возрастает с течением времени, его плотность, измеренная в собственной системе (наблюдателя, движущегося вместе с газом), остается конечной в каждой точке пространства, в частности вблизи .

Задача. Рассчитать радиальное движение для света (фотонов) в метрике Шварцшильда.

<< 9.1 Решение Шварцшильда | Оглавление | 9.3 Сферически-симметричное поле ... >>

ГАИШ

Посмотреть комментарии[2]