Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://shamolin2.imec.msu.ru/art-128-1.pdf Дата изменения: Thu Aug 2 18:51:28 2012 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:37:41 2012 Кодировка: Windows-1251

Современная математика и ее приложения. Том 78 (2012). С. 109118

УДК 517.957.6

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕЖФАЗНОЙ ЗОНЫ В ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ПРЕДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ1
c 2012 г.
Аннотация

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

. Важнейшую роль в исследовании классической модели КанаХилларда [8] сыграла ее сингулярно-предельная задача так называемая задача МелинаСикерка со свободной границей, позволившая на сегодняшний момент только численно описать неустойчивость процесса кристаллизации. Целью данной работы является подготовка материала для вывода сингулярно предельной задачи для существенно несимметричной модели [4, 11].

СОДЕРЖАНИЕ
1. Два случая разложения удельной энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Исследование межфазной зоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 111 117

1.

Два случая разложения удельной энергии

В соответствии с работами [4, 8, 11], будем считать, что двухкомпонентная среда заполняет область R3 , разделенную на три части: области, заполненные разными фазами ( и ) и межфазной зоной (так называемой зоной фазового перехода). Предполагается, что фаза имеет кубическую симметрию, фаза четырехугольную. Требуется определить распределение концентраций чистых веществ c (x, t), c (x, t) в области . В силу предположения о сохранении масс в двухкомпонентной смеси выполнено равенство

c (x, t) + c (x, t) = 1.
Тогда достаточно определить распределение только одной концентрации, например, c(x, t) = c (x, t). При этом также будем считать, что эволюция распределения концентрации c(x, t) описывается уравнением диффузии (см. также [1, 4, 8, 11])

c+ Ji = 0. t xi

(1.1)

При этом функция Ji может выбираться в двух видах (два случая разложения удельной энергии):

J

(1) i

= -M (c)

c (c) - 2 c Aj l (c)xj xl c - 2 c Aj l (c; rs )xj cxl c , xi (2) Ji = -M (c) c (c) - 2 c Aj l (c)xj xl c . xi

(1.2) (1.3)

Параметр > 0 малый, 1. Функция M является скалярным коэффциентом мобильности, который характеризует подвижность и фаз:

M (c) = M + (M - M )

c(x, t) - c , c - c

M , M > 0,

1 РАБОТА ВЫПОЛНЕНА ПРИ ПОДДЕРЖКЕ РОССИЙСКОГО ФОНДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ, ПРОЕКТ 08-01-00231A.

ISSN 15121712

c Ин-т кибернетики АН Грузии, 2012


110

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

а c , c являются концентрациями и фаз в равновесном состоянии соответственно. Тензор поверхностных напряжений c(x, t) - c , (1.4) akl (c) = al + (al - al ) k k k c - c где al , al > 0 постоянные такие, что выполняется условие эллиптичности k k

akl (c)k l > d0 > 0 R3 ,
Предположим, что (см. также [4, 8, a 0 aij = 0 11])

| | = 1,

c [0, 1].

00 a 0 , 0 a

a 0 0 1 a = 0 a 0 , ij 1 0 0 a 3

т.е. фазы обладают существенно разными симметриями. Основной вопрос, на который предстоит ответить в данной работе: каково влияние несимметрии на структуру решения вблизи фронта фазового перехода (см.  2 далее)? Чтобы было гарантировано сосуществование обеих фаз, плотность свободной энергии Гиббса должна быть невыпуклой функцией концентрации, например, (см. [8]) 2 1 = 0 [c - c0 ]2 - [c - c0 ]2 - b[c - c0 ] , c0 = (c + c ), 2 где 0 и b являются постоянными. Тогда постоянные c , c (0, 1) являются классическими равновесными концентрациями, однозначно определяемыми по схеме Максвелла [8] системой уравнений: c (c ) = c (c ),

