Перенормировка квантовых теорий поля

1. Основные понятия: связные и сильно-связные диаграммы Фейнмана, производящие функционалы связных и сильно-связных функций Грина, индекс расходимости диаграммы. Евклидов характер ультрафиолетовых (УФ) расходимостей и локальность УФ расходимостей примитивно расходящихся диаграмм. Нормальное упорядочение как простейший тип перенормировки.
2. Типы регуляризаций УФ расходимостей: аналитическая регуляризация, регуляризация Паули-Вилларса, регуляризация в α-представлении, регуляризация высшими ковариантными производными. Размерная регуляризация: аксиомы Вильсона, определение d-мерного интеграла, доказательство самосогласованности определения, продолжение определения к малым d, изменение порядка d-мерных интегрирований.
3. R-операция: расходимости и подрасходимости диаграмм, поверхностная расходимость, определение R-операции с помощью рекуррентных соотношений, вычитающие операторы и операторы конечной перенормировки. Решение рекуррентных соотношений: трехточечное произведение, явное выражение R-операции через вычитающие операторы и операторы конечной перенормировки, леса поддиаграмм, лесная формула.
4. Применение R-операции на примере вычисления расходимостей двухпетлевой диаграммы с перекрывающимися расходимостями в φ³-теории: явная проверка локальности поверхностной расходимости, процедура выделения подрасходимостей в α-представлении, вид расходимостей в рамках схемы вычитаний в импульсном пространстве и в схеме минимальных вычитаний, построение контрчлена в лагранжиане. Доказательство локальности поверхностных расходимостей произвольных диаграмм. Теорема Вейнберга. Высокоэнергетическое поведение фейнмановских интегралов. Контрчленная интерпретация вычитания расходимостей в общем случае: сопоставление контрчлена поверхностной расходимости, проверка соответствия симметрийных факторов.
5. Перенормировка квантовой электродинамики. Типы расходящихся диаграмм, тождество Уорда для производящего функционала сильно-связных функций Грина в лоренцевой калибровке и его следствия: поперечность поляризационного оператора электромагнитного поля, отсутствие взаимодействия продольных и поперечных квантов, конечность четырехточечной функции Грина электромагнитного поля, связь констант перенормировки спинорного поля и вершины взаимодействия. Тождество Уорда для перенормированного действия и перенормированного производящего функционала сильно-связных функций Грина. Физические условия перенормировки.
6. Поля Янга-Миллса (ЯМ): действие, уравнения движения, калибровочная инвариантность. Правила квантования Фаддеева-Попова (ФП): член, фиксирующий калибровку, духи ФП, производящий функционал функций Грина. Диаграмматика: пропагаторы полей ЯМ и духов ФП и вершины взаимодействия. Преобразования Бекки-Рюэ-Стора-Тютина (БРСТ): доказательство инвариантности квантового действия ФП, якобиан преобразования, вывод тождеств Славнова-Тейлора для функций Грина.
7. Перенормировка теорий ЯМ в обобщенной α-калибровке: типы расходящихся диаграмм, конечность духовых вершин взаимодействия, поперечность поляризационного оператора поля ЯМ, перенормировка полей ЯМ и духов ФП, достроение квантового действия ФП, тождества Славнова-Тейлора для перенормированных функций Грина и проверка конечности перенормированных вершинных функций Грина поля ЯМ.
8. Ренормализационная группа (РГ) в теории ЯМ: смена перенормировочного предписания, поведение функций Грина при мультипликативном переопределении полей и зарядов, выделение тензорных структур и условия нормировки на двух- и трехточечную фунции Грина поля ЯМ. Инвариантный заряд: функциональное РГ-уравнение для инвариантного заряда, дифференциальная форма РГ-уравнения, β-функция. Вычисление β-функции по расходимостям в теории с обрезанием в импульсном пространстве.
9. РГ в схеме минимальных вычитаний в рамках размерной регуляризации: массовый параметр т'Хоофта, условие РГ-инвариантности, общий вид голого заряда, уравнения т'Хоофта, интегральная форма выражения для голого заряда, нулификация голого заряда. Пример: вычисление однопетлевой β-функции в теории ЯМ с калибровочной группой SU(2). Асимптотическая свобода.

