Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.kosmofizika.ru/pdf/vawelet_vitiazev.pdf Дата изменения: Fri Aug 11 12:31:01 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:55:06 2012 Кодировка: Windows-1251

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ СОЛНЕЧНОЙ АКТИВНОСТИ ЗА 300 ЛЕТ В.В.Витязев НИАИ им. В.В. Соболева, СПбГУ, С.Петербург РЕЗЮМЕ
С помощью вейвлет-преобразования произведен анализ среднегодовых чисел Вольфа. Использованы данные наблюдений с 1700 по 1999 г. Вейвлеты позволяют получить картину эволюции спектра мощности (скалограммы) во времени. Основной 11-летний цикл представлен на скалограмме в виде синусоподобной детали, амплитуда и период которой меняется во времени. Наиболее резкое изменение периода происходило в 1800-1830 гг. Вейвлетанализ различных реализаций авторегрессионой модели второго порядка чисел Вольфа, показал, что эта модель описывает солнечную активность с гораздо большим числом случайных колебаний по сравнению с тем, что содержит реальный ряд.
1 ВВЕДЕНИЕ
Ряд чисел Вольфа это знаменитый временной ряд, играющий ключевую роль в проблеме солнечно-земных связей. Его исследованию посвящено необозримое число работ. Отметим здесь лишь одно обстоятельство: ряд Вольфа был не только объектом исследованй, но и служил своеобразным фундаментом для построения базовых понятий анализа временных рядов периодограммы ( Шустер, 1906) и модели авторегрессии (Юл, 1928). Напомним, что числа Вольфа вычисляются по формуле
W = k (10 g + f ),
(1)

где g число групп пятен, видимых на диске Солнца, f общее число пятен, как отдельных, так и принадлежащих группам, k коэффициент для приведения результатов наблюдений в единую систему.
1


С физической точки зрения числа Вольфа не являются исчерпывающей характеристикой солнечной активности. Тем не менее, только они дают нам астрономическую информацию о вариациях солнечной активности в прошлом, поскольку обработка зарисовок диска Солнца позволила составить равномерный ряд среднегодовых чисел Вольфа, начиная с 1700 г., а отдельные значения этого ряда имеются вплоть до начала 17 столетия, когда солнечные пятна были открыты Галилеем.

2 ВЕЙВЛЕТЫ
Обычно для для построения оценок спектра мощности (периодограмм) временных рядов используют пробразования Фурье. Преобразования Фурье обладают замечательной способностью фокусировать в точку "размазанную"по времени информацию о периодичности функции при переходе из временной области в частотную. Достигается это за счет того, что ядро преобразования Фурье не локализовано во времени, но имеет предельную локализацию в частотной области. Это обстоятельство и делает преобразование Фурье прекрасным инструментом для изучения процессов, характеристики которых не меняются со временем. В противоположность этому вейвлет-анализ основан на использовании локализованных во времени ядер преобразования, размеры которых согласованы с масштабом изучаемых компонентов ряда. Основная идея вейвлет-преобразования отвечает специфике многих временных рядов, демонстрирующих эволюцию во времени своих основных характеристик среднего значения, дисперсии, периодов, амплитуд и фаз гармонических компонентов. Подавляющее число процессов, изучаемых в астрономии, обладают такими свойствами: блеск квазаров, солнечная активность, неравномерность вращения Земли вот далеко не полный перечень примеров. Наш анализ чисел Вольфа основан на использовании интегрального вейвлет-преобразования, которое для функции f (t) L2 (R) задается следующим образом (Гроссман и Морле, 1984; Добечи, 1992):
1 W (a, b) = 1/2 |a |


f (t)
-



t-b dt, a

(2)

где a, b R, a = 0. Входящая в выражение (2) функция (t) называется вейвлетом (анализирующим, базисным или материнским вейвлетом). Заметим, что в формуле (2) символом обозначена процедура комплексного сопряжения. Параметрa определяет размер вейвлета и называется масштабом (scale). Параметр b задает временную локализацию вейвлета и называется сдвигом (shift). В нашей работе использовался вейвлет Морле
(t) = e
-t2 /2 i 2 t

e

,

(3)

т.е. плоская волна, модулированная гауссианой. Этот вейвлет дает результаты, наиболее согласованные с терминами Фурье-анализа. В частности, понятие масштаба полностью соответствует периоду гармонических компонентов.
2


