ПРОГРАММА
курса "Оптимальное управление"
(3-й курс, 2-й поток, ф-т ВМК МГУ, лектор М.В.Орлов)
1-й семестр
1.љПостановка задачи оптимального управления. Основные вопросы теории оптимального управления.
2. Пространство непустых компактов из 
. Алгебраические операции над множествами. Хаусдорфово расстояние.
3. Опорные функции. Их основные свойства.
4.љМногозначные отображения. Непрерывность многозначных отображений.
5.љИзмеримость многозначных отображений. Теорема об измеримой однозначной ветви.
6.љИнтегрирование многозначных отображений. Теорема Ляпунова.
7.љТеорема Каратеодори. Формула Коши.
8.љМножества достижимости и управляемости линейных управляемых систем. Их опорные функции. Теорема существования оптимального управления в линейной задаче быстродействия.
9.љУправляемость и локальная управляемость линейных систем. Лемма о внутренней точке интеграла.
10.љПринцип максимума Понтрягина. Теорема об эквивалентной формулировке принципа максимума.
11.љПринцип максимума Понтрягина как необходимое условие оптимальности в линейной задаче быстродействия.
12.љУсиленное условие трансверсальности. Достаточные условия оптимальности в линейной задаче быстродействия.
13. Условия единственности пары 
, 
, удовлетворяющей принципу максимума Понтрягина. Строгая выпуклость.
14.љПонятие о задаче синтеза. Синтез быстродействия в начало координат для задачи 
, 
.
15.љЛинейная задача оптимального управления с терминальным функционалом и свободным правым концом.
ЗАДАЧИ
1.љПостроить синтез оптимального управления для задачи быстродействия в начало координат для объекта: 
, .
2.љНайти множество управляемости для в начало координат для системы:
љ ![\begin{array}{l} \dot x_1 = u_1,\quad u_1 \in [-1,1], \ \dot x_2 = u_2,\quad u_2 \in [-1,1]. \ \end{array}](/moodle_emsu_tex_pix/4d17fdc8209bdf7a53c68c9055425b89.gif "\begin{array}{l} \dot x_1 = u_1,\quad u_1 \in [-1,1], \ \dot x_2 = u_2,\quad u_2 \in [-1,1]. \ \end{array}")
3.љРешить линейную задачу быстродействия:
![\begin{array}{l}\dot x_1 = x_2, \ \dot x_2 = u,\quad u \in [-1,1],\ M_1=\{(-0.5,1)\},\;M_2 = \{(0.5,1)\}.\ \end{array}](/moodle_emsu_tex_pix/383eb9c2d970b37e60c5f8d7953b0279.gif "\begin{array}{l}\dot x_1 = x_2, \ \dot x_2 = u,\quad u \in [-1,1],\ M_1=\{(-0.5,1)\},\;M_2 = \{(0.5,1)\}.\ \end{array}")
4.љНайти опорную функцию множества:
љ 
5.љНайти Хаусдорфово расстояние между множествами:
љ 
6.љИсследовать на локальную управляемость в начало координат систему:
љ ![\begin{array}{l}\dot x_1 = u_1,\quad u_1 \in [-1,1], \ \dot x_2 = u_2,\quad u_2 \in [-1,1]. \ \end{array}](/moodle_emsu_tex_pix/c305f833fcfc4d41d6771bc58652cc89.gif "\begin{array}{l}\dot x_1 = u_1,\quad u_1 \in [-1,1], \ \dot x_2 = u_2,\quad u_2 \in [-1,1]. \ \end{array}")
7.љВычислить 
для матрицы:
љ 
8.љИсследовать на локальную управляемость в начало координат систему:
љ ![\begin{array}{l} \dot x_1 = x_2, \ \dot x_2 = u,\quad u \in [-1,1], \ \end{array}](/moodle_emsu_tex_pix/1e3ab299412dbe94f5ae17634e3c81af.gif "\begin{array}{l} \dot x_1 = x_2, \ \dot x_2 = u,\quad u \in [-1,1], \ \end{array}")
9.љВычислить для матрицы:
љ 
10.љВычислить интеграл 
от многозначного отображения:
љ 
11.љНайти опорную функцию множества:
љ 
12.љВычислить интеграл 
от многозначного отображения:
љ 
13.љНайти опорную функцию множества:
