Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://foroff.phys.msu.ru/phys/programs/nummeth.htm
Дата изменения: Sun Jul 6 05:18:49 2008
Дата индексирования: Mon Oct 1 21:47:50 2012
Кодировка: koi8-r
Численные методы и математическое моделирование

Рабочая программа курса

"Численные методы и математическое моделирование"

по направлению 511500 - радиофизика

Лекции - 36 часов

1. Введение. Натурный и вычислительный эксперимент в радиофизике и электронике. Особенности постановки задач и этапы их решения. Взаимосвязь математического моделирования, автоматизации научных исследований и проектирования. Алгоритмы как форма и средство представления результатов научных исследований. Методы вычислений и программирование. Использование стандартного математического обеспечения в вычислительном эксперименте. - 1 час

2. Решение трансцендентных уравнений и систем. Задачи, приводящие к трансцендентным уравнениям. Отделение и уточнение корней. Итерационные методы. Порядок сходимости. Оценки погрешностей решения. Графический метод. Метод дихотомии. Метод хорд. Метод простых итераций. Процесс Эйткена. Метод Ньютона. Метод секущих. Метод парабол. "Разболтка" счета в окрестности корня. Решение уравнений и систем в комплексной области параметров. Применение методов в задачах теории колебаний и электродинамики СВЧ. - 5 часов.

3. Задачи линейной алгебры. Алгоритм Гаусса с выбором главного элемента для решения систем линейных алгебраических уравнений и вычисления определителей. . Метод простых итераций и метод Зейделя. Анализ радиотехнических цепей и разработка систем автоматизированного проектирования с применением алгоритмов линейной алгебры. Обращение матриц. Решение полной проблемы собственных значений. Прямые методы решения задач электродинамики. - 5 часов

4. Аппроксимация функциональных зависимостей. Интерполяция. Обработка экспериментальных данных. Лагранжева интерполяция. Экстраполяция. Полиномиальная интерполяция. Единственность интерполяционного полинома. Интерполяционные полиномы: канонический, Лагранжа и Ньютона. Разделенные разности. Схема Горнера. Априорная и апостериорная оценки погрешностей интерполяции. Применения интерполяции: обработка экспериментальных данных, построение эмпирических зависимостей, аппроксимация функциональных зависимостей и характеристик электронных приборов, субтабулирование, контроль таблиц, дифференцирование и интегрирование, решение дифференциальных и трансцендентных уравнений. Обратная интерполяция и ее применение. Сходимость итнтерполяционных процессов. Явление волнистости. Нелинейная интерполяция. Метод выравнивания и его применение при обработке экспериментальных данных. Метод наименьших квадратов(МНК). Приближение функций отрезком обобщенного ряда Фурье. Приближение функций по Чебышеву. Ортогональные полиномы непрерывной и дискретной переменной. Сплайны: теория и применения в науке и технике. Граничные условия при построении сплайнов. Метод прогонки для вычисления коэффициентов сплайнов. - 6 часов

5. Численное дифференцирование. Производные и разделенные разности. Формулы для производных в равноотстоящих узлах. Погрешность численного дифференцирования. Вычисление производных с помощью программ интерполяции и аппроксимации МНК. - 1 час

6. Численное интегрирование. Алгоритмы и формулы Ньютона-Котеса. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Априорные и апостериорные оценки погрешностей интегрирования. Формулы Рунге-Ромберга и Эйткена. Методы наивысшей алгебраической точности. Вычисление несобственных интегралов. Вычисление кратных интегралов: метод последовательного интегрирования, метод ячеек, методы Монте-Карло. - 5 часов.

7. Задачи для обыкновенных дифференциальных равнений (ОДУ). Типы задач. Математические модели физических процессов, приводящие к ОДУ. Задача Коши. Метод рядов Тейлора. Явные и неявные методы Эйлера. Устойчивость интегрирования ОДУ. Жесткие уравнения. Методы Рунге-Кутты второго и четвертого порядков. Схема Бутчера для алгоритмов Рунге-Кутты. Вложенные схемы Дормана-Принса. Методы прогноза и коррекции. Многоточечные методы. Погрешность решений. Расчет переходных процессов в нелинейных и параметрических цепях. Краевые задачи: методы стрельбы и конечных разностей. Задачи на собственные значения. Особенности формулировки и решения электродинамических задач. - 4 часа

8. Дифференциальные уравнения в частных производных. Метод конечных разностей для уравнений Лапласа и Пуассона. Метод крупных частиц. Моделирование полупроводниковых приборов. Методы Галеркина-Ритца. Методы конечных элементов для двумерных задач. Методы граничных элементов. - 4 часа

9. Задачи оптимизации. Одномерная оптимизация. Методы Фибоначчи, золотого сечения и дихотомии. Оптимизация многомерных функций. Методы координатного и градиентного спусков. Наискорейший спуск. Оптимизация овражных функций. Решение систем нелинейных уравнений с помощью методов оптимизации. - 2 часа

10. Интегральные уравнения. Корректность постановки задач. Типы уравнений. Разностный метод. Метод последовательных приближений. Метод моментов. Особенности решения некорректных задач. - 2 часа

11. Перспективы применения методов вычислительной математики в радиофизических исследованиях. - 1 час.

Практические занятия - 36 часов ( 2 часа на каждую тему)

  1. Таблично-графический метод. Методы дихотомии и Монте-Карло.
  2. Методы Ньютона, секущих и хорд. Задача о нелинейной электрической цепи ).
  3. Методы простых итераций и парабол. Применение в задачах теории колебаний.
  4. Решение СЛАУ. Применение для анализа линейных цепей.
  5. Интерполяция зависимостей и численное дифференцирование.
  6. Сплайновая интерполяция.
  7. Метод наименьших квадратов со степенными базисами.
  8. МНК на основе ортогональных дискретных полиномов.
  9. Вычисление специальных функций методами средних прямоугольников и трапеций.
  10. Контрольная работа.
  11. Метод Симпсона и оценка погрешностей по Рунге и Эйткену.
  12. Методы Рунге-Кутты. Уравнения второго порядка для специальных функций.
  13. Построение фазового портрета автогенератора по уравнению Ван-дер-Поля.
  14. Решение граничных задач методом стрельбы. Задача о конденсаторе.
  15. Разностные методы для граничных задач. Задача из теории волновых процессов.
  16. Задачи Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона.
  17. Оптимизация функций.
  18. Выполнение индивидуального задания по курсу.

Основная литература

  1. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

Дополнительная литература

  1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. - М.: Наука, 1986. - 744 с.
  2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 600 с.
  3. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. - Киев: Наукова думка, 1986. - 544 с.
  4. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. - 509 с.
  5. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. - М.: Радио и связь, 1985. - 304 с.
  6. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1986. - 288 с.
  7. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. - М.: Мир, 1985. - 384 с.
  8. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем. - М.: Энергия, 1980. - 640 с.
  9. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнеий. Нежесткие задачи: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 512 с.
  10. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП "РАСКО", 1991, 1992. 272 с.

Программу составил профессор А.Е. Мудров (Томский госуниверситет)