Научная Сеть >> И. М. Парамонова "Симметрия в математике"

Наука >> Математика | Популярные статьи

Важные идеи применения симметрии в современной математике и физике можно продемонстрировать на примере следующей шуточной задачи.

Задача. В лаборатории одного института лежит модель куба. Первого апреля сотрудник Петя написал на гранях куба числа от 1 до 6. На следующий день сотрудник Вася заменил число на каждой грани средним арифметическим чисел, написанных Петей на четырех соседних с ней гранях. Третьего апреля Петя заметил действия Васи и ответил ему тем же и т. д. Что будет написано на гранях куба через месяц?

Сформулируем эту задачу на математическом языке. X --- это множество граней куба: X={x₁,x₂,...,x₆}. То, что на гранях куба написаны числа, означает, что на множестве X задана функция , которая каждой грани куба ставит в соответствие некоторое число. Множество всех функций на X обозначим через F(X). Сотрудники, изменяя написанные на гранях числа, строят по функции другую функцию. Тем самым, на множестве функций F(X) задан оператор 1 L: F(X)F(X), определяемый следующей формулой:

(L)(x)=1/4(y), (*) где суммирование ведется по всем граням y, соседним с гранью x. Нужно узнать, что получится, если 30 раз применить оператор L:
L(L(...(L)...))= L... L=L³⁰=? (Заметим, что мы не знаем точного вида исходной функции ; нам известен только набор ее значений.)

Для решения этой задачи необходимо понять, какими свойствами обладает L.

Свойства оператора L

Свойство 1. Умножить функцию на число c (т. е. умножить на c все числа, написанные на гранях куба), а затем применить оператор L --- то же самое, что сначала применить к оператор L, а потом умножить на c:

L(c)=cL. Далее, применить L к сумме двух функций ₁+₂ --- то же самое, что применить L к каждой из функций-слагаемых, а затем результаты сложить:
L( ₁+₂)=L₁+L₂. Эти два соотношения вместе называются свойством линейности оператора L. Их доказательство не составляет труда: достаточно подставить выражения для c и для ₁+₂в формулу (*); в первом случае нужно вынести за скобки множитель c, а во втором --- раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые.

Свойство 2. Рассмотрим группу G симметрий (самосовмещений) куба, т. е. совокупность всех преобразований, которые переводят куб в себя. Действие каждого преобразования g G на множестве X порождает соответствующее действие на F(X). Поскольку оператор L описывается в терминах соседства граней, а преобразование g сохраняет отношение соседства, то все равно, в каком порядке применять g и L: они перестановочны, g L=L g. Это очень важное свойство L: мы видели, что такое равенство выполняется далеко не всегда.

Свойства 1 и 2 оператора L и дают ключ к решению задачи. Идея состоит в следующем: поскольку оператор L линеен на F(X) и перестановочен с группой симметрий X, нужно искать такие элементы множества F(X), на которые группа симметрий действует наиболее просто. Тогда и L на этих элементах будет действовать просто. Затем нужно попытаться представить любую функцию в виде суммы таких "простых" функций, и мы сможем легко понять, как "устроен" оператор L.

Для начала выделим в группе G подгруппу G_ц, состоящую из тождественного преобразования куба и его центральной симметрии: G_ц={e,g_ц}. Группа G_ц представляет собой уже знакомую нам группу ₂, и, как мы выяснили в предыдущем разделе, любую функцию , заданную на кубе, мы можем представить в виде суммы четной и нечетной функции:

(x)=_ч(x)+_н(x). Функция на кубе является четной относительно его центральной симметрии, если она не меняется под действием g_ц; это значит, что на противоположных гранях куба (g_ц переводит эти грани друг в друга) она принимает одинаковые значения. И наоборот, функция на кубе нечетна, если ее значения на противоположных гранях отличаются знаком.

Легко видеть, что любую нечетную функцию оператор L переводит в нулевую функцию (значения которой на всех гранях равны нулю). Действительно, четыре грани, соседние с данной, образуют две пары противоположных граней, при этом числа на противоположных гранях отличаются знаком. Поэтому после применения L к нечетной функции на всех гранях будут написаны нули. Итак,

(L_н)(x)=0, L=L(_ч+_н)=L_ч. После первого же применения оператора L нечетная часть исчезает!

Итак, мы нашли класс функций, на которые группа симметрий куба действует просто: любая симметрия куба (не только центральная) переводит нечетную функцию в нечетную. Как видим, и оператор L действует на эти функции просто: он их обнуляет.

Однако на четные функции L все еще действует замысловато. Значит, нужно продолжить исследование и выделить еще более простые составляющие четной функции. Пока из всех самосовмещений куба мы рассмотрели только центральную симметрию. Но преобразований, сохраняющих куб, очень много, это и повороты, и плоскостные симметрии... Существуют ли функции, которые не меняются под действием всей группы G (инварианты группы)? Очевидно, если на всех гранях куба написано одно и то же число (функция постоянна), то любое преобразование из группы G эту функцию переводит в себя. Заметим, что сумма всех чисел, написанных на гранях куба,

(x_i) также является инвариантом группы G. Поэтому функцию _ч удобно представить в виде суммы двух функций: постоянной функции _const и четной функции с нулевой суммой значений _ч⁰.

Значение функции _const на каждой грани куба положим равным

1/6(x_i). Сумма ее значений равна сумме значений исходной функции (и сумме значений функции _ч, поскольку сумма значений нечетной функции равна нулю). Функцию _ч⁰ определим просто:
_ч⁰=_ч-_const. Эта функция четна, как разность четных функций, и имеет нулевую сумму значений, как разность функций с одинаковой суммой.

Итак, по исходной функции мы построили три новые функции: _н, _const и _ч⁰. При этом

(x)=_н(x)+_const(x)+_ч⁰(x), и благодаря линейности оператора L достаточно понять, как он действует на каждое из слагаемых. Мы уже знаем, что
L_н=0. Ясно, что
L_const=_const. Поскольку _ч⁰ --- четная функция, то ее значения на противоположных гранях одинаковы. Пусть, например, на верхней и нижней гранях ее значение равно a, на правой и левой --- b, на передней и задней --- c, причем a+b+c=0. После применения оператора L к функции _ч⁰ на верхней грани должно быть написано число
1/4(b+c+b+c)=-1/2a. Для остальных граней рассуждения аналогичны. Итак, действие L на _ч⁰ тоже выглядит просто: значение на каждой грани умножается на (-1/2).

Мы получаем, что

L=L_н+L_const+L_ч⁰= _const+(-1/2)_ч⁰. Следовательно,
L³⁰=_const+_ч⁰. Осталось заметить, что число

настолько мало, что "добавка"

_ч⁰ почти незаметна (2¹⁰=1024>10³, 2³⁰>10⁹). Поэтому
L³⁰_const, и через месяц на всех гранях будет написано приблизительно 3,5. Если же сотрудники будут не месяц, а целый год так развлекаться, то числа, написанные на кубе, уже совершенно невозможно будет отличить от 3,5.

Как видим, считать "в лоб" в этой задаче было невозможно: мы даже не знали, как выглядит функция . Но разложение функции на составляющие позволило нам провести вычисления. Эта, казалось бы, простая идея оказывается очень эффективной в самых разных ситуациях.

В качестве самостоятельного упражнения читателю предлагается решить аналогичную задачу на октаэдре, а тот, кто справится с октаэдром, может перейти и к додекаэдру.

1 Слово "оператор" (так же как и слова "функция", "преобразование") является синонимом слова "отображение".

МЦНМО

Написать комментарий

Задача о кубе

Свойства оператора L