Заметим, что зависимость вейвлета от масштаба, следующая из определения вейвлет-преобразования, в случае вейвлета Морле (3) приводит к тому, что для каждого значения сдвига b в поле зрения преобразования находится участок ряда длиной P 2, где P период гармонического компонента. Введенным выше определениям интегрального вейвлет-преобразования, нельзя воспользоваться на практике, поскольку при обработке результатов измерений основными объектами преобразования являются не функции, заданные на всей оси времени, а временные ряды, длина которых всегда конечна. По этой причине вместо теоретических понятий вводятся их практические аналоги (оценки). Будем считать, что временной ряд задан значениями функции, следующими друг за другом с постоянным шагом t:
fk = f (tk ), tk = t k , k = 0, 1, ..., N - 1.
(4)

Для оценки вейвлет-преобразования этой последовательности воспользуемся следующим выражением:
WA (a, b) = 1 n(a, b)
N -1

fk
k=0 -
1 2



tk - b , a
2

(5)

где
n(a, b) =

N -1 k=0

e

tk -b a

,

(6)

Следуя Фостеру (1996), будем называть оценку (5) амплитудной вейвлет-функцией. Эта функция вычисляется для дискретных значений аргументов ai и bj , i = 0, ...Na - 1; j = 0, ...Nb - 1 (конкретные способы дискретизации параметров a и b могут быть различными). Используя (5), введем оценку локального спектра энергии
S (ai , bj ) = |WA (ai , bj )|2 .
(7)

Эту функцию обычно называют скалограммой (scalogram), подчеркивая тем самым ее способность описывать распределение энергии по масштабам. Поскольку это распределение локализовано во времени с помощью параметра сдвига b, уместно называть (7) локальной скалограммой, однако такой термин не нашел широкого распространения. Очевидно, что на основе скалограммы S (ai , bj ) можно ввести также и оценку глобального спектра энергии
G(ai ) = 1 N


S (ai , bj ),
j

(8)

где N число точек, по которому осуществляется осреднение. По предложению Скаргла (1997) функцию (8) называют скейлограммой (scalеgram). Скейлограмма является прямым аналогом сглаженной периодограммы в Фурье-анализе. Бывает так, что широкие контуры линий гармонических компонентов в скалограмме мешают проследить за эволюцией их частот во времени. Чтобы отсечь влияние контуров, можно выделить те точки скалограммы, в которых она
3


имеет максимумы по переменным a и b:
Sc (ai , bj ) =
Sij ,

если Si-1,j < Sij > Si+1,j или Si,j -1 < Sij > Si,j +1 , в противном случае.

(9)

0,

В этой формуле использовано обозначение Sij S (ai , bj ). Функцию (9) мы будем называть скелетоном. В случае синусоидального сигнала точки скелетона располагаются вдоль линий, идущих параллельно оси времени. Если в данных имеются гармонические или квазигармонические компоненты, то топографическая карта скелетона будет состоять из линий, ориентированных вдоль оси b. В случае шумового компонента линии скелетона вытягиваются в перпендикулярном направлении, т. е. параллельно оси a. Если в данных присутствуют и гармонические компоненты, и шум, то карта скелетона позволяет увидеть их раздельно.

3 РЕЗУЛЬТАТЫ Не претендуя на исчерпывающий анализ физики солнечной активности, используем ряд чисел Вольфа для демонстрации возможностей вейвлет-преобразования. На рис. 1,a показаны среднегодовые значения чисел Вольфа на промежутке от 1700 до 1999 г. Изучение этого ряда во временной области показывает много характерных особенностей. Во-первых, четко видна повторяемость максимумов и минимумов с характерным периодом приблизительно 11 лет (более тонкое изучение показывает, что расстояния между максимумами не остаются постоянными, а претерпевают небольшие изменения во времени). Вовторых, легко усматривается различие максимальных значений ряда (так, наибольшее значение приходится на 1957 г.). Все это говорит о том, что характеристики ряда меняются во времени и что Фурье-анализ не является адекватным методом для его исследования. Действительно, в периодограмме Шустера (рис. 1,b) нашего ряда, освобожденного от линейного тренда
tr(t) = (33.9 + 2.3) + (0.105 + 0.013)(t - 1700),
(10)

мы видим две значимые концентрации мощности, приходящиеся на частоты 0.00-0.02 и 0.08-0.10 цикла в год. В первой полосе есть пики, соответствующие периодам 204.5; 102.3 и 56.8 года. Во второй полосе имеются четыре максимума с периодами 12.04; 11.00; 10.55
4