10. Метод фонового поля: фоновая калибровка и фоновый производящий функционал функций Грина, ковариантность производящего функционала сильно-связных функций Грина, связь констант перенормировки заряда и фонового поля. Пример: вычисление β-функции в теории ЯМ с группой SU(2). Алгоритм т'Хоофта-Вельтмана вычисления однопетлевых расходимостей: 'калибровочная' инвариантность квадратичной части фонового действия, общий вид контрчленного лагранжиана, вычисление расходящихся коэффициентов, применение алгоритма к полям ЯМ.
11. Формализм Зинн-Жустена (ЗЖ): нильпотентность БРСТ-преобразований в секторе полей {A^a_μ, c^a}, источники БРСТ-преобразований (конструкция ЗЖ), тождества Славнова-Тейлора в форме ЗЖ. Поля Наканиши-Лаутрупа и нильпотентность БРСТ-преобразований в секторе полей {A^a_μ, c^a, c‾^a}. Уравнение для расходимостей производящего функционала вершин (уравнение перенормировки).
12. Применение формализма ЗЖ к доказательству перенормируемости R²-гравитации: группа диффеоморфизмов пространства-времени, калибровка ДеВитта, БРСТ -преобразования в квантовой гравитации, индекс расходимости диаграмм в эйнштейновской гравитации и R²-гравитации, духовые числа полей и типы расходящихся диаграмм. Решение уравнения перенормировки и общий вид перенормированного действия R²-гравитации.
13. Унитарность S-матрицы и положительность вычета в полюсе пропагатора физического поля. Связь с положительностью нормы в пространстве состояний и положительностью энергии одночастичного состояния. Нарушение унитарности в R²-гравитации.
14. Формализм Баталина-Вилковыского (БВ): антиполя и антискобка, антиканонические преобразования, инвариантность антискобки и неинвариантность фазового объема. Мастер-уравнение: тождества Нетер, нильпотентность матрицы вторых производных действия, собственные решения мастер-уравнения. Лагранжево квантование по БВ: аксиомы, калибровочный фермион, БРСТ-преобразования, квантовое мастер-уравнение, калибровочная независимость неперенормированной S-матрицы. S-матрица теорий ЯМ в формализме БВ.
15. Перенормировка калибровочных теорий в формализме БВ (метод Воронова-Лаврова-Тютина): включение источников БРСТ-преобразований в калибровочный фермион, наложение калибровочного условия как антиканоническое преобразование, поведение неперенормированных производящих функционалов при вариации калибровки. Доказательство калибровочно-инвариантной перенормируемости калибровочной теории общего вида в произвольной калибровке. Поведение перенормированных производящих функционалов при вариации калибровки и калибровочная независимость перенормированной S-матрицы.
16. Сингулярности функций Грина в пределе совпадения аргументов. Примеры: глубоконеупругое рассеяние (сингулярность среднего произведения адронных токов), флуктуации электромагнитного поля (сингулярность корреляционной функции). Операторное разложение Вильсона: общий вид и его качественное обоснование в методе континуального интеграла, наивный подсчет степеней. Составные операторы. Пример построения операторного разложения: разложение T{φ(x)φ(y)} в первом порядке теории φ⁴ в четырех измерениях: коэффициенты Вильсона единичного оператора, перенормированных составных операторов [φ²] и [∂_μφ²].
17. Построение коэффициента Вильсона оператора [φ²] во всех порядках теории возмущений: переход в импульсное представление, двухчастичная неприводимость функций Грина, интегральное уравнение для функций Грина оператора T{φ(x)φ(y)}, индуктивное построение коэффициента Вильсона. Операторное смешивание: матрица смешивания, размерности смешиваемых операторов. Пример: перенормировка оператора φ² в теории φ³ в шести измерениях.
18. РГ уравнение для коэффициентов Вильсона: независимость от точки нормировки при фиксированных зарядах, матрица аномальных размерностей, РГ уравнение в случае бегущих зарядов. Решение РГ уравнения: обезразмеривание, переход к импульсному аргументу, М-экспонента, вид решения в случае асимптотически-свободной теории.
19. Приложение теории операторных разложений к глубоконеупругому рассеянию: структурные функции глубоконеупругого рассеяния электрона на нуклоне, предел Бьеркена, разложение произведения адронных токов T{J_μ(x)J_ν(y)} на световом конусе, твист оператора, построение операторов с наименьшим твистом, дисперсионное соотношение между структурными функциями произведений T{J_μ(x)J_ν(y)} и J_μ(x)J_ν(y), бьеркеновский скейлинг.
20. Нарушение скейлинга: определение коэффициентов Вильсона по рассеянию электрона на кварке, выражения для структурных функций произведения T{J_μ(x)J_ν(y)}, восстановление структурных функций произведения J_μ(x)J_ν(y) с помощью дисперсионного соотношения, система уравнений для моментов структурных функций и ее решение в терминах партонной модели. Пример вычисления матрицы операторного смешивания в однопетлевом приближении.

1. Дж. Коллинз, Перенормировка, М.: Мир, 1988.
2. О. И. Завьялов, Перенормированные диаграммы Фейнмана, М.: Наука, 1979.
3. A. J. Macfarlane, G. Woo, 'φ³ theory in six dimensions and the renormalization group,' Nucl. Phys. B77, 91 (1974); B86, 548 (1975) (erratum).
4. S. Weinberg, 'High-energy behaviour in quantum field theory,' Phys. Rev. 118, 838 (1960).
5. А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, 'Введение в квантовую теорию калибровочных полей,' М.: Наука, 1988.