(c ) - (c ) = c (c )(c - c ). Рассматриваемая модель описывает процесс кристаллизации, когда первая стадия разделения фаз завершена, и существуют области с двумя разными фазами. Будем считать, что в рассматриваемом случае имеются две связные области + , разделенные зоной фазового перехода, являюt, щейся в любое время окрестностью поверхности t, фронта фазового перехода. Такие процессы называются жестко фронтовыми. Обычные граничные условия завершают постановку задачи: N c = 0, N c (c) - 2 c Aj l (c)xj xl c - 2 c Aj l (c; rs )xj cxl c = 0 N c (c) - 2 c Aj l (c)xj xl c = 0 на множестве T
(1.5)

в первом случае (соответствуют случаю (1.2)) и

N c = 0,

(1.6)

во втором (соответствуют случаю (1.3)). Здесь N вектор нормали к фиксированной границе T = Ч (0, T ). Задано также начальное значение концентрации:

c(x, t; )|t=0 = c0 (x; ).
Для определенности будем считать, что

(1.7) (1.8)

0 < c < c < 1.

Как было отмечено выше, одной из целей работы является вывод сингулярно предельных задач для моделей при 0. Так вот для случая (1.3), более обстоятельно рассмотренного О. А. Васильевой, сингулярно предельная задача описывается обобщенной задачей Стефана со свободной границей (см. также [2, 3, 57]):

+ c- t x

M (c)
i

c (c+ ) xi

= 0,

(x, t) +0 , t, t (0, T ),

t (0, T ),

(1.9) (1.10)

c+ = c+ ( ),

(x, t) t,0 ,


ИССЛЕДОВАНИЕ МЕЖФАЗНОЙ ЗОНЫ В ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ПРЕДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ

111

(c+ - c- )V = M (c+ ) (c (c+ )) - M (c- ) (c (c- )),

(x, t) t,0 ,

t (0, T ),

(1.11)

где вектор единичная нормаль к t,0 , внешняя для области -0 , V нормальная скорость t, фронта. Для любого t [0, T ] имеем (ср. с [9, 10])

+0 t t,

- t,0

= ,

+0 t,

- t,0

= ,

+ = t

t,0

,

- = t,0 . t

Несимметрия тензора поверхностных натяжений приводит к зависимости предельных значений концентрации c+ ( ) на фронте фазового перехода от геометрии фронта, в отличие от классической задачи Стефана. На фиксированной границе имеем

N c+ = 0 на T ,
Начальные значения предельных концентраций

T

0,0

= .

(1.12)

c+ (x, t)|t

=0

= c0 (x). +

(1.13)

Численные эксперименты, также проведенные ранее О. А. Васильевой, показали, что в трехмерном случае задача (1.1), (1.3), (1.6) неустойчива. Решение, начиная с радиальносимметричных начальных данных в области (шаре) с начальной свободной поверхностью 0,0 (сферой), теряет свою симметрию. Окружность 0,0 трансформируется в эллипс t,0 с главной осью, паралельной главной кристаллографической оси, совпадающей с собственным вектором тензора поверхностного натяжения, соответствующим максимальному собственному значению. Бесспорно, эти свойства связаны со свойствами решений задачи (1.9)(1.11). Сингулярно предельные задачи типа (1.9)(1.11) (при исследовании первоначальных задач с малым параметром) играют роль локально равновесного предела для систем законов сохранения с релаксацией. Они отражают существенные структурные особенности их решений. Поэтому чрезвычайно важно исследовать условия разрешимости этих задач и их устойчивость.

2.

Исследование межфазной зоны

Одним из результатов работы является вывод сингулярно предельной задачи для первой модели, отвечающей усечению диффузионного потока (1.1), (1.2), (1.5). Получим представление градиентов в переменных на фронте (в переменных межфазной зоны). Для простоты расмотрим двумерный случай x = (x1 , x2 ) = (x, y ). Пусть r( , s) = (r1 ( , s), r2 ( , s)) параметризация кривой ( ), где s длина дуги. Тогда в достаточно малой окрестности i, кривой ( ) можно ввести быстрые (внутрение) координаты ( , s, z ):

x( , s, z ) = r( , s) + z ( , s),
где ( , s) = (-s r2 ( , s), s r1 ( , s)) главная нормаль и t( , s) = (s r1 ( , s), s r2 ( , s)) вектор, направленный против часовой стрелки, так что по формулам Френе:

dt/ds = ,

d /ds = - t,

где ( ) кривизна кривой ( ). Отсюда, очевидно, следует, что
2 2 (s, ) = s r1 s r2 - s r2 s r1 ,

(s r1 )2 + (s r2 )2 = 1,
2 s r2 = s r1 .

