Научная деятельность
Мои научные интересы относятся к теории интегрируемых систем и, в частности, к дискретным интегрируемым системам.
Основные результаты
-
q-цепочки Дарбу.
Хорошо известно, что дискретный спектр гармонического осциллятора состоит из
одной арифметической прогрессии и полностью определяется соответствующим
алгебраическим соотношением; его собственные функции выражаются через
полиномы Эрмита и потому образуют полное семейство в соответствующем гильбертовом пространстве. На протяжении 90-х годов
прошлого века рассматривались различные модели q-осциллятора, т.е.
оператора, удовлетворяющего деформированному соотношению Гейзенберга.
В частности, Атакишиеву, Франку и Вольфу удалось реализовать q-осциллятор
ограниченными разностными операторами на целочисленной решетке на прямой.
Веселов и Шабат исследовали так называемую одевающую цепочку, т.е. циклически
замкнутую последовательность операторов Шредингера, связанных
преобразованиями Дарбу (цепочка длины 1 приводит к гармоническому
осциллятору). В работах [1,2] изучен дискретный q-аналог одевающей
цепочки Веселова-Шабата (обобщение q-осциллятора). Показано, что
соответствующие операторные соотношения можно реализовать ограниченными
разностными операторами, собственные функции которых образуют полные семейства
в гильбертовом пространстве квадратично-суммируемых функций на целочисленной решетке
на прямой, и что эти операторы имеют чисто дискретный спектр, состоящий из
нескольких q-арифметических прогрессий.
-
Отображение Адлера.
Неоднозначность разложения преобразования Дарбу в композицию элементарных преобразований приводит к появлению дискретных симметрий у
соответствующей системы уравнений на коэффициенты, т.е., в случае операторов Шредингера, у одевающей цепочки Веселова-Шабата; при этом каждая из этих симметрий локальна в следующем смысле: она действует лишь на коэффициеты двух последовательных операторов в цепочке, оставляя коэффициенты остальных неизменными. В.Адлером было замечено, что отображение, задающее эту дискретную симметрию, после некоторой дополнительной перестановки переменных удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера (сейчас это отображение часто называется отображением Адлера). В известной работе Адлера, Бобенко и Суриса были классифицированы все квадрирациональные отображения Янга-Бакстера, и отображение Адлера было одним из этого классификационного списка.
В работе [3] выписаны явные формулы для дискретного q-аналога отображения Адлера, т.е. для дискретной симметрии q-цепочки Дарбу. Показано,что это отображение также удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера и соответствует еще одному классу из списка Адлера-Бобенко-Суриса.
-
Полудискретные и дискретные цепочки Тоды.
В конце 70-х годов двадцатого века Богоявленским были рассмотрены обобщенные цепочки Тоды --
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающие простейшую цепочку Тоды, которая описывает систему частиц на прямой, в которой взаимодействие
между дюбыми двумя соседними частицами экспоненциально. Средствами теории алгебр Ли Богоявленским были построены
представления Лакса для обобщенных цепочек Тоды, соответствующих всем сериям классических простых алгебр Ли и исключительным алгебрам Ли.
Затем Михайловым, Ольшанецким и Переломовым эти результаты были обобщены на двумерный случай, а именно, ими были рассмотрены двумеризованные
цепочки Тоды, соответствующие простым алгебрам Ли, и была доказана их интегрируемость (в простейшем случае такая цепочка сводится к
классическому уравнению Лиувилля). В налале 90-х годов Сурис рассмотрел дискретные аналоги одномерных обобщенных цепочек Тоды и построил
представления Лакса для них. Однако, ситуация с дискретными и полудискретными аналогами двумеризованных цепочек Тоды несколько сложнее --
аналоги не всех серий очевидны. В работе [4] построен полудискретный аналог двумеризованной цепочки Тоды серии C и методом, предложенным Хабибуллиным,
найдено представление Лакса для него.
Симметрии двумеризованной цепочки Тоды (в отличии от одномерного случая) требуют введения нелокальных переменных. В полудискретом случае
ситуация обстоит похожим образом: в работе [4] построены нелокальные переменные для полудискретной бесконечной цепочки Тоды и исследованы граничные
условия, совместимые с симметриями второго и третьего порядка. Показано, что они исчерпываются условиями обрыва, приводящими к цепочкам
серий A и C (точнее, к их полудискретным аналогам). Здесь картина тоже похожа на непрерывный случай -- аналогичные результаты были получены Хабибуллиным
в 1997 году.
Как известно, двумеризованные цепочки Тоды, соответствующие простым алгебрам Ли, интегрируемы по Дарбу, т.е. они обладают полными наборами "независимых в главном" интегралов вдоль обеих характеристик. В 2011-2012 годах Хабибуллиным (с соавторами) были введены полудискретные и дискретные аналоги систем экспоненциального типа, обобщающих двумеризованные цепочки Тоды. Поскольку данные системы строились, исходя из того, чтобы сохранились такие атрибуты интегрируемости, как интегралы вдоль характеристик и высшие симметрии, было естественно ожидать, что полученные дискретизации будут интегрируемы по Дарбу. В работе [5] доказана интегрируемость по Дарбу для полудискретных и чисто дискретных цепочек, соответствующих матрицам Картана серий A и C. Предложено два различных метода построения интегралов вдоль характеристик. Первый метод основан на использовании нелокальных переменных, в терминах которых выражаются симметрии бесконечной цепочки, а второй -- на построении дифференциального оператора, коэффициенты которого являются x-интегралами (y-интегралами) рассматриваемой системы.
Некоторые статьи
-
[1] Точно решаемые циклические q-цепочки Дарбу (совм. с И.А.Дынниковым). rus eng
-
[2] Циклические q-цепочки Дарбу. rus
-
[3] Adler map for Darboux q-chain. eng
-
[4] Полудискретные цепочки Тоды. rus eng
-
[5] Интегрируемость по Дарбу дискретных двумеризованных цепочек Тоды. rus eng
Недавние доклады
-
On Darboux integrability of discrete 2D-Toda lattices, Ascona, Switzerland, conference "Integrability in Algebra, Geometry and Physics", 14.07.2015
-
Darboux transformations in theory of integrable systems (popular lecture), Astana, Nazarbaev University, 22.05.2015
-
On Darboux integrability of discrete 2D-Toda lattices, Moscow, SkolTech, conference "Geometry, Topology and Integrability", 21.10.2014
-
Интегрируемость по Дарбу дискретных цепочек Тоды, Кафедральный семинар "Геометрия, Топология и Математическая Физика", 15.10.2014
-
Discretization of two-dimensional Toda lattice: symmetries and integrals. Nordfjordeid, Norway, conference "Nonlinear mathematical pysics: 20 years of JNMP", 6.06.2013.
-
Semidiscrete Toda Lattices. Universita Roma Tre, Italy, 29.11.2012.
-
Semidiscrete Toda Lattices. Zlatibor, Serbia, conference "XVII Geometrical Seminar", 6.09.2012.
-
Semidiscrete Toda Lattices. Xikou, Ningbo, conference "Symmetries and integrability of Difference Equations", 14.06.2012.
-
Semidiscrete Toda Lattices. University of Glasgow, Scotland, conference "Matrix models, tau-functions and geometry", 3.03.2012.
-
Semidiscrete Toda Lattices. IRMA, Strasbourg, France, conference "Discrétisation en mathématiques et en physique", 10.09.2011.
|
|