и 10.03 года. В обеих полосах частот периодограмма сильно изрезана. Изрезанность периодограммы свидетельствует о значительной стохастичности, присущей процессу солнечной активности. В подобных случаях в спектральном анализе прибегают к сглаживанию периодограммы. Результаты сглаживания с помощью окна Тьюки при параметрах сглаживания N = 150 и a = 0.25 показаны штриховой линией на рис. 1,b. Мы видим, что и периодограмма Шустера, и ее сглаженная модификация говорят о том, что ряд солнечной активности состоит из трех квазипериодических компонентов с периодами приблизительно 100, 57 и 11 лет, и это все, что Фурье-анализ может дать при исследовании этого ряда. В противоположность этому вейвлет-анализ позволяет увидеть не только концентрации мощности на известных масштабах, но и проследить за их развитием во времени. На рис. 2,a представлена скалограмма, вычисленная с вейвлетом Морле в диапазоне масштабов от 5 до 120 лет. Здесь имеются три спектральные линии, соответствующие масштабам (периодам) 100, 54 и 11 годам, однако, в отличие от Фурье-спектра, мы видим, что и периоды, и амплитуды этих линий изменяются во времени. На рис.2,b показан только участок скалограммы в диапазоне масштабов от 5 до 15 лет. Здесь эти изменения видны особенно ясно. Характерной особенностью является резкое падение интенсивности пятнообразования с 1800 по 1830 г., сопровождающееся одновременным изменением периода. Еще более четко изменение периода во времени показано на рис. 2,c, где приводится не контуры спектральных линий, а только линии скелетона. Мы видим, что основной, 11-летний цикл Солнца, имеющий вид извилистой линии, идущей вдоль оси времени, пересекается шумовыми полосами, вытянутыми в перпендикулярном направлении. Этот факт говорит о том, что пятнообразовательная деятельность Солнца характеризуется не только периодическим механизмом с переменными периодом и амплитудой, но и аддитивными стохастическими компонентами типа белого шума. В заключение отметим, что представление ряда чисел Вольфа на промежутке 1700-1999 ( без линейного тренда) с помощью авторегрессионного процесса второго порядка имеет следующий вид:
xk = 1.372 x
k -1

- 0.693 x

k -2

+ 16.55 k ,
5

k = 2, 3, ...N - 1,

(11)


где x0 = x1 = 0, начальные значения; k , k = 0, 1, . . . , N - 1, выборка из случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, распределенной по нормальному закону. Коэффициенты формулы (11) были вычислены нами методом максимальной энтропии. Они близки к значениям, полученным другими авторами по различным реализациям (см. Теребиж, 1992). Нами был проведен вейвлет-анализ модельных рядов типа (11). Основой результат этого анализа можно сформулировать следующим образом: реальный ряд солнечной активности является более детерминированным, чем реализации его AR-модели, поскольку скалограммы последовательностей (11) не показывают четко выраженных синусоидальных деталей (подобных 11-летней линии), ориентированных вдоль оси времени. Рис.3, на котором показаны результаты вейвлет-анализа одной из реализаций процесса (11), демонстрирует этот вывод.

4 Литература
Гроссман и Морле, 1984. Grossman A., Morlet J. Decomp osition of Hardy functions into square

integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. P.723-736. Добечи, 1992. Daub echies I. Ten lectures on wavelets. So ciety for industrial and applied mathematics. Philadelphia, Pennsylvania, 1992. Скаргл, 1997. Scargle J.D. Wavelet and Other Multi-resolution Metho ds for Time Series Analysis. Statistical Challenges in Modern Astronomy II /Ed. G.J.Babu and E.D.Feigelson. P. 333-347. N.Y.: Springer-Verlag. Теребиж В.Ю., 1992. Анализ временных рядов в астрофизике. М.: Наука. Фостер, 1996. Foster G. Wavelets for p erio d analysis of unevenly sampled time series // Astron. J. Vol. 112. N4. P. 1709-1729. Шустер, 1906. Schuster A. On the Perio dicities of Sun Sp ots // Trans. R. So c. London. Ser A. Vol. 206. P. 69-100. Юл, 1928. Yule J.U. On a Metho d of Investigation Perio dicities in Disturb ed Series with Sp ecial Reference to Wolfer's Sunspot Numbers. // Phylos. Trans. R. Soc. London. Ser. A. Vol. 226. P.267298.

6


.1. : a -- 1700--1999; b -- (c ), ( ), 99- (- ); c -- 5-120 ; d -- 5-15 .}


. 2. - : a -- c () 5-120 ; b -- 5-15 ; c -- 5-15 .}


. 3. - . a - ; b - 5-15 ; - .