2 2 s r1 s r1 + s r2 s r2 = 0,

2 s r1 = - s r2 ,

(2.1)

Тогда

s x = (1 - z )t,

z x = ,

det M = (1 - z ),


112

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

и для градиента функции u( , x, y ) = u( , s, z ) получим следующие соотношения:

(s u, z u, u) = M (x u, y u, u) s x s y 0 M = z x z y 0 , x y 1 (1 + z )s r1 --1 s r2 0 x u s y u = (1 + z )s r2 --1 s r1 0 z u -(1 + z )V t --1 V 1

,

u u + O(2 ). u



(2.2)

Здесь мы воспользовались тем, что 1/(1 - z ) = 1 + z + O(2 ) и касательная и нормальная скорости равны соответственно

V t = x ћ t,
Нетрудно подсчитать и вторые производные:
2 x u = -2 2 (s r2 )2 z u - -1

V = x ћ .

(s r1 )2 z u + 2s r1 s r2 s z u + (s r1 )2 -

-2s r1 s r2 s u - z (s r1 )2 z u + 2s r1 s r2 s z u,
2 y u = -2 2 (s r1 )2 z u - -1

(s r2 )2 z u - 2s r1 s r2 s z u + (s r2 )2 +

+2s r1 s r2 s u - z (s r2 )2 z u - 2s r1 s r2 s z u, x y u = -
-2 2 s r2 s r1 z u - -1 2 s r1 s r2 z u + (s r2 )2 - (s r1 )2 s z u + s r1 s r2 s u- 2

- (s r2 )2 - (s r1 )2 s u - z s r1 s r2 z u + (s r2 )2 - (s r1 )
2 2 ч = -2 z ч - -1 z ч + s ч - z 2 z ч.

s z u ,
(2.3)

Здесь также справедливо равенство ч( , x, y ) = ч( , s, z ). В этих координатах межфазной зоны градиентную часть свободной энергии будем представлять в виде:

2Akl (u)xk xl u + Akl (u)xk uxl u = +
где, как и выше,
-1

-2

h-2 (u, k u, k l u)+ k , l {s, z },

h

-1

(u, k u, k l u) + h0 (u, k u, k l u), u( , x, y ) = u( , s, z ),

при этом

h

-2

2 (u, k u, k l u) = 2 A z u + A

z u

2

,

h-1 (u, k u, k l u) = -2 t A t z u + 2(t A + A t )s z u + 2(t A + A t )s uz u,
2 h0 (u, k u, k l u) = 2 t A t s u + 2(t A + A t )s u+ 2

+t A t

s u

+ z h

-1

(u, k u, k l u).

Здесь штрихом обозначена производная по u: A = dA/du и

A(u) =
Отсюда следует, что если

A11 (u) A12 (u) . A21 (u) A22 (u) k , l {s, z },

ч( , s, z ) = F (u) - h-2 (u, k u, k l u) + O(),
то

ч =

-2 2 z

F (u) - h-2 (u, k u, k l u) -


ИССЛЕДОВАНИЕ МЕЖФАЗНОЙ ЗОНЫ В ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ПРЕДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ

113

--

1

2 z h-1 (u, k u, k l u) - z F (u) - h

-2

(u, k u, k l u) -

-h0 (u, k u, k l u) - z h

-1

(u, k u, k l u) +
(2.4)

2 +s F (u) - h-2 (u, k u, k l u) - z 2 z F (u) - h-2 (u, k u, k l u) + O().

Теперь рассмотрим внутреннее разложенние вида

u( , s, z ) = u0 ( , s, z ) + u1 ( , s, z ) + 2 u2 ( , s, z ) + O(3 ), ч( , s, z ) = ч0 ( , s, z ) + ч1 ( , s, z ) + 2 ч2 ( , s, z ) + O(3 ).
Разложим функцию F (u):

F (u) = F (u0 ) + F (u0 )u1 +

2

1 F (u0 )u2 + F (u0 )u2 1 2

+ O(3 )

и также разложим A(u). Приравнивая нулю члены при -2 , получим так называемое стандартное уравнение: 2 2 z ч0 = z F (u0 ) - h-2 (u0 , k u0 , k l u0 ) = 0, так что F (u0 ) - h-2 (u0 , k u0 , k l u0 ) = ч0 = a0 ( , s)z + b0 ( , s). Рассмотрим далее внешнее разложение (регулярное разложение) вне O( ln(1/))-окрестности фронта ( ) вида

u( , x; ) = u0 ( , x) + u1 ( , x) + 2 u2 ( , x) + O(3 ), ч( , x; ) = ч0 ( , x) + ч1 ( , x) + 2 ч2 ( , x) + O(3 ).
(2.5) Как обычно (см. также [14]), в области \ ( ), (0, T0 ), для старшего члена разложения, первой и второй его поправок получим цепочку уравнений:

ч0 = F (u0 ) = 0, ч1 = F (u0 )u ч2 = F (u0 )u
2 1

(2.6) (2.7)

= u0 ,

1 (2.8) + F (u0 )u2 - 2Akl (u0 )xk xl u0 - Akl xk u0 xl u0 1 2 плюс соответствующие граничные условия на фиксированной границе (0, T0 ). Если на внешней границе граничное условие Неймана имеет вид nћ
где n внешняя нормаль к , то

u( , x; ) = 0, j

( , x ) , 0, ( , x) .

nћ

uj ( , x) = 0,

Граничные условия на фронте ( ), замыкающие эти задачи, найдем из условий согласования внешнего и внутреннего разложений в O( ln(1/))-окрестности фронта ( ) (см. также [4, 1218]). Теперь, для простоты, будем считать фронт ( ) односвязным, непересекающимся с фиксированной границей . Тогда внешняя область разбивается на две подобласти \ ( ) = + ( ) - ( ) с границами

+ ( ) = ( ),

- ( ) = ( ), ч+ = 0 в + , 0 nћ ч- = 0 на . 0

(0, T0 ).

Для старшей части регулярной асимптотики получим

Перепишем внешнее разложение для величины ч (химического потенциала) в межфазной области во внутренних координатах:

ч0 ( , x) + ч1 ( , x) + 2 ч2 ( , x) + O(3 ) ( , r + z ) =


114

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

= ч+ ( , r) + ч+ ( , r) + z ћ 0 1 +2 ч2 ( , r) + z ћ
Здесь
+ x ч1

+ x ч0

( , r) + + O(3 ).
(2.9)

1 + z 2 W (ч+ ) 0 2 x y ч+ 0
2 y ч + 0

W

(ч+ 0

)=

2 x ч+ 0

x y ч+ 0

.

Из условия согласования внутреннего и внешнего разложений при 0 для старших членов получим

ч+ ( , r) = lim u0 ( , r, z ).
z +

(2.10)

Следовательно,

a0 ( , r) = 0,

ч+ ( , r) = ч- ( , r) = b0 ( , r). 0

Отсюда следует, что функция u0 по z удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

2 A

d2 u0 +A dz 2

du0 dz

2

= F (u0 ) - b0 ( , r).

(2.11)

Более того, можно доказать (см. также [1923]) существование гладкого решения в классе стабилизирующихся функций, т.е. ограниченных C -функций таких, что z N dj u0 /dz j 0 для любых N 0, j > 0, когда |z | . Тогда из (2.11) вытекают следующие условия разрешимости: 1. F (u+ ) = F (u- ) = b0 ( , r); 0 0 2. F (u+ ) - F (u- ) = b0 ( , r)(u+ - u- ); 0 0 0 0 3. F (u0 ) - F (u- ) - F (u- )(u0 - u- ) / A(u0 ) > 0 для любых u0 (u+ , u- ). 0 0 0 0 0 Чтобы получить второе условие разрешимости, умножим это уравнение на du0 /dz , что позволяет преобразовать его к виду

d2 u0 du0 +A 2 dz dz du0 = F (u0 ) - b0 ( , r) . dz Интегрируя по z от z = - до z = , из условия стабилизации получим 1d 2 A(u0 ) 2 dz du0 dz = 2 A


2

2

du0 = dz
(2.12)

0=
-

F (u0 ) - b0 ( , r)

du0 dz = dz
u- 0

u

+ 0

F (u0 ) - b0 ( , r) du0 =

= F (u+ ) - F (u- ) - b0 ( , r)(u+ - u- ). 0 0 0 0
Отсюда, в силу (2.12), имеем

du0 2 = F (u0 ) - F (u- ) - F (u- )(u0 - u- ), 0 0 0 dz что определяет третье условие разрешимости: 2 A(u0 ) F (u0 ) - F (u- ) - F (u- )(u0 - u- ) / A(u0 ) 0 0 0
Тогда выполнено равенство

> 0 u0 (u+ , u- ). 0 0

du0 =+ dz

F (u0 ) - F (u- ) - F (u- )(u0 - u- ) 0 0 0 . A(u0 )


ИССЛЕДОВАНИЕ МЕЖФАЗНОЙ ЗОНЫ В ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ПРЕДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ

115

Следовательно, для любого z R1 существует единственное решение
z

u0 = +
z

F (u0 (z1 )) dz1 , A(u0 (z1 ))

F (u0 ) := F (u0 ) - F (u- ) - F (u- )(u0 - u- ). 0 0 0

В дальнейшем для простоты рассмотрим только случай монотонно возрастающего решения. Необходимо отметить, что решение стандартного уравнения u0 = u0 (z , ) зависит от самой геометрии фронта ( ) через нормаль , хотя предельные значения u+ зависят только от потенциала 0 F (u). Теперь мы можем замкнуть задачу для старшей части внешнего разложения для величины ч:

ч+ = 0 в + , 0 nћ
Из принципа максимума следует, что

ч- = 0 на , 0
0

ч+ = b 0

на ( ). в .

ч0 = const
Приравнивая нулю члены при дартного уравнения:
2 2 0 = z ч1 = -z h -1 -1

, получим уравнение для первой поправки к решению стан-

d F (u) - h-2 (u0 , k u0 , k l u0 ) . d Здесь мы воспользовались тем, что z ч0 = 0, так как ч0 ( , r, z ) = b0 ( , r) постоянна по z . Отсюда следует, что d -h-1 (u0 , k u0 , k l u0 ) + lim F (u) - h-2 (u, k u, k l u) = 0 d = 2 t A t z u0 - 2(t A + A t )s z u0 - 2(t A + A t )s uz u0 + d + lim F (u) - h-2 (u, k u, k l u) = ч1 = a1 ( , r)z + b1 ( , r). (2.13) 0 d Выражение для ч1 можно упростить d ч1 = 2 A z u0 - 2s (t A + A t )z u0 + lim F (u) - h-2 (u, k u, k l u) . 0 d Здесь мы воспользовались тем, что
2 (u0 , k u0 , k l u0 ) + z lim 0

s (t A + A t )(z u0 )2 = 2(t A + A t )s z u0 - -2(t A + A t )s u0 z u0 - 2(tAt - A )(z u0 )2 .
Нетрудно видеть, что
0

lim

d F (u) - h d

-2

2 (u, k u, k l u) = -2 A(u0 ) z u1 -

2 -2 A (u0 ) z u0 z u1 + u1 F (u0 ) - 2 A (u0 ) z u0 - A (u0 ) (z u0 )2 .

(2.14)

Отсюда, если учесть, что первая поправка u1 ций, получаем: d F (u) - h-2 lim lim z + 0 d откуда следует, что в (2.13) a1 ( , r) = 0 т.е. первая поправка химического потенциала на du0 /dz , имеем

также ищется в классе стабилизирующихся функ-

(u, k u, k l u) = u+ F (u+ ), 1 0 ч1 = b1 ( , r), не зависит от z в межфазной зоне. Умножая (2.13)

b1 ( , r)z u0 = 2 A (z u0 )2 - s (t A + A t )(z u0 )2 +


116

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

d F (u) - h-2 (u, k u, k l u) z u0 . (2.15) d Дифференцируя по z уравнение (2.11) и умножая полученный результат на u1 , получим + lim
0 2 3 0 = u1 z u0 F (u0 ) - 4 A (u0 ) z u0 - A (u0 ) (z u0 )2 - 2 A(u0 ) z u 0

.

Если учесть это равенство в произведении (2.14) на z u0 , то это произведение можно привести к виду

z u0 lim

0

d F (u) - h-2 (u, k u, k l u) = -2z u d

0

2 A(u0 ) z u1 +

3 2 + A (u0 ) z u0 z u1 + 2u1 A(u0 ) z u0 + 2u1 A (u0 ) z u0 z u0 = 2 = -2z A(u0 ) z u0 z u1 - A(u0 ) u1 z u0 .

(2.16)

Интегрируя (2.15) по z , получим
u+ 0 u+ 0

b1 ( , r)[u0 ]+ = 2
u- 0

A(v ) F (v )dv - s
u- 0

t A(v ) + A(v ) t

F (v ) dv . A(v )

Отсюда следует, что
u+ 0

b1 ( , r)[u0 ]+ = 2
u- 0

1 A(v ) F (v )dv - 2

u+ 0

t A(v ) + A(v ) t
u- 0

2

F (v ) ( A(v ) )

3/2

dv .
(2.17)

Это позволяет получить следующую краевую задачу для первой внешней поправки химического потенциала:

ч+ = 0 в + , 1 n ч+ = 1 ћ x ч- = 0 1 - ч1 = b1 ( ,
на ,

(2.18) (2.19)

r) на ( ),

т.е. мы получили квазистационарную задачу со свободной границей. Чтобы замкнуть эту задачу, нам необходимо уравнение для фронта. Для этого достаточно получить нормальную скорость свободной границы, что потребует исследования следующей внутренней поправки порядка O(1), для которой получим следующее уравнение:
2 2 -V z u0 = -z h0 (u, k u, k l u) + s ч0 - z 2 z ч0 - d -z - z h-1 (u, k u, k l u) + lim F (u) - h-2 (u0 , k u0 , k l u0 ) + 0 d d2 d 2 = +z - lim h-1 (u0 , k u0 , k l u0 ) + lim 2 F (u) - h-2 (u0 , k u0 , k l u0 ) 0 d 0 d 2 2 = s ч0 - z 2 z ч0 - z ч1 + z ч2 ,

(2.20)

где V = r ћ нормальная скорость фронта,
2 ч2 = - 2 t A(u0 ) t s u0 + 2(t A (u0 ) + A (u0 ) t )s u0 +

+t A (u0 ) t + lim
0

s u

2 0

+ z h

-1

(u0 , k u0 , k l u0 ) +
(2.21)

d -1 d2 h (u0 , k u0 , k l u0 ) + lim 2 F (u) - h-2 (u0 , k u0 , k l u0 ) . 0 d d


ИССЛЕДОВАНИЕ МЕЖФАЗНОЙ ЗОНЫ В ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ПРЕДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ

117

Здесь мы воспользовались тем, что z = (x - r) ћ /, откуда в межфазной зоне

u = -V z u0 + O().
2 Так как, в силу независитмости ч0 от z , имеем s ч0 - z q 2 z ч0 = 0, то из (2.20) следует 2 -V z u0 = z ч2 - z ч1 .

Так как ч1 не зависит от z , окончательно имеем
2 -V z u0 = z ч2 .

-V (u+ - u- ) = z ч+ - z ч- . 0 0 2 2 Теперь определим предельные значения внутренней поправки ч2 . Из условия согласования первых производных в порядке O(2 ) (см. (2.9)) получим
z +

Интегрируя по z , получим

lim z ч2 = + ћ

+ x ч1

.

Это позволяет замкнуть задачу (2.18) и получить сингулярно предельную задачу для первой модели, отвечающей выбору диффузионного потока (1.2):

ч+ = 0 в + , 1 n ћ x ч- = 0 на , 1 + - ч1 = ч1 = b1 ( , r) на ( ч+ - ч- 1 1 V = - , u+ - u- 0 0 ),

(2.22)

где нормальная производная на фронте. Как видим, мы получили модифицированную задачу Стефана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баренблат Г. И., Ентов В. М., Рижик В. М. Поведение жидкостей и газов в пористых слоях. М.: Недра, 1984. 2. Радкевич Е. В. Условия существования классического решения модифицированной задачи Стефана (закон ГиббсаТомсона)// Мат. сб. 1992. 183, 2. С. 77101. 3. Радкевич Е. В. Об асимптотическом решении системы фазового поля// Диффер. уравн. 1993. 29, 3. С. 487500. 4. Радкевич Е. В., Захарченко M. Асимптотическое решение расширенной модели КанаХилларда// Соврем. мат. и ее прил. 2003. 2. С. 121138. 5. Akhmerov R. On structure of a set of solutions of Dirichlet boundary-value problem for stationary onedemensional forward-backward parabolic equation// Nonlinear Anal. Theory Meth. and Appl. 1987. 11, 11. С. 13031316. 6. Alikakos N., Bates P., Fusco G. Slow motion for CahnHilliard equation// SIAM J. Appl. Math. 1991. 90. С. 81135. 7. Bates P., Fife P. The dynamics of nucleation for CahnHilliard equation// SIAM J. Appl. Math. 1993. 53. С. 9901008. 8. Cahn J. W., Hil liard J. E. Free energy of a non-uniform system, Part I: Interfacial free energy// J. Chemical Physics. 1958. 28, 1. С. 258267. 9. Danilov V. G., Omel'yanov G. A., Radkevich E. V. Hugoniot-type conditions and weak solutions to the phase eld system// Eur. J. Appl. Math. 1999. 10. С. 5577. 10. Danilov V. G., Omel'yanov G. A., Radkevich E. V. Asymptotic solution of the conserved phase eld system in the fast relaxation case// Eur. J. Appl. Math. 1998. 9. С. 121. 11. Dreyer W. and Mul ler W. H. A study of the coarseing in tin/lead solders// Int. J. Solids Structures. 2000. 37. С. 38413871. 12. El liot Ch. The Stefan problem with a non-monotone constitutive relations// IMA J. Appl. Math. 1985. 35. С. 257264. 13. El liot Ch., Zheng S. On the ChanHilliard equation// Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. 96, 4. С. 339 357.


118

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

14. Fridman A., Variational principles and free boundary problem. New York-Chichester, Brisbane Toronto Singapur, 1982. 15. Grant C. Spinodal decomposition for the CahnHilliard equation// Comm. Part. Dier. Equat. 1985. 18, 3-4. С. 453490. 16. Hilhorst D., Kersner R., Logak E., Mimura M. On some asymptotic limits of the Fisher equation with degenerate diusion// in press. 17. Hol lig K. Existence of innity many solutions for a forward-backward parabolic equation// Trans. Amer. Math. Soc. 1983. 278, 1. С. 299316. 18. Kinderlehrer D., Pedregal P. Weak convergence of integrands and the Young measure representation// SIAM J. Math. Anal. 1992. 23. С. 119. 19. Nicolaenko B., Scheurer B., Temam R. Some global properties of a class of pattern formation equations// Commun. Part. Dier. Equat. 1989. 14, 2. С. 245297. 20. Nirenberg L. Topics on Nonlinear Functional Analysis. New York: New York Courant Inst. Math. Sciences, 1974. 21. Plotnikov P. Singular limits of solutions to CahnHilliard equation// in press. 22. Saman P. G., Taylor G. I. The penetration of a uid into porous medium or Hele-Show cell containing a more viscous liquid// Proc. Roy. Soc. London. 1958. A. 245. С. 312329. 23. Slemrod M. Dynamics of measure valued solutions to a backward forward parabolic equation// J. Dyn. Dier. Equat. 1991. 2. С. 128.

Н. Ю. Селиванова ВИНИТИ РАН, Москва, Россия E-mail: math@viniti.ru М. В. Шамолин Московский Государственный университет им. М. В. Ломоносова, Институт механики, Москва, Россия E-mail: shamolin@imec.msu